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Tema 2: Solución numérica de ecuaciones algebraicas y trascendentes M. I. Luis Ángel Santamaŕıa Padilla Facultad de Ingenieŕıa, UNAM 1 Métodos cerrados Bisección Ejemplo 1 Ejemplo 2 Regla falsa Ejemplo 3 Ejemplo 4 2 Métodos abiertos Punto fijo Ejemplo 5 Ejemplo 6 Newton-Rhapson Ejemplo 7 Ejemplo 8 Secante Ejemplo 9 Ejemplo 10 3 Factores cuadráticos Ejemplo 11 Objetivo tema 2 El estudiante aplicará algunos métodos para la resolución aproximada de una ecuación algebraica trascendente, tomando en cuenta el error y la convergencia. Solución numérica de ecuaciones no lineales Nos enfocaremos a encontrar soluciones numéricas de ecuaciones no lineales de la forma general f(x) = 0 Un número x∗ tal que f(x∗) = 0 es llamado ráız de la función f(x) o solución de la ecuación f(x) = 0 Gráficamente es el punto de intersección de f(x) en el eje x Ráıces de funciones Encontrar las ráıces de las siguientes funciones e2x − 3 = 0 1− x + sin(x) = 0 Solución: Para e2x − 3 = 0 e2x = 3 ln (e2x) = ln (3) 2x = ln(3) x = ln(3) 2 Para 1− x + sin(x) = 0 No hay solución anaĺıtica Solución numérica de ecuaciones Métodos cerrados: Bisección Regla falsa Métodos abiertos: Punto fijo Newton Secante Factores cuadráticos Métodos cerrados Bisección Método de bisección Es el método cerrado más simple. Suposiciones f(x) es continua en el intervalo [a, b] y posee una ráız en dicho intervalo f(a), f(b) poseen signos opuestos ⇒ f(a)f(b) < 0 Procedimiento: 1 Definir [a, b] tal que satisfagan f(a)f(b) < 0 2 Determinar el punto medio en [a, b], definir c1 = 1 2 (a + b) 3 Verificar las siguientes condiciones para determinar el intervalo en que se encuentra la ráız f(a)f(c1) < 0, la ráız se encuentra entre [a, c1] ⇒ b = c1, regresar al paso 2 f(a)f(c1) > 0, la ráız se encuentra entre [c1, b] ⇒ a = c1, regresar al paso 2 f(a)f(c1) = 0, la ráız es igual a c1. Finaliza el método Si no se llega a satisfacer que f(a)f(b) = 0 después de repetidas iteraciones, se deben establecer condiciones adicionales para que el cálculo de la ráız finalice. Establecer un número máximo de iteraciones Un valor de tolerancia para afirmar que la ráız es igual al punto medio. 1 2 (b− a) < ε raíz Métodos cerrados Bisección Ejemplo 1 Determine la ráız en el intervalo [1, 2] de la función x3 + 4x2 − 10 = 0 considere ε = 0.001 f(x) = x3 + 4x2 − 10 Solución: Primer iteración, a = 1, b = 2 c1 = 1 2 (a + b) = 1 2 (1 + 2) = 3 2 = 1.5 f(a)f(c1) < 0 (−5)(2.3750) < 0 ŚI cumple b = c1 = 1.5, (b− a)/2 = 0.25 > ε Segunda iteración, a = 1, b = 1.5 c2 = 1 2 (a + b) = 1 2 (1 + 1.5) = 2.5 2 = 1.25 f(a)f(c2) < 0 (−5)(−1.7969) < 0 No cumple a = c2 = 1.25, (b− a)/2 = 0.125 > ε Tercer iteración, a = 1.25, b = 1.5 c3 = 1 2 (a + b) = 1 2 (1.25 + 1.5) = 2.75 