Superficies 02 Cilíndros y Cónos - Axel Sánchez Nazario

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SUPERFICIES CILINDRICAS Y CÓNICAS 
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ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA SUPERFICIE CILÍNDRICA 
 
Recordemos que una superficie cilíndrica se genera con RECTAS PARALELAS que se desplazan sobre una 
curva fija DIRECTRIZ. 
 
 
 
 
Vamos a construir cada una de esas rectas paralelas siguiendo a la curva directriz, empleando operaciones 
vectoriales. 
 
 
Como todas las rectas son paralelas, se pueden alinear con ayuda de un vector paralelo �̅� = ( 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ) 
 
 
De manera vectorial, una recta se puede construir con un punto conocido 𝑃0( 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y el vector �̅� 
 
 
 
Siendo 𝑡 un escalar real que podemos manipular para llegar a cualquier punto sobre la recta. 
 
�̅� = �̅�0 + 𝑡 �̅� 
 
SUPERFICIES CILINDRICAS Y CÓNICAS 
 
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Esta recta también se puede escribir de forma paramétrica o de forma simétrica 
 
𝐿 ∶ { 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝑡
 
𝑥 − 𝑥0
𝑎
=
𝑦 − 𝑦0
𝑏
=
𝑧 − 𝑧0
𝑐
 
 
 
Pero sólo es una recta y nosotros queremos una familia de rectas paralelas a la que tenemos. 
 
 
 
 
 
Para cambiar de recta, necesitamos cambiar el punto pivote 𝑃0 pero de forma tal, que siempre siga a la curva 
directriz. 
 
 
La curva directriz se puede expresar en forma vectorial con la siguiente expresión 
 
𝐶: �̅�0 = 𝑓1(𝜃)𝑖 + 𝑓2(𝜃)𝑗 + 𝑓3(𝜃)𝑘 
 
 
En la cual, cada función 𝑓(𝜃) tiene sus propias restricciones y dominios, pero juntas, en un intervalo paramétrico 
común, que es la intersección de los dominios de cada una de ellas, formarán a la curva directriz. 
 
 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑃𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝐼. 𝑃. = 𝛿1 ∩ 𝛿2 ∩ 𝛿3 
 
 
 
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Con esto en mente, podemos escribir la ecuación de la superficie cilíndrica juntando todas las rectas, es decir, 
vectorialmente llegamos al punto 𝑃0 sobre la curva, y desde ahí, aplicamos la suma del vector 𝑡�̅� para movernos 
sobre la recta que se encuentra en esa posición. 
 
 
𝑆 ∶ �̅� = ( 𝑓1(𝜃), 𝑓2(𝜃), 𝑓3(𝜃)) + 𝑡 ( 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ) 
 
 
 
 
Desarrollando la ecuación se puede escribir así 
 
 
𝑆 ∶ �̅� = ( 𝑓1(𝜃) + 𝑎 𝑡 ) 𝑖 + ( 𝑓2(𝜃) + 𝑏 𝑡 ) 𝑗 + ( 𝑓3(𝜃) + 𝑐 𝑡 ) 𝑘 
 
 
Y que en forma paramétrica, sólo debemos escribir por separado a cada componente 
 
𝑆 ∶ { 
𝑥 = 𝑓1(𝜃) + 𝑎 𝑡
𝑦 = 𝑓2(𝜃) + 𝑏 𝑡
𝑧 = 𝑓3(𝜃) + 𝑐 𝑡
 
 
 
Como todas las superficies en tres dimensiones, la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas necesitan de 
dos parámetros (en nuestro caso 𝜃 y 𝑡) para estar perfectamente definidas. 
 
 
El primero nos lleva a un punto sobre la superficie, mientras que el segundo nos mueve dentro de la superficie a 
diferentes puntos. 
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A continuación tenemos algunos ejemplos de construcción de la ecuación vectorial de una superficie cilíndrica, 
tomando como directriz a la curva C, y con rectas generatrices paralelas al vector �̅� 
 
 
Cilindro elíptico oblicuo 
 
 
La directriz es la elipse en el plano 𝑧 = −2 
 
𝐶 ∶ 
 𝑥2 
9
+
 𝑦2 
25
= 1 ; 𝑧 = −2 
 
Las generatrices son rectas paralelas al vector 
 
�̅� = ( −2 , 3 , 5 ) 
 
 
La directriz se puede escribir de forma vectorial 
usando funciones trigonométricas 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑦 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑧 = −2 
 
 
Entonces, una ecuación vectorial de esta superficie cilíndrica es 
 
 
𝑆 ∶ �̅� = ( 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 2𝑡 , 5 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 3𝑡 , −2 + 5𝑡 ) 
 
 
 
Recibe el calificativo de oblicuo porque el eje del cilindro no es perpendicular al plano que contiene a la directriz. 
 
