Notas 01 Álgebra básica - Axel Sánchez Nazario (1)

Vista previa del material en texto

ÁLGEBRA BÁSICA 
1 
 
 
En matemáticas, una herramienta muy útil es el álgebra, entendiendo a esta última como el conjunto de 
operaciones que se extienden hacia un determinado tipo de estructuras matemáticas de trabajo. 
 
 
En el bachillerato, fue usual hablar de TÉRMINOS ALGEBRAICOS, por ejemplo 4𝑥2 
 
 
En esta expresión el 4 recibe el nombre de coeficiente, 𝑥2 es la potencia que tiene por base el elemento 𝑥, 
mientras que el 2 funciona como exponente de la base. 
 
 
Entonces, el término algebraico 4𝑥2 significa una multiplicación de elementos de la siguiente forma 
 
 
4𝑥2 = 4 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 
 
 
Y en el cual, la variable 𝑥 representa a cualquier elemento que nosotros elijamos ocupe su lugar. 
 
 
Si 𝑥 = 3 entonces 
 
4𝑥2 = 4(3)2 = 36 
Si 𝑥 = 𝑡 + 2 entonces 
 
4𝑥2 = 4(𝑡 + 2)2 
 
 
Cuando dos o más términos algebraicos comparten las mismas potencias, decimos que son términos 
semejantes, y por consiguiente son de la misma naturaleza. Sólo son diferentes en su coeficiente. 
 
 
4𝑥2 −3𝑥2 
2
5
𝑥2 √3 𝑥2 
 
 
Hablando de las potencias, las reglas básicas son: 
 
 
En el término 𝑥2, el exponente 2 indica las veces en las cuales se debe multiplicar la base 𝑥 por ella misma. 
 
 
Si el exponente es negativo, indica que la potencia es un divisor 𝑥−3 =
1
𝑥3
 
 
 
Si el exponente es fraccionario, el numerador indica potencia 
mientras que el divisor indica raíz 𝑥
3 5⁄ = √𝑥3
5
= (√𝑥
5
)
3
 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
2 
 
SUMAS Y RESTAS: Sólo podemos realizar la adición o sustracción de términos algebraicos cuando son 
semejantes, es decir, de la misma naturaleza. 
 
 
En tal situación, sólo debemos realizar la suma de sus coeficientes tomando en cuenta la regla de los signos: 
 
 
Signos iguales se suman y conserva el signo 4𝑥2 + 2𝑥2 = 6𝑥2 
 
−3𝑥2 − 2𝑥2 = −5𝑥2 
 
 
Signos iguales se restan y adopta el signo del mayor 
de los coeficientes en tamaño 
−4𝑥2 + 2𝑥2 = −2𝑥2 
 
8𝑥2 − 2𝑥2 = 6𝑥2 
 
 
Los términos que no son semejantes, se dejan indicadas las sumas: 
 
4𝑥2 − 3𝑥 +
1
2
 2𝑥2𝑦 − 𝑥3 + 5𝑦2 − 2 
 
 
MULTIPLICACIONES. Cualquier término algebraico se puede multiplicar, o incluso ser el resultado de una 
multiplicación. Las reglas básicas de la multiplicación son: 
 
 
Producto de potencias con bases iguales, sus 
exponentes se suman conservando la potencia 
𝑥2 ∙ 𝑥3 = 𝑥5 
 
 
Producto de potencias con bases iguales, los 
coeficientes se multiplican entre sí. 
3𝑥2 ∙ 6𝑥3 = 18𝑥5 
 
 
Cuando se multiplican expresiones algebraicas con más de un término, se deben multiplicar todos los términos 
de la primera con todos los términos de la segunda, y después se procede a simplificar el resultado realizando 
las sumas de los términos que resulten semejantes: 
 
 
(𝑥2 − 4𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = 3𝑥3 − 12𝑥2 + 3𝑥 − 2𝑥2 + 8𝑥 − 2 = 3𝑥3 − 14𝑥2 + 11𝑥 − 2 
 
 
En esta operación, la mayor dificultad es la gran cantidad de términos que resultan de las multiplicaciones, y 
entonces, el orden será nuestra mejor forma de no cometer errores o dejar de sumar algún término. 
 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
3 
 
Así, la multiplicación anterior se puede escribir con el siguiente desarrollo 
 
 𝑥
2 − 4𝑥 + 1
 3𝑥 − 2
 
3𝑥3 − 12𝑥2 + 3𝑥
 − 2𝑥2 + 8𝑥 − 2
 3𝑥3 − 14𝑥2 + 11𝑥 − 2
 
 
 