2 = 1.375 f(a)f(c3) < 0 (−1.7969)(0.1621) < 0 ŚI cumple b = c3 = 1.375 (b− a)/2 = 0.0625 > ε Iteración a b c (b̄− ā)/2 1 1.0000 2.0000 1.5000 0.2500 2 1.0000 1.5000 1.2500 0.1250 3 1.2500 1.5000 1.3750 0.0625 4 1.2500 1.3750 1.3125 0.0313 5 1.3125 1.3750 1.3438 0.0156 6 1.3438 1.3750 1.3594 0.0078 7 1.3594 1.3750 1.3672 0.0039 8 1.3594 1.3672 1.3633 0.0020 9 1.3633 1.3672 1.3652 0.0010 Métodos cerrados Bisección 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -5 0 5 10 15 Métodos cerrados Bisección Ejemplo 2 Determine la ráız en el intervalo [1, 3] de la función x cos(x) = −1 considere ε = 0.001 f(x) = x cos(x) + 1 Solución: Primer iteración, a = 1, b = 3 c1 = 1 2 (a + b) = 1 2 (1 + 3) = 4 2 = 2 f(a)f(c1) < 0 (1.5403)(0.1677) < 0 NO cumple a = c1 = 2, (b− a)/2 = 0.5 > ε Segunda iteración, a = 2, b = 3 c2 = 1 2 (a + b) = 1 2 (2 + 3) = 5 2 = 2.5 f(a)f(c2) < 0 (0.1677)(−1.0029) < 0 ŚI cumple b = c2 = 2.5, (b− a)/2 = 0.25 > ε Tercer iteración, a = 2, b = 2.5 c3 = 1 2 (a + b) = 1 2 (2 + 2.5) = 4.5 2 = 2.25 f(a)f(c3) < 0 (0.1677)(−0.4134) < 0 ŚI cumple b = c3 = 2.25 (b− a)/2 = 0.125 > ε Iteración a b c (b̄− ā)/2 1 1.0000 3.0000 2.0000 0.5000 2 2.0000 3.0000 2.5000 0.2500 3 2.0000 2.5000 2.2500 0.1250 4 2.0000 2.2500 2.1250 0.0625 5 2.0000 2.1250 2.0625 0.0313 6 2.0625 2.1250 2.0938 0.0156 7 2.0625 2.0938 2.0781 0.0078 8 2.0625 2.0781 2.0703 0.0039 9 2.0703 2.0781 2.0742 0.0020 10 2.0703 2.0742 2.0723 0.0010 Métodos cerrados Bisección 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Métodos cerrados Regla falsa Método de interpolación lineal (regla falsa) Suposiciones: f(x) es continua en el intervalo [a, b] y posee una ráız en dicho intervalo f(a), f(b) poseen signos opuestos ⇒ f(a)f(b) < 0 Procedimiento: 1 Sean [a1, b1] = [a, b]. Se conectan los puntos A : (a1, f(a1)), B = (b1, f(b1)) con una ĺınea recta 2 Se define c1 como la intersección en el eje x de la recta que pasa por A y B 3 Evaluar f(c1) y comparar f(a)f(c1) < 0, la ráız se encuentra entre [a, c1] ⇒ b = c1, regresar al paso 1 f(a)f(c1) > 0, la ráız se encuentra entre [c1, b] ⇒ a = c1, regresar al paso 1 f(a)f(c1) = 0, la ráız es igual a c1. Finaliza el método raíz Métodos cerrados Regla falsa Regla Falsa De manera anaĺıtica, conectar los puntos A y B implica (ecuación de una recta dados dos puntos) y − f(b1) = f(b1)− f(a1) b1 − a1 (x− b1) La intersección con el eje x implica que y = 0, se resuelve la ecuación anterior para x = c1 c1 = b1 − b1 − a1 f(b1)− f(a1) f(b1) = a1f(b1)− b1f(a1) f(b1)− f(a1) Generalizando el resultado anterior cn = anf(bn)− bnf(an) f(bn)− f(an) , n = 1, 2, 3, . . . El método finaliza cuando |cn+1 − cn| < ε, siendo ε una tolerancia predefinida raíz Métodos cerrados Regla falsa Ejemplo 3 Determine la ráız en el intervalo [1, 