Notas 04 Curvas en 3 Dimensiones - Axel Sánchez Nazario

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CURVAS EN TRES DIMENSIONES 
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* Ecuación vectorial de una curva en el espacio de tres dimensiones. 
 
 
Cuando tenemos una curva trabajando en tres dimensiones, nuestro objetivo central es poder encontrar un vector 
de posición para cada uno de los puntos que constituyen a la curva. 
 
 
 
Este vector de posición lo podemos escribir así: 
 
 
�̅� = 𝑓1(𝑡) 𝑖 + 𝑓2(𝑡) 𝑗 + 𝑓3(𝑡) 𝑘 
 
 
Cada una de las componentes de este vector se obtiene 
al evaluar el parámetro 𝑡 en las ecuaciones 
correspondientes, y al hacerlo se obtiene un solo punto 
de la curva. 
 
 
Para que lo anterior sea posible, las tres ecuaciones 
deben existir para cada valor de parámetro elegido. 
 
 
 
El conjunto de parámetros válido para que funcionen en común las tres ecuaciones se llama intervalo paramétrico. 
 
 
𝐼. 𝑃. = 𝑑1 ∩ 𝑑2 ∩ 𝑑3 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑖 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 
 
 
 
La idea por sí misma es bastante simple, pero su desarrollo matemático es otro asunto. 
 
 
Cada una de las ecuaciones será tan elaborada como lo requiera la curva para ser descrita. Sin embargo, el presente 
curso se enfoca en las bases de estas ideas, por lo tanto, forzaremos nuestro trabajo con un pequeño truco: sólo 
analizaremos curvas contenidas en un plano paralelo a alguno de los planos cartesianos. 
 
 
CURVAS EN TRES DIMENSIONES 
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Con esta restricción, la ecuación vectorial de la curva 
tendrá una componente constante: 
 
 
�̅� = 𝑓1(𝑡) 𝑖 + 𝑀 𝑗 + 𝑓3(𝑡) 𝑘 
 
 
Y el intervalo paramétrico estará determinado por 
 
 
𝐼. 𝑃. = 𝑑1 ∩ 𝑑3 
 
 
Si escribimos las componentes por separado, 
tendremos las ecuaciones paramétricas de la curva: 
 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 𝑓1(𝑡)
𝑦 = 𝑀 
𝑧 = 𝑓3(𝑡)
 
 
 
 
 
Pero lo importante es que, separadas en forma paramétrica, o juntas en forma vectorial, las tres ecuaciones siempre 
están trabajando juntas, determinando un punto de la curva para cada valor del parámetro. 
 
 
 
Si eliminamos el parámetro de estas tres ecuaciones, llegaremos a dos ecuaciones cartesianas que juntas definen 
a la curva en el espacio de tres dimensiones. 
 
 
 
¿Cómo sabemos qué curva estamos describiendo? Empecemos con el análisis de una curva en tres dimensiones, 
expresada en su ecuación vectorial. 
 
CURVAS EN TRES DIMENSIONES 
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* Identificación de curvas en forma vectorial. 
 
 
Se requiere identificar a la curva �̅� = ( 2𝑡 , 4 − 𝑡 , 3 ) 
 
 
En forma paramétrica luce así 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 2𝑡 
𝑦 = 4 − 𝑡
𝑧 = 3 
 
 
 
Como en todas las ecuaciones el parámetro es lineal, no tiene ningún tipo de restricción, permitiendo tomar 
cualquier valor en los reales. De ahí 
 
𝐼. 𝑃. = ℝ 
 
 
Si despejamos el parámetro en la primera y lo sustituimos en la segunda 
 
 
𝑡 =
𝑥
2
 ⟹ 𝑦 = 4 −
𝑥
2
 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑧 = 3 
 
 
Entonces, la curva en forma cartesiana luce así 
 
𝐶 ∶ { 𝑦 = −
1
2
𝑥 + 4
𝑧 = 3 
 𝑥 ∈ ℝ ; 𝑦 ∈ ℝ ; 𝑧 = 3 
 
Podemos darnos cuenta que se trata de una recta con pendiente 𝑚 = − 1 2⁄ que pasa por el punto 𝑃(0 , 4 , 3) 
contenida en el plano 𝑧 = 3 
 