POTENCIAS. Cuando multiplicamos un número por el mismo n número de veces, decimos que lo estamos 
elevando a la potencia n 
 
3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 35 = 243 
 
 
Los términos algebraicos se crearon con ese patrón 
 
𝑥3 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 
 
 
Y cuando una potencia se eleva a otra potencia, la base se conserva y los exponentes se multiplican: 
 
 
(𝑥3)4 = (𝑥3)(𝑥3)(𝑥3)(𝑥3) = 𝑥12 
 
 
Si la expresión algebraica es compuesta por más de un término algebraico, se tendría que ir realizando cada 
multiplicación con todos los términos resultantes de la multiplicación anterior: 
 
 
(𝑥 − 2)3 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 − 2) 
 
(𝑥 − 2)3 = (𝑥2 − 4𝑥 + 4)(𝑥 − 2) 
 
(𝑥 − 2)3 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 − 8 
 
 
Es evidente que al ir incrementando el número de términos algebraicos y el tamaño del exponente, calcular la 
potencia se vuelve un trabajo muy laborioso. 
 
 
Sin embargo, existen algunas multiplicaciones y potencias de uso cotidiano, que bien vale la pena recordar en 
el trabajo diario. Reciben el nombre de productos notables. 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
4 
 
PRODUCTOS NOTABLES 
 
Binomio al cuadrado 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 
 
Binomios conjugados (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 
 
 
Binomios con un término común 
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 
 
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) = 𝑥2 + (−𝑎 − 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 
 
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 − 𝑏)𝑥 − 𝑎𝑏 
 
 
Binomio al cubo 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
 
(𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3 
 
 
Existen muchos otros productos notables, pero los anteriores son los más utilizados en el trabajo diario. 
 
 
Cuando el resultado de estos productos notables se realiza en sentido inverso, se está trabajando en un proceso 
de factorización, que consiste en encontrar los factores que le dieron origen a una expresión algebraica. 
 
 
Es así como surgen las siguientes factorizaciones notables: 
 
Trinomio cuadrado perfecto 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 ± 𝑏)2 
 
Trinomio de segundo grado 
𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) 
 
𝑥2 − (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) 
 
𝑥2 + (𝑎 − 𝑏)𝑥 − 𝑎𝑏 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑏) 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 𝑏 
 
𝑥2 + (𝑎 − 𝑏)𝑥 − 𝑎𝑏 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑏) 𝑐𝑜𝑛 𝑏 > 𝑎 
ÁLGEBRA BÁSICA 
5 
 
Diferencia de cuadrados 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
 
 
Diferencia de cubos 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
 
Suma de cubos 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) 
 
 
 
FRACCIONES ALGEBRAICAS. Cuando hacemos la división de dos expresiones algebraicas, tenemos las 
fracciones algebraicas. 
 
 
 𝑥2 + 5𝑥 + 6 
𝑥 + 2
 
 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
𝑥 + 3
 
 𝑥2 − 2𝑥 + 7 
𝑥 − 2
 
 
 
Estas fracciones algebraicas indican una división que aún no realizamos. Sin embargo, como todas las 
divisiones, algunas tendrán resultado exacto y otras no lo tendrán. 
 
 
 𝑥2 + 5𝑥 + 6 
𝑥 + 2
= 𝑥 + 3 
 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
𝑥 + 3
= 𝑥 + 3 
 
 
 𝑥2 − 2𝑥 + 7 
𝑥 − 2
= 𝑥 +
7
𝑥 − 2
 
 
 
En todas las fracciones, el único requisito es que el divisor sea diferente de cero, para que la división se pueda 
establecer. 
 
 
Al sumar fracciones numéricas, procurábamos que tuvieran un divisor común, y a partir de ahí se sumaban los 
numeradores 
 
2
3
+
4
5
+
1
6
=
20 + 24 + 5
30
=
49
30
= 1 +
19
30
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
6 
 
En las fracciones algebraicas procedemos en la misma forma 
 
3
𝑥 + 1
+
2
𝑥 − 2
=
 3(𝑥 − 2) + 2(𝑥 + 1) 
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)
=
 3𝑥 − 6 + 2𝑥 + 2 
𝑥2 − 𝑥 − 2
=
5𝑥 − 4
𝑥2 − 𝑥 − 2
 
 
 
Cuando la potencia del numerador es más pequeña que la potencia del denominador, la división no se realiza, 
sólo se deja indicada. 
 