2] de la función x3 + 4x2 − 10 = 0 considere ε = 0.001 f(x) = x3 + 4x2 − 10 Solución: Primer iteración a1 = 1, b1 = 2 c1 = a1f(b1)− b1f(a1) f(b1)− f(a1) = (1)f(2)− (2)f(1) f(2)− f(1) = (1)(14)− (2)(−5) (14)− (−5) = 24 19 = 1.2632 f(a1)f(c1) < 0 (−5)(−1.6023) < 0 NO cumple a2 = c1 = 1.2632, b2 = b1 = 2 Segunda iteración a2 = 1.2632, b2 = 2 c2 = a2f(b2)− b2f(a2) f(b2)− f(a2) = (1.2632)f(2)− (2)f(1.2632) f(2)− f(1.2632) c2 = (1.2632)(14)− (2)(−1.6023) (14)− (−1.6023) = 1.3388 f(a2)f(c2) < 0 (−1.6023)(−0.4308) < 0 NO cumple a3 = c2 = 1.3388, b3 = b2 = 2 |c2 − c1| = 0.0757 > ε Tercera iteración a3 = 1.3388, b3 = 2 c3 = a3f(b3)− b3f(a3) f(b3)− f(a3) = 1.3585 f(a3)f(c3) < 0 (−0.1108)(−0.4308) < 0 NO cumple a4 = c3 = 1.3585, b4 = b4 = 2 |c3 − c2| = 0.0197 > ε Métodos cerrados Regla falsa Iteración k a b ck |ck+1 − ck| 1 1.0000 2.0000 1.2632 - 2 1.2632 2.0000 1.3388 0.0757 3 1.3388 2.0000 1.3585 0.0197 4 1.3585 2.0000 1.3635 0.0050 5 1.3635 2.0000 1.3648 0.0013 6 1.3648 2.0000 1.3651 0.0003 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -5 0 5 10 15 Métodos cerrados Regla falsa Ejemplo 4 Determine la ráız en el intervalo [1, 3] de la función x cos(x) = −1 considere ε = 0.001 f(x) = x cos(x) + 1 Solución: Primer iteración a1 = 1, b1 = 3 c1 = a1f(b1)− b1f(a1) f(b1)− f(a1) = (1)f(3)− (3)f(1) f(3)− f(1) = (1)(−1.9700)− (3)(1.5403) (−1.9700)− (1.5403) = 1.8776 f(a1)f(c1) < 0 (1.5403)(0.4329) < 0 NO cumple a2 = c1 = 1.8776, b2 = b1 = 3 Segunda iteración a2 = 1.8776, b2 = 3 c2 = a2f(b2)− b2f(a2) f(b2)− f(a2) = (1.8776)f(3)− (3)f(1.8776) f(3)− f(1.8776) c2 = (1.8776)(−1.9700)− (3)(0.4329) (−1.9700)− (0.4329) = 2.0798 f(a2)f(c2) < 0 (−0.0135)(0.4329) < 0 ŚI cumple a3 = a2 = 1.8776, b3 = c2 = 2.0798 |c2 − c1| = 0.2022 > ε Tercera iteración a3 = 1.8776, b3 = 2.0798 c3 = a3f(b3)− b3f(a3) f(b3)− f(a3) = 2.0737 f(a3)f(c3) < 0 (0.4329)(5.3523× 10−4) < 0 NO cumple a4 = c3 = 2.0737, b4 = b4 = 2.0798 |c3 − c2| = 0.0061 > ε Métodos cerrados Regla falsa Iteración k a b ck |ck+1 − ck| 1 1.0000 3.0000 1.8776 - 2 1.8776 3.0000 2.0798 0.2022 3 1.8776 2.0798 2.0737 0.0061 4 2.0737 2.0798 2.0739 0.0002 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Métodos abiertos Punto fijo Método de aproximaciones sucesivas/Método de punto fijo Idea del método (método abierto):Reescribir f(x) = 0 como x = g(x), donde g(x) se denominará función de iteración. Usualmente existe más de una función de iteración. Como consecuencia, un punto de intersección de y = g(x) y y = x, conocido como punto fijo de g(x), es también una ráız de f(x) = 0. El punto fijo de g(x) se encuentra numéricamente mediante la iteración del punto fijo mediante xn+1 = g(xn), n = 1, 2, 3, . . . x1 = Punto inicial Ejemplo función de iteración Considere e−x/2 − x = 0 y su ráız. La