 
Cuando el eje del cilindro sí es perpendicular al plano que contiene a la directriz, se le califica como cilindro recto. 
 
 
Seguimos observando como la superficie necesita de dos parámetros para estar perfectamente definida. Al darle 
valores al parámetro 𝜃 nos movemos sobre la curva directriz hasta un punto inicial, y los valores que asignamos 
al parámetro t, nos permiten movernos sobre la recta generatriz que pasa por ese punto inicial obtenido. 
 
 
 
 
 
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Cilindro hiperbólico oblicuo 
 
 
La directriz es la hipérbola en el plano 𝑥 = 4 
 
𝐶 ∶ 
 𝑧2 
4
−
 𝑦2 
9
= 1 ; 𝑥 = 4 
 
Las generatrices son rectas paralelas al vector 
 
�̅� = ( 2 , 2 , 1 ) 
 
 
La directriz se puede escribir de forma vectorial 
usando funciones trigonométricas 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 4 
𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝜃
𝑧 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝜃
 
 
Entonces, una ecuación vectorial de esta superficie cilíndrica es 
 
𝑆 ∶ �̅� = ( 4 + 2𝑡 , 3 𝑠𝑒𝑐 𝜃 + 2𝑡 , 2 𝑡𝑎𝑛 𝜃 + 𝑡 ) 
 
 
 
Cilindro parabólico oblicuo 
 
 
La directriz es la parábola en el plano 𝑦 = −3 
 
𝐶 ∶ 𝑥2 = 4𝑧 ; 𝑦 = −3 
 
Las generatrices son rectas paralelas al vector 
 
�̅� = ( 4 , −3 , 1 ) 
 
 
La directriz se puede escribir de forma vectorial 
usando a la variable cuadrática como parámetro 
 
𝐶 ∶ { 
𝑥 = 𝑟 
𝑦 = −3
𝑧 =
𝑟2
4
 
 
Entonces, una ecuación vectorial de esta superficie cilíndrica es 
 
𝑆 ∶ �̅� = ( 𝑟 + 4𝑡 , −3 − 3𝑡 , 𝑟
2
4⁄ + 𝑡 ) 
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ECUACIÓN VECTORIAL DE UNA SUPERFICIE CÓNICA 
 
Recordemos que una superficie cónica se genera con RECTAS CONCURRENTES a un punto fijo llamado 
VÉRTICE, que se desplazan sobre una curva fija DIRECTRIZ. 
 
 
 
 
Vamos a construir cada una de esas rectas paralelas siguiendo a la curva directriz, empleando operaciones 
vectoriales. 
 
 
Nuevamente, queremos formar la ecuación vectorial de una recta empleando un parámetro 𝑡 para llegar a 
cualquier punto sobre la recta. 
 
�̅� = �̅�0 + 𝑡 �̅� 
 
 
El punto 𝑃0 pertenece a la curva directriz, y se trabaja como lo hicimos en las superficies cilíndricas 
 
𝐶: �̅�0 = 𝑓1(𝜃)𝑖 + 𝑓2(𝜃)𝑗 + 𝑓3(𝜃)𝑘 
 
 
 
Pero el vector �̅� = ( 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ) lo tenemos que formar 
uniendo dos puntos sobre la recta generatriz: el vértice 
𝑉( 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) y el punto 𝑃0 
 
�̅� = �̅�0 − �̅� 
 
El sentido de este vector es indistinto pero, las 
ecuaciones se simplifican cuando el inicio es el vértice 
de la superficie cónica. 
 
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Cuando el punto 𝑃0 cambie de posición sobre la curva 
directriz, el vector �̅� cambia de dirección con él. 
 
�̅� = �̅�0 − �̅� 
 
 
�̅� = ( 𝑓1(𝜃) − 𝑣1 , 𝑓2(𝜃) − 𝑣2 , 𝑓3(𝜃) − 𝑣3 ) 
 
 
 
Si analizamos la primera de estas rectas, su ecuación 
vectorial tiene la forma 
 
�̅� = �̅�0 + 𝑡 �̅� 
 
Con lo cual nos movemos del origen cartesiano a un 
punto de la curva, y después nos desplazamos sobre la 
recta generatriz a otro punto de la superficie. 
 
