GEOMETRIA_08_SEMEJANZA DE TRIANGULOS - Gabriel Solís Flores

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Magdalena; Los Olivos Ingeniería; Surco; Carabayllo Página 1 
GEOMETRIA 
 
SEMANA 08: SEMEJANZA DE TRIANGULOS 
1. Si 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ ∥ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 2(AC)=3(MN), AM=5 y BH=6, 
calcule x. 
A) 30° 
B) 37° 
C) 45° 
D) 53° 
E) 60° 
 
2. En el gráfico, si 2(AP)=3(PB), PQ=3 y 
BC=10, calcule x. 
 
A) 30° 
B) 37° 
C) 45° 
D) 53/2 
E) 37°/2 
 
3. En el gráfico EF=9 y 2(AF)=3(AB), calcule 
BC. 
 
A) 6 
B) 8 
C) 9 
D) 12 
E) 16 
 
4. Si PQRC es un cuadrado, AQ=20 y QB=15, 
calcule RC. 
 
 
A) 20 
B) 16 
C) 18 
D) 12 
E) 14 
 
5. Si AM=MB, MP=a y MQ=b, calcule AB. 
 
A) 2ab 
B) 2 ab 
C) 
D) 2 2ab 
E) 8 ab 
 
 
6. Si BQ=a y AC=12, calcule PQ. 
 
A) 6√2 
B) 4√2 
C) 4 
D) 2 
E) 6 
 
 
7. Si la circunferencia está inscrita en el 
triángulo ABH y 8(PC)=3(AC), calcule AI/IL. 
 
A) 8 
B) 6 
C) 8/3 
D) 4/3 
E) 5/2 
 
8. En el gráfico. Calcule AB. 
 
A) 5/3 
B) 2 
C) 4,5 
D) 4/3 
E) 1 
 
 
9. Si P y T son puntos de tangencia, TB=9 y 
AP=5, calcule PT. 
 
A) 7√2 
B) 3√5 
C) 3√3 
D) 3 
E) 7 
 
10. En el gráfico, 𝑃 y 𝑄 son puntos de tangencia, 
además, 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ∥ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐵 = 4 y 𝐵𝐶 = 9. Calcule 𝑃𝐵. 
 
A) 4 
B) 6 
C) 8 
D) 10 
E) 12 
 
 
11. En un trapecio ABCD (𝐵𝐶//𝐴𝐷), M es un 
punto de 𝐶𝐷, tal que 3(CM)=2(MD) y 
m∡BAM=m∡CDA. Si BC=6u y AD=15u, calcule 
AM. 
4 ab
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A) 9,6u B) 10,8u C) 11,2u 
D) 12,0u E) 12,4u 
 
12. Si ABCD y PCQR son cuadrados, QD=6, 
calcule la distancia entre los centros de los 
cuadrados. 
A) 3√2 
B) √6 
C) 3√3 
D) 3 
E) 6 
 
13. En un cuadrado ABCD se ubican los puntos 
E y F, ambos en AD , tal que AE=3u, EF=2u y 
FD=1u. Calcular la longitud del segmento 
determinado en AC por BE y BF . 
A) 
6√2
13
u B) 
8√2
15
u C) 
8√2
11
 
D) 
6√2
11
 E) 
8√5
13
u 
 
14. En un cuadrante de circunferencia AB, de 
centro O, se ubica el punto Q y en la 
prolongación de BA se ubica el punto P, tal que 
m∡POA=m∡ABQ. Calcule el radio del 
cuadrante, si OP=8u y BQ=2√2u. 
A) 2u B) 4u C) 8u 
D) 2√2u E) 4√2u 
 
