NotasTema2_1_0 - Axel

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Tema 2: Solución numérica de ecuaciones algebraicas y trascendentes
M. I. Luis Ángel Santamaŕıa Padilla
Facultad de Ingenieŕıa, UNAM
1 Métodos cerrados
Bisección
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Regla falsa
Ejemplo 3
Ejemplo 4
2 Métodos abiertos
Punto fijo
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Objetivo tema 2
El estudiante aplicará algunos métodos para la resolución aproximada de una ecuación algebraica trascendente,
tomando en cuenta el error y la convergencia.
Solución numérica de ecuaciones no lineales
Nos enfocaremos a encontrar soluciones numéricas de ecuaciones no lineales de la forma general
f(x) = 0
Un número x∗ tal que f(x∗) = 0 es llamado ráız de la función f(x) o solución de la ecuación f(x) = 0
Gráficamente es el punto de intersección de f(x) en el eje x
Ráıces de funciones
Encontrar las ráıces de las siguientes funciones
e2x − 3 = 0
1− x + sin(x) = 0
Solución:
Para e2x − 3 = 0
e2x = 3
ln (e2x) = ln (3)
2x = ln(3)
x =
ln(3)
2
Para 1− x + sin(x) = 0
No hay solución anaĺıtica
Solución numérica de ecuaciones
Métodos cerrados:
Bisección
Regla falsa
Métodos abiertos:
Punto fijo
Newton
Secante
Factores cuadráticos
Métodos cerrados Bisección
Método de bisección
Es el método cerrado más simple. Suposiciones
f(x) es continua en el intervalo [a, b] y posee una
ráız en dicho intervalo
f(a), f(b) poseen signos opuestos
⇒ f(a)f(b) < 0
Procedimiento:
1 Definir [a, b] tal que satisfagan f(a)f(b) < 0
2 Determinar el punto medio en [a, b], definir
c1 =
1
2
(a + b)
3 Verificar las siguientes condiciones para determinar
el intervalo en que se encuentra la ráız
f(a)f(c1) < 0, la ráız se encuentra entre
[a, c1] ⇒ b = c1, regresar al paso 2
f(a)f(c1) > 0, la ráız se encuentra entre
[c1, b] ⇒ a = c1, regresar al paso 2
f(a)f(c1) = 0, la ráız es igual a c1. Finaliza el
método
Si no se llega a satisfacer que f(a)f(b) = 0 después de
repetidas iteraciones, se deben establecer condiciones
adicionales para que el cálculo de la ráız finalice.
Establecer un número máximo de iteraciones
Un valor de tolerancia para afirmar que la ráız es
igual al punto medio.
1
2
(b− a) < ε
raíz
Métodos cerrados Bisección
Ejemplo 1
Determine la ráız en el intervalo [1, 2] de la función
x3 + 4x2 − 10 = 0
considere ε = 0.001 f(x) = x3 + 4x2 − 10
Solución:
Primer iteración, a = 1, b = 2
c1 =
1
2
(a + b) =
1
2
(1 + 2) =
3
2
= 1.5
f(a)f(c1) < 0
(−5)(2.3750) < 0 ŚI cumple
b = c1 = 1.5, (b− a)/2 = 0.25 > ε
Segunda iteración, a = 1, b = 1.5
c2 =
1
2
(a + b) =
1
2
(1 + 1.5) =
2.5
2
= 1.25
f(a)f(c2) < 0
(−5)(−1.7969) < 0 No cumple
a = c2 = 1.25, (b− a)/2 = 0.125 > ε
Tercer iteración, a = 1.25, b = 1.5