Al utilizar la ecuación de la directriz para definir al punto 𝑃0, la ecuación de la recta luce así 
 
 
�̅� = ( 𝑓1(𝜃) , 𝑓2(𝜃) , 𝑓3(𝜃) ) + 𝑡 ( 𝑓1(𝜃) − 𝑣1 , 𝑓2(𝜃) − 𝑣2 , 𝑓3(𝜃) − 𝑣3 ) 
 
 
Esta ya es una ecuación vectorial de la superficie cónica. 
 
 
 
Moviendo el punto pivote 𝑃0 sobre la directriz, la 
ecuación de cada recta cambia con ese 
desplazamiento. 
 
 
Y desde ahí, sólo debemos movernos sobre dicha recta 
con ayuda del parámetro t. 
 
 
La combinación de estos dos movimientos, que depende de cada uno de sus propios parámetros, es la clave para 
generar la ecuación vectorial de la superficie cónica. 
 
SUPERFICIES CILINDRICAS Y CÓNICAS 
 
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Revisemos el siguiente ejemplo. La directriz será una elipse paralela al plano XZ, con vértice 𝑉( 1 , 6 , 2 ) 
 
Directriz 
 𝑥2 
4
+
 𝑧2 
9
= 1 ; 𝑦 = −2 
Que en forma vectorial luce así 
 
�̅� = ( 2 cos 𝜃 , −2 , 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) 
 
 
El vector paralelo a cada recta será la resta del punto pivote sobre la directriz y el vértice 
 
�̅� = ( 2 cos 𝜃 − 1 , −8 , 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2 ) 
 
 
La combinación de estos componentes nos conduce a 
la ecuación del cono elíptico que tiene por ecuaciones 
paramétricas 
 
 
𝑆 ∶ { 
𝑥 = 2 cos 𝜃 + 2 𝑡 cos 𝜃− 𝑡 
𝑦 = −2 − 8𝑡 
𝑧 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 3 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2𝑡
 
 
 
Que es otra manera de escribir a una ecuación vectorial 
 
 
𝑆 ∶ �̅� = ( 2 cos 𝜃 + 2 𝑡 cos 𝜃 − 𝑡 , −2 − 8𝑡 , 3 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 3 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2𝑡 ) 
 
 
Si decidimos utilizar como punto pivote al vértice del cono para todas las rectas generatrices, la ecuación se 
simplifica así 
 
 
𝑆 ∶ �̅� = ( 1 + 2 𝑡 cos 𝜃 − 𝑡 , 6 − 8𝑡 , 2 + 3 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2𝑡 ) 
 
 
Ambas ecuaciones son correctas para definir a la superficie cónica. 
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Revisemos otro ejemplo. La directriz será una hipérbola paralela al plano YZ, con vértice 𝑉( 5 , 2 , 3 ) 
 
Directriz 
 𝑦2 
25
−
 𝑧2 
16
= 1 ; 𝑥 = −3 
Que en forma vectorial luce así 
 
�̅� = ( −3 , 5 sec 𝜃 , 4 𝑡𝑎𝑛 𝜃 ) 
 
 
El vector paralelo a cada recta será la resta del punto pivote sobre la directriz y el vértice 
 
�̅� = ( −8 , 5 sec 𝜃 − 2 , 4 𝑡𝑎𝑛 𝜃 − 3 ) 
 
 
La combinación de estos componentes nos conduce a 
la ecuación del cono elíptico que tiene por ecuaciones 
paramétricas 
 
 
𝑆 ∶ { 
𝑥 = −3 − 8𝑡 
𝑦 = 5 sec 𝜃 + 5 𝑡 sec 𝜃 − 2𝑡 
𝑧 = 4 tan 𝜃 + 4 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝜃 − 3𝑡
 
 
 
Que es otra manera de escribir a una ecuación vectorial 
 
 
𝑆 ∶ �̅� = (−3 − 8𝑡 , 5 sec 𝜃 + 5 𝑡 sec 𝜃 − 2𝑡 , 4 𝑡𝑎𝑛 𝜃 + 4 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝜃 − 3𝑡 ) 
 
 
 
Si decidimos utilizar como punto pivote al vértice del cono para todas las rectas generatrices, la ecuación se 
simplifica así 
 
𝑆 ∶ �̅� = (5 − 8𝑡 , 2 + 5 𝑡 sec 𝜃 − 2𝑡 , 3 + 4 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝜃 − 3𝑡 ) 
 
 
Ambas ecuaciones son correctas para definir a la superficie cónica. 
 
 
A partir de estas ideas, la imaginación nos lleva a crear cualquier superficie cilíndrica o cónica.