ecuación se reescribe como x = e−x/2, tal que g(x) = e−x/2 es la función de iteración. Otra alternativa puede ser x = −2 ln(x), tal que g(x) = −2 ln(x) Métodos abiertos Punto fijo Método de punto fijo Procedimiento 1 Se comienza con un punto inicial x1 cercano al punto fijo 2 El siguiente punto fijo x2 se encuentra evaluando x2 = g(x1) y aśı sucesivamente 3 El método continúa hasta alcanzar uan distancia preescrita entre ambos puntos |xn+1 − xn| < ε Existen dos tipos de convergencia Monótona. Los elementos de la secuencia generada convergen al punto fijo desde un solo lado Oscilatorio. Los elementos rebotan de un lado a otro conforme convergen al punto fijo Elección de función de iteración Verificar que ∣∣g′(x)∣∣ < 1 cerca del punto fijo de g(x). En otras palabras, la curva g(x) es menos abrupta que la ĺınea y = x Métodos abiertos Punto fijo Ejemplo 5 Determine la ráız de la función x− 2−x = 0 considere g(x) = 2−x y x1 = 0, ε = 0.001 Solución: ¿Se cumple |g′(x)| < 1? g′(x) = ln(2)ex g′(0) = ln(2)e0 = 0.6931 |g′(0)| < 1 ŚI cumple Primera iteración, con x1 = 0 (n = 1) xn+1 = g(xn) x2 = g(x1) x2 = 1 |x2 − x1| = 1 > ε Segunda iteración, con x2 = 1 (n = 2) xn+1 = g(xn) x3 = g(x2) x3 = 0.5 |x3 − x2| = 0.5 > ε Tercera iteración, con x3 = 0.5 (n = 3) xn+1 = g(xn) x4 = g(x3) x4 = 0.7071 |x4 − x3| = 0.2071 > ε Cuarta iteración, con x4 = 0.7071 (n = 4) xn+1 = g(xn) x5 = g(x4) x5 = 0.6125 |x5 − x4| = 0.0946 > ε Métodos abiertos Punto fijo Ejemplo 5 Iteración n xn xn+1 |xn+1 − xn| 1 0 1.0000 1.0000 2 1.0000 0.5000 0.5000 3 0.5000 0.7071 0.2071 4 0.7071 0.6125 0.0946 5 0.6125 0.6540 0.0415 6 0.6540 0.6355 0.0185 7 0.6355 0.6437 0.0082 8 0.6437 0.6401 0.0037 9 0.6401 0.6417 0.0016 10 0.6417 0.6410 0.0007 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -1 -0.5 0 0.5 1 Métodos abiertos Punto fijo Ejemplo 6 Determine la ráız de la función x cos(x) = −1 considere g(x) = cos−1 ( − 1 x ) y x1 = 3, ε = 0.001 Solución: ¿Se cumple |g′(x)| < 1? g′(x) = − 1√ 1− (−x−1)2 (x−2) = − 1 x2 √ 1− x−2 g′(3) = − 1 32 √ 1− 3−2 = −0.1179 |g′(3)| < 1 ŚI cumple Primera iteración, con x1 = 3 (n = 1) xn+1 = g(xn) x2 = g(x1) x2 = 1.9106 |x2 − x1| = 1.0894 > ε Segunda iteración, con x2 = 1.9106 (n = 2) xn+1 = g(xn) x3 = g(x2) x3 = 2.1216 |x3 − x2| = 0.2110 > ε Tercera iteración, con x3 = 2.1216 (n = 3) xn+1 = g(xn) x4 = g(x3) x4 = 2.0616 |x4 − x3| = 0.0600 > ε Cuarta iteración, con x4 = 2.0616 (n = 4) xn+1 = g(xn) x5 = g(x4) x5 = 2.0772 |x5 − x4| = 0.0156 > ε Métodos abiertos Punto fijo Ejemplo 6 Iteración n xn xn+1 |xn+1 − xn| 1 3.0000 1.9106 1.0894 2 1.9106 2.1216 0.2110 3 2.1216 2.0616 0.0600 4 2.0616 2.0772 0.0156 5 2.0772 2.0731 0.0042 6 2.0731 2.0742 0.0011 7 2.0742 2.0739 0.0003 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Métodos abiertos