c3 =
1
2
(a + b) =
1
2
(1.25 + 1.5) =
2.75
2
= 1.375
f(a)f(c3) < 0
(−1.7969)(0.1621) < 0 ŚI cumple
b = c3 = 1.375 (b− a)/2 = 0.0625 > ε
Iteración a b c (b̄− ā)/2
1 1.0000 2.0000 1.5000 0.2500
2 1.0000 1.5000 1.2500 0.1250
3 1.2500 1.5000 1.3750 0.0625
4 1.2500 1.3750 1.3125 0.0313
5 1.3125 1.3750 1.3438 0.0156
6 1.3438 1.3750 1.3594 0.0078
7 1.3594 1.3750 1.3672 0.0039
8 1.3594 1.3672 1.3633 0.0020
9 1.3633 1.3672 1.3652 0.0010
10 1.3633 1.3652 1.3643 0.0005
Métodos cerrados Bisección
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-5
0
5
10
15
Métodos cerrados Bisección
Ejemplo 2
Determine la ráız en el intervalo [1, 3] de la función
x cos(x) = −1
considere ε = 0.001 f(x) = x cos(x) + 1
Solución:
Primer iteración, a = 1, b = 3
c1 =
1
2
(a + b) =
1
2
(1 + 3) =
4
2
= 2
f(a)f(c1) < 0
(1.5403)(0.1677) < 0 NO cumple
a = c1 = 2, (b− a)/2 = 0.5 > ε
Segunda iteración, a = 2, b = 3
c2 =
1
2
(a + b) =
1
2
(2 + 3) =
5
2
= 2.5
f(a)f(c2) < 0
(0.1677)(−1.9700) < 0 ŚI cumple
b = c2 = 2.5, (b− a)/2 = 0.25 > ε
Tercer iteración, a = 2, b = 2.5
c3 =
1
2
(a + b) =
1
2
(2 + 2.5) =
4.5
2
= 2.25
f(a)f(c3) < 0
(0.1677)(−0.4134) < 0 ŚI cumple
b = c3 = 2.25 (b− a)/2 = 0.125 > ε
Iteración a b c (b̄− ā)/2
1 1.0000 3.0000 2.0000 0.5000
2 2.0000 3.0000 2.5000 0.2500
3 2.0000 2.5000 2.2500 0.1250
4 2.0000 2.2500 2.1250 0.0625
5 2.0000 2.1250 2.0625 0.0313
6 2.0625 2.1250 2.0938 0.0156
7 2.0625 2.0938 2.0781 0.0078
8 2.0625 2.0781 2.0703 0.0039
9 2.0703 2.0781 2.0742 0.0020
10 2.0703 2.0742 2.0723 0.0010
11 2.0723 2.0742 2.0732 0.0005
Métodos cerrados Bisección
1 1.5 2 2.5 3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Métodos cerrados Regla falsa
Método de interpolación lineal (regla falsa)
Suposiciones:
f(x) es continua en el intervalo [a, b] y posee una ráız en
dicho intervalo
f(a), f(b) poseen signos opuestos ⇒ f(a)f(b) < 0
Procedimiento:
1 Sean [a1, b1] = [a, b]. Se conectan los puntos
A : (a1, f(a1)), B = (b1, f(b1)) con una ĺınea recta
2 Se define c1 como la intersección en el eje x de la recta
que pasa por A y B
3 Evaluar f(c1) y comparar
f(a)f(c1) < 0, la ráız se encuentra entre
[a, c1] ⇒ b = c1, regresar al paso 1
f(a)f(c1) > 0, la ráız se encuentra entre
[c1, b] ⇒ a = c1, regresar al paso 1
f(a)f(c1) = 0, la ráız es igual a c1. Finaliza el método
raíz
Métodos cerrados Regla falsa
Regla Falsa
De manera anaĺıtica, conectar los puntos A y B implica
(ecuación de una recta dados dos puntos)
y − f(b1) =
f(b1)− f(a1)
b1 − a1
(x− b1)
La intersección con el eje x implica que y = 0, se resuelve la
ecuación anterior para x = c1
c1 = b1 −
b1 − a1
f(b1)− f(a1)
f(b1) =
a1f(b1)− b1f(a1)
f(b1)− f(a1)
Generalizando el resultado anterior
cn =
anf(bn)− bnf(an)
f(bn)− f(an)
, n = 1, 2, 3, . . .
