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RESUMEN C4 COMPLEMENTOS - Mario Sánchez

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USM Campus Santiago 
Resumen Contenidos Certamen 4 MAT021 
 
http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 1/3 
 
Informáticos 09 
Complementos 
PolinomiosPolinomiosPolinomiosPolinomios 
Definición 
Un polinomio en la variable � es una expresión 
algebraica de la forma: 
���� � ! " #� " $�$ " … " &�& 
Observación 
�1� ) *: 
+* , - . / �01*203*0 45 1 .6�7 
+* , - 8 / �01*203*0 903�15:0 86�7 
 
Generalizando: 
+* = c 8 / =6�75+ 51 >02:?2@0 A5 @0A0+ 
10+ �01*203*0+ >02 >05B*>*52@5+ =. 
 
�2� Si ���� � ! " #� " $�$ " … " &�&; & G 0 
el grado del polinomio ���� es: 
 IJ AK����L � 2 
Si ���� � > ; >: >02+@ 2@5 
el grado del polinomio ���� es: 
 IJ AK����L � 0 
Nota: el grado del polinomio constante 0 
����� � 0� no está definido. 
Operaciones con PolinomiosOperaciones con PolinomiosOperaciones con PolinomiosOperaciones con Polinomios 
Sean ����y P��� - =6�7 
�1� Suma 
���� " P��� Q J5A?>>*ó2 A5 @5J3*20+ 
+535: 2@5+ 
 
�2� Producto 
���� · P��� Q A*+@J*S?>*ó2 T J5A?>>*ó2 
Teorema 
Sean ����y P��� - =6�7, entonces: 
�1� IJ A K���� " P���L W Xá� YIJ AK����L, IJ AKP���LZ 
�2� IJ A K���� · P���L � IJ AK����L " IJ AKP���L 
Observación 
Sean ����y P��� - =6�7 
 
Se dice que ����y P��� son iguales si y solo si sus 
coeficientes son iguales. 
 
División de División de División de División de PolinomiosPolinomiosPolinomiosPolinomios 
Algoritmo de la divisiónAlgoritmo de la divisiónAlgoritmo de la divisiónAlgoritmo de la división 
Teorema 
Sean ����y +��� - =6�7, +��� G 0, entonces existen 
polinomios P���y J��� únicos tales que: 
���� � P��� · +��� " J��� 
>02 P���: >?0>*52@5 T J���: J5+@0 
T IJ AKJ���L ^ IJ AK+���L ó J��� � 0 
Metodologías de división 
Ejemplo: Encontrar cociente y resto al dividir 
���� � 3�d e 2�f " 5� e 7 por P��� � � " 2 
Método 1: 
�3�d e 2�f " 5� e 7� j �� " 2� � 3�f e 8�$ " 16� e 27 
e�3�d " 6�f� m �� " 2��3�f� 
 e8�f " 5� e 7 
 e�8�f e 16�$� m �� " 2��e8�$� 
 16�$ " 5� e 7 
 e�16�$ " 32�� m �� " 2��16�� 
 27� e 7 
 e�27� e 54� m �� " 2��27� 
 47 
cociente: 3�f e 8�$ " 16� e 27 resto: 47 
 
División SintéticaDivisión SintéticaDivisión SintéticaDivisión Sintética 
Esta regla se aplica para dividir un polinomio 
���� � &�& " &o#�&o# " … " $�$ " #� " ! 
por un polinomio lineal de la forma P��� � � e p, 
obteniendo como resultado un polinomio 
+��� � S&o#�&o# " … " S$�$ " S#� " S! y un 
polinomio J��� llamado resto. 
 & &o# … $ # ! 
p S&o# · p … S$ · p S# · p S! · p 
 
 S&o# S&o$ … S# S! J��� 
 
S&o# � & 
S&o$ � &o# " S&o# · p 
 q 
 
S# � $ " S$ · p 
S! � # " S# · p 
J��� � ! " S! · p 
 
Método 2: División Sintética 
���� � 3�d e 2�f " 5� e 7 P��� � � e �e2� / p � e2 
 3 e2 0 5 e7 
-2 e6 16 e32 54 
 
 3 e8 16 e27 47 
 
cociente: 3�f e 8�$ " 16� e 27 resto: 47 
 
USM Campus Santiago 
Resumen Contenidos Certamen 4 MAT021 
 
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Informáticos 09 
Raíz de un PolinomioRaíz de un PolinomioRaíz de un PolinomioRaíz de un Polinomio 
Definición 
Sea ���� - =6�7, se dice que p es raíz de ���� si y solo 
si ��p� � 0 
Observación 
Las Raíces de un polinomio en .6�7 son los puntos 
donde la curva T � ���� intercepta al 5:5 �. 
 