 
5𝑥 − 4
𝑥2 − 𝑥 − 2
 
 𝑥2 − 3𝑥 + 5 
𝑥3 − 4
 
 
 
Pero en ocasiones, convendrá separar los sumandos del numerador: 
 
 
5𝑥
𝑥2 − 𝑥 − 2
−
4
𝑥2 − 𝑥 − 2
 
𝑥2
𝑥3 − 4
−
3𝑥
𝑥3 − 4
+
5
𝑥3 − 4
 
 
 
NOTA IMPORTANTE: NUNCA SE PUEDEN SEPARAR LOS SUMANDOS EN EL DIVISOR. 
 
 
Cuando la potencia del numerador es más grande que la potencia del denominador, se puede hacer la división. 
La factorización es un camino para realizarla. 
 
 
 𝑥2 + 5𝑥 + 6 
𝑥 + 2
=
 (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) 
𝑥 + 2
= 𝑥 + 3 
 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
𝑥 + 3
=
 (𝑥 + 3)2 
𝑥 + 3
= 𝑥 + 3 
 
 
En ambos ejemplos, al existir términos iguales en el numerador y denominador, el cociente de esos términos 
equivale a 1, y por lo tanto “desaparecen” de la expresión algebraica. 
 
 
 𝑥 + 2 
𝑥 + 2
= 1 
 𝑥 + 3 
𝑥 + 3
= 1 
 
 
Ahora vemos la importanciay utilidad de las factorizaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
7 
 
ECUACIONES ALGEBRAICAS. Se llama así a una igualdad entre expresiones algebraicas. 
 
3𝑥 + 1 = 5 2𝑥2 − 3𝑥 = 9 𝑥2 − 𝑦2 = 25 
𝑥𝑦2 + 𝑥2𝑦 = 3 
2
𝑥
+ 𝑥 = 3 
3
𝑥2
−
𝑥
4
= 𝑥2 
 
 
El objetivo es encontrar los valores de las variables que hacen cierta a la ecuación, si es que existen. 
 
 
Evidentemente, a mayor número de variables o mayor exponente en ellas, hace más elaborado el procedimiento 
para resolver la ecuación. 
 
 
Sin embargo, todas las ecuaciones funcionan como una balanza equilibrada. Si hacemos una misma operación 
en ambos lados de la ecuación, la balanza sigue en equilibrio. 
 
 
En el lenguaje cotidiano, hemos acuñado expresiones que indican lo anterior, pero no siempre recordamos la 
operación que estamos efectuando. 
 
 
Si sumamos la misma cantidad en ambos lados de la igualdad, la ecuación no se altera 
 
 
3𝑥 + 2 = 2𝑥 − 5 
 
3𝑥 + 2 + 5 = 2𝑥 − 5 + 5 
 
3𝑥 + 7 = 2𝑥 
Al efectuar esta operación es muy común escuchar 
la frase “el 5 pasó sumando” 
 
 
Si restamos la misma cantidad en ambos lados de la igualdad, la ecuación no se altera 
 
 
3𝑥 + 2 = 2𝑥 − 5 
 
3𝑥 + 2 − 2 = 2𝑥 − 5 − 2 
 
3𝑥 = 2𝑥 − 7 
Al efectuar esta operación es muy común escuchar 
la frase “el 2 pasó restando” 
 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
8 
 
Si restamos la misma cantidad en ambos lados de la igualdad, la ecuación no se altera 
 
 
3𝑥 − 2𝑥 = 2𝑥 − 2𝑥 − 7 
 
3𝑥 − 2𝑥 = −7 
 
𝑥 = −7 
Al efectuar esta operación es muy común escuchar 
la frase “el 2x pasó restando” 
 
 
Si dividimos entre una misma cantidad en ambos lados de la igualdad, la ecuación no se altera 
 
 
3𝑥 = 4𝑥 − 7 
 
3𝑥
3
=
4𝑥 − 7
3
 
 
𝑥 =
4𝑥 − 7
3
 
Al efectuar esta operación es muy común escuchar 
la frase “el 3 pasó dividiendo” 
 
 
Si dividimos entre una misma cantidad en ambos lados de la igualdad, la ecuación no se altera 
 
 
3𝑥 = 4𝑥 − 7 
 
3𝑥
𝑥
=
4𝑥 − 7
𝑥
 
 
3 =
4𝑥 − 7
𝑥
 
Al efectuar esta operación es muy común escuchar 
la frase “la x pasó dividiendo” 
 