Newton-Rhapson Método Newton-Raphson Es el método (abierto) más común para resolver f(x) = 0, donde f ′(x) es continua. Procedimiento 1 Se comienza con un punto inical x1, se localiza el punto (x1, f(x1)) 2 Se dibuja una ĺınea tangente en f(x1), y se deja intersectar al eje x para determinar x2 3 Se ubica el punto (x2, f(x2)), se dibuja la recta tangente en f(x2), se intersecta con eje x y se determina x3 Dos elementos consecutivos xn y xn+1 están relacionados por xn+1 = xn − f(xn) f ′(xn) , n = 1, 2, 3, . . . x1 = punto inicial Las iteraciones finalizan cuando dos elementos consecutivos están suficientemente cercanos entre śı: |xn+1 − xn| < ε Métodos abiertos Newton-Rhapson Comentarios sobre el método Cuando funciona, converge rápidamente a la ráız Si f(x), f ′(x) y f ′′(x) son continuas, f ′(ráız) 6= 0, y el punto inicial está creca de la ráız, entonces la secuencia generada por el método converge a la ráız El método puede fallar si: x1 no está suficientemente cerca de la ráız, f ′(xn) son cercanos o iguales a cero. Se requiere la conocer f ′(x), encontrarla en ocasiones puede ser dif́ıcil Métodos abiertos Newton-Rhapson Ejemplo 7 Determine la ráız en el intervalo de la función 8x3 − 18x2 + x + 6 = 0 x1 = −1, ε = 0.0001 f(x) = 8x3 − 18x2 + x + 6 f ′(x) = 24x2 − 26x + 1 Solución: Primera iteración x1 = −1, n = 1 xn+1 = xn − f(xn) f ′(xn) x2 = x1 − f(x1) f ′(x1) x2 = −0.6557 Segunda iteración x2 = −0.6557, n = 2 xn+1 = xn − f(xn) f ′(xn) x3 = x2 − f(x2) f ′(x2) x3 = −0.5226 Tercera iteración x3 = −0.5226, n = 3 xn+1 = xn − f(xn) f ′(xn) x4 = x2 − f(x3) f ′(x3) x4 = −0.5006 Métodos abiertos Newton-Rhapson Ejemplo 7 Iteración n xn xn+1 |xn+1 − xn| 1 -1.0000 -0.6557 0.3443 2 -0.6557 -0.5226 0.1332 3 -0.5226 -0.5006 0.0220 4 -0.5006 -0.5000 0.0006 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 Métodos abiertos Newton-Rhapson Ejemplo 8 Determine la ráız en el intervalo de la función x2 + ex = 5 x1 = −10, ε = 0.0001 f(x) = x2 + ex − 5 f ′(x) = 2x + ex Solución: Primera iteración x1 = −10, n = 1 xn+1 = xn − f(xn) f ′(xn) x2 = x1 − f(x1) f ′(x1) x2 = −5.2500 Segunda iteración x2 = −5.2500, n = 2 xn+1 = xn − f(xn) f ′(xn) x3 = x2 − f(x2) f ′(x2) x3 = −3.0996 Tercera iteración x3 = −3.0996, n = 3 xn+1 = xn − f(xn) f ′(xn) x4 = x2 − f(x3) f ′(x3) x4 = −2.3436 Métodos abiertos Newton-Rhapson Ejemplo 8 Iteración n xn xn+1 |xn+1 − xn| 1 -10.0000 -5.2500 4.7500 2 -5.2500 -3.0996 2.1504 3 -3.0996 -2.3436 0.7560 4 -2.3436 -2.2154 0.1282 5 -2.2154 -2.2114 0.0040 6 -2.2114 -2.2114 0.0000 -10 -8 -6 -4 -2 0 -20 0 20 40 60 80 100 Métodos abiertos Secante Método de la secante Es parecido a Newton, pero inicia con dos puntos x1, x2 y se trazan rectas secantes que pasan por ambos puntos Dos elementos consecutivos generados por el