Vista tridimensional Vista superior 
 
 
CURVAS EN TRES DIMENSIONES 
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Revisemos un ejemplo más elaborado 
�̅� = (6 − 𝑡) 𝑖 − 2 𝑗 + √ 6 − 𝑡 𝑘 
 
Sus ecuaciones paramétricas son 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 6 − 𝑡 
𝑦 = −2 
𝑧 = √ 6 − 𝑡 
 
 
El parámetro tiene una restricción en la tercera ecuación: 6 − 𝑡 ≥ 0 ⟹ 𝑡 ≤ 6 
 
 
Por lo tanto, el intervalo paramétrico aplicable a las tres ecuaciones, se restringe también 𝐼. 𝑃. ∈ (−∞ , 6 ] 
 
 
Con este conjunto de trabajo se definen los intervalos para cada una de las variables, haciendo caso al resultado 
en cada una de las ecuaciones. Así 
 
𝑥 ∈ [ 0 , ∞ ) 𝑦 = −2 𝑧 ∈ ℝ 
 
¿Por qué el conjunto de 𝑧 se encuentra en todos los reales? Porque cuando una raíz cuadrada es factible, puede 
ser positiva o negativa, abarcando en consecuencia a todos los números reales. 
 
 
Aún no hemos identificado a la curva pero ya sabemos los intervalos en los cuales se mueven sus variables. 
 
 
Para llevarla a su forma cartesiana podemos sustituir la primera en la tercera 
 
𝑥 = 6 − 𝑡 ⟹ 𝑧 = √𝑥 ⟹ 𝑧2 = 𝑥 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = −2 
 
Ahora ya es evidente que estamos trabajando con una parábola contenida en el plano 𝑦 = −2, con vértice en el 
punto 𝑉(0 , −2 , 0) y cóncava hacia las X positivas. 
 
 
 
CURVAS EN TRES DIMENSIONES 
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Revisemos un tercer ejemplo 
�̅� = ( 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 2 , 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) 
 
Sus ecuaciones paramétricas son 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦 = 2 
𝑧 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃
 
 
Para las funciones trigonométricas seno y coseno, el parámetro 𝜃 no tiene ninguna restricción, por lo tanto el 
intervalo paramétrico se encuentra en todos los reales 𝐼. 𝑃. = ℝ 
 
 
Sin embargo, los intervalos para 𝑥 , 𝑧 son otro asunto. Ambas funciones trigonométricas, están restringidas al 
intervalo [ −1 , 1 ] y por lo tanto 
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃 ∈ [ −1 , 1 ] ⟹ 𝑥 ∈ [ −4 , 4 ] 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ∈ [ −1 , 1 ] ⟹ 𝑧 ∈ [ −4 , 4 ] 
 
Ya tenemos los intervalos de trabajo para sus variables pero, ¿de qué curva se trata? 
 
 
Cuando hay funciones trigonométricas, el procedimiento más simple para eliminar el parámetro es usar 
identidades trigonométricas. Por lo tanto, vamos a despejar a las dos funciones de nuestra curva: 
 
cos 𝜃 =
𝑥
4
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑧
4
 
 
Y lo vamos a llevar a la identidad pitagórica básica 
 
𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 ⟹ ( 
𝑧
4
 )
2
+ ( 
𝑥
4
 )
2
= 1 ⟹ 𝑥2 + 𝑧2 = 16 
 
Con lo cual podemos ver que es una circunferencia contenida en el plano 𝑦 = 2, con centro en 𝐶( 0 , 2 , 0 ) y tiene 
radio 𝑟 = 4 
 
 
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Estamos viendo como el intervalo paramétrico, aplicado sobre las ecuaciones paramétricas, nos indica cómo se 
comporta la curva y en que intervalos se mueve. 
 
 
Pero también podemos manipular el intervalo paramétrico a un sub-intervalo, y con ello tendremos sólo una 
sección de la curva, situación que será de mucha utilidad en matemáticas más avanzadas. 
 
