Álgebra elemental para el nivel medio superior

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Álgebra elemental
para el nivel
medio superior
Guillermo de Jesús Arzate Cabrera
Datos de catalogación bibliográfica
Páginas: 136
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2015
ISBN: 978-607-32-3684-3
Área: Bachillerato/Matemáticas
Formato: 20 * 25.5 cm
Álgebra elemental para el nivel medio superior
ARZATE CABRERA, GUILLERMO DE JESÚS
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ISBN LIBRO IMPRESO: 978-607-32-3684-3 Primera edición, 2015
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Contenido
Prólogo v
Presentación vii
Capítulo 1
Preálgebra 1
1.1 Leyes de los signos 1
1.2 La quinta y la sexta operación (elevar a potencia y extraer raíz) 7
1.3 Jerarquía de las operaciones 11
1.4 Uso de los signos de agrupación 13
1.5 Leyes de los exponentes 15
Capítulo 2
Álgebra 21
2.1 Anatomía de un término 21
2.2 Expresiones algebraicas 22
2.3 Términos semejantes 22
2.4 Suma algebraica 23
2.5 Multiplicación 29
2.6 División 37
2.7 Potencias 47
2.8 Raíces 50
Álgebra elemental para el nivel medio superioriv
Capítulo 3
Productos notables y factorización 53
3.1 Productos notables 53
3.2 Factorización 60
Capítulo 4
Ecuaciones 79
4.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita 81
4.2 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 90
4.3 Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas 97
4.4 Desigualdades e inecuaciones 102
Capítulo 5
La línea recta 105
5.1 Sistema de ejes coordenados 105
5.2 La pendiente de una recta 105
5.3 La ecuación de una recta 106
Resultados de las prácticas 113
Bibliografía 123
Prólogo
Históricamente, las matemáticas han causado problemas a la mayoría de los estudian-
tes de todos los niveles; las explicaciones de esto suelen ser muy variadas: desde la falta
de desarrollo de habilidades en el área, hasta la prepotencia con la que algunos maestros
pretenden enseñar esta asignatura. De lo que no hay duda es que en las instituciones de
Educación Media Superior, y Superior, la falta de destreza en esta materia, el haberla
reprobado, ha causado gran porcentaje de deserción escolar.
La presente obra es producto, en primer lugar, de un estudio riguroso que fue pre-
sentado como trabajo final en una maestría de enseñanza de las matemáticas; en segun-
do término, de la labor con estudiantes de primer curso en una institución de Educación
Superior realizada durante más de tres años.
La etapa inicial fue iniciativa del autor; la subsiguiente se dio gracias al trabajo de
un grupo de compañeros, con los cuales, el primero y quien esto escribe, compartimos
la preocupación por las formas y el cómo enseñar las matemáticas.
Si bien coincido con el pensamiento de varios colegas maestros de que no hay
mucho que hacer para enseñar las matemáticas, es preciso reconocer que, en cambio,
hay bastante que hacer para aprenderlas. No obstante, la generación de docentes que
hoy estamos frente al grupo es muy distinta a la de los estudiantes; el nivel e intensi-
dad de distractores que éstos tienen hacen que las estrategias deban ser más precisas y
eficientes, de tal forma que se atrape al estudiante de entre la vorágine de alternativas
que existen para ocupar su tiempo. Este libro ofrece tales astucias tanto para el docente,
con ejemplos y prácticas que pueden optimizar su tiempo frente al grupo, como para el
alumno, ya que le marcan los errores más comunes y clásicos, con la intención de que
los eviten en la medida de lo posible.
El estudiante y el maestro, en general, el lector, está frente a una obra que desde su
concepción ha sido diseñada con la firme y honesta intención de que aprendan matemá-
ticas. Aspiramos a que las estrategias y sugerencias vertidas a lo largo del texto sirvan
para lograr este objetivo, aunque el esfuerzo y la dedicación tendrá que proveerlos
siempre el alumno, pues las matemáticas son un deporte que se domina, como cualquier 
otro, sólo con la práctica.
José Felipe Ojeda Hidalgo
Profesor-investigador de tiempo completo
Universidad Politécnica de Guanajuato
Presentación
Por experiencia propia sé que las matemáticas son el “coco” de las asignaturas, la mate-
ria más difícil, y una de las que cuentan con mayor número de alumnos reprobados; en
ello estarán de acuerdo quienes se dedican a su enseñanza, de tal manera que “el buen
desempeño en matemáticas es considerado, en general, como una muestra de sabiduría
e inteligencia”.1 “Todos los alumnos que estudian alguna carrera de ingeniería cursan
las asignaturas Cálculo I, Álgebra, Geometría analítica, Física experimental y Cultura
y comunicación. De éstas, las tres asignaturas relacionadas con las matemáticas son las
que tienen los más altos índices de reprobación”,2 precisamente por ello se sugiere el 
estudio de este texto.
Entre las posibles causas de lo anterior, por lo menos desde este enfoque, se en-
cuentra la falta de atención o el exceso de confianza, como se le quiera ver. Es decir, se
trata de errores, no de falta de capacidad, sino de atención tanto de los docentes como
de los alumnos.
Otras posibles causas de este problema son la exposición inadecuada de la materia
por parte de los profesores, la falta de motivación de los alumnos, ya sea por problemas
familiares, problemas de salud, mala alimentación, etcétera.
La finalidad de este libro es hacer de fácil comprensión el estudio del álgebra, si-
guiendo paso a paso la construcción de conocimientos, de tal manera que se liguen los
saberes nuevos con los anteriores para formar un todo más amplio cada vez (Ausubel).
George Pólya, matemático húngaro, desarrolló un procedimiento para la solución
de problemas, el cual consiste en cuatro pasos:
1. Entender el problema
2. Hacer un plan
3. Seguir el plan
4. Ver hacia atrás
1 Monsalvo, op. cit.
2 Barrera, op. cit.
Álgebra elemental para el nivel medio superiorviii
Para llevar a cabo el segundo y el tercer pasos se requiere de ciertos conocimientos, 
uno de ellos es el álgebra, pues constituye la base de todos los conocimientos mate-
máticos superiores, que, a su vez, serán necesarios para resolver problemas, de ahí la 
importancia de su aprendizaje.
Por tal motivo es imperiosa la necesidad de que los alumnos con aspiraciones de 
cursar una carrera profesional aprendan esta materia.
El libro está dirigido a profesores de la materia y a alumnos que hayan tenido 
descalabros en estos temas. El propósito de la obra es disminuir los ya mencionados 
índices de reprobación, ya que contiene el mínimo de conocimientos necesarios para 
acreditar la materia de Álgebra en el nivel medio superior, y servirá de base para estu-
dios posteriores más avanzados.
La cuestión es qué se puede hacerpara disminuir este índice de reprobación. Una 
posible respuesta es precisamente este libro.
Si existen tantos libros de álgebra,3 ¿por qué se piensa que éste será diferente? Entre 
las razones se encuentran las siguientes: 
 1. Es bien sabido que uno de los mejores métodos de aprendizaje consiste en 
leer, ubicándose en el tercer nivel de lectura frecuentemente y por lo menos 
en el segundo nivel,4 y también escribir, pero hay que considerar que una de 
las materias más difíciles de leer es Matemáticas. Este libro tiene la inten-
ción de facilitar la lectura, por lo que se utiliza un lenguaje cotidiano, evitando 
los tecnicismos; no obstante, se requiere, por parte del estudiante, un esfuerzo 
consciente para alcanzar el primer nivel de lectura5 (llamado también lectura 
de comprensión) y superarlo.
 2. En este libro se mencionan los errores más comunes, que además son repe-
titivos e inconscientes; al señalarlos explícitamente se pretende traerlos a la 
conciencia y poner énfasis en su corrección para evitarlos en el futuro.
 3. Este texto puede utilizarse como un recurso para el autoaprendizaje, por lo que 
todas las explicaciones se enuncian paso a paso.
 4. También Álgebra elemental para el nivel medio superior puede emplearse r
como libro de texto en el nivel medio superior.
 5. Se partirá de la base de que cualquier estudiante, que tenga en sus manos esta 
obra, tiene el deseo de vivir y la capacidad de aprender para vivir.
Cualquier persona puede aprender álgebra siempre que esté consciente de que esto 
requiere un esfuerzo que implica un mayor nivel de concentración que en la vida común 
(habilidades simbólico-analíticas), esfuerzo que, por otro lado, no es muy grande, pues 
se supone que está dispuesta a realizarlo.
3 Anfossi, Lovaglia, Baldor, Preciado, Leithold, Gobran, etcétera.
4 Kabalen y De Sánchez, op. cit., p. 20.
5 Cfr. Kabalen, p. 7.
ixPresentación
Es de suma importancia que el estudiante esté dispuesto a llevar a cabo las dos fases 
del aprendizaje matemático, a saber: 
• Entender los conceptos claramente, no podrá avanzar si no quedan perfectamen-
te entendidos, de otra manera se sumarían deficiencias nuevas a las deficiencias 
anteriores.
• Hacer ejercicios de repetición hasta que queden aprendidos todos y cada uno de 
los temas; en cada tema se estudian varios conceptos que sumados a los conteni-
dos en temas anteriores comprenden un buen número de conocimientos que los 
estudiantes deben saber de memoria, para lo cual es importante la repetición, ya 
que se estarán manejando, una y otra vez, reglas y procedimientos que mediante 
la práctica quedarán aprehendidos (capturados).
Es recomendable resolver los ejercicios en grupo, pero hay que evitar copiarlos, se
debe entender paso a paso lo que se hace. Por cada hora de clase debe dedicarse por lo 
menos un tiempo igual de estudio en casa y deben realizarse los ejercicios correspon-
dientes (tareas). Si el aprendizaje es autodidacta, entonces deberán hacerse suficientes 
ejercicios. La mejor forma de aprehender es haciendo ejercicios, no menos de 20 de 
cada tema.
En cada nuevo tema, una vez entendidos los conceptos, el primer ejercicio será el 
que requiera el mayor esfuerzo, no porque el ejercicio sea el más difícil, sino preci-
samente porque será el primero y por ende el más tardado, pero también será el más 
importante, los siguientes serán cada vez más fáciles. Los alumnos no deben desespe-
rarse, ya que adquirir este conocimiento lleva tiempo, como todo nuevo aprendizaje. 
Esto es cuestión de actitud, de olvidar todo lo que se dice acerca de las matemáticas, 
lo cual en realidad no es del todo cierto.
Guillermo de Jesús Arzate Cabrera
Capítulo
Preálgebra
1.1 Leyes de los signos
En aritmética la primera operación que se utiliza es la suma e inmediatamente después
la resta; sin embargo, la resta es el inverso aditivo de la suma, en efecto:
5 + (-2) es la suma de 5 más el inverso aditivo de 2, convirtiéndose entonces en
una resta:
5 - 2
Por lo anterior, se afirma que siempre se habla de suma, ya que ésta implica a la
resta.
Un ejemplo de en qué consiste el inverso aditivo, para fines prácticos, es el si-
guiente:
+
-
Si hablamos de un sentido de recorrido, el recorrido de izquierda a derecha, habría
un sentido positivo y el sentido inverso, el de derecha a izquierda, sería el negativo. 
También se puede hablar de sentido de giro, por ejemplo, el giro en el sentido de
las manecillas del reloj sería el positivo y el inverso (contrario a las manecillas) sería
el negativo.
+ -
Álgebra elemental para el nivel medio superior2
Otro ejemplo, del ámbito de la contabilidad, es el del dinero en el banco, que sería 
positivo, y el que se adeuda, el cual sería negativo (inverso aditivo).
De esta manera abordaremos las leyes de los signos.
Leyes de los signos para la suma
 1. Al sumar dos cantidades con el mismo signo se suman sus valores absolutos y 
se conserva el signo.
Ejemplos
a) +5 + 9 = +14 (el signo positivo al inicio de una expresión algebraica se puede
omitir, en este ejemplo, para que fuera más explícito, no se omitió).
b) -6 - 4 = -10 (el signo negativo al inicio de una expresión algebraica no
se puede omitir).
c) + 6
+ 9
+ 15
- 8
- 6
- 14 *
* Con frecuencia al hacer esta operación los alumnos se equivocan y aplican la “ley de los signos de la 
multiplicación” al efectuar la suma, así, colocan el signo + al resultado, lo cual, es incorrecto.