método secante están dados por xn+2 = xn+1 − xn+1 − xn f(xn+1)− f(xn) f(xn+1), n = 1, 2, 3, 4, . . . x1, x2 = puntos inicales El método finaliza cuando |xn+2 − xn+1| < ε Comparando con método de Newton, se puede observar que f ′(x) se aproxima con f(xn+1)−f(xn) xn+1−xn Métodos abiertos Secante Ejemplo 9 Determine la ráız en el intervalo de la función x cos(x) + 1 = 0 x1 = 1, x2 = 1.5, ε = 0.0001 f(x) = x cos(x) + 1 Solución: Primera iteración x1 = 1, x2 = 1.5, n = 1 xn+2 = xn+1 − xn+1 − xn f(xn+1)− f(xn) f(xn+1) x3 = x2 − x2 − x1 f(x2)− f(x1) f(x2) x3 = 2.7737 Segunda iteración x2 = 1.5, x3 = 2.7737, n = 2 xn+2 = xn+1 − xn+1 − xn f(xn+1)− f(xn) f(xn+1) x4 = x3 − x3 − x2 f(x3)− f(x2) f(x3) x4 = 2.0229 Tercera iteración x3 = 2.7737, x4 = 2.0229, n = 3 xn+2 = xn+1 − xn+1 − xn f(xn+1)− f(xn) f(xn+1) x5 = x4 − x4 − x3 f(x4)− f(x3) f(x4) x5 = 2.0741 Métodos abiertos Secante Ejemplo 9 Iteración n xn xn+1 xn+2 |xn+2 − xn+1| 1 1.0000 1.5000 2.7737 1.2737 2 1.5000 2.7737 2.0229 0.7508 3 2.7737 2.0229 2.0741 0.0512 4 2.0229 2.0741 2.0739 0.0002 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Métodos abiertos Secante Ejemplo 10 Determine la ráız en el intervalo de la función x2 + ex = 5 x1 = −10, x2 = −8, ε = 0.0001 f(x) = x2 + ex − 5 Solución: Primera iteración x1 = −10, x2 = −8, n = 1 xn+2 = xn+1 − xn+1 − xn f(xn+1)− f(xn) f(xn+1) x3 = x2 − x2 − x1 f(x2)− f(x1) f(x2) x3 = −4.7222 Segunda iteración x2 = −8, x3 = −4.7222, n = 2 xn+2 = xn+1 − xn+1 − xn f(xn+1)− f(xn) f(xn+1) x4 = x3 − x3 − x2 f(x3)− f(x2) f(x3) x4 = −3.3615 Tercera iteración x3 = −4.7222, x4 = −3.3615, n = 3 xn+2 = xn+1 − xn+1 − xn f(xn+1)− f(xn) f(xn+1) x5 = x4 − x4 − x3 f(x4)− f(x3) f(x4) x5 = −2.5760 Métodosabiertos Secante Ejemplo 10 Iteración n xn xn+1 xn+2 |xn+2 − xn+1| 1 -10.0000 -8.0000 -4.7222 3.2778 2 -8.0000 -4.7222 -3.3615 1.3607 3 -4.7222 -3.3615 -2.5760 0.7854 4 -3.3615 -2.5760 -2.2851 0.2909 5 -2.5760 -2.2851 -2.2173 0.0678 6 -2.2851 -2.2173 -2.2115 0.0058 7 -2.2173 -2.2115 -2.2114 0.0001 -10 -8 -6 -4 -2 0 -20 0 20 40 60 80 100 Factores cuadráticos Factores cuadráticos Este método funciona para ecuaciones algebraicas. Permite obtener las ráıces complejas de una ecuación algebraica. Sea p(x) = a0x n + a1x n−1 + a2x n−2 + . . . + an−1 + an = 0 De este polinomio se puede obtener un factor cuadrático de la forma x2 + px + q, por lo cual p(x) se puede reescribir como p(x) = (x2 + px + q)(b0x n−2 + b1x n−3 + b2x n−4 + . . . + bn−3x + bn−2) + Rx + S = 0 Efectuando la multiplicación se tiene p(x) =b0x n + pb0x n−1 + qb0x n−2 + b1x n−1 + pb1x n−2 + qb1x n−3 + b2x n−2 + pb2x n−3 + qb2x n−4 + . . . + bn−3x 3 + pbn−3x 2 + qbn−3x + bn−2x 2 + pbn−2x + qbn−2 + Rx + S = 0 Factores cuadráticos Factores cuadráticos Igualando coeficientes de las mismas potencias