El método finaliza cuando |cn+1 − cn| < ε, siendo ε una
tolerancia predefinida
raíz
Métodos cerrados Regla falsa
Ejemplo 3
Determine la ráız en el intervalo [1, 2] de la función
x3 + 4x2 − 10 = 0
considere ε = 0.001 f(x) = x3 + 4x2 − 10
Solución:
Primer iteración a1 = 1, b1 = 2
c1 =
a1f(b1)− b1f(a1)
f(b1)− f(a1)
=
(1)f(2)− (2)f(1)
f(2)− f(1)
=
(1)(14)− (2)(−5)
(14)− (−5) =
24
19
= 1.2632
f(a1)f(c1) < 0
(−5)(−1.6023) < 0 NO cumple
a2 = c1 = 1.2632, b2 = b1 = 2
Segunda iteración a2 = 1.2632, b2 = 2
c2 =
a2f(b2)− b2f(a2)
f(b2)− f(a2)
=
(1.2632)f(2)− (2)f(1.2632)
f(2)− f(1.2632)
c2 =
(1.2632)(14)− (2)(−1.6023)
(14)− (−1.6023) = 1.3388
f(a2)f(c2) < 0
(−1.6023)(−0.4308) < 0 NO cumple
a3 = c2 = 1.3388, b3 = b2 = 2
|c2 − c1| = 0.0757 > ε
Tercera iteración a3 = 1.3388, b3 = 2
c3 =
a3f(b3)− b3f(a3)
f(b3)− f(a3)
= 1.3585
f(a3)f(c3) < 0
(−0.1108)(−0.4308) < 0 NO cumple
a4 = c3 = 1.3585, b4 = b4 = 2
|c3 − c2| = 0.0197 > ε
Métodos cerrados Regla falsa
Iteración k a b ck |ck+1 − ck|
1 1.0000 2.0000 1.2632 -
2 1.2632 2.0000 1.3388 0.0757
3 1.3388 2.0000 1.3585 0.0197
4 1.3585 2.0000 1.3635 0.0050
5 1.3635 2.0000 1.3648 0.0013
6 1.3648 2.0000 1.3651 0.0003
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-5
0
5
10
15
Métodos cerrados Regla falsa
Ejemplo 4
Determine la ráız en el intervalo [1, 3] de la función
x cos(x) = −1
considere ε = 0.001 f(x) = x cos(x) + 1
Solución:
Primer iteración a1 = 1, b1 = 3
c1 =
a1f(b1)− b1f(a1)
f(b1)− f(a1)
=
(1)f(3)− (3)f(1)
f(3)− f(1)
=
(1)(−1.9700)− (3)(1.5403)
(−1.9700)− (1.5403) = 1.8776
f(a1)f(c1) < 0
(1.5403)(0.4329) < 0 NO cumple
a2 = c1 = 1.8776, b2 = b1 = 3
Segunda iteración a2 = 1.8776, b2 = 3
c2 =
a2f(b2)− b2f(a2)
f(b2)− f(a2)
=
(1.8776)f(3)− (3)f(1.8776)
f(3)− f(1.8776)
c2 =
(1.8776)(−1.9700)− (3)(0.4329)
(−1.9700)− (0.4329) = 2.0798
f(a2)f(c2) < 0
(−0.0135)(0.4329) < 0 ŚI cumple
a3 = a2 = 1.8776, b3 = c2 = 2.0798
|c2 − c1| = 0.2022 > ε
Tercera iteración a3 = 1.8776, b3 = 2.0798
c3 =
a3f(b3)− b3f(a3)
f(b3)− f(a3)
= 2.0737
f(a3)f(c3) < 0
(0.4329)(5.3523× 10−4) < 0 NO cumple
a4 = c3 = 2.0737, b4 = b4 = 2.0798
|c3 − c2| = 0.0061 > ε
Métodos cerrados Regla falsa
Iteración k a b ck |ck+1 − ck|
1 1.0000 3.0000 1.8776 -
2 1.8776 3.0000 2.0798 0.2022
3 1.8776 2.0798 2.0737 0.0061
4 2.0737 2.0798 2.0739 0.0002
1 1.5 2 2.5 3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Métodos abiertos Punto fijo
Método de aproximaciones sucesivas/Método de punto fijo
Idea del método (método abierto):
Reescribir f(x) = 0 como x = g(x),donde g(x) se
denominará función de iteración. Usualmente existe más
de una función de iteración.
Como consecuencia, un punto de intersección de
y = g(x) y y = x, conocido como punto fijo de g(x), es
también una ráız de f(x) = 0.
El punto fijo de g(x) se encuentra numéricamente
mediante la iteración del punto fijo mediante
xn+1 = g(xn), n = 1, 2, 3, . . . x1 = Punto inicial
Ejemplo función de iteración
Considere e−x/2 − x = 0 y su ráız.
La ecuación se reescribe como x = e−x/2, tal que g(x) = e−x/2 es la función de iteración.