15. En la siguiente figura AB=BC=a, AP=b y 
BC//MN . Calcular MN. 
 
A) 
ba
b.a
+
 
B) 
ba
b.a2
+
 
C) 
ba
b.a2
−
 
D) 22 ba − 
E) 22 ba + 
 
16. Si M, N, L y T son puntos de tangencia, 
AB//PQ, AB=8 y TC=6. Calcule PQ. 
 
A) 24/7 
B) 4 
C) 5 
D) 12/7 
E) 6 
 
17. En la figura AB=BC, BE=9 y EF=7, calcule 
AB. 
A) 10 
B) 12 
C) 14 
D) 16 
E) 21 
 
18. Si AM=MC, AB=a y BC=b, calcule PQ/QS. 
A) a/b 
B) b/a 
C) 2a/b 
D) 2b/a 
E) 3a/b 
 
19. Si T es punto de tangencia, calcule TA/AB. 
 
A) 3 
B) 2 
C) 1 
D) √2 
E) √3 
 
20. Si AM=MC, 4(AB)=3(BC) y PH=12. Calcule 
HQ. 
 
A) 6 
B) 8 
C) 9 
D) 10 
E) 14 
 
21. Si ABCD y APQN son cuadrados, LD=a y 
CL=b, calcule SD. 
 
A) 
𝑎+𝑏
2
 
B) √𝑎𝑏 
C) 
2𝑎𝑏
𝑎+𝑏
 
D) 2a-b 
E) a-b 
 
 
 
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22. Si ℒ1 ⃡ ∥ ℒ2 ⃡ ∥ ℒ3 ⃡ y el triángulo 𝐴𝐵𝐶 es 
equilátero, calcule 𝐴𝑃. 
 
 
 
A) 2√𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 
B) √3(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
C) 
2𝑏
3(𝑎+𝑏)
2√3(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
D) 
5𝑏
3(𝑎+𝑏)
3√3(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
E) 3√𝑎𝑏 
 
23. Sea 𝑃 un punto del cuadrante 𝐴𝐵, de centro 
𝑂, ubicado de modo que al trazar la 
perpendicular 𝑃𝐻̅̅ ̅̅ hacia 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ (con 𝐻 en 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ ), 
𝐻𝑀 = 𝑀𝑃, 𝑃𝐻̅̅ ̅̅ ∩ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = {𝑀} y 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ ∩ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = {𝐿} , 
calcule 
𝐴𝐿
𝐿𝐵
. 
A) 4/3 B) 2/3 C) 5/3 
D) 4/5 E) 5/4 
 
24. Si A, B, C y D son puntos de tangencia, 
calcule AM/MC. 
 
 
 
A) b/a B) a/b C) a+b/b 
D) a b
b
+ E) ab
a b+
 
 
25. Si AM=MC y LN=NO=OM, calcule x. 
 
A) 30° 
B) 37° 
C) 53° 
D) 60° 
E) 45° 
 
 
PUNTOS NOTABLES 
 
26. En un triángulo ABC las medianas AE y BF 
son perpendiculares entre sí y sus longitudes 
son 15 y 36, calcule AB. 
A) 13 B) 15 C) 26 
D) 30 E) 36 
 
27. En un triángulo ABC de baricentro G la 
distancia de G al punto medio del lado AB es 4, 
calcule la distancia entre los puntos medios de 
AG y AC. 
A) 2 B) 3 C) 4 
D) 6 E) 8 
 
28. En el gráfico 𝐺 es baricentro del triángulo 
𝐴𝐵𝐶, si 𝐺𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐺, calcule 𝑥. 
 
 
 
A) 30° B) 37° C) 45° 
D) 53° E) 60° 
 
29. En un rombo 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐴𝐶 = 4 𝑢 y 𝐵𝐷 = 20 𝑢, 
sobre los lados 𝐵𝐶 y 𝐴𝐵 se construyen los 
triángulos rectángulos 𝐶𝐵𝐸 y 𝐴𝐵𝐹 (ambos 
rectos en 𝐵), siendo 𝐵𝐸 = 𝐵𝐹 = 𝐴𝐵. Calcule 
(en 𝑢) la longitud del segmento que tiene por 
extremos los baricentros de los triángulos 𝐴𝐵𝐹 
y 𝐶𝐵𝐸. 
A) 6 B) 8 C) 4 
D) 10 E) 5 
 
