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USM Campus Santiago Resumen Contenidos Certamen 4 MAT021 http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 1/3 Informáticos 09 Complementos PolinomiosPolinomiosPolinomiosPolinomios Definición Un polinomio en la variable � es una expresión algebraica de la forma: ���� � ! " #� " $�$ " … " &�& Observación �1� ) *: +* , - . / �01*203*0 45 1 .6�7 +* , - 8 / �01*203*0 903�15:0 86�7 Generalizando: +* = c 8 / =6�75+ 51 >02:?2@0 A5 @0A0+ 10+ �01*203*0+ >02 >05B*>*52@5+ =. �2� Si ���� � ! " #� " $�$ " … " &�&; & G 0 el grado del polinomio ���� es: IJ AK����L � 2 Si ���� � > ; >: >02+@ 2@5 el grado del polinomio ���� es: IJ AK����L � 0 Nota: el grado del polinomio constante 0 ����� � 0� no está definido. Operaciones con PolinomiosOperaciones con PolinomiosOperaciones con PolinomiosOperaciones con Polinomios Sean ����y P��� - =6�7 �1� Suma ���� " P��� Q J5A?>>*ó2 A5 @5J3*20+ +535: 2@5+ �2� Producto ���� · P��� Q A*+@J*S?>*ó2 T J5A?>>*ó2 Teorema Sean ����y P��� - =6�7, entonces: �1� IJ A K���� " P���L W Xá� YIJ AK����L, IJ AKP���LZ �2� IJ A K���� · P���L � IJ AK����L " IJ AKP���L Observación Sean ����y P��� - =6�7 Se dice que ����y P��� son iguales si y solo si sus coeficientes son iguales. División de División de División de División de PolinomiosPolinomiosPolinomiosPolinomios Algoritmo de la divisiónAlgoritmo de la divisiónAlgoritmo de la divisiónAlgoritmo de la división Teorema Sean ����y +��� - =6�7, +��� G 0, entonces existen polinomios P���y J��� únicos tales que: ���� � P��� · +��� " J��� >02 P���: >?0>*52@5 T J���: J5+@0 T IJ AKJ���L ^ IJ AK+���L ó J��� � 0 Metodologías de división Ejemplo: Encontrar cociente y resto al dividir ���� � 3�d e 2�f " 5� e 7 por P��� � � " 2 Método 1: �3�d e 2�f " 5� e 7� j �� " 2� � 3�f e 8�$ " 16� e 27 e�3�d " 6�f� m �� " 2��3�f� e8�f " 5� e 7 e�8�f e 16�$� m �� " 2��e8�$� 16�$ " 5� e 7 e�16�$ " 32�� m �� " 2��16�� 27� e 7 e�27� e 54� m �� " 2��27� 47 cociente: 3�f e 8�$ " 16� e 27 resto: 47 División SintéticaDivisión SintéticaDivisión SintéticaDivisión Sintética Esta regla se aplica para dividir un polinomio ���� � &�& " &o#�&o# " … " $�$ " #� " ! por un polinomio lineal de la forma P��� � � e p, obteniendo como resultado un polinomio +��� � S&o#�&o# " … " S$�$ " S#� " S! y un polinomio J��� llamado resto. & &o# … $ # ! p S&o# · p … S$ · p S# · p S! · p S&o# S&o$ … S# S! J��� S&o# � & S&o$ � &o# " S&o# · p q S# � $ " S$ · p S! � # " S# · p J��� � ! " S! · p Método 2: División Sintética ���� � 3�d e 2�f " 5� e 7 P��� � � e �e2� / p � e2 3 e2 0 5 e7 -2 e6 16 e32 54 3 e8 16 e27 47 cociente: 3�f e 8�$ " 16� e 27 resto: 47 USM Campus Santiago Resumen Contenidos Certamen 4 MAT021 http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 2/3 Informáticos 09 Raíz de un PolinomioRaíz de un PolinomioRaíz de un PolinomioRaíz de un Polinomio Definición Sea ���� - =6�7, se dice que p es raíz de ���� si y solo si ��p� � 0 Observación Las Raíces de un polinomio en .6�7 son los puntos donde la curva T � ���� intercepta al 5:5 �. Teorema del RestoTeorema del RestoTeorema del RestoTeorema del Resto El resto que resulta de dividir ���� - =6�7 por el polinomio �� e p� es ��p� Demostración ���� y �� e p� por el Algoritmo de la división, existen polinomios P���y J��� únicos tales que: ��p� � �� e p� P�p� " J�p� ��p� � J�p� T IJ AKJ���L � 0 ó J��� � 0 Factores y DivisibilidadFactores y DivisibilidadFactores y DivisibilidadFactores y Divisibilidad Sean ���� y +��� - =6�7 Si +���es factor de ���� / v P��� tal que ���� � +��� · P��� / J��� � 0 �51 J5+@0 A5 1 A*w*+*02 5+ 0� Teorema del FactorTeorema del FactorTeorema del FactorTeorema del Factor p es raíz de ���� si y solo si �� e p� es factor de ���� Irreductibilidad y FactorizacionesIrreductibilidad y FactorizacionesIrreductibilidad y FactorizacionesIrreductibilidad y Factorizaciones Sea ���� - =6�7, ���� es irreductible sobre = si NONONONO existen polinomios +#��� y +$��� - =6�7 tales que: ���� � +#��� · +$��� 1 W IJ AK+#���L, IJ AK+$���L ^ IJ AK����L Teoremas �1� Los únicos Polinomios Irreductibles sobre . son: �i� Polinomios lineales �Grado 1� �ii� Polinomios cuadráticos con discriminante negativa �2� Todo polinomio - .6�7 puede escribirse como producto de factores irreductibles - .6�7 Raíces y MultiplicidadRaíces y MultiplicidadRaíces y MultiplicidadRaíces y Multiplicidad Definición Se dice que p es raíz de ����, de multiplicidad 3, si �� e p�y es factor de ���� y �� e p�yz# no es factor Teorema Todo Polinomio - .6�7 de grado 2, tiene a lo más 2 raíces. Algunos Criterios para determinar raícesAlgunos Criterios para determinar raícesAlgunos Criterios para determinar raícesAlgunos Criterios para determinar raíces Teorema 1 Sea ���� � &�& " … " $�$ " #� " ! - =6�7 Si p � {| es una raíz racional de ���� >02 , S - } , entonces divide a ! y S divide a & ~* p � S - � 5+ J í� A5 �, 52@02>5+: !⁄ T S &⁄ Teorema 2 Sea ���� - .6�7 Si ���� tiene una raíz compleja p, entonces p� también es raíz de ���� Consecuencia: Si ���� - .6�7 es de grado impar, debe tener al menos una raíz real �No es siempre válido si ����tiene coeficientes - 8 � Teorema 2 Sea ���� - .6�7 Si ���� tiene como raíz � " �P; p, q racionales; entonces � e �P también es raíz de ���� Teorema Fundamental del AlgebraTeorema Fundamental del AlgebraTeorema Fundamental del AlgebraTeorema Fundamental del Algebra Todo Polinomio en =6�7 con = c 8, de grado 2, tiene exactamente 2 raíces en 8 USM Campus Santiago Resumen Contenidos Certamen 4 MAT021 http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 3/3 Informáticos 09 Descomposición en Fracciones ParcialesDescomposición en Fracciones ParcialesDescomposición en Fracciones ParcialesDescomposición en Fracciones Parciales Sea la función �������� ; ����, P��� polinomios reales y sea IJ AK����L ^ IJ AKP���L. En caso contrario; primero se divide ���� por P��� Caso I: El denominador q�x� se descompone en factores lineales distintos ���� P��� � ���� �� e #��� e $� … �� e &� ���� P��� � �# � e # " �$� e $ " � " �&� e & Caso II: El denominador q�x� se descompone en factores lineales iguales ���� P��� � ���� �� e �& ���� P��� � �# � e " �$ �� e �$ " �f �� e �f " � " �& �� e �& Caso III: El denominador q�x� se descompone en factores cuadráticos irreductibles �∆^ 0� distintos ���� P��� � ���� � #�$ " S#� " >#�� $�$ " S$� " >$� … � &�& " S&� " >&� ���� P��� � �#� " �# #�$ " S#� " ># " �$� " �$ $�$ " S$� " >$ " � " �&� " �& &�& " S&� " >& Caso IV: El denominador q�x� se descompone en factores cuadráticos irreductibles �∆^ 0� iguales ���� P��� � ���� � �$ " S� " >�& ���� P��� � �#� " �# �$ " S� " > " �$� " �$ � �$ " S� " >�$ " �f� " �f � �$ " S� " >�f " � " �&� " �& � �$ " S� " >�& El Autor de este resumen no se hace responsable por errores u omisiones de los contenidos mínimos para el certamen. Se recomienda complementar con los textos “Calculo” de Stewart, “Algebra Uno” de Luis Tapia u otro similar.
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