+
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6
+
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-
45 3 2 1 6 5 4 3 2 1
-
1011 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Capítulo 1 Preálgebra 3
2. Al sumar dos cantidades con diferente signo se restan sus valores absolutos y 
el signo resultante es el de la cantidad con mayor valor absoluto.
Ejemplos
Ejemplos
a) +5 - 2 = +3*
b) -6 + 5 = -1
c) +3 - 9 = -6
d ) -5 + 10 = +5*
e) + 7
- 3
+ 4 * 
- 8
+ 15
+ 7 *
* También en estos casos es frecuente equivocarse al obtener el signo, el motivo es el mismo que en los
ejemplos anteriores: los alumnos aplican la ley de los signos de la multiplicación al estar sumando.
+
1 2 3 4 5
-
2 1
+
1 2 3
a) (+5) por (+3) = +15
b) (-7) por (-6) = +42
Leyes de los signos para la multiplicación
1. Al multiplicar dos cantidades con el mismo signo se obtiene signo positivo.
Álgebra elemental para el nivel medio superior4
2. Al multiplicar dos cantidades con signo diferente se obtiene signo negativo.
Ejemplos
Ejemplos
Ejemplos
a) (+9) por (-6) = -54
b) (-5) por (+9) = -45
a) (+15) entre (+3) = +5
b) (-20) entre (-5) = +4
a) (+9) entre (-3) = -3
b) (-25) entre (+5) = -5
Se recomienda que para que recuerdes estas reglas, escribas un resumen como el si-
guiente:
+ por + = +
+ por - = -
- por + = -
- por - = +
Leyes de los signos para la división
Las leyes de los signos para la división son similares a las de la multiplicación.
1. Al dividir dos cantidades con el mismo signo se obtiene signo positivo.
2. Al dividir dos cantidades con signo diferente se obtiene signo negativo.
Capítulo 1 Preálgebra 5
Para que recuerdes estas reglas, puedes hacer un resumen como el que aparece a con-
tinuación:
+ entre + = +
+ entre - = -
- entre + = -
- entre - = +
Práctica 1
Realiza las siguientes operaciones utilizando las leyes de los signos (sin usar calcu-
ladora).
Leyes de los signos para la suma
 1. -5 más -4 =
 2. -8 más -6 =
 3. 5 más 2 =
 4. -2 más -9 =
 5. 7 más -4 =
 6. 425 más -124 =
 7.
1
5 más -
3
5 =
 8. -
2
9 más -
3
8 =
 9. -
2
5 más
5
3 =
10.
3
9 más -
12
3 =
Álgebra elemental para el nivel medio superior6
Leyes de los signos para la multiplicación
 1. -5 por -8 =
 2. 6 por 3 =
 3. -8 por 6 =
 4. 7 por -2 =
 5.
2
5 por -
6
8 =
 6. -
1
9 por -
2
7 =
Leyes de los signos para la división
 1. -9 entre -3 =
 2. 12 entre 2 =
 3. -15 entre 5 =
 4. 18 entre -6 =
 5.
1
3 entre -
2
5 =
 6. -
2
5 entre 
6
8 =
Capítulo 1 Preálgebra 7
1.2 La quinta y la sexta operación 
(elevar a potencia y extraer raíz)
En aritmética se estudiaron la suma, la resta, lamultiplicación y la división, aquí se 
estudiarán dos operaciones más: elevar a potencia y extraer raíz.
Elevar a potencia
Nomenclatura: 53
Lo anterior se lee de la siguiente manera: 5 elevado al cubo o a la tercera potencia, en 
este caso al número 5 se le llama base y al 3 potencia o exponente.
Para elevar a una determinada potencia un número, se multiplica por sí mis-
ma la base hasta completar el número de factores que indica la potencia.
Ejemplo
Ejemplos
53 = 5 * 5 * 5 = 125*
Nota que la base (en este ejemplo, el número 5) se multiplicó por sí misma hasta com-
pletar tres factores (porque la potencia es 3).
* Es común que los alumnos, equivocadamente, multipliquen la base (en este caso, el número 5) por la 
potencia (el número 3). Pero es un error multiplicar la base por la potencia.
El procedimiento correcto para obtener cualquier potencia es el siguiente:
Lo incorrecto es 32 = 3 * 2 = 6.
Lo correcto es 32 = 3 * 3 = 9.
a) 63 = 6 * 6 * 6 = 216
b) 84 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4 096
c) 32 = 3 * 3 = 9
d ) 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32
e) 45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1 024
f ) -33 = 3 * 3 * 3 = -27
g) -24 = 2 * 2 * 2 * 2 = 16
h) -110 = 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 = 1
Álgebra elemental para el nivel medio superior8
Potencias especiales
• Cualquier número real, diferente de cero, elevado a la potencia cero es igual a uno.
En efecto, 60 = 1
• Cualquier número real elevado a la potencia -1 es el inverso multiplicativo del 
número.
Así: 5-1 =
1
51 =
1
5
Práctica 2
Eleva a potencia los números que se indican.
1. 25 =
2. 102 =
3. 43 =
4. -28 =
5. (-2)8 =
6. 3-3 =
7. 1 2500 =
8.
2
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
=
9.
1
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−4
=
Capítulo 1 Preálgebra 9
Práctica 3
Obtén las siguientes potencias.
 1. 80 =
 2. 3-2 =
 3. 5-3 =
 4. 7250 =
 5. 6-1 =
 6. 4-2 =
Hay que recordar que cada operación matemática tiene su operación inversa; 
así, la inversa de la suma es la resta y se le llama inversa aditiva; la inversa de
la multiplicación es la división y se le llama inversa multiplicativa.
• Por extensión, cualquier número real elevado a una potencia negativa es
el inverso multiplicativo del número (elevado a la misma potencia, pero
positiva).
En efecto: 6-3 =
1
63
Extraer raíz
Nomenclatura: 325
En este caso, el número 5 es el índice de la raíz, el signo es el radical y el número l
32 es el radicando o subradical.
La operación extraer raíz es la inversa de la operación elevar a potencia.
Para hacer esta operación se debe encontrar un número que al multiplicarlo por sí 
mismo tantas veces como lo señala el índice de la raíz se obtenga el radicando.
Álgebra elemental para el nivel medio superior10
Ejemplo
325 = 2
ya que 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Es importante observar que al multiplicar el número 2 por sí mismo hasta comple-
tar cinco factores se obtiene 32, por tanto, la raíz quinta de 32 es 2.
Práctica 4
Calcula las siguientes raíces.
 1. 273 =
 2. 812 =
 3. 646 =
 4. 10245 =
 5. 83 =
Si el subradical (radicando) es negativo y el índice de la potencia es par, entonces el 
resultado no es un número real, sino imaginario. Por ejemplo:
-362 = imaginario
No existe ningún número real que multiplicado por sí mismo dé un negativo. Así:
(-6)(-6) = +36
(+6)(+6) = +36
La única manera de que este producto resulte negativo es multiplicando
(+6)(-6) = -36 o (-6)(+6) = -36, pero en ambos casos no se está multiplicando la
base por sí misma, por lo que ninguno de estos dos es la raíz de -36.
Capítulo 1 Preálgebra 11
1.3 Jerarquía de las operaciones
Con frecuencia aparecen operaciones en forma horizontal, las cuales es necesario resol-
ver, como la siguiente:
3 + 5 * 4 , 10 - 8 + 23 * 3 =
Para llevar a cabo este tipo de operaciones es indispensable respetar la jerarquía y se-
guir un orden.
La jerarquía se refiere a qué operación se debe hacer primero y cuál después; los 
pasos son los siguientes:
 1. Se efectúan las operaciones de elevar a potencia y de extraer raíz.
 2. Se hacen las operaciones de multiplicar y dividir.
 3. Se realizan las operaciones de suma y resta.
El orden adecuado para llevar a cabo las operaciones es de izquierda a derecha.
Práctica 5
Extrae la raíz de las siguientes cantidades (no es necesario que utilices calculadora).
 1. 812 =
 2. 325 =
 3. -325 =
 4. 646 =
 5. -273 =
 6. -164 =
 7.
27
8
3
=
Álgebra elemental para el nivel medio superior12
Siguiendo estas indicaciones el ejercicio anterior se resuelve como se explica a 
continuación:
3 + 5 * 4 , 10 - 8 + 23 * 3 =
1er. paso: se efectúan las operaciones de elevar a potencia y de extraer las raíces, de 
izquierda a derecha.
Como 23 = 8, nos queda:
3 + 5 * 4 , 10 - 8 + 8 * 3 =
Observa que sólo se llevó a cabo la operación de elevar a potencia y todo lo demás
quedó igual.
2o. paso: se hacen las multiplicaciones y divisiones, también de izquierda a derecha.
5 * 4 , 10 = 2 y 8 * 3 = 24
Las anteriores son las únicas operaciones que se hicieron y quedaron así:
3 + 2 - 8 + 24 =
3er. paso: se resuelven las sumas y restas también de izquierda a derecha; sin embargo, 
en este último paso se pueden efectuar las sumas y restas en el orden que deseemos, ya 
que se obtiene el mismo resultado (por la propiedad conmutativa de la suma).
3 + 2 - 8 + 24 = 21
Ejemplos
a) 5 + 3 * 8 = R = 29
b) 6 - 8 * 9 = R = -66
c) 5 - 3 * 2 + 3 - 5 * 4 = R = -18
d ) 23 + 32 * 2 , 6 =
e) 52 - 4 * 2 - 273 * 5 =
f ) 32 - 23 * 4 - 62 - 52 =
g) 812 + 62 * 2 - 3 =
h) 625 , 5 + 8 - 23 + 3 =
i) -32 + 8 + 12 , 6 =
j) - 492 + 23 - 4 * 33 =
Capítulo 1 Preálgebra 13
Ejemplo
5 + 3 * 6 = 23
Práctica 6
Realiza las siguientes operaciones considerando la jerarquía de éstas (no es necesario 
que utilices calculadora).
 1. -6 + 4 * 3 =
 2. 6 - 3 - 7 * 2 =
 3. -8 * 3 + 4 * 5 =
 4. -6 * 4 - 8 * 2 + 3 * 2 =
 5. -2 + 4 - 3 * 4 - 8 * 2 + 3 * 6 =
6.
2
5 - 4 +
9
3 x
2
- 5x
3
9 = 
7. -32 * 23 + 17 - 443 =
8. -24 - 6x5 +
12
4 - -81
2 =
1.4 Uso de los signos de agrupación
Los signos de agrupación más comunes son paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }, las 
funciones que desempeñan son tres:
1. Modifican la jerarquía de las operaciones.
Álgebra elemental para el nivel medio superior14
De acuerdo con la jerarquía de las operaciones, en este ejemplo, primero se multi-
plica 3 * 6 y después al resultado se le suman cinco unidades; sin embargo, si encerramos *
entre paréntesis la operación (5 + 3), entonces deberá primero hacerse esta operación 
y el resultado posteriormente se multiplicará por 6:
(5 + 3) * 6 = 48
2. Son operadores que significan que se hace una multiplicación.
Ejemplos
Ejemplos
a) (-5)(3) = -15
b) (5 + 3)6 = 48
c) 8(4 - 2) = 16
a) (6 - 5 + 8 * 2) - (5 - 3 + 9 * 8)
El paréntesis indica que primero deben hacerse las operaciones contenidas en ellos y
después la resta.
b) -32 = -9
En este ejemplo sólo el 3 se eleva a la potencia, pero si la encerramos en un paréntesis 
(-3)2 = +9
se indica que tanto la cantidad como el signo serán elevados a cierta potencia (pues el
paréntesis los está agrupando).
Nota: el desconocimiento de este detalle puede causar equivocaciones al utilizar una calculadora, si se 
eleva un número negativo a una potencia par.
3. Tienen la función de agrupar:
Capítulo 1 Preálgebra 15
1.5 Leyes de los exponentes
Cuando se tiene un número cualquiera elevado a cierta potencia y se desea multiplicar 
por el mismo número elevado a otra potencia, el procedimiento es el siguiente:
35 * 36 =
35 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 y 36 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 
35 * 36 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 311
De esta manera es posible deducir la primera ley de los exponentes:
 1. Al multiplicar un número elevado a una potencia por el mismo número elevado
a otra potencia, se suman los exponentes.