Otra alternativa puede ser x = −2 ln(x), tal que g(x) = −2 ln(x)
Métodos abiertos Punto fijo
Método de punto fijo
Procedimiento
1 Se comienza con un punto inicial x1 cercano al
punto fijo
2 El siguiente punto fijo x2 se encuentra evaluando
x2 = g(x1) y aśı sucesivamente
3 El método continúa hasta alcanzar uan distancia
preescrita entre ambos puntos |xn+1 − xn| < ε
Existen dos tipos de convergencia
Monótona. Los elementos de la secuencia generada
convergen al punto fijo desde un solo lado
Oscilatorio. Los elementos rebotan de un lado a
otro conforme convergen al punto fijo
Elección de función de iteración
Verificar que
∣∣g′(x)∣∣ < 1 cerca del punto fijo de g(x).
En otras palabras, la curva g(x) es menos abrupta que
la ĺınea y = x
Métodos abiertos Punto fijo
Ejemplo 5
Determine la ráız de la función
x− 2−x = 0
considere g(x) = 2−x y x1 = 0, ε = 0.001
Solución:
¿Se cumple |g′(x)| < 1?
g′(x) = ln(2)ex
g′(0) = ln(2)e0 = 0.6931
|g′(0)| < 1 ŚI cumple
Primera iteración, con x1 = 0 (n = 1)
xn+1 = g(xn)
x2 = g(x1)
x2 = 1
|x2 − x1| = 1 > ε
Segunda iteración, con x2 = 1 (n = 2)
xn+1 = g(xn)
x3 = g(x2)
x3 = 0.5
|x3 − x2| = 0.5 > ε
Tercera iteración, con x3 = 0.5 (n = 3)
xn+1 = g(xn)
x4 = g(x3)
x4 = 0.7071
|x4 − x3| = 0.2071 > ε
Cuarta iteración, con x4 = 0.7071 (n = 4)
xn+1 = g(xn)
x5 = g(x4)
x5 = 0.6125
|x5 − x4| = 0.0946 > ε
Métodos abiertos Punto fijo
Ejemplo 5
Iteración n xn xn+1 |xn+1 − xn|
1 0 1.0000 1.0000
2 1.0000 0.5000 0.5000
3 0.5000 0.7071 0.2071
4 0.7071 0.6125 0.0946
5 0.6125 0.6540 0.0415
6 0.6540 0.6355 0.0185
7 0.6355 0.6437 0.0082
8 0.6437 0.6401 0.0037
9 0.6401 0.6417 0.0016
10 0.6417 0.6410 0.0007
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
-1
-0.5
0
0.5
1
Métodos abiertos Punto fijo
Ejemplo 6
Determine la ráız de la función
x cos(x) = −1
considere g(x) = cos−1
(
− 1
x
)
y x1 = 3, ε = 0.001
Solución:
¿Se cumple |g′(x)| < 1?
g′(x) = − 1√
1− (−x−1)2
(x−2) = − 1
x2
√
1− x−2
g′(3) = − 1
32
√
1− 3−2
= −0.1179
|g′(3)| < 1 ŚI cumple
Primera iteración, con x1 = 3 (n = 1)
xn+1 = g(xn)
x2 = g(x1)
x2 = 1.9106
|x2 − x1| = 1.0894 > ε
Segunda iteración, con x2 = 1.9106 (n = 2)
xn+1 = g(xn)
x3 = g(x2)
x3 = 2.1216
|x3 − x2| = 0.2110 > ε
Tercera iteración, con x3 = 2.1216 (n = 3)
xn+1 = g(xn)
x4 = g(x3)
x4 = 2.0616
|x4 − x3| = 0.0600 > ε
Cuarta iteración, con x4 = 2.0616 (n = 4)
xn+1 = g(xn)
x5 = g(x4)
x5 = 2.0772
|x5 − x4| = 0.0156 > ε
Métodos abiertos Punto fijo
Ejemplo 6
Iteración n xn xn+1 |xn+1 − xn|
1 3.0000 1.9106 1.0894
2 1.9106 2.1216 0.2110
3 2.1216 2.0616 0.0600
4 2.0616 2.0772 0.0156
5 2.0772 2.0731 0.0042
6 2.0731 2.0742 0.0011
7 2.0742 2.0739 0.0003
1 1.5 2 2.5 3 3.5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
	Métodos cerrados
	Bisección
	Regla falsa
	Métodos abiertos
	Punto fijo