 
Observa como el parámetro restringido, nos lleva a las siguientes fracciones de la circunferencia completa. 
 
 
𝜃 ∈ [ 0 , 𝜋 ] 𝜃 ∈ [ 𝜋 , 2𝜋 ] 
 
 
 
Por esta razón, en muchas ocasiones será más conveniente trabajar con la ecuación vectorial o las ecuaciones 
paramétricas, en vez de hacerlo con las ecuaciones en forma cartesiana. 
 
 
* Ejercicio: Realiza un análisis para las siguientes curvas expresadas en su forma vectorial. 
 
�̅� = ( 𝑡 + 3 , 4 ,
3
𝑡 − 5
 ) �̅� = ( 6 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 3 cos 𝑡 , −4 ) 
 
 
�̅� = ( 0 , 2 sec 𝑡 , 3 tan 𝑡 ) �̅� = ( 8 cot 𝜃 , −5 , −4 𝑐𝑜𝑡2𝜃 ) 
 
 
 
CURVAS EN TRES DIMENSIONES 
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* Elaboración de la ecuación vectorial de una curva. 
 
 
En todos los ejemplos anteriores, la ecuación vectorial era conocida, y nosotros debimos identificarla y graficarla. 
 
 
El caso inverso, es decir, a partir de las ecuaciones en forma cartesiana, escribir las correspondientes ecuaciones 
paramétricas y vectorial, puede ser objeto de algunas confusiones pues no existe una única forma para hacerlo. 
 
 
Esto se debe a que tenemos completa libertad en la selección del parámetro que vamos a utilizar. 
 
 
Revisemos el caso de una circunferencia con centro 𝐶( 0 , 0 , 3 ) y radio 2, contenida en el plano 𝑧 = 3 
 
 
𝐶 ∶ { 𝑥
2 + 𝑦2 = 4
𝑧 = 3
 
 
 
Nuestro primer impulso es usar de parámetro a una de las variables, lo cual es válido: 𝑥 = 𝑥 
 
 
Así, despejando a la variable 𝑦 llegamos a la siguiente ecuación vectorial 
 
�̅� = ( 𝑥 , ±√ 4 − 𝑥2 , 3 ) 
 
 
Una forma diferente, en apariencia no tan simple, puede resultar muy útil: 𝑥 = 2 cos 𝑡 
 
 
Si esta expresión la sustituimos en laecuación original ( 2 cos 𝑡 )2 + 𝑦2 = 4 
 
 
Ahora vamos a despejar a 𝑦2 
 
 
4 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑦2 = 4 ⟹ 𝑦2 = 4 − 4 𝑐𝑜𝑠2𝑡 ⟹ 𝑦2 = 4 ( 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑡 ) ⟹ 𝑦2 = 4 𝑠𝑒𝑛2𝑡 
 
 
Con la cual llegamos a la ecuación vectorial 
 
�̅� = ( 2 cos 𝑡 , 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 3 ) 
 
 
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Las dos opciones elegidas son válidas, pero los intervalos paramétricos son diferentes con las raíces cuadradas, 
que con las funciones trigonométricas. 
 
 
Además, las raíces cuadradas involucran elegir previamente a la raíz positiva o a la raíz negativa antes de 
utilizarlas para funciones, derivadas o integrales. 
 
 
No existe una regla absoluta para la selección del parámetro por utilizar, sin embargo, el trabajo cotidiano de 
curvas simples conocidas, nos permite sugerir algunos parámetros más adecuados en la mayoría de los temas de 
cálculo y geometría. 
 
 
* Ecuación vectorial de una circunferencia 
 
 
Una circunferencia, la podemos escribir muy simple en forma paramétrica usando las funciones seno y coseno. 
Esto es por lo similares que son la ecuación cartesiana de la circunferencia y la relación pitagórica básica del seno 
y del coseno. 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡 = 1 
 
 
Observamos que ambas ecuaciones involucran la suma de dos cuadrados, pero el resultado en un caso es 𝑟2 y en 
el otro es 1. 
 