Ejemplos
a) 6(4 + 6) + 2(5 - 6) = R = 58
b) 8 + 2(5 - 6)5 + 4 - (5 - 3) = R = 8
c) -6 + 5(1 - 3)3 + 362 (5 - 7) = R = -58
d ) 6 - 5[2 + (5 - 2)2 - 6] = R = -19
e) -3{2 + 5[8 + 3 - (2 - 1)2] - 5} = R = -126
f ) +4 - (5 - 3)(8 - 2) + (-3)3 + 2 =
Práctica 7Realiza las siguientes operaciones utilizando los signos de agrupación (sin usar calcu-
ladora).
1. -6 - (3 - 7 * 2 + 1)2 + (-6)2 + (8 * 3) : 12 =
2. -2 + 3 - {2 + 4 - (3 - 1)2 + 3 - 2(3 - 2 + 6)} =
3. -33 - {2 - 3(8 - 5 * 3 - 22)2 - 6(4 * 2 - 5 * 3)} =
Álgebra elemental para el nivel medio superior16
Ejemplo
Ejercicio
35 * 36 = 35 + 6 = 311
Nota: la base debe ser la misma, en este caso, la base en ambos factores es 3.
Efectúa las siguientes operaciones utilizando las leyes de los exponentes, como en el
ejemplo.
(53)(56) = 59
 1. (65)(69) =
 2. (32)(35)(34) =
 3. (45)(4-3) =
 4. (910)(9-8) =
 5. (12-6)(12-3) =
Práctica 8
Resuelve las siguientes operaciones, utiliza las leyes de exponentes.
 1. 25 * 27 =
Capítulo 1 Preálgebra 17
Cuando se tiene un número cualquiera elevado a cierta potencia y se quiere dividir en-
tre el mismo número elevado a otra potencia, el procedimiento es el siguiente:
46
44 =
4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4
4 * 4 * 4 * 4 =
4 * 4
1 = 4 * 4 = 4
2
De esta manera deducimos la segunda ley de los exponentes:
 2. Al dividir un número elevado a una potencia entre el mismo número elevado a 
otra potencia, al exponente del numerador se le resta el exponente del denomi-
nador.
46
44 = 4
6 - 4
= 42
3. Si un número elevado a una potencia se eleva a otra potencia, los exponentes se 
multiplican.
(92)3 = 92 * 3 = 96
 2. 53 * 55 =
 3. 93 * 92 =
 4. 64 * 69 =
 5. 85 * 8-3 =
 6. 6-2 * 6-3 =
 7. 4-5 * 42 =
 8. 11-2 * 113 =
Álgebra elemental para el nivel medio superior18
4. Si a un número elevado a una potencia se le extrae una raíz, se divide el expo-
nente del número entre el índice de la raíz.
963 = 9
6
3
= 92
Ejercicios
Eleva a potencia lo siguiente.
 1. (63)6 =
 2. (54)5 =
 3. (26)9 =
 4. (3-2)3 =
 5. (2-3)-4 =
Práctica 9
Eleva a potencia y extrae la raíz en los casos que así lo requieran.
 1.
38
35 =
 2.
65
63 =
 3.
96
96 =
 4. 684 =
Capítulo 1 Preálgebra 19
 5. 865 =
 6. 963 =
 7. 5( )2( )
3
=
 8. 
42
43
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
5
=
 9. 
842
82( )2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
3
=
10. 
632
63
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
2
=
11. 8126 =
Capítulo
Álgebra
A Francisco Viete (1540-1603), político y matemático francés, se le puede considerar 
como el fundador del álgebra moderna.
Definición
El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo
más general posible.1
En efecto, si se tiene una cantidad cualquiera que se representará con x, lo que es-
tamos diciendo es que esa x puede tener cualquier valor: 8, -7, 6 + 5, y, x - 2, z2, etc.
Precisamente por esto es tan general.
Si en álgebra tenemos la expresión 6x, esto significa que se multiplicará 6 por el 
valor de x, pero como no se conoce el valor de x, entonces la expresión queda así: 6x, y
constituye un término algebraico.
2.1 Anatomía de un término
Analicemos el siguiente término:
-5x2y3
Las partes que lo constituyen son las siguientes:
1. Signo, que en este ejemplo es - (negativo).
2. Coeficiente, que en este ejemplo es el número 5.
3. Literales, variables o incógnitas, que en este ejemplo son x yx y.
4. Exponentes o potencias, que en este ejemplo son los números 2 y 3.
1 Para mayor información puedes consultar Baldor, Álgebra, p. 5.
Álgebra elemental para el nivel medio superior22
Este término se expresa como sigue:
-(5)(x2)(y3)
Nos damos cuenta de que se están multiplicando entre sí, por tanto, son factores y 
tenemos entonces que un término puede incluir factores.
Como mencionamos antes, los paréntesis se pueden omitir y lo tendríamos, al tér-
mino, como se señaló al inicio.
Si tenemos un término como
+1x1y1
con objeto de simplificarlo lo más posible se puede escribir así:
x y
ya que
• Cuando una expresión algebraica comienza con signo positivo, se puede omitir 
dicho signo.
• Cuando el coeficiente es la unidad (1), éste se puede omitir.
• Cuando los exponentes consisten en la unidad (1) se pueden omitir.
2.2 Expresiones algebraicas
Una serie horizontal de uno o varios términos constituye una expresión algebraica.
Ejemplo
3x2y2 - 5xz2 + 4w4z3
Ésta es una expresión algebraica con tres términos.
A las expresiones algebraicas con un solo término se les llama monomios.
A las expresiones algebraicas con dos términos se les denomina binomios.
A las expresiones algebraicas con tres términos se les llama trinomios.
Genéricamente, a las expresiones algebraicas con más de un término se les deno-
mina polinomios.
2.3 Términos semejantes
Dos o más términos son semejantes si, y sólo si, sus literales y exponentes son iguales, 
es decir, en los términos semejantes sólo pueden variar los coeficientes y los signos.
Capítulo 2 Álgebra 23
Ejemplos
Ejemplos
-8x3y2 es semejante a 6x3y2, ya que la única diferencia son los signos y los coeficientes.
-4y3 no es semejante a 2x22 2y2 3, ya que x2 sólo aparece en el segundo término.
La suma de 5x2y2 6 + 2x22 2y2 6 sí se puede llevar a cabo.
La suma de 2x22 3y4 + 8x2y2 4 no se puede efectuar, ya que éstos no son términos seme-
jantes, en este caso se queda la expresión algebraica tal como está.
Para hacer una suma algebraica se llevan a cabo los siguientes pasos:
Supongamos que queremos sumar -5x2y2 5 + 7x2y2 5.
a) Se comparan los términos para saber si son semejantes.
Vemos que ambos términos tienen x2 y y5 como literales y exponentes, por tanto, 
son términos semejantes, y se continúa con el segundo paso.
b) Solamente se operan los coeficientes con sus respectivos signos, de acuerdo 
con las leyes de los signos para la suma.
-5x2y5
+7x2y5
+2x2y5 *
El resultado es 2x22 2y2 5. Hay que tener en cuenta que dicho resultado es un término 
semejante con los dos sumandos.
* Algunos de los errores que se cometen con mayor frecuencia en este tipo de operaciones son:
• Al obtener el signo los alumnos aplican las leyes para la multiplicación y obtienen el signo equivo-
cado, para que esto no ocurra, recuerda que estás sumando.
• Sumar los exponentes como si se tratara de una multiplicación y no lo es, porque se trata de una suma.
2.4 Suma algebraica
Tal como mencionamos con anterioridad, el hablar de suma implica a la resta.
La suma algebraica sólo se puede llevar a cabo entre términos semejantes. Dicho de 
otra manera, para sumar dos o más términos es indispensable que éstos sean términos 
semejantes.
Álgebra elemental para el nivel medio superior24
Ejemplo
6x3y-2 + 8xy-3 - 9uv5 - 5x3y-2 + 9uv5 - 15xy-3 + 8xy-3 =
Solución: primero hay que identificar los términos semejantes.
6x3y3 -2 + 8xyyx -3 - 9uv5 - 5x3y3 -2 + 9uv5 - 15xyyx -3 + 8xy-3 =
Después se suman los términos semejantes:
+6x3y 2
-5x3y 2
+x3y 2
+8xy−3
+8xy−3
-15xy−3
+xy−3
-9uv5
+9uv5
0
La operación terminada será ésta:
6x3y-2 + 8xy-3 - 9uv5 - 5x3y2 + 9uv5 - 15xy-3 + 8xy-3 = x3y-2 + xy-3
Ejercicios
Resuelve las siguientes operaciones.
 1. 5x3y2 - 6x3y2 =
 2. -3u2v + 6xu2 - 4u2v =
y
Capítulo 2 Álgebra 25
Se pueden sumar o restar expresiones algebraicas de la siguiente manera:
A la expresión
6x2y2 3 - 4xyz + 2xy22 5z2
se le suma la expresión
2xy22 5z2 - 9x2y2 3 + 8xyz - 6
En este caso, lo primero que hay que hacer es pasar la expresión anterior del len-
guaje normal al lenguaje algebraico:
(6x2y2 3 - 4xyz + 2xy22 5z2) + (2xy22 5z2 - 9x2y2 3 + 8xyz - 6)
De esta manera, con los paréntesis de agrupar, sabemos que primero es necesario
resolver las operaciones contenidas dentro del paréntesis y después, sumar los dos re-
sultados; sin embargo, hay varias literales cuyo valor desconocemos, entonces proce-
deremos como sigue:
Para eliminar el paréntesis, si está precedido por un signo positivo, se elimina el
paréntesis sin hacer nada más.
6x2y2 3 - 4xyz + 2xy22 5z2 + 2xy22 5z2 - 9x2y2 3 + 8xyz - 6 =
Una vez que se eliminaron los paréntesis, se reducen (suman) los términos se-
mejantes.
 3. -2x22 -1y4 + 8y-1 + 3x-1y4 - 8y-1 =
 4. 6m3n-4 - 5m3n4 + 8m3n-4 + 6m3n4 =
Álgebra elemental para el nivel medio superior26
Resultado:
-3x2y2 3 + 4xyz + 4xy5z2 - 6
A la expresión
5x3y-5 - 9uv5+ 4uxy3 - 6
se le resta la expresión
7 + 8uxy3 - 6uv5 + 9x3y-5 + 9
En este ejemplo también hay que pasar del lenguaje normal al lenguaje algebraico
utilizando paréntesis.
(5x3y-5 - 9uv5 + 4uxy3 - 6) - (7 + 8uxy3 - 6uv5 + 9x3y-5 + 9)*
Pero en este ejemplo, el segundo paréntesis está precedido por un signo menos, en 
tal caso se debe cambiar el signo de todos los términos contenidos en él y con esto se 
elimina el paréntesis, para quedar como sigue:
5x3y-5 - 9uv5 + 4uxy3 - 6 - 7 - 8uxy3 + 6uv5 - 9x3y-5 - 9 =
Una vez que se eliminaron los paréntesis, se procede, como en el caso anterior, 
a reducir los términos semejantes.
Resultado:
-4x3y-5 - 3uv5 - 4uxy3 - 22
* Al resolver este tipo de ejercicios, los alumnos cometen algunos errores. Los más frecuentes son:
• Omitir el pasar del lenguaje normal al lenguaje algebraico y por eso no cambian el signo en la se-
gunda expresión, así obtienen un resultado incorrecto.
• Al eliminar el paréntesis precedido por el signo menos sólo cambian el signo del primer término y
olvidan cambiar el signo de los demás, por lo que obtienen un resultado incorrecto.
Ejercicios
Haz lo que se te pide en cada caso.