30. En un triángulo 𝐴𝐵𝐶, donde 𝐵𝐶 = 12 𝑐𝑚, 
por su incentro 𝐼 se trazan las paralelas a los 
lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , las cuales cortan a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ en 𝑀 y 𝑁 
respectivamente. Calcule el perímetro (en 𝑐𝑚) 
de la región triangular 𝐼𝑀𝑁. 
A) 8 B) 10 C) 12 
D) 6 E) 15 
 
31. En un triángulo isósceles 𝐴𝐵𝐶 (𝐴𝐵 = 𝐵𝐶), 
de incentro 𝐼, se ubica el punto 𝑃 en 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ tal que 
𝐼𝑃̅̅ ̅ ∥ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝑃 = 2(𝐴𝐼). Calcular 𝑚∢𝐼𝐴𝐶. 
A) 15° B) 18° C) 24° 
D) 30° E) 36° 
 
32. En el gráfico I es incentro de ABC, calcule x. 
 
 
 
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A) 140° 
B) 135° 
C) 130° 
D) 120° 
E) 150° 
 
33. En el gráfico, si 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, calcule 𝑥. 
A) 7° 
B) 9° 
C) 4° 
D) 8° 
E) 5° 
 
34. En un triángulo 𝐴𝐵𝐶, 𝐹 es el excentro 
relativo a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , si 𝑚∢𝐴𝐵𝐶 = 50° + 3𝑥 y 
𝑚∢𝐴𝐹𝐶 = 50° − 𝑥, calcule 𝑚∢𝐴𝐵𝐶. 
A) 90º B) 100º C) 110º 
D) 120º E) 80º 
 
35. Sean 𝐼 y 𝐸 el incentro y excentro relativo a 
𝑄𝑅̅̅ ̅̅ de un triángulo escaleno 𝑃𝑄𝑅, si 𝐸𝑅 = 9 𝑢 y 
𝑚∢𝑃𝑄𝑅 = 60°, calcule (en 𝑢) 𝐸𝐼. 
A) 9 B) 6√3 C) 4,5 
D) 6√2 E) 6 
 
36. En un triángulo 𝐴𝐵𝐶 se traza la mediana 
𝐵𝑀, donde 𝑚∢𝐴𝑀𝐵 = 45°, si 𝑚∢𝐵𝐴𝐶 =
2(𝑚∢𝐴𝐶𝐵), calcue 𝑚∢𝐴𝐶𝐵. 
A) 30° B) 37° C) 12° 
D) 15° E) 10° 
 
37. En un triángulo 𝐴𝐵𝐶, donde 𝑚∢𝐵𝐴𝐶 = 60° 
y 𝐵𝐶 = 6 𝑢. Calcule (en 𝑢) la distancia del 
incentro al excentro relativo a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 
A) 3 B) 6 C) 4 
D) 2√3 E) 4√3 
 
38. En un paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝐻 es 
ortocentro del triángulo acutángulo 𝐴𝐵𝐷. Si 
𝑚∢𝐴𝐵𝐷 = 70°, calcule 𝑚∢𝐵𝐶𝐻. 
A) 40° B) 10° C) 20° 
D) 15° E) 35° 
 
39. En un triángulo 𝐴𝐵𝐶 de incentro 𝐼 y 
ortocentro 𝐻 donde 𝑚∢𝐵𝐴𝐶 − 𝑚∢𝐵𝐶𝐴 = 40°, 
calcule 𝑚∢𝐻𝐵𝐼. 
A) 40° B) 28° C) 30° 
D) 32° E) 20° 
 
 
40. En el gráfico mostrado 𝐻 es el ortocentro 
del triángulo 𝐴𝐸𝐷 y 𝑚∢𝐵𝐻𝐶 = 5(𝑚𝐵�̂�), 
calcule 𝑚∢𝐴𝐸𝐷. 
A) 80° 
B) 70° 
C) 60° 
D) 50° 
E) 75° 
 