Teorema del RestoTeorema del RestoTeorema del RestoTeorema del Resto 
El resto que resulta de dividir ���� - =6�7 por el 
polinomio �� e p� es ��p� 
Demostración 
���� y �� e p� por el Algoritmo de la división, existen 
polinomios P���y J��� únicos tales que: 
��p� � �� e p� P�p� " J�p� 
��p� � J�p� 
T IJ AKJ���L � 0 ó J��� � 0 
 
Factores y DivisibilidadFactores y DivisibilidadFactores y DivisibilidadFactores y Divisibilidad 
Sean ���� y +��� - =6�7 
Si +���es factor de ���� / v P��� tal que 
���� � +��� · P��� 
/ J��� � 0 �51 J5+@0 A5 1 A*w*+*02 5+ 0� 
 
Teorema del FactorTeorema del FactorTeorema del FactorTeorema del Factor 
p es raíz de ���� si y solo si �� e p� es factor de ���� 
 
Irreductibilidad y FactorizacionesIrreductibilidad y FactorizacionesIrreductibilidad y FactorizacionesIrreductibilidad y Factorizaciones 
Sea ���� - =6�7, ���� es irreductible sobre = si NONONONO 
existen polinomios +#��� y +$��� - =6�7 tales que: 
���� � +#��� · +$��� 
1 W IJ AK+#���L, IJ AK+$���L ^ IJ AK����L 
 
 
 
Teoremas 
�1� Los únicos Polinomios Irreductibles sobre . son: 
�i� Polinomios lineales �Grado 1� 
�ii� Polinomios cuadráticos con discriminante 
negativa 
�2� Todo polinomio - .6�7 puede escribirse como 
producto de factores irreductibles - .6�7 
 
Raíces y MultiplicidadRaíces y MultiplicidadRaíces y MultiplicidadRaíces y Multiplicidad 
Definición 
Se dice que p es raíz de ����, de multiplicidad 3, si 
�� e p�y es factor de ���� y �� e p�yz# no es factor 
Teorema 
Todo Polinomio - .6�7 de grado 2, tiene a lo más 2 
raíces. 
 
Algunos Criterios para determinar raícesAlgunos Criterios para determinar raícesAlgunos Criterios para determinar raícesAlgunos Criterios para determinar raíces 
Teorema 1 
Sea ���� � &�& " … " $�$ " #� " ! - =6�7 
Si p � {| es una raíz racional de ���� >02 , S - } , 
entonces divide a ! y S divide a & 
~* p � S - � 5+ J í� A5 �, 52@02>5+: 
 !⁄ T S &⁄ 
Teorema 2 
Sea ���� - .6�7 
Si ���� tiene una raíz compleja p, entonces p� también 
es raíz de ���� 
Consecuencia: Si ���� - .6�7 es de grado impar, debe 
tener al menos una raíz real �No es siempre válido si 
����tiene coeficientes - 8 � 
Teorema 2 
Sea ���� - .6�7 
Si ���� tiene como raíz � " �P; p, q racionales; 
entonces � e �P también es raíz de ���� 
 
Teorema Fundamental del AlgebraTeorema Fundamental del AlgebraTeorema Fundamental del AlgebraTeorema Fundamental del Algebra 
Todo Polinomio en =6�7 con = c 8, de grado 2, tiene 
exactamente 2 raíces en 8 
 
 
USM Campus Santiago 
Resumen Contenidos Certamen 4 MAT021 
 
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Informáticos 09 
Descomposición en Fracciones ParcialesDescomposición en Fracciones ParcialesDescomposición en Fracciones ParcialesDescomposición en Fracciones Parciales 
 
Sea la función �������� ; ����, P��� polinomios reales y sea IJ AK����L ^ IJ AKP���L. 
En caso contrario; primero se divide ���� por P��� 
Caso I: El denominador q�x� se descompone en factores lineales distintos 
����
P��� �
����
�� e #��� e $� … �� e &�
 
����
P��� �
�#
� e #
" �$� e $
" � " �&� e &
 
Caso II: El denominador q�x� se descompone en factores lineales iguales 
����
P��� �
����
�� e �& 
����
P��� �
�#
� e "
�$
�� e �$ "
�f
�� e �f " � "
�&
�� e �& 
Caso III: El denominador q�x� se descompone en factores cuadráticos irreductibles �∆^ 0� distintos 
����
P��� �
����
� #�$ " S#� " >#�� $�$ " S$� " >$� … � &�& " S&� " >&�
 
����
P��� �
�#� " �#
 #�$ " S#� " >#
" �$� " �$ $�$ " S$� " >$
" � " �&� " �& &�& " S&� " >&
 
Caso IV: El denominador q�x� se descompone en factores cuadráticos irreductibles �∆^ 0� iguales 
����
P��� �
����
� �$ " S� " >�& 
����
P��� �
�#� " �#
 �$ " S� " > "
�$� " �$
� �$ " S� " >�$ "
�f� " �f
� �$ " S� " >�f " � "
�&� " �&
� �$ " S� " >�& 
 
 
El Autor de este resumen no se hace responsable por errores u omisiones de los 
contenidos mínimos para el certamen. 
Se recomienda complementar con los textos “Calculo” de Stewart, “Algebra 
Uno” de Luis Tapia u otro similar.

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