 1. A la expresión 6x2y2 3 - 4xz2 + 5y + 2 restarle la expresión 6xz2 - 6 + 8y + 6x2y2 3.
Capítulo 2 Álgebra 27
 2. Suma las siguientes expresiones algebraicas.
8ab2 + 5axz - 2xyz22 - 4a2b - 2 más 5ab2 - 8a2b + 5 - 3xyz - 8axz 
menos - 5xyz + 9axz - 7ab2 - 5
3. [3x + 2x22 2 - (x - 3) + x2 + (5x - x2)] =
4. {5x + 7 + (3x - 5) + [-5x - 2 + (3x - 2) + 3x - 2] + 5x} =
Práctica 10
Sumas, restas y reducción de términos semejantes
 1. Resuelve las siguientes sumas:Resuelve las siguientes sumas:
-a + b + 4b - 4c + 6a + 4c - 8b =
-4a + 8b - 6a + 8b - 114b + 100a - a - b =
 2. Efectúa la suma de m + n - p y -m - n + p.
Álgebra elemental para el nivel medio superior28
 3. Resta la expresión -10x3y - 20x2y2 2 + 20y4 a la expresión x3 + 12xy22 3 - 41y.
 4. Resta la expresión -a - b + c - d a la expresiónd a + b + c - d.
 5. Resta -22x22 2 + 21x - 43 + 6x3 a la expresión x3 - 18x + 6x2 - 19.
 6. Resuelve las siguientes operaciones:g p
a) 6m2 - {-[m2 + 6n - (8 - n) - (-3 + m2)]} - (2n + 3) =
b) 4a - (-8a + b) - {- [-8a + (b - a) - (-b + a)]} =
c) (9m + n) - [4m + {-m + (8m - 4n - 10)}] - (n + 14) =
d ) x - [6x + (8 - x)] - [4 - (6x - 12)] =
e) (c + d ) - (m + n) =
Capítulo 2 Álgebra 29
2.5 Multiplicación
2.5.1 Multiplicación de monomio por monomio
Si queremos, por ejemplo, hacer la multiplicación de 5x3y4z2 por -9x4y4 5z3, se procede 
como sigue:
(5x3y4z2)(-9x4y4 5z3) =
1. Se operan los signos (se utilizan las leyes de los signos para la multiplicación).
Más por menos igual a menos:
(5x3y4z2)(-9x4y4 5z3) = -
2. Se operan los coeficientes.
5 * 9 = 45 (5x3y4z2)(-9x4y4 5z3) = -45
3. Se operan las literales (se utilizan las leyes de los exponentes, al multiplicar se
suman los exponentes).
(x3)(x4) = x3+4 = x7 (5x3y4z2)(-9x4y4 5z3) = -45x7
 (y4)(y5) = y4+5 = y9 (5x3y4z2)(-9x4y4 5z3) = -45x7y9
 (z2)(z3) = z2+3 = z5 (5x3y4z2)(-9x4y4 5z3) = -45x7y9z5
La operación completa queda entonces así:
(5x3y4z2)(-9x4y4 5z3) = -45x7y9z5
Ejemplo
Con exponentes negativos:
(6x-3y5z-4)(-3x-2y2 -3z2) = -18x-3 + (-2)y5 + (-3)z-4 + 2
= -18x-3 - 2y2 5 - 3z-4 + 2 = -18x-5y2z-2
La multiplicación de varios términos se lleva a cabo como sigue:
(5x3)(-3x2y2 3)(-2x22 3y2) =
a) Se opera el signo.
+ por - por - = + (5x3)(-3x2y2 3)(-2x22 3y2) = +
Álgebra elemental para el nivel medio superior30
b) Se operan los coeficientes.
5 por 3 por 2 = 30 (5x3)(-3x2y2 3)(-2x22 3y2) = +30
c) Se operan las literales.
(x3)(x2)(x3) = x3+2+3 = x8 (5x3)(-3x2y2 3)(-2x22 3y2) = +30x8
(y3)(y2) = y3+2 = y5 (5x3)(-3x2y2 3)(-2x22 3y2) = +30x8y5
 La operación completa queda entonces así:
(5x3)(-3x2y2 3)(-2x22 3y2) = +30x8y5
(El signo positivo se puede omitir, pero para facilitar la comprensión de todo el pro-
cedimiento, lo conservamos).
Práctica 11
Resuelve las siguientes multiplicaciones.
 1. (5x)(-3xy) =
 2. (2xy22 3)(5x3y2) =
 3. (-3x3y4)(-6x4y4 5) =
 4. (-2x22 -2y2 3)(5x4y4 -1) =
 5. (3x)(-2xy22 2)(-3x3y4) =
 6. (6a2b)(ab3) =
Capítulo 2 Álgebra 31
2.5.2 Multiplicación de monomio por un polinomio
 7. -6x2y2 3(2x22 4y4 ) =
 8. (6x3y2)(-8xy4z)(4x4y4 ) =
 9. 4a2(-b2) - (4a2)(-b2) =
Práctica 12
Obtén el resultado de las siguientes multiplicaciones.
 1. (5x2y2 3)(2x22 3y - 5x4y4 2) =
Ejemplo
(3x2 - 6x3y4)(-2x22 3)
Se multiplica el monomio (-2x22 3 en este caso) por cada uno de los términos del polino-
mio y se suman los productos.
(-2x22 3)(3x2) = -6x5
(-2x22 3)(-6x3y4) = +12x22 6y6 4
-6x5 + 12x22 6y6 4
La operación completa queda como sigue:
(3x2 - 6x3y4)(-2x22 3) = -6x5 + 12x22 6y6 4 *
* Algunos alumnos al llegar a esta expresión suman estos dos términos y olvidan que sólo se pueden 
sumar términos semejantes.
Álgebra elemental para el nivel medio superior32
2.5.3 Multiplicación de polinomio por polinomio
 2. (2a4b5 + 4ab4z)(2a3bz2) =
 3. (-6x3y-3z2)(5x2y2 2z-2 + 3xy5z4) =
4. (4x3 - 6xy-4)(-2x22 -1y-2) =
 5. (5a-5b3)(-4a3b-2) =
Ejemplo
(3x4y4 - 5x3y)(2x22 3 + 4x2) =
Se multiplica cada término del primer paréntesis por cada término del segundo y se
suman los productos.
(3x4y4 )(2x22 3) = 6x7y
(-5x3y)(2x22 3) = -10x6y6
(3x4y4 )(4x2) = 12x22 6y6
(-5x3y)(4x2) = -20x5y
6x7y - 10x6y6 + 12x22 6y6 - 20x5y = 6x7y + 2x22 6y6 - 20x5y
Otra forma de hacer la operación es la siguiente:
(3x4 y - 5x3y)
(2x3 + 4x2 )
6x7y -10x6y
+12x6y - 20x5y
6x7y + 2x6y - 20x5y
Si se observa, es muy similar a las multiplicaciones aritméticas.
Capítulo 2 Álgebra 33
Ejercicios
Resuelve las siguientes multiplicaciones.
 1. (5x4 - 3x3)(2x22 3 + 5x2) =
 2. (3x3y2 - 5x2y2 )(2x22 2y2 2 + 3xy) =
 3. (x5 + 2x22 4 - 3x3)(x3 - 2x22 2) =
 4. (2a4b + 3a3b - 4a2b + 2ab)(-5a2b + 3ab) =
 5. (2x22 2 + 3y)3 =
Álgebra elemental para el nivel medio superior34
Práctica 13
Sumas y multiplicaciones
I. Resuelve las siguientes multiplicaciones.
 1. (4x2 - 6)(6x2 - 10) =
 2. (x + 2)(8x2 - 10x + 6) =
 3. -12(2x22 + 3)(x - 2) =
 4. (3x + 1)(x + 4) - (x + 2)2 =
 5. (x + 2)(x - 3) - (x + 2)(x - 3) =
 6. (x - 3)3 =
Capítulo 2 Álgebra 35
II. Obtén el resultado de las siguientes multiplicaciones.
 1. 4(x - 1) + 2(x + 3)
 2. 10(4x + 6) - 14(4x + 6)
 3. (4x2 + x + 2) + (x2 - 6x + 10)
 4. (8x2 + 2x22 + 10) - (2x22 2 - 9x + 6)
 5. (2x22 3 + 6x2 - 4x + 7) - (9x2 + 2x22 - 8)
 6. 8(x2 - x + 8) - 10(x2 - 4x + 2)
 7. 2(4 - 10t) + t 2(t - 1) - (4t 4 - 2)
Álgebra elemental para el nivel medio superior36
 8. 10(3t - 4) - (t 2 + 8) - 4t(t - 1)
 9. 4(2x22 2 + y2) - x(y + 6x) + 2y(x + 4y)
10. 4 - [3 + 8(s - 6)]
11. 2{3[6(x2 + 4) - 4(x2 - 6)]}
12. 8{2(t + 10) - t[1 - (t + 1)]}
13. -6{8x(x + 2) - 4[x2 - (3 - x)]}
14. -{-4[2a + 9b - 1] + 4[a - 4b] - a[8(b - 3)]}
Capítulo 2 Álgebra 37
2.6 División
2.6.1 División de monomio entre monomio
Para dividir monomio entre monomio se procede de la siguiente manera:
Si queremos, por ejemplo, dividir 25x3y6z5 entre -5x2y2 3z3, hacemos esto:
 1. Se operan los signos (se utilizan las leyes de los signos para la división).
Más entre menos es igual a menos:
+
-
= -
 2. Se operan los coeficientes.
25
-5 = -5
3. Se operan las literales (se utilizan las leyes de los exponentes, al dividir se res-
tan los exponentes).
x3
x2 = x
3-2
= x
z5
z3 = z
5-3
= z2
La operación completa queda como sigue:
25x3y6z5
-5x2y3z3 = -5xy
3z2
Ejemplo
Con exponentes negativos:
12x−5y8z−6
-4x−3y−4z−2 = -3x
-5 - (-3)y8 - (-4)z-6 - (-2) = -3x-5 + 3y8 + 4z-6 + 2 = -3x-2y2 12z-4
Nota: el error que con frecuencia cometen los estudiantes es no utilizar el paréntesis después del signo 
negativo, y cuando operan los exponentes no cambian el signo al restar.
Álgebra elemental para el nivel medio superior38
Práctica 14
Obtén el resultado de las siguientes divisiones.
 1.
-9a4b8c5
3a2b3c3 =
 2.
8x6y9z5
4x4y3z2 =
 3.
45m−6n5
-5m−2n−3 =
 4.
-15a5b−6x4
-3a−2b5x−3 =
 5.
25x5y−4z−3
5x5y4z3 =
Capítulo 2 Álgebra 39
2.6.2 División depolinomio entre monomio
Para hacer una división de polinomio entre monomio, el procedimiento es similar al
que se sigue en aritmética.
Aritmética Álgebra 
5 + 6
2 =
5
2 +
6
2 =
11
2
3x3 + 6x5
3x2 =
3x3
3x2 +
6x5
3x2 = x + 2x22
3
Tal como se observa, se divide cada uno de los términos del numerador entre el deno-
minador y se suman (o restan, según el signo) los cocientes.
Ejercicios
Resuelve las siguientes divisiones.
 1.
15x5y4z8 -18x6y5z6
3x2y3z4 =
 2.
33x8y5z9 +121x−2y6z9
11x4y2z5 =
 3.
66a5b6c9 - 99a−5b−2c3
33a−2b5c−1 =
Álgebra elemental para el nivel medio superior40
Práctica 15
Resuelve las siguientes divisiones.
 1. (6x2y2 3 - 10a2x2 4) , (-9x2)
 2. (6a3 - 10ab2 - 12a2b3) , (-4a)
 3. (3x3 - 4x2 + 2x22 ) , x
 4. (4x8 - 10x6 - 5x4) , 2x2 3
 5. (12m3 - 32m2n + 36mn2) , (-4m)
 6. (81a8b8 - 36a6b6 - 27a2b3) , 9a2b3
 7. (25x4 - 35x3 - 50x2 + 15x) , (-5x)
 8. (16m9n2 - 20m7n4 - 40m5n6 + 24m3n8) , 2m2
Capítulo 2 Álgebra 41
2.6.3 División de polinomio entre polinomio
Lo primero que hay que señalar es que la división de un monomio entre un polino-
mio se hace siguiendo el mismo procedimiento que al dividir un polinomio entre otro 
polinomio.*
* Es importante mencionar que muchos estudiantes tratan de hacer la división de monomio entre poli-
nomio siguiendo el mismo procedimiento que en la división de polinomio entre monomio, lo cual es
un error.