a0 = b0 b0 = a0 a1 = b1 + pb0 b1 = a1 − pb0 a2 = b2 + pb1 + qb0 b2 = a2 − pb1 − qb0 ... ... an−1 = R + pbn−2 + qbn−3 R = an−1 − pbn−2 − qbn−3 an = S + qbn−2 S = an − qbn−2 En general los coeficientes del polinimio reducido están dados por bk = ak − pbk−1 − qbk−2; k = 0, 1, 2, . . . , (n− 2) b−1 = b−2 = 0 Y los residuos R y S R = an−1 − pbn−2 − qbn−3 S = an − qbn−2 Factores cuadráticos Factores cuadráticos Para que x2 + px + q sea factor del polinomio p(x), se requiere que R y S sean igual a cero 0 = R = an−1 − pbn−2 − qbn−3 0 = S = an − qbn−2 Despejando p y q p = an−1 − qbn−3 bn−2 q = an bn−2 Factores cuadráticos Factores cuadráticos Los coeficientes b0, b1, b2, . . . , bn−2 del polinomio reducido se pueden calcular siempre y cuando se conozcan p y q. Se calcularán p y q de manera reiterativa, partiendo de un par de valores iniciales. Al finalizar cada iteración el método proporcionará un nuevo valor de p y q a través de incrementos de ∆p y ∆q ∆p = p∗ − p ∆q = q∗ − q donde p∗ y q∗ son los nuevos valores calculados, se pueden sustituir y se obtiene p∗ = an−1 − qbn−3 bn−2 q∗ = an bn−2 Sustituyendo en ∆s ∆p = an−1−qbn−3 bn−2 − p = an−1 − qbn−3 − pbn−2 bn−2 = R bn−2 ∆q = an bn−2 − q = an − qbn−2 bn−2 = S bn−2 Factores cuadráticos Ejemplo 11 Encontrar las ráıces de la siguiente ecuación x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0 considerando p = 0, q = 0 y condición de paro ∆p < ε y ∆q < ε, con ε = 0.001 a0 = 1; a1 = −2; a2 = −5; a3 = 6 Solución: Primera iteración p = 0, q = 0 b0 = a0 = 1 b1 = a1 − pb0 = −2− (0)(1) = −2 R = a2 − pb1 − qb0 = −5− (0)(−2)− (0)(1) = −5 S = a3 − qb1 = 6− (0)(−2) = 6 ∆p = R b1 = −5 −2 = 2.5 ∆q = S b1 = 6 −2 = −3 p∗ = ∆p + p = 2.5 + 0 = 2.5 q∗ = ∆q + q = −3 + 0 = −3 Segunda iteración p = 2.5, q = −3 b0 = a0 = 1 b1 = a1 − pb0 = −2− (2.5)(1) = −4.5 R = a2 − pb1 − qb0 = −5− (2.5)(−4.5)− (3)(1) = 9.5 S = a3 − qb1 = 6− (−3)(−4.5) = −7.5 ∆p = R b1 = 9.5 −4.5 = −2.0556 ∆q = S b1 = −7.5 −4.5 = 1.6667 p∗ = ∆p + p = −2.0556 + 2.5 = 0.4444 q∗ = ∆q + q = 1.6667 + (−3) = −1.3333 Factores cuadráticos Ejemplo 11 Iteración 1 2 . . . 21 p 0 2.5 . . . 0.9996 q 0 -3 . . . -1.9996 b0 1 1 . . . 1 b1 -2 -4.5 . . . -2.9996 R -5 9.5 . . . -0.0022 S 6 -7.5 . . . 0.0022 ∆p 2.5 -2.0556 . . . 7.45× 10−4 ∆q -3 1.6667 . . . −7.45× 10−4 p∗ 2.5 0.4444 . . . 1.0003 q∗ -3 -1.3333 . . . -2.0003 De lo anterior se tiene que (x2 + px + q)(b0x + b1) = 0 = p(x) [x2 + 1.0003x + (−2.0003)][(1)x + (−2.9996)] = 0 = p(x) Las ráıces del polinomio x2 + 1.0003x + (−2.0003) = 0 son x1 = −2.0003, x2 = 1 El polinomio reducido es x− 2.9996 = 0 Con ráız x3 = 2.9996 Métodos cerrados Bisección Regla falsa Métodos abiertos Punto fijo Newton-Rhapson Secante Factores cuadráticos
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