 
Para que resulten análogas, multiplicamos a la segunda ecuación por 𝑟2 
 
𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝑡 = 𝑟2 
 
Esto nos permite compararlas y elegir nuestros parámetros 
 
( 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡 )2 + ( 𝑟 cos 𝑡 )2 = 𝑟2 
 
 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 
 
 
De ahí que resulte muy práctico trabajar con 𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ; 𝑦 = 𝑟 cos 𝑡 
 
 
Por ser una suma, las funciones seno y coseno pueden cambiar de variable 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ; 𝑦 = 𝑟 sen 𝑡 
 
 
 
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Estas ecuaciones permiten un trabajo algebraico más cómodo. Además es muy fácil reconocer que se trata de una 
circunferencia de radio 𝑟, con centro en 𝐶( 0 , 0 ) 
 
 
Si se requiere trabajar la circunferencia con centro fuera del origen 𝐶( ℎ , 𝑘 ), sólo debemos sumar de forma 
directa dicha traslación en las ecuaciones paramétricas 
 
 
𝑥 = ℎ + 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ; 𝑦 = 𝑘 + 𝑟 cos 𝑡 
 
 
* Ecuación vectorial de una elipse 
 
 
Una elipse, al igual que la circunferencia, la podemos escribir muy simple en forma paramétrica usando las 
funciones seno y coseno. Esto es por lo similares que son la ecuación cartesiana de la elipse y la relación pitagórica 
básica del seno y del coseno. 
 
 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1 ⟹ ( 
𝑥
𝑎
 )
2
+ ( 
𝑦
𝑏
 )
2
= 1 𝑠𝑒𝑛
2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡 = 1 
 
 
𝑥
𝑎
= 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ; 
𝑦
𝑏
= cos 𝑡 ⟹ 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ; 𝑦 = 𝑏 cos 𝑡 
 
 
La forma paramétrica de una elipse es igual que la de una circunferencia, excepto que la elipse tiene radios 
diferentes, que se reflejan en los coeficientes diferentes para seno y coseno. 
 
 
Por ser una suma, bien puede quedar también así 𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ; 𝑦 = 𝑏 sen 𝑡 
 
 
Si se requiere trabajar la elipse con centro fuera del origen 𝐶( ℎ , 𝑘 ) sólo debemos sumar de forma directa dicha 
traslación en las ecuaciones paramétricas 
 
 
𝑥 = ℎ + 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ; 𝑦 = 𝑘 + 𝑏 cos 𝑡 
 
 
* Ejercicio: Identifica y dibuja en tres dimensiones las siguientes curvas en forma vectorial 
 
�̅� = ( 4 + 2 cos 𝑡 , 2 , 1 + 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ) �̅� = ( −2 + 3 cos 𝑡 , −3 + 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , −4 ) 
 
 
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* Ecuación vectorial de una hipérbola 
 
 
Una hipérbola, la podemos escribir muy simple en forma paramétrica usando las funciones tangente y secante. 
 
 
Esto es por lo similares que son la ecuación cartesiana de la hipérbola y la relación pitagórica básica de la tangente 
y la secante. 
 
 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1 ⟹ ( 
𝑥
𝑎
 )
2
− ( 
𝑦
𝑏
 )
2
= 1 𝑠𝑒𝑐2𝑡 − 𝑡𝑎𝑛2𝑡 = 1 
 
 
𝑥
𝑎
= 𝑠𝑒𝑐 𝑡 ; 
𝑦
𝑏
= tan 𝑡 ⟹ 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝑡 ; 𝑦 = 𝑏 tan 𝑡 
 
 
 Además, el recorrido de secante, que nunca pasa dentro del intervalo ( −1 , 1 ) permite una fácil comparación 
con las ramas de la hipérbola, al tiempo que tangente cuando existe, toca a todos los reales. 
 
 
Aquí el orden si es muy importante, ya que la secante está asociada con la dirección hacia donde abre la 
hipérbola. 
 
 
El valor de 𝑎 que se asocia con la secante, es el mismo valor 𝑎 que nos indica la distancia del centro de la hipérbola 
a cada uno de sus vértices. Automáticamente, la secante nos indica hacia que eje abren las ramas de la hipérbola. 
 