 9. (12am - 3am + 2 + 6am + 4) , (-6a3)
10. (ambn + am - 1bn + 2 - am - 2bn + 4) , a2b3
Ejemplo
Divide 3x2 + 2x22 3 + 5 - 2x22 entrex -1 + x
a) Se ordenan los términos de mayor a menor potencia tanto en el dividendo como en 
el divisor.
x -1 2x3 + 3x2 - 2x + 5
Cuando hablamos de ordenar esto implica dejar espacios si se salta un número al
disminuir los exponentes. Por ejemplo:
5x4 + 6x2 + 3
Se deben dejar huecos, así:
5x4 +6x2 +3
Como se observa, se deja un espacio para un término en x3 y otro para un término
en x.
Álgebra elemental para el nivel medio superior42
b) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el 
resultado se coloca en la parte superior del dividendo.
x -1 2x3 + 3x2 - 2x + 5
2x2
c) Se multiplica el cociente (aún incompleto) por el divisor y se le cambia el signo 
para restarlo al dividendo, los términos resultantes se colocan debajo del dividendo, 
de manera similar a como se hace en aritmética.
x -1 2x3 + 3x2 - 2x + 5
2x3 +- 2x2
2x2
d ) Se suman los términos semejantes, en forma vertical.
x -1 2x3 + 3x2 - 2x + 5
-2x3 + 2x2
0 + 5x2 - 2x + 5
2x2
e) Se repite el procedimiento desde el paso 2 hasta el 4, se divide el primer término de 
la expresión obtenida entre el primer término del divisor, para obtener otro término 
del cociente.
x -1 2x3 + 3x2 - 2x + 5
-2x3 + 2x2
0 + 5x2 - 2x + 5
2x2 + 5x
f ) Se multiplica el término así obtenido por el dividendo y se le cambia el signo para 
la resta.
x -1 2x3 + 3x2 - 2x + 5
-2x3 + 2x2
0 + 5x2 - 2x + 5
- 5x2 + 5x
2x2 + 5x
Capítulo 2 Álgebra 43
g) Se suman los términos semejantes, en forma vertical.
x -1 2x3 + 3x2 - 2x + 5
-2x3 + 2x2
0 + 5x2 - 2x + 5
- 5x2 + 5x
0 + 3x + 5
2x2 + 5x
h) Se repite el procedimiento desde el paso 2 hasta el 4, se divide el primer término de 
la expresión obtenida entre el primer término del divisor, para obtener otro término 
del cociente.
x -1 2x3 + 3x2 - 2x + 5
-2x3 + 2x2
0 + 5x2 - 2x + 5
- 5x2 + 5x
0 + 3x + 5
2x2 + 5x + 3
i) Se multiplica el término así obtenido por el dividendo y se le cambia el signo para 
la resta.
x -1 2x3 + 3x2 - 2x + 5
-2x3 + 2x2
0 + 5x2 - 2x + 5
- 5x2 + 5x
0 + 3x + 5
- 3x + 3
2x2 + 5x + 3
j) Se suman los términos semejantes, en forma vertical.
x -1 2x3 + 3x2 - 2x + 5
-2x3 + 2x2
0 + 5x2 - 2x + 5
- 5x2 + 5x
0 + 3x + 5
3x +- 3
2x2 + 5x + 3
0 + 8
Álgebra elemental para el nivel medio superior44
El resultado de la división (cociente) es 2x22 2 + 5x + 3.
El residuo es 8.
Para comprobar la división se multiplica el dividendo por el cociente y se le suma 
el residuo.
(2x2 + 5x + 3)(x -1)+ 8 =
2x2 + 5x + 3
x - 1
2x3 + 5x2 + 3x
- 2x2 - 5x - 3
2x3 + 3x2 - 2x - 3
2x3 + 3x2 - 2x - 3+ 8 = 2x3 + 3x2 - 2x + 5
Ejercicios
Realiza lo que se te pide.
 1. 5x3 - 2x22 2 + 4x - 3 entre x + 1
 2. 6x4 entre x + 2
 3. 2x22 5 + 4x3 + 3x - 2 entre x + 5
Capítulo 2 Álgebra 45
 4. 5x4 + 8x2 + 3 entre x2 + 2x22 + 1
 5. 3x5 entre x2 - 2x22 + 4
Práctica 16
División de polinomio entre polinomio
Resuelve las siguientes operaciones.
 1.
m2 - 22m + 36
m -12
 2.
12x2 - xy - 4y2
y + 2x =
Álgebra elemental para el nivel medio superior46
 3.
-30x2 - 4y2 +11xy
3y - 3x =
 4.
35x2 -15 +15x
7x - 5 =
 5.
62n2 - 54m2 + 24mn
8n - 9m =
 6.
4am4 - 3am - 2a
4am + 5a =
 7.
24a3 + 38ab2 - 55a2b - 5b3
4a - 5b =
Capítulo 2 Álgebra 47
 8.
5a4 - 6a2 - 2a -1
a2 + a +1 =
 9.
20x5 +12x2 -10x
x2 - 2x + 6 =
10.
3a5 + b8
3a + b =
11. 
7x5 -14y5
3x - 3y
2.7 Potencias
Con base en la definición de potencia es posible elevar expresiones algebraicas a cual-
quier potencia.
2.7.1 Elevar a potencia un monomio
(-3x3y4z2)3 por definición es = (-3x3y4z2)(-3x3y4z2)(-3x3y4z2) = -27x9y9 12z6
Álgebra elemental para el nivel medio superior48
Sin embargo, se puede deducir el procedimiento para elevar a cierta potencia un mono-
mio sin necesidad de multiplicar el monomio por sí mismo; en efecto, se procede como
sigue:
1. Se opera el signo (utilizando las leyes de los signos para la multiplicación).
- por - por - = - (-3x3y4z2)3 = -
 2. Se opera el coeficiente.
3 por 3 por 3 = 27 (-3x3y4z2)3 = -27
 3. Se operan las literales utilizando las leyes de los exponentes (se multiplican los
exponentes).
(x3)3 = x3 * 3 = x9
(y4)3 = y4 * 3 = y12
(z2)3 = z2 * 3 = z6
La operación completa queda así:
(-3x3y4z2)3 = -27x9y9 12z6
Ejemplo
Con exponentes negativos:
(-5x-3y5z-4)4 = +625x(-3)(4)y(5)(4)z(-4)(4) = 625x-12y2 20z-16
Ejercicios
Eleva a potencia los siguientes monomios.
 1. (3x8y4z3)2 =
 2. (-2x22 9y9 -3z4)3 =
Capítulo 2 Álgebra 49
 3. (a-6b4c-1)5 =
 4. (4x5y-3z2)-2 =
 5. (8m2n4l -3)2 =
Práctica 17
Efectúa las siguientes operaciones.
 1.
36a6b6
46a6b3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
=
 2.
28a6b6
14a10b8
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
8
=
 3.
12a2b5c3
6a0b2c3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3 6a4bc
8a6bc4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
=
Álgebra elemental para el nivel medio superior50
2.7.2 Elevar a potencia un polinomio
Para elevar a cierta potencia un polinomio se aplica la definición de potencia.
 4.
16a2b3
6c2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2 6a2c
4b2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
=
 5.
15a2
36b3c
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3 28b8c
20a2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4
 6. 9a−2b
2
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
81−
1
2 a−1b
2
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
=
Ejemplo
(3x2 - 5y3)2 = (3x2 - 5y3)(3x2 - 5y3) = 9x4 - 30x2y2 3 + 25y6
En el capítulo siguiente (Productos notables y factorización) se mostrarán algu-
nos procedimientos para efectuar estas potencias sin necesidad de hacer multiplica-
ciones sucesivas.
2.8 Raíces
A partir de la definición de raíz podemos extraer raíces de expresiones algebraicas.
Capítulo 2 Álgebra 51
Raíz de un monomio
El procedimiento para extraer la raíz de un monomio se explica a continuación.
Ejemplos
-27x3y6z93 =
a) Se opera el signo (leyes de los signos para la multiplicación).
Se busca el signo que multiplicado por sí mismo hasta completar tres factores (raíz 
cúbica) dé negativo.
(-)(-)(-) = -
Por tanto, el signo de la raíz es negativo.
b) Se opera el coeficiente.
Encontrar un número tal que multiplicado por sí mismo hasta completar tres facto-
res dé 27 (es raíz cúbica).
(3)(3)(3) = 27
Por tanto, la raíz cúbica de 27 es 3.
-27x3y6z93 = -3
c) Se operan las literales (se utilizan las leyes de los exponentes: al extraer raíz se 
divide el exponente de cada literal entre el índice de la raíz).
x33 = x
3
3
= x
y63 = y
6
3
= y2
z93 = z
9
3
= z3
Entonces la operación completa queda así:
−27x3y6z93 = -3xy2z3
Álgebra elemental para el nivel medio superior52
Práctica 18
Obtén la raíz de los siguientes monomios.
 1. 16a8b12c164
 2. x6y12z186 =
 3. -32u5v15w105
 4. 81x2y5z84 =5. a−4b3c−105 =
Capítulo
Productos notables
y factorización
3.1 Productos notables
En el capítulo anterior presentamos el álgebra propiamente dicha, en este capítulo ana-
lizaremos algunas operaciones algebraicas que ya saben hacer, pero que pueden resol-
ver de manera más rápida, a continuación mostraremos algunos de esos casos.
3.1.1 Binomio al cuadrado
La operación (a + b)2 es un binomio elevado al cuadrado, de acuerdo con lo estudiado 
en los capítulos anteriores. Así:
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Esta operación, bastante abstracta, se puede imaginar de manera más concreta si la
utilizamos para calcular superficies, por ejemplo, para obtener el área de un cuadrado
de lado a + b, de la siguiente manera:
Fuente: Baldor, Álgebra.
a + b
a + b a
a
a
b a2
b2
ab
ab
= + + + =a2 ab a
b
b
b
ab b2
Analizando esta operación es posible deducir la regla para elevar un binomio al
cuadrado utilizando un camino más corto:
Un binomio al cuadrado es igual al primer término al cuadrado (a2) más el doble
producto del primer término por el segundo (+2ab) más el segundo al cuadrado (b2).
Álgebra elemental para el nivel medio superior54
Ejemplo
(3x - 2y2)2 = (3x)2 + 2(3x)(-2y2) + (-2y2)2 = 9x2 - 12xy22 2 + 4y4
* El error que los alumnos cometen en este tipo de ejercicios con frecuencia consiste en omitir el tér-
mino que contiene el doble producto, es decir, hacen lo siguiente:
(3x - 2y2)2 = (3x)2 + (-2y2)2 = 9x2 + 4y4
Práctica 19
Eleva los siguientes binomios al cuadrado.
 1. (2x22 3y + x4y4 2)2 =
 2. (4a3b2 - 5ab)2 =
 3. (9mn3 + 4m2n2)2 = 
 4. (3x2y2 -2 - 4x-1y3)2 = 
 5. (4m3y4 + 3m4y4 3)2 =
 6. 13 x
3y2 − 23 xy
−2⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
=
Capítulo 3 Productos notables y factorización 55
3.1.2 Binomio al cubo
La operación (a + b)3 es un binomio elevado al cubo. Si hacemos esta operación si-
guiendo el procedimiento ya conocido obtendremos:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
En este caso, la operación también puede imaginarse de manera más concreta si
consideramos que representa el volumen de un cubo de lado a + b, como se observa
en la siguiente figura.
(a + b)3a + b
+ +
a
a
a
a3 a
a
b
a2b a
a
b
a2b a
a
b
a2b
+
b
b
a
ab2
b
a
ab2
b
a
ab2
b
b
b3
3ab2
3a2b
b3
a3
Deducimos entonces lo siguiente: 
Un binomio al cubo es igual al primer término al cubo (a3) más el triple producto del 
primer término al cuadrado por el segundo (3a2b), más el triple producto del primer 
término por el segundo al cuadrado (3ab2) más el segundo término al cubo (b3).
Álgebra elemental para el nivel medio superior56
Ejemplo
(3x2 - 2xy22 3)3 =
(3x2)3 + 3(3x2)2(-2xy22 3) + 3(3x2)(-2xy22 3)2 + (-2xy22 3)3 =
27x6 + 3(9x4)(-2xy22 3) + 3(3x2)(4x2y2 6) - (8x3y9) =
27x6 - 54x5y3 + 36x4y4 6 - 8x3y9
Práctica 20
Eleva los siguientes binomios al cubo.