 
Si multiplicamos por una misma cantidad en ambos lados de la igualdad, la ecuación no se altera 
 
 
2𝑥 + 3
𝑥
= 3𝑥 − 1 
 
(
2𝑥 + 3
𝑥
) 𝑥 = (3𝑥 − 1)𝑥 
 
2𝑥 + 3 = 3𝑥2 − 𝑥 
Al efectuar esta operación es muy común escuchar 
la frase “la x pasó multiplicando” 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
9 
 
 
Si elevamos a una potencia en ambos lados de la igualdad, la ecuación no se altera 
 
2𝑥 + 1 = √3𝑥 − 2 
 
(2𝑥 + 1)2 = (√3𝑥 − 2)
2
 
 
4𝑥2 + 4𝑥 + 1 = 3𝑥 − 2 
Al efectuar esta operación es muy común escuchar 
la frase “la raíz pasó al cuadrado” 
 
 
Si aplicamos una raíz en ambos lados de la igualdad, la ecuación no se altera 
 
(𝑥 + 2)3 = 2𝑥 − 3 
 
√(𝑥 + 2)3
3
= √2𝑥 − 3
3
 
 
𝑥 + 2 = √2𝑥 − 3
3
 
Al efectuar esta operación es muy común escuchar 
la frase “el cubo pasó como raíz cúbica” 
 
 
En todas estas operaciones, hemos tratado cada una de ellas de forma separada pero en la resolución de 
ecuaciones algebraicas, se irán requiriendo en diferentes momentos. 
 
 
Para no cometer equivocaciones, debemos tener presente la prioridad de las operaciones. 
 
OPERACIÓN 
 
Sumas y restas 
 
Multiplicación y división 
 
Potencias y raíces 
 
Paréntesis y corchetes 
PRIORIDAD 
 
1 
 
2 
 
3 
 
4 
 
 
El objetivo al resolver una ecuación algebraica es despejar a una de sus variables para conocer mediante las 
operaciones obtenidas en el otro lado de la igualdad, el valor requerido. 
 
 
No siempre será simple despejar a una variable, e incluso puede no poder realizarse. Este hecho ha impulsado 
el álgebra por diferentes y muy variados caminos. 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
10 
 
 
ECUACIONES DE PRIMER GRADO. Se llaman así a las ecuaciones con una sola variable elevada a la 
potencia uno. 
 
3𝑥 + 1 = 0 2𝑥 − 4 = 4 − 3𝑥 2𝑥 − 6
4
=
4𝑥 + 5
2
 
 
 
Resolver este tipo de ecuaciones es muy simple. Basta con ir despejando poco a poco los elementos hasta tener 
de un solo lado de la ecuación a una sola variable x. 
 
 
3𝑥 + 1 = 0 
 
3𝑥 = −1 
 
𝑥 = −
1
3
 
2𝑥 − 4 = 4 − 3𝑥 
 
5𝑥 = 8 
 
𝑥 =
8
5
 
2𝑥 − 6
4
=
4𝑥 + 5
2
 
 
4𝑥 − 12 = 16𝑥 + 20 
 
−12𝑥 = 32 
 
𝑥 = −
32
12
= −
8
3
 
 
 
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Se llaman así a las ecuaciones que tienen una sola variable, y su 
mayor potencia esta elevada al cuadrado, es decir a la potencia 2. 
 
𝑥2 − 3 = 0 𝑥2 + 2𝑥 = −5 𝑥2 − 3𝑥 = 0 
 
 
Para poderlas estudiar mejor, se acostumbra escribirlas con todos los elementos algebraicos de un solo lado de 
la igualdad igualados con cero. 
 
 
𝑥2 − 3 = 0 𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0 𝑥2 − 3𝑥 = 0 
 
 
Como podemos ver, una ecuación cuadrática siempre tiene un término al cuadrado, un término lineal (elevado 
a la potencia 1) y un término independiente (no tiene variable). 
 
 
El objetivo sigue siendo despejar a la variable. 
 
 
Entonces, tenemos tres posibles situaciones, las cuales veremos a continuación. 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
11 
 
 
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO DEL TIPO 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 
 
 
Basta con despejar a la variable x, empezando con el término c y después con el término a 
 
 
𝑥 = ±√−
𝑐
𝑎
 
 
 
Una raíz cuadrada, y en general cualquier raíz de orden par, tendrán dos posibles signos en su resultado, debido 
a la regla de los signos de la multiplicación. 
 