 
Del mismo modo, el valor de 𝑏 asociado con tangente, es el mismo valor 𝑏 que guía la pendiente de las asíntotas 
de la hipérbola 𝑚 = ± 𝑏 𝑎⁄ 
 
 
Si se requiere trabajar la hipérbola con centro fuera del origen 𝐶( ℎ , 𝑘 ) sólo debemos sumar de forma directa 
dicha traslación en las ecuaciones paramétricas 
 
 
𝑥 = ℎ + 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝑡 ; 𝑦 = 𝑘 + 𝑏 tan 𝑡 
 
 
* Ejercicio: Identifica y dibuja en tres dimensiones las siguientes curvas en forma vectorial 
 
�̅� = ( 1 , 2 + 2 sec 𝑡 , −1 + 4 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ) �̅� = ( 4 + 3 sec 𝑡 , 2 , −3 + 5 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ) 
 
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* Ecuación vectorial de una parábola. 
 
 
La ecuación ordinaria de una parábola es 𝑥2 = 4𝑝 𝑦 cuando es cóncava hacia Y positiva y tiene su vértice en 
𝑉( 0 , 0 ) 
 
 
Elegimos usar de parámetro 𝑥 = 𝑥 de donde al despejar en la ecuación ordinaria nos conduce a 
 
 
�̅� = ( 𝑥 ,
𝑥2
4𝑝
 ) 
 
 
La parábola es cóncava hacia la variable donde el parámetro es cuadrático. (En nuestro ejemplo, la segunda 
componente) 
 
 
Ahora, analicemos como luce desde la ecuación vectorial sin divisores y usando el nombre 𝑡 para el parámetro 
 
 
�̅� = ( 𝐵𝑡 , 𝐴𝑡2 ) 
 
 
Esto nos indica que la parábola abre hacia Y positivas con vértice 𝑉( 0 , 0 ) ¿cuánto vale 4𝑝? 
 
 
𝑡 =
𝑥
𝐵
 ⟹ 𝑦 = 𝐴 ( 
𝑥
𝐵
 )
2
 ⟹ 𝑥2 = (
𝐵2
𝐴
) 𝑦 ⟹ 4𝑝 =
𝐵2
𝐴
 
 
 
Si se requiere trabajar la parábola con vértice fuera del origen 𝑉( ℎ , 𝑘 ) sólo debemos sumar de forma directa 
dicha traslación en las ecuaciones paramétricas 
 
 
𝑥 = ℎ + 𝐵𝑡 ; 𝑦 = 𝑘 + 𝐴𝑡2 
 
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Ejemplo: para 𝐶 ∶ 𝑥2 = 12𝑦 sabemos que 4𝑝 = 12 ⟶ 2𝑝 = 6 ⟶ 𝑝 = 3 
 
 
Entonces 𝐶 ∶ �̅� = ( 6𝑡 , 3𝑡2 ) 
 
 
 
Otro ejemplo: 𝐶 ∶ �̅� = ( 3𝑡 , 2𝑡2 ) 
 
 
Esta parábola abre hacia Y positiva (parámetro al cuadrado), sus coeficientes son 𝐴 = 2 ; 𝐵 = 3 
 
 
Por lo tanto el lado recto es 
4𝑝 =
𝐵2
𝐴
=
9
2
 
 
 
Y su ecuación cartesiana será 
𝑥2 =
9
2
𝑦 
 
 
 
* Ejercicio: Identifica y dibuja en tres dimensiones cada una de las ecuaciones vectoriales: 
 
 
�̅� = ( 4 , 5 − 𝑐𝑜𝑡2𝜃 , 4 + cot 𝜃 ) �̅� = ( −2 + 4𝑡 , 3 , 4 + 𝑡2 ) 
 
 
�̅� = ( −4 , 4 − 7 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 3 + 9 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) �̅� = ( 2 − 5 sec 𝜃 , 4 , 8 sec 𝜃 − 6 ) 
 
 
�̅� = ( 3 + 𝑐𝑜𝑠2𝑡 , −2 + cos 𝑡 , −3 )