 1. (4x3 + xy2)3 =
 2. (2a2b - 3ab3)3 =
 3. (5m - 6m2n3)3 =
 4. (x-1 + 3xy2)3 =
Capítulo 3 Productos notables y factorización 57
 5. (3x3y2 - 4x2y2 6)3 =
 6. (a - 4b-1)3 =
 7. 6c2 - 15 b
3⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
=
 8. (-4a4b2 + 3ab3)3 =
 9. (4x2 - x3)3 =
10. (8xy2z3 - 4x2y2 3z4)3 =
Álgebra elemental para el nivel medio superior58
3.1.3 Binomios conjugados
La operación (a + b)(a - b) es la multiplicación de dos binomios conjugados, como se 
observa, la única diferencia entre ambos binomios es el signo, de ahí su nombre.
Haciendo esta operación según lo aprendido en capítulos anteriores obtenemos:
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Por tanto, deducimos lo siguiente:
El producto de dos binomios conjugados es igual al primer término al cuadrado menos el 
segundo término al cuadrado, es decir, una diferencia de cuadrados.
Ejemplo
(3x3y2 + 5x6yz6 3)(3x3y2 - 5x6yz6 3) = (3x3y2)2 - (5x6yz6 3)2 = 9x6y6 4 - 25x12y2 2z6
Práctica 21
Resuelve los siguientes binomios conjugados.
 1. (5xy3 + 8x3y2)(5xy3 - 8x3y2) =
 2. (3a5c2 - 5a3bc3)(3a5c2 + 5a3bc3) =
 3. (7m3n6 - 4m8n2)(7m3n6 + 4m8n2) =
Capítulo 3 Productos notables y factorización 59
3.1.4 Binomios con un término común
La operación (x + 6)(x - 7) es la multiplicación de dos binomios con un término común, 
el cual, como se observa, es la x. De acuerdo con los procedimientos estudiados con 
anterioridad, el resultado de la operación es el siguiente:
(x + 6)(x - 7) = x2 + (6 - 7)x + (6)(-7) = x2 - x - 42
Por tanto, deducimos lo siguiente:
El producto de dos binomios con un término común es igual al término común al cua-
drado (x2) más la suma algebraica de los términos no comunes multiplicada por el tér-
mino común [(6 - 7)x], más el producto de los términos no comunes (6)(-7).
Ejemplo
(2x22 - 5)(2x22 + 7) = (2x22 )2 + (-5 + 7)(2x22 ) + (-5)(7) = 4x2 + 4x - 35
Práctica 22
Resuelve los siguientes binomios con un término común.
 1. (x - 5)(x + 7) =
 4. (9t 3v3 + 6t 5v4)(9t 3v3 - 6t 5v4) =
 5. (7u5v4 - 5u4v7)(7u5v4 + 5u4v7) =
Álgebra elemental para el nivel medio superior60
3.2 Factorización
La factorización es la operación inversa de los productos notables y consiste en que 
al tener un polinomio se deben encontrar factores tales que multiplicados se obtenga el
polinomio original.
 2. (x + 3)(x - 7) =
 3. (x - 9)(x + 3) =
 4. (2x22 + 3)(2x22 + 8) =
 5. (3x2 - 7)(3x2 + 2) =
Ejemplo
Según se observó en el estudio de los productos notables:
(x + 5)(x - 9) = x2 - 4x - 45
Ahora la operación será al revés:
x2 - 4x - 45 = (x + 5)(x - 9)
polinomio factores
Capítulo 3 Productos notables y factorización 61
Enseguida analizaremos los casos más comunes:
3.2.1 Factor común
El factor común es el máximo común divisor de todos y cada uno de los términos de
una expresión.
Ejemplo
En la expresión 6x3y2 + 18x2y2 6 - 24x6y6 3 + 12x22 4yz4 3 el máximo común divisor es 6x2y2 , ya 
que si se dividen entre éste todos los términos de la expresión se obtiene un resultado 
exacto:
6x3y2
6x2y = xy
18x2y6
6x2y = 3y
5
-24x6y3
6x2y = -4x
4y4 2
12x4yz3
6x2y = 2x22
2z3
Para obtener el máximo común divisor o factor común se hace lo siguiente:
 1. Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes.
Se procede como en aritmética.
6 18 24 12
3 9 12 6 2
1 3 4 2 3
 3 * 2 = 6
 2. Se obtiene el factor común o máximo común divisor de las literales. El factor 
común incluye a las literales que hay en todos los términos de la expresión al 
mismo tiempo, en el ejemplo serían la x y lax y, la letra z no se incluye, ya que 
sólo aparece en el último término de la expresión.
Álgebra elemental para el nivel medio superior62
El exponente que le corresponde a cada una de las literales en el factor común es el 
menor de los que tiene cada una de ellas en la expresión, es decir:
El menor exponente de la x en la expresión es 2.x
El menor exponente de la y en la expresión es 1.
Por tanto, las literales y sus respectivos exponentes del factor común son
x2 y y1
el exponente 1 se puede omitir y queda:
x2y2
Uniendo el coeficiente y las literales se obtiene el factor común o máximo común 
divisor:
6x2y2
Una vez que se ha obtenido el factor común, para factorizar, se escribe éste e inme-
diatamente después se abre un paréntesis:
6x2y2 (
Para obtener los términos que van dentro del paréntesis se divide cada uno de los
términos de la expresión original entre el factor común:
6x3y2
6x2y = xy
6x2y2 (xy
18x2y6
6x2y = 3y
5
6x2y2 (xy + 3y5
−24x6y3
6x2y = -4x
4y4 2
6x2y2 (xy + 3y5 - 4x4y4 2
12x4yz3
6x2y = 2x22
2z3
6x2y2 (xy + 3y5 - 4x4y4 2 + 2x22 2z3)
De esta manera se obtiene la factorización de la expresión original.
Capítulo 3 Productos notables y factorización 63
Práctica 23
Factoriza utilizando el método de factor común.
 1. 2x22 9y9 4z + 6xy2z5 - 8xy3 + 10x6y6 3z =
 2. 8a5b4c6 - 4a3bc5 =
 3. 6m3n2 - 3m8n3 + 2m6n5 =
 4. 5xy5 - 10x5y3 + 15x3y2 - 35x6y6 6 + 5x6y6 9 =
 5. -9xyz3 - 3x3y6z3 =
Álgebra elemental para el nivel medio superior64
3.2.2 Trinomio cuadrado perfecto
Ésta es la operación inversa correspondiente al binomio al cuadrado. En el capítulo 
anterior establecimos que
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
por ser la operacióninversa, ahora tenemos
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
En esta situación tenemos un trinomio a partir del cual buscaremos factores que al 
multiplicarse den como resultado el polinomio original. Una aclaración importante es 
que no todos los trinomios se pueden factorizar por este método. A los trinomios que 
pueden ser factorizados por este método se les llama trinomios cuadrados perfectos.
Para que un trinomio sea un trinomio cuadrado perfecto debe cumplir ciertas con-
diciones:
1. Que dos de sus tres términos estén elevados al cuadrado. Para saber si un tér-
mino está elevado al cuadrado se le extrae la raíz cuadrada y si ésta es exacta 
entonces sí está elevado al cuadrado. Por ejemplo:
36x4y4 6 sí está elevado al cuadrado, ya que su raíz cuadrada es 6x2y2 3
2. El término restante debe ser el doble producto de las raíces de los dos términos 
señalados en el inciso anterior.
Ejemplo
Averigua si el siguiente trinomio es un trinomio cuadrado perfecto.
9a2 - 30ab2 + 25b4
Veamos: 
9a22 = 3a Por tanto, sí está elevado al cuadrado.
25b42 = 5b2 Por tanto, sí está elevado al cuadrado.
Con esto se cumple la primera condición, falta ver si se cumple la segunda.
Si (2) ( 9a22 )( 25b42 ) es igual a 30 ab2, entonces se cumple la segunda condición 
y sí sería un trinomio cuadrado perfecto.
Como 2(3a)(5b2) = 30ab2, entonces sí es un trinomio cuadrado perfecto.
Una vez que se sabe qué es un trinomio cuadrado perfecto su factorización es muy 
sencilla:
9a2 - 30ab2 +25b4 Su factorización es igual a (3a - 5b2)2.
Capítulo 3 Productos notables y factorización 65
Hay que observar que la factorización consiste en las dos raíces de los términos 
elevados al cuadrado, el signo corresponde al del término que es el doble producto de 
las raíces y la suma algebraica de ambos elevada al cuadrado.
Esto nos muestra que una vez que se ha demostrado que un trinomio es cuadrado 
perfecto, su factorización es muy sencilla.
Ejercicios
 1. 25x2 + 80xy2 + 64y4 =
 2. 49a4 - 42a2b3 + 36b6 =
3. 16x2 + 49y4 - 56xy2 =
 4. 64x2 + 4y2z4 + 32xyz22 2 =
Álgebra elemental para el nivel medio superior66
Práctica 24
Averigua si los siguientes trinomios son cuadrados perfectos; en caso afirmativo, fac-
torizarlos.
 1. 4x2 - 12xy22 + 9y2 =
 2. 5x2 + 30xy2 + 9y4 =
 3. 49m4 - 70m2n3 + 25n6 =
 4. u2 - 8uv2 + 16v4 =
 5. 16x2y2 4 - 40x3y2z + 25x4z2 =
 6. 25x2 + 80xy2 + 64y4 =
 7. 45a4 - 42a2b3 + 36b6 =
Capítulo 3 Productos notables y factorización 67
3.2.3 Diferencia de cuadrados
Es la operación inversa correspondiente al producto de dos binomios conjugados. En el
capítulo anterior establecimos que
(a + b)(a - b) = a2 - b2
Ahora tenemos:
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
Por lo anterior, la factorización de una diferencia de cuadrados es igual al producto
de dos binomios conjugados, constituidos por la raíz de cada uno de los cuadrados.
Práctica 25
Resuelve lo que se te pide.
 1. 4x6 - 9y4 =
 2. 16x4y4 2 - 25x6y6 8 =
 3. 36a8b4 - 49x4b6 =
 4. 16m8n6 - 9v8w6 =
 5. 100m6n8 - 81x8y12 =
Ejemplos
36x2 - 25y2 = (6x + 5y)(6x - 5y)
9a4b2 - 16m6n4 = (3a2b - 4m3n2)(3a2b + 4m3n2)
Álgebra elemental para el nivel medio superior68
3.2.4 Trinomio de la forma x2 + bx + c
Es la operación inversa correspondiente al producto de dos binomios con un término
común. En el capítulo anterior establecimos que
(x + 6)(x - 9) = x2 - 3x - 54
Ahora tenemos:
x2 - 3x - 54 = (x + 6)(x - 9)
Por lo anterior, para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c:
 1. Se abren dos paréntesis que contendrán dos términos cada uno.
 2. Ambos paréntesis iniciarán con la raíz cuadrada del primer término de la expre-
sión que se factorizará (la raíz de x2 = x).
 3. Los segundos términos se deben obtener descomponiendo en factores el térmi-
no independiente (el que no tiene literales) de la expresión que se factorizará
(54) y buscando, entre ellos, una pareja de valores cuya suma algebraica dé el
coeficiente del segundo término (-3) y cuya multiplicación dé el término inde-
pendiente (-54).
 4. Dicha pareja de valores constituye los segundos términos de los dos paréntesis.
Ejemplos
Factoriza la expresión x2 - x - 6. 
a) Se abren dos paréntesis.
x2 - x - 6 = ( )( )
b) Ambos paréntesis comenzarán con la raíz cuadrada del primer término de la expre-
sión que se factorizará.
x22 = x
 x2 - x - 6 = (x )(x )
c) Los segundos términos se deben obtener descomponiendo en factores el término
independiente (el que no tiene literales) de la expresión que se factorizará (6) y
buscando, entre ellos, una pareja de valores cuya suma algebraica dé el coeficiente
del segundo término (-1) y cuya multiplicación dé el término independiente (-6). 
