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RESUMEN C3 COMPLEMENTOS - Mario Sánchez

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USM Campus Santiago 
Resumen Contenidos Certamen 3 MAT021 
 
http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 1/3 
 
Informáticos 09 
Complementos 
Inducción Matemática 
Primer Axioma de inducción 
Sea ���� proposición para � � �, se debe 
cumplir que: 
- ��1� es verdadero 
- Hipótesis de Inducción: ���� es verdadero 
para algún � � �, entonces ��� 	 1�es 
verdadero. 
 ���� es verdadero � � � �. 
Segundo principio de inducción 
Sea ���� proposición para � � �, se debe 
cumplir que: 
- ����� es verdadero; �� 
 1 
- Hipótesis de Inducción: ����� � ���� 	 1� � … � ����es verdadero para 
algún � � �, entonces ��� 	 1�es verdadero. 
Sumatorias 
Notación 
� � � "Sumatoria desde k=1 hasta
 k=n de ak"
�
���
 
Definición 
��� � �� 	 �� 	 �� 	 …. 	
�
���
�� 
Importante 
� �� � ���
�
���
� � ��
���
���
�
���
; � � 1 
Propiedades 
���� 	 ��� � 
�
���
 � ��
�
���
	 ���
�
���
 
� · �� � 
�
���
 · ���
�
���
 
� � � · 
�
���
 
Algunas Sumas Clásicas 
�" � ��� 	 1�2
�
���
 
�"� � ��� 	 1��2� 	 1�6
�
���
 
�"� � %��� 	 1�2 &
��
���
 
Suma telescópica 
���� � ��'�� � 
�
���
 �� � ��'� 
����'� � ��� � 
�
���
 ��'� � �� 
Progresiones 
Progresión Aritmética (P.A.) 
�� � �� 	 �" � 1�( 
(: (*+,-,� *� ,�.-, 2 .,-�*�/0 /�0, 1.*2/0. 
Suma de los n primeros términos de una P.A. 
��� � ���� 	 ���2
�
���
 
Progresión Geométrica (P.G.) 
�� � �� · -��� 
-: -�4ó� ,�.-, 2 .,-�*�/0 /�0, 1.*2/0. 
 
 
USM Campus Santiago 
Resumen Contenidos Certamen 3 MAT021 
 
http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 2/3 
 
Informáticos 09 
Suma de los n primeros términos de una P.G. 
5� � ���1 � -
��
1 � - 
Teorema del Binomio 
�� 	 ��� � �6�"7�����8
�
���
 
Factorial 
� � � 9 :0<; �! � "� +� ./-*�?" 
�! � 1 · 2 · 3 · … · � ; � � 0 0! � 1 �! � �� � 1�! · � 
Combinatoria 
� � �, " � � 9 :0<; � 
 "; 6�"7 � n sobre k 
6�"7 �
�!
�� � "�! · "! 
6�07 � 1 
6�17 � � 
6��7 � 1 
 
6�"7 � 6
�
� � "7 
6 �" 	 17 	 6
�
"7 � 6
� 	 1
" 7 
" 6�"7 � � 6
� � 1
" � 17 
Números Complejos 
B � :� 	 �* / �, � � C � *2 � �1< 
Observaciones 
- C c B 
- * es solución de la ecuación E� 	 1 � 0 
- 4 � � 	 �* 
 �: ��-., -,�? (, 4 �: ��-., *��F*��-*� (, 4 G,�4� � � H��4� � � 
4 � � 	 �* corresponde al par ordenado ��, �� en el 
Plano Complejo: IJ, E K IJ, G,�? IJ, L K IJ, H��F*��-*/ 
Operaciones en ℂ 
Sean 4 � � 	 �* � M � 	 (* � ℂ 
Suma 
4 	 M � �� 	 � 	 �� 	 (�* 
Producto 
4 · M � �� 	 �*�� 	 (*� � � 	 �(* 	 � * 	 �(*� 
Teorema 
ℂ /� ?� 01�� L ,? �-/(1 ./ ,0 1� 1,-�/, ,0 (, *-: 
(1) La suma y el producto son cerrados 
(2) La suma y el producto son conmutativos y 
asociativos 
(3) Existe un neutro aditivo: 0 � 0 	 0* 
(4) �4 � � 	 �* existe un inverso aditivo: �4 � �� � �* 
(5) Existe un neutro multiplicativo: 1 � 1 	 0* 
(6) �4 � � 	 �* existe un inverso multiplicativo: 
4�� � ��� 	 �� �
�*
�� 	 �� 
(7) El producto distribuye sobre la suma 
Módulo y Conjugado 
Sea 4 � � 	 �* � ℂ 
Definición 
Módulo de Z 
|4| � O�� 	 �� 
 
Conjugado de Z 4 � � � �* 
 
Observaciones 
Sean 4 � � 	 �* � M � 	 (* � ℂ ; 4 P 0 
(i) 4 · 4 � |4|� 
(ii) 4