41. En un triángulo 𝐴𝐵𝐶, 𝐼 y 𝐻 son su incentro 
y ortocentro, respectivamente, tal que 
𝑚∢𝐻𝐴𝐶 = 𝑚∢𝐴𝐶𝐼 y 𝐴𝐵 = 6 u, calcule (en 𝑢) la 
longitud del segmento 𝐶𝐻. 
A) 12 B) 
2√3
3
 C) 6 
D) 2√3 E) 3√2 
 
42. En el gráfico, 𝐻 es ortocentro del triángulo 
𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝑀 = 𝑀𝐻 y 𝐵𝐿 = 𝐿𝐶, calcule 𝑥. 
A) 15° 
B) 35° 
C) 30° 
D) 20° 
E) 10° 
 
43. En un triángulo acutángulo 𝐴𝐵𝐶, cuyo 
circuncentro es 𝑂, la prolongación de 𝐵𝑂̅̅ ̅̅ 
interseca a 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ en el punto 𝐷, tal que 𝐵𝑂 = 4 y 
𝑂𝐷 = 3. Si la 𝑚∢𝐴𝐶𝐵 = 45°, calcule la medida 
del ángulo 𝐵𝐴𝐷. 
A) 45° B) 53° C) 60° 
D) 74° E) 82° 
 
44. En una circunferencia de radio 7 𝑢 se 
encuentra inscrito un triángulo 𝐴𝐵𝐶 de 
ortocentro 𝐻, tal que 𝐵𝐻 = 6 𝑢. Calcule (en 𝑢) 
la longitud de la sagita correspondiente a la 
cuerda 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . 
A) 3 B) 3,5 C) 4 
D) 4,5 E) 5 
 
45. En un triángulo 𝐴𝐵𝐶, sea 𝑂 su circuncentro 
y 𝑀 el punto medio de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . La perpendicular 
trazada por 𝑀 a 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ interseca a 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ en 𝑁, si 𝐴𝑁 =
4 𝑚 y 𝑁𝐶 = 5 𝑚. Calcule (en 𝑚) 𝐴𝐵. 
A) 3√2 B) 4√2 C) 6√2 
D) 8√2 E) 12√2 
 
 
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46. Sean 𝐻 y 𝑂 ortocentroy circuncentro de un 
triángulo 𝐴𝐵𝐶. Si 2(𝑚∢𝐴𝐻𝐶) = 3(𝑚∢𝐴𝑂𝐶), 
calcule 𝑚∢𝐻𝐶𝐵. 
A) 30° B) 37° C) 45° 
D) 60° E) 75° 
 
47. En un triángulo acutángulo ABC de 
ortocentro H y circuncentro O, se cumple que 
m∡BHO=80 y m∡OCA=30. Calcule m∡ABH. 
A) 10° B) 20° C) 25° 
D) 35° E) 40° 
 
48. La recta de Euler de un triángulo 
acutángulo 𝐴𝐵𝐶 interseca a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en 𝑃, a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ en 𝑄, 
de modo que 𝑃𝑄 = 𝑄𝐵, calcule 𝑚∢𝐴𝐵𝐶. 
A) 120° B) 30° C) 60° 
D) 50° E) 40° 
 
49. En un triángulo acutángulo ABC, 𝑚∢𝐴𝐵𝐶 =
60°, de ortocentro H y circuncentro O. La recta 
de Euler intercepta a los lados AB y BC en los 
puntos M y N, respectivamente, si AM=3 y 
CN=5, calcule OH. 
A) 1 B) 1,5 C) 2 
D) 2,5 E) 3 
 
50. En un triángulo ABC , obtuso en B, la recta 
de Euler intercepta al lado BC en M y al lado AC 
en el punto P. Si 𝑚∢𝐴𝐵𝐶 = 2(𝑚∢𝑃𝑀𝐶), calcule 
𝑚∢𝑃𝑀𝐶. 
A) 30° B) 36° C) 45° 
D) 60° E) 75°