Capítulo 3 Productos notables y factorización 69
Descomponiendo en factores el 6:
6
3 2
1 3
Los factores son 3 y 2, sin embargo, pueden ser negativos o positivos, por tanto, 
tenemos las siguientes posibilidades:
Sumando y multiplicando 
a) +2 + 3 = +5 y (+2)(+3) = +6
b) +2 - 3 = -1 y (+2)(-3) = -6
c) -2 + 3 = 1 y (-2)(+3) = -6
d ) -2 - 3 = -5 y (-2)(-3) = +6
De estas cuatro posibilidades la correcta es la que da -1 en la suma, ya que éste
es el coeficiente de la x, y -6 en la multiplicación, porque éste es el término indepen-
diente, por tanto, la opción b) es la correcta. Estos valores se colocan en los segundos
términos de los paréntesis:
x2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)
Factorizar la expresión x2 - 6x - 27.
 1. x2 - 6x - 27 = ( )( )
 2. x2 - 6x - 27 = (x )(x x )x
 3. 27
9 3
3 3
1 3
 3 * 3 = 9 y 3
+9 + 3 = +12 (+9)(+3) = 27
+9 - 3 = +6 (+9)(-3) = -27
-9 + 3 = -6 (-9)(+3) = -27 
 4. x2 - 6x - 27 = (x - 9)(x + 3)
Álgebra elemental para el nivel medio superior70
Ejercicios
Factoriza las siguientes expresiones.
 1. x2 - 5x - 14 =
 2. x2 - 10x + 24 =
 3. x2 + 4x + 3 =
 4. x2 + 3x - 10 =
 5. x2 + x - 12 =
 6. x2 + 5x - 6 =
Capítulo 3 Productos notables y factorización 71
Práctica 26
Factoriza los siguientes trinomios.
 1. x2 + x - 6 =
 2. x2 - 2x22 - 63 =
 3. x2 - 11x + 30 =
 4. x2 - 3x - 10 =
 5. x2 + 10x + 16 =
Álgebra elemental para el nivel medio superior72
Caso especial
Se presenta un caso especial en el cual se dan ciertas características que permiten que 
su solución sea muy sencilla.
Ejemplo
9x2 + 30x + 16
Aparentemente, este ejemplo es similar a un caso que se estudiará más adelante; sin 
embargo, puede resolverse mediante el mismo procedimiento que acabamos de describir, 
siempre y cuando el coeficiente del segundo término (30) sea múltiplo del coeficiente de 
la raíz cuadrada del primer término ( 92 ). Es decir, si 30 es múltiplo de la raíz cuadrada 
de 9 entonces sí se puede resolver como ya se describió. Veamos:
92 = 3
Como
30 , 3 = 10
entonces
9x2 + 30x + 16
la podemos expresar como
(3x)2 + 10(3x) + 16
sin que se altere, ya que
(3x)2 = 9x2 y 10(3x) = 30x
Si hacemos que (3x) sea igual a x, entonces la expresión queda así:
x2 + 10x + 16 
Esta expresión puede resolverse utilizando el caso anterior. En efecto:
x2 + 10x + 16 = (x + 8)(x + 2)
Pero como x = 3x, entonces,
x2 + 10x + 16 = (x + 8)(x + 2) = (3x + 8)(3x + 2)
Capítulo 3 Productos notables y factorización 73
Ejemplos
36x2 - 42x22 - 18 =
9x2 − 3x - 2 =
Práctica 27
Resuelve lo siguiente.
 1. 4x2 - 12x22 - 27 =
 2. 36x2 − 18x - 10 =
 3. 4x2 - 12x22 - 7 =
 4. 9x2 + 27x - 10 =
 5. 4x2 − 10x - 24 =
Álgebra elemental para el nivel medio superior74
3.2.4 Trinomio de la forma ax2 + bx + c
Ejemplo
Factoriza 6x2 - 7x - 3.
a) Se divide y se multiplica la expresión por el valor de a, que en este ejemplo es 6.
(6x2 - 7x - 3)
6
6
b) Se hace la multiplicación y se deja pendiente la división.
(6x2 - 7x - 3)
6
6 =
36x2 - 42x -18
6
c) Se factoriza el numerador.
Nos damos cuenta de que el numerador se puede factorizar utilizando el procedi-
miento del caso especial anterior, así:
36x2 - 42x22 - 18 = (6x)2 - 7(6x) - 18 = (6x - 9)(6x + 2)
Entonces queda:
=
36x2 - 42x -18
6
(6x - 9)(6x + 2)
6
) Se simplifica.
En algunos casos como éste, para simplificar hay que descomponer en factoresel
denominador; en otros, la simplificación es directa.
6 = 3 × 2
Se tiene entonces:
(6x - 9)(6x + 2)
6
(6x - 9)(6x + 2)
(3)(2) =
Se simplifica el binomio de la izquierda con el 3 y el binomio de la derecha con
el 2, y queda:
(6x - 9)(6x + 2)
(3)(2) =
(6x - 9)
3
(6x + 2)
2 = (2x22 - 3)(3x + 1)
La factorización terminada queda así:
6x2 - 7x - 3 = (2x22 - 3)(3x + 1)
Lo anterior se puede comprobar haciendo la multiplicación.
Capítulo 3 Productos notables y factorización 75
Ejemplos
9x2 − 3x −2x =
2x22 2 - 6x - 8 =
4x2 - 26x - 14 =
3x2 + 5x - 2 =
Práctica 28
Factoriza los siguientes trinomios.
 1. 6x2 - x - 2 =
 2. 3x2 + 14x - 5 =
 3. 6x2 + 8x + 2 =
 4. 3x2 + 11x - 4 =
 5. 6x2 + 12x22 + 6 =
 (Dos soluciones)
Álgebra elemental para el nivel medio superior76
Práctica 29
Realiza las siguientes factorizaciones.
 1. 16a5x2y2 3 - 12a2b3yz - 4a4b4xy4 2z2 =
 2. 3ab3 - 4a3b5 + 4ab =
 3. 2a2 - 4ab + 6b2 =
 4. 4y4 + 4 + 4y2 =
 5. 4a6 - 4a3b3 + b6 =
 6. 9x2 - 32y2 =
 7. 12 - 63x4 =
Capítulo 3 Productos notables y factorización 77
8. 3x2 + x + 10 =
9. n2 + 6n + 8 =
10. 25x4 - 36z6 =
11. 9x2 - 15x - 6 =
12. 12x22 2− 12 - 7x =
13. 7x2 - 44x - 35 =
Capítulo
Ecuaciones
Las ecuaciones, las funciones y las identidades pertenecen a las igualdades, por tal mo-
tivo hablaremos de las igualdades y todo lo que se diga acerca de éstas será aplicable a
las ecuaciones, las funciones y las identidades.
Las ecuaciones tienen una sola solución (esta afirmación no es rigurosamente cier-
ta, ya que las ecuaciones de grado mayor a la unidad tienen varias soluciones, pero para
fines didácticos, en este nivel, la afirmación se puede considerar válida).
Ejemplo
3x + 2 = 20
Esta ecuación se cumple solamente cuando x = 6; en efecto, si sustituimos el valor 
de x en la ecuación se tendrá:x
3(6)+ 2 = 20
18 + 2 = 20
20 = 20
Como se observa, sí se satisface la ecuación.
En las funciones a cada valor de x le corresponde un solo valor de x y.
Álgebra elemental para el nivel medio superior80
Las identidades o igualdades siempre se cumplen sin importar el valor de las 
variables.
Ejemplo
Ejemplo
y = 5x + 2
Si x = 1, se sustituye la x por dicho valor y se tendrá:x
y = 5 1( )+ 2
y = 5 + 2
y = 7
Si x = 3, sustituyendo x por dicho valor:x
y = 5 3( )+ 2
y = 15 + 2
y = 17
Así, a cada valor de x le corresponde uno dex y.
(x + y)2 = x2 + 2xy2 + y2
Veamos: 
Si
x = 2 y y = 3
sustituyendo estos valores en la igualdad
2 + 3( )2 = 22 + 2 2( ) 3( )+ 32
5( )2 = 4 +12 + 9
25 = 25
Sería ocioso seguir dando valores a las variables, ya que siempre se cumplirá la 
igualdad.
Capítulo 4 Ecuaciones 81
Todas las igualdades están constituidas por tres partes:
a) El primer miembro, que es la expresión situada a la izquierda del signo de 
igual.
b) El signo de igual.
c) El segundo miembro, que es la expresión ubicada a la derecha del signo 
de igual.
El principio fundamental de las igualdades es el siguiente: cualquier operación que 
se efectúe en un miembro de la igualdad, también se debe efectuar en el otro miembro, 
para que ésta no se altere.
El funcionamiento de una ecuación es similar al de una balanza, de hecho algunas 
ecuaciones se pueden resolver utilizando una.
4.1 Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Resolver ecuaciones consiste en conocer el valor de la incógnita que las satisface o 
“despejar la incógnita”, para lograrlo se siguen estos pasos:
1. Se hacen las operaciones indicadas en cada miembro de la ecuación.
2. Se pasan todos los términos que contengan la incógnita a un miembro de la 
ecuación (generalmente al primer miembro, pero puede ser al segundo), y los 
que no tengan incógnita (términos independientes) se pasan al otro.
3. Se simplifican ambos miembros de la ecuación.
4. Se deja sola la x en uno de los miembros.x
Ejemplo
Resuelve la siguiente ecuación:
2x22 - 4(x - 2) = 5x - 2(x + 2)
a) Se hacen las operaciones indicadas en cada miembro de la ecuación.
2x22 - 4x + 8 = 5x - 2x2 - 4
b) Se pasan todos los términos que contengan la incógnita a un miembro de la ecua-
ción y los que no tengan incógnita se pasan al otro.
Primero se pasa 5x, que está en el segundo miembro, al primero.
Utilizando el principio fundamental de las igualdades, se resta 5x al primero yx
al segundo miembro de la ecuación: 
2x 22 - 4x + 8 - 5x = 5x - 2x2 - 4 - 5x
Álgebra elemental para el nivel medio superior82
Ahora se simplifica 5x - 5x en el segundo miembro de la ecuación:x
2x22 - 4x + 8 - 5x = -2x22 - 4
Si comparamos la ecuación original después de haber hecho las operaciones
indicadas, en esta última observamos que aparentemente el +5x que estaba en el x
segundo miembro pasó al primero, pero con signo contrario. En efecto, es posible 
omitir pasos intermedios si, como consecuencia de la aplicación de la ley funda-
mental de las igualdades, decimos que para pasar un elemento de un miembro a 
otro de la ecuación hay que efectuar la operación inversa.
Repitiendo lo que se hizo con anterioridad, pero ahora omitiendo pasos.
La ecuación original después de hacer las operaciones indicadas en cada 
miembro:
2x22 - 4x + 8 = 5x - 2x22 - 4 *
Se pasa +5x al primer miembro de la ecuación haciendo la operación inversa x
(está sumando, entonces pasa restando):
2x22 - 4x + 8 - 5x = -2x22 - 4
* Con frecuencia los alumnos cambian el signo a los términos que no se mueven de lugar, obviamente 
esto es incorrecto, ya que sólo se debe cambiar de signo al término que pasa de un miembro a otro.
De igual manera, se pasa -2x22 al primer miembro, con la operación inversa, esx
decir, si está restando, pasa sumando:
2x22 - 4x + 8 - 5x + 2x 22 = -4
Ahora se pasa el +8 al segundo miembro, pasa efectuando la operación inver-
sa, esto es, está sumando, pasa restando:
2x22 - 4x - 5x + 2x22 = -4 - 8 
c) Se simplifican ambos miembros de la ecuación:
-5x = -12 *
d ) Se deja sola la x en el primer miembro, para esto primero se multiplican por (x -1)
ambos miembros de la ecuación, para que la x quede positiva, entonces queda:x
5x = 12
Capítulo 4 Ecuaciones 83
Ahora se pasa el número 5 al lado de la ecuación, haciendo la operación inversa, 
como está multiplicando a la x, entonces pasa dividiendo:
x =
12
5
* En este tipo de operación, es frecuente que los alumnos se equivoquen al pasar el número 5 dividien-
do, le cambian, además, el signo, lo cual es incorrecto, ya que la operación inversa de multiplicar 
-5 por x es dividir entre x -5.
Si además de pasar dividiendo, al número 5 se le cambia el signo, se estarían haciendo dos ope-
raciones inversas y sólo se debe hacer una.
