4 Teorema de Poynting - Arturo Lara (1)

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21- 4 Teorema de Poynting
Ahora ya se puede volver a considerar la energía para estos campos generales descritos por las ecuaciones de Maxwell. Recuérdese el resultado anterior (12-35) de que la rapidez con que se disipa en calor la energía electromagnética por unidad de volumen está dada por
Teorema de Poynting
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w = Jy E. Por lo tanto, si se integra esta expresión sobre un volumen arbitrario V, se obtiene la velocidad total de pérdida de energía electromagne'tica/M:
W = f wd7 = f Jy-Edr	(21-53)
y sería conveniente poder expresar esto en función de los vectores de campo. Si se utiliza Jy dada que (21-22), se encuentra que es posible escribir también
= J E-(VxH)¿Zt-JE~¿Zt	(21-54)
Al combinar (1-118) con (21-20) se puede expresar el primer integrando como
E-(VxH) = H-(VXE)-V-(EXH)=-H-^-V«(EXH)
Si ahora se sustituye esto en (21-54), se utiliza el teorema de la divergencia (1-59) y se transfiere el resultado al otro lado de la ecuación, resulta
_ y (E-	+ H-^pr = 6af +($(EXH)-da	(21-55)
lo cual se conoce como el teorema de Poynting.
Hasta ahora el tratamiento seguido ha sido perfectamente general. Sin embargo, resulta más sencillo interpretar este resultado si se restringe a medios completamente i.h.l., y dado que de todas maneras se aplicará este teorema sólo a estos casos, supóngase que esa es la situación aquí. Al utilizar (21-40) se obtiene E-(dD/dí) = eE-(3E/9í) = 3(2- e E2)/dí; de manera similar se encuentra que H-(dB/dí) = d[(B2/2/z)]Pí. Al sustituir esto en (21-55), recordando que se está manejando un volumen V de fronteras fijas de modo que se puede intercambiar el orden de diferenciación e integración, y volver a introducir la expresión integral para según (21-53), se obtiene finalmente
- M(íeE2+£)rfT=/AEjT+^ExH^a <21-56)
Se observa ahora que el integrando del miembro izquierdo no es sino la suma de las expresiones (10-38) y (20-80) que ya se vio que corresponden a las densidades de energía eléctrica y magnética, respectivamente. Si se hace ahora la razonable suposición de que se les puede interpretar en exactamente esta misma forma cuando los campos varían con el tiempo, entonces el integrando será la densidad total de energía electromagnética
1 B2
“ = «. + »m= 2{E2+	(21-57)
y la integral será exactamente la energía electromagnética total contenida en el volumen V. En consecuencia, el miembro izquierdo de (21-56) representa la rapidez de disminución de esta energía total. ¿A dónde va? El primer término del miembro derecho es la velocidad
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Ecuaciones de Maxwell
a la que esta energía se convierte en calor. Si se recuerda el principio de la conservación de la energía, entonces cualquier cantidad de energía que no se convierta en calor debe salir del volumen V a través de su frontera^. Dado que el término restante tiene justamente esta forma de una integral sobre una superficie, se puede interpretar
Ó(EXH)-da=(-^j	(21-58)
J S	\ ¿n / a través de
como la rapidez con que fluye la energía a través de la superficie limitante. Lo siguiente que se puede hacer es interpretar de manera similar el integrando de (21-58); por tanto,
S = EXH	(21-59)
será la rapidez con que fluye la energía electromagnética por unidad de superficie. En otras palabras, es una densidad de corriente de energía o flujo de potencia y se le medirá en watts/metro2. La cantidad S recibe el nombre de vector de Poynting-, su dirección es la misma que la del flujo instantáneo de energía, es decir, que “apunta” en dirección del flujo de energía. Aunque esta interpretación del integrando se ha extraído del significado físico de toda la integral, en verdad es una interpretación muy plausible, resultando ser muy útil y consistente, en particular en lo que se refiere a aplicaciones en soluciones dependientes del tiempo de las ecuaciones de Maxwell.
Aun cuando la mayoría de las aplicaciones de este resultado conciernen a campos que varían en el tiempo, puede considerarse aquí un ejemplo que demuestra que esta interpretación de S da resultados razonables y consistentes cuando se le aplica a un caso simple que abarque campos estacionarios, esto es, independientes del tiempo.
Ejemplo
Cilindro con corriente constante. Considérese una porción de un conductor cilindrico recto y largo de longitud l y radio a, como se muestra en la figura 21-5. Existe una corriente
Figura 21-5 Campos y vector de Poynting
para un cilindro que conduce una corriente
constante.
Cantidad de movimiento electromagnético
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constante en la dirección z, distribuida uniformemente en la sección, de modo que Jy = Jfi = const. Se desea encontrar S en la superficie justamente en el exterior del conductor.
Esta situación es similar a la representada en la figura 12-7, y ya se encontró en el párrafo que siguió a (12-28) que el campo eléctrico justamente fuera del cilindro es igual al valor constante de su interior, dado por E = i fio, siendo paralelo al eje, como se muestra. En (15-19) se tiene el valor de B fuera del cilindro, de modo que en este caso el valor de H justamente fuera es H = B/ju0, o sea
c21-60)
dado que Jy = I/ita1. Al sustituir estas expresiones en (21-59) y utilizar (1-76) se encuentra que
Jf 1	Jf2a
S=-¿iX±Jfa<p=-^-p	(21-61)
También de la figura se puede observar que S es normal a la superficie y está dirigida radialmente hacia adentro, de modo que existe un flujo constante de energía hacia el conductor, puesto que S es constante. El elemento de superficie da se encuentra dirigido hacia afuera de la superficie; S también es paralelo a los extremos del cilindro. Por lo tanto, la rapidez total a la que la energía fluye hacia aden tro del volumen está dada por
j2	j2
- (^)S-da=sjda = Siliral) =	(ttu2/) = (volumen)	(21-62)
usando (21-61) y siendo ira2! el volumen del conductor. Al comparar esto con (12-35) se observa que (21-62) indica que la rapidez total a la que la energía fluye hacia el conductor es exactamente igual a la rapidez con que la energía se está disipando en forma de calor en el interior del volumen. Esto es justamente lo que se requiere para una situación de estado estacionario como la que se ha puesto. La fuente última de esta energía es algún dispositivo, una batería por ejemplo, que mantiene la diferencia de potencial entre los extremos del conductor al realizar continuamente un trabajo sobre las cargas a medida que pasan por el circuito completo. Esta descripción en términos de S muestra que la energía está siendo transferida desde una fuente, por medio de los campos que se establecen en el espacio como resultado de las distribuciones de cargas y corrientes en su interior. Por último, el flujo de energía pasa perpendicularmente a través de la superficie del conductor en exactamente la cantidad correcta para ser transformada en calor. Así, la interpretación que se ha dado al vector de Poynting proporciona una descripción completa e internamente consistente de los procesos que tienen participación activa en este caso.