 
Entonces, en las ecuaciones de segundo grado, siempre estamos esperando dos posibles soluciones. 
 
 
Sin embargo, la operación anterior nos arroja tres posibles escenarios: 
 
 
−
𝑐
𝑎
> 0 El radicando es positivo, por lo tanto tenemos dos raíces de igual tamaño, una 
positiva y una negativa. 
 
 
−
𝑐
𝑎
= 0 El radicando es cero, por lo tanto tenemos dos raíces de igual tamaño, y ambas valen 
cero. 
 
 
−
𝑐
𝑎
< 0 El radicando es negativo, por lo tanto no tenemos soluciones en el conjunto de los 
números Reales (ℝ) 
 
 
Por ejemplo: 
 
2𝑥2 − 3 = 0 ⟹ 𝑥 = ±√ 
3
2
 4𝑥
2 = 0 ⟹ 𝑥 = 0 
 
 
 
3𝑥2 + 3 = 0 ⟹ 𝑥 = √−1 = ∄ 
El radicando -1 no tiene raíces cuadradas en los 
números reales, por lo que decimos que la ecuación 
cuadrática no tiene solución. 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
12 
 
 
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO DEL TIPO 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 
 
 
En estas ecuaciones siempre hay solución, y es seguro que una de las raíces es cero. Lo anterior viene de una 
factorización: 
 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑥 (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 
 
 
Esta multiplicación es cierta cuando alguno de los dos factores sea cero. Si el primero es cero, ese es el valor 
de la variable x. Es nuestra primera solución. 
 
 
Si el segundo factor es cero, tenemos una ecuación lineal muy simple de despejar. Será nuestra segunda 
solución. 
 
 
𝑥2 − 3𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 (𝑥 − 3) = 0 ⟹ 𝑥1 = 0 ; 𝑥2 = 3 
 
 
 
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO DEL TIPO 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
 
Es el caso general para estas ecuaciones. En ocasiones podemos usar alguna factorización notable para 
resolverlas. 
 
 
𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0 
 
(𝑥 + 3)2 = 0 
 
𝑥1 = 𝑥2 = −3 
Identificamos un trinomio cuadrado perfecto, que se 
factoriza en un binomio al cuadrado, lo que indica 
dos factores iguales y en consecuencia, dos 
soluciones reales de igual tamaño. 
 
 
 
 
𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 
 
(𝑥 + 5)(𝑥 − 2) = 0 
 
𝑥1 = −5 ; 𝑥2 = 2 
Identificamos un trinomio de segundo grado, y 
buscamos dos números que multiplicados den 10 y 
restados den tres. En este caso son 5 y 2, y al mayor 
le asignamos el signo positivo. 
 
Entonces, obtendremos dos raíces reales diferentes, 
una de cada factor. 
 
 
ÁLGEBRA BÁSICA 
13 
 
Cuando las factorizaciones no son tan simples de observar, tenemos otra herramienta: 
 
 
ECUACIÓN GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 
 
 
Esta ecuación sirve para cualquier ecuación de segundo grado: 
 
 
𝑥2− 3 = 0 𝑥2 + 2𝑥 = −5 𝑥2 − 3𝑥 = 0 
 
 
Empezamos por distinguir la forma general: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
 
Sin importar el tamaño ni el signo, cada coeficiente se trabaja como aparece en esta ecuación, y se sustituye 
en la ecuación de solución: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
Sin embargo, como ocurrió anteriormente, la operación nos arroja tres posibles escenarios: 
 
 
𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0 El radicando es positivo, por lo tanto tenemos dos raíces, una positiva y una negativa. 
 
 
𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0 El radicando es cero, por lo tanto tenemos dos raíces de igual tamaño, y ambas valen 
lo mismo. 
 
 
𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0 El radicando es negativo, por lo tanto no tenemos soluciones en el conjunto de los 
números Reales (ℝ) 
 
 
Por ejemplo 
 
2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 0 𝑎 = 2 𝑏 = 5 𝑐 = −3 
 
 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−5 ± √52 − 4(2)(−3)
2(2)
=
−5 ± √49
4
=
−5 ± 7
4
 ⟹ 𝑥1 = −3 ; 𝑥2 =
1
2
 
 
 
 
Esta ecuación para resolver ecuaciones de segundo grado es muy popular entre los estudiantes.