3 - 6(2x22 + 4) = -5 + 4(6x - 1)
6x - 4(3 - 5x) + 8(2x22 - 3) = 0
3x - 3
5 =
8x +1
3
8
5x - 3 =
7
2x + 5
3x +1
4 +
6x + 5
3 = 0
Ejercicios
Efectúa lo que se te pide.
 1. I = ctn Despejar c, t, n.
 2. 5x + 2y - 3 = 0 Despejar x, y.
 3. M = c(1 + t)n Despejar c, t.
Ecuaciones con literales
Álgebra elemental para el nivel medio superior84
Práctica 30
Efectúa los despejes.
 1. 4 + x = 4(3x + 3) =
x =
 2. z(z - 5) = z(z + 10) + 15 =
z =
 3. -28 = -6c + 1 =
c =
 4. 5.0(w - 2.0) = 11.0 + 9.0w =
w =
 5. -2Q +
5
9 = -
2
9 Q
Q =
 6. 
2
3 (5x + 2) -
1
2 (4x - 2) = 0
x =
 7. -2{3 - [4(c + 2) - 2(c + 1)]} =
c =
 8. -6(8 - 5) = 2 - {3y - [6y - (8y - (3y + 2))]}
y =
Capítulo 4 Ecuaciones 85
Resuelve las siguientes ecuaciones.
 1. 3x - 6 = 9
 2. 4x + 7 = 9x - 16
 3. -7w = 15 - 2w
 4. 8t - 13 = 10 - 6t
 5.
1
2 x - 4 =
1
3 x
 6.
z
5 =
3
10 z + 7
 7. 5(2 - x) = 12(3 + 4x) + 6
 8. 6(x + 4) + 8 = -4(x - 1) - 12
Álgebra elemental para el nivel medio superior86
 9.
7
x =
3
4x + 2
10.
2
t + 6 =
3
t -1
11. r - 2[1 - 2(4r + 8)] = 5
12. (t - 4)2 = (t + 4)2 + 36
13. 
2
3 x -
2
4 =
1
3 x -
1
6
14. 
2
x - 10 =
8
x + 5
15. 
2x - 6
2x + 8 =
1
3
16. 
9
t - 6 =
5
t - 8
Capítulo 4 Ecuaciones 87
17.
3x - 6
2x + 3 =
3x - 2
2x + 4
18.
y - 2
y -
8
y =
y + 4
y - 4
19. 2x + 8 = 6x
20. x - 2 = 4x
21. z - 2 = 6
22. 4x - 6 - 16 = 0
23. 6 - 2x + 5 = 0
24. x2 + 2 =
2
3Álgebra elemental para el nivel medio superior88
25. x + 4( )
1
2 = 8
26. y + y + 2 = 6
27. x - x + 8 = 2
28. z2 + 2z = 4 + z
29. y2 - 6 = 6 - y
Solución de problemas utilizando el álgebra
Lee y resuelve los siguientes problemas.
 1. El precio con IVA de un producto es de $12.50. Determinar el costo sin IVA y el 
valor del IVA.
Capítulo 4 Ecuaciones 89
 2. Se sabe que el precio de venta de un artículo en el mercado es de $5 250.00 inclu-
yendo el IVA. ¿Cuánto debe ser su costo directo máximo si sus gastos son del 35% 
del costo y se desea una utilidad mínima del 10% del costo?
 3. 60% de la calificación final es el examen, 20% son las tareas y participaciones y el 
restante 20% es la autoevaluación y la evaluación del desempeño.
Si se obtiene 10 en tareas y participaciones y 10 en evaluación del desempeño, 
¿cuál es la calificación mínima que se puede obtener en el examen para aprobar 
con 7?
Álgebra elemental para el nivel medio superior90
4.2 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita
La forma general de las ecuaciones de segundo grado es ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c
son números reales y x es la incógnita.x
Para resolver ecuaciones de segundo grado existen varios métodos, pero sólo estu-
diaremos dos: 
• Utilizando la fórmula general
• Factorizando como trinomio de la forma ax2 + bx + c
 4. Una empresa obtuvo una utilidad de $1 250 000.00 en un año, la cual se repartirá entre 
sus socios. Juan González tiene el doble de las acciones de Pedro Ruiz y Jesús Lina-
res tiene la mitad de las de Pedro. ¿Cuánto le toca a cada uno al repartir las utilidades?
 5. Una empresa le adeuda a un empleado la cantidad de $15 000.00 y le piden un re-
cibo de honorarios cuyo importe neto es precisamente de $15 000.00.
• ¿Cuánto es el importe bruto?
• ¿Cuánto es el valor del IVA (16%)?
• ¿Cuánto es el descuento por ISR (10%)?
• ¿Cuánto es la retención del IVA (2/3 del IVA)?
• ¿Cuánto es el descuento por impuesto cedular (1%)?
Capítulo 4 Ecuaciones 91
1. Utilizando la fórmula general
Gracias a Diofanto, famoso matemático griego que vivió del año 325 al 409 d. C., hoy 
podemos resolver las ecuaciones de segundo grado con esta fórmula:
x =
-b ; b2 - 4ac2
2a
a, b y c son los coeficientes señalados en la forma general.
Para usar la fórmula general, las ecuaciones de segundo grado deben estar en su 
forma general, correspondiendo así los valores de a, b y c.
Por lo general, las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, sin em-
bargo, hay algunas que sólo tienen una solución, además, existen otras que no tienen 
solución en el campo de los números reales, es decir, su solución es imaginaria, estas 
últimas no se tratarán en este libro.
Gracias a Diofanto sólo tenemos que sustituir los valores de los coeficientes a, b
y c, y efectuar las operaciones para obtener el valor de la incógnita.
Otra ventaja que tiene la fórmula general es que todas las ecuaciones de segundo 
grado, que tienen solución, se pueden resolver utilizándola.
Ejemplo
3x2 + 2x 22 - 4 = 0
Se identifican los valores de a, b y c, y se sustituyen en la fórmula.
a = 3* b = 2* c = -4**
* Un error común es que los alumnos al identificar los coeficientes incluyen indebidamente la x y x
al sustituir en la fórmula los alumnos ya no saben qué hacer, ya que la sustitución está mal hecha, 
es decir, suponen que a = 3x2 y b = 2x22 , lo cual, reiteramos, es incorrecto.
**Otro error entre los estudiantes es que al sustituir los coeficientes se olvidan del signo cuando éstos 
son negativos.
x =
-2 ; 22 - 4(3)(-4)2
2(3) =
-2 ; 4 + 482
6 =
-2; 522
6 =
-2 ; 7.21
6
Una solución se obtiene al usar el signo positivo y la otra al usar el negativo.
-2 + 7.21
6 = 0.868
La otra solución es ésta:
-2 - 7.21
6 = -1.535
Álgebra elemental para el nivel medio superior92
Práctica 31
Resuelve las siguientes ecuaciones.
 1. 6x2 - x - 2 = 0
 2. 3x2 = -14x + 5
 3. 6x2 + 8x + 2 = 0
 4. 11x - 4 = -3x2
 5. 6x2 + 12x22 + 6 =
Ecuaciones de segundo grado
 1. x2 + 5x - 24 = 3
 2. x(x + 4) = 0
Capítulo 4 Ecuaciones 93
 3. 6x(x + 4) = 0
 4. (x - 6)(4x + 6) = 4x
 5. 3x2 + 4x - 12 = -6x
 6. 8x(x + 4) = x(x - 6) - 14
 7. 8x3 + 6x2 - 4x = 0
Tercera parte:
 1. -x2 = -6x - 9
 2. x2 - 8x + 16 = 0
Álgebra elemental para el nivel medio superior94
 3. -9m2 + 12m + 48 = 0
 4. 2y2 - 7y + 4 = 0
Cuarta parte:
 1. x2 - 24x + 16 = 0
 2. 2x22 2 - 14x + 16 = 0
 3. x2 - 12x22 - 6 = 0
 4. 4x2 - 18x = -9
 5. -2x22 2 + x - 8 = 0
 6. 5x2 + 3x - 7 = 0
Capítulo 4 Ecuaciones 95
2. Factorizando como trinomio de la forma ax2 + bx + c
Este método es fácil de aplicar cuando los trinomios son factorizables mediante el mé-
todo que se estudió en el capítulo anterior.
Ejemplo
3x2 + x - 4 = 0
Se factoriza así:
(3x)2 + (3x)-12
3 =
(3x + 4)(3x - 3)
3 (3x + 4)(x - 1)
Una vez factorizado, la ecuación queda de esta manera:
(3x + 4)(x - 1) = 0
Para que un producto, como el de arriba, dé como resultado cero se necesita que
uno de los factores sea cero o que ambos sean cero, ya sea en uno u otro caso se requiere 
que 
(3x + 4) = 0
o que
(x - 1) = 0
o que ambos sean cero, por tanto, de la primera igualdad obtenemos el primer valor 
de x y de la segunda, el segundo valor, como sigue:x
(3x + 4) = 0
3x = -4
x =
-4
3
Éste es el primer valor de x, el otro será
(x - 1) = 0
x = 1
Álgebra elemental para el nivel medio superior96
Práctica 32
Factoriza las siguientes ecuaciones.
 1. 2x22 2 + 7x + 3 = 0
 2. 8x2 - 2x22 - 3 = 0
 3. 2x22 2 + 7x - 15 = 0
 4. 15x2 = -4x + 4
 5. 6x2 - 23x = -15
Capítulo 4 Ecuaciones 97
4.3 Ecuaciones de primer grado
con dos incógnitas
También se les conoce con el nombre de sistemas de ecuaciones o ecuaciones simultá-
neas. Como su nombre lo indica son dos ecuaciones con dos incógnitas, se les consi-
dera un sistema, ya que por separado cada una tiene un número infinito de soluciones,
pero juntas tienen una sola solución o ninguna, incluso se puede dar el caso de que no
tengan solución juntas.
Si se grafica una sola de estas ecuaciones se obtiene una recta, en la que cada punto
es una solución a la ecuación; si se grafica la otra ecuación se obtiene otra recta, y el
punto donde se cortan es la solución del sistema.
Cuando no tienen solución juntas es porque se trata de dos rectas paralelas, en cuyo
caso no se cortan nunca.
Existen varios métodos para la solución de estos sistemas, en este libro sólo estu-
diaremos tres:
 1. Método de igualación
Para explicar este método se resolverá un sistema.
Resolver
 3x + 2y = 7 (1)
4x + 3y = 10 (2)
Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
En la ecuación 1 se despejará x, entonces quedará la ecuación 3.
 3x = 7 - 2y
x =
7 - 2y
3 (3)
En la ecuación 2 se despejará x, entonces quedará la ecuación 4.
 4x = 10 - 3y
 x =
10 - 3y
4 (4)
El segundo miembro de las ecuaciones 3 y 4, ambos, son iguales a x, por tanto, 
son iguales entre sí.
Se igualan los segundos miembros de las ecuaciones 3 y 4 (por esto se lla-
ma método de igualación) y se despeja la incógnita.
7 - 2y
3 =
10 - 3y
4 (5)
Álgebra elemental para el nivel medio superior98
Se despeja y de la ecuación (5).
4(7 - 2y) = 3(10 - 3y)
 28 - 8y = 30 - 9y
-8y + 9y = 30 - 28
 y = 2
Una vez obtenido el valor de y, se sustituye en las ecuaciones 3 o 4 para obtener 
el valor de x.
Sustituyendo en la ecuación 3:
x =
7 - 2(2)
3 =
7 - 4
3 =
3
3 = 1
Los valores que resuelven las dos ecuaciones son éstos:
x = 1 y y = 2
 2. Método de sustitución
Solucionemos el mismo sistema de ecuaciones del método anterior.
Resolver
 3x + 2y = 7 (1)
 4x + 3y = 10 (2)
Se despeja de alguna de las ecuaciones, de cualquiera, una incógnita. En este
caso, de la ecuación 2 se despejará la x.
4x = 10 - 3y
x =
10 - 3y
4 (3)
Ahora se sustituye este valor de x en la otra ecuación, por esto se llamax método
de sustitución, en este caso se sustituirá en la ecuación 1.
 3
10 - 3y
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + 2y = 7 (4)
Se despeja y de la ecuación 4.
30 - 9y
4 + 2y = 7
Capítulo 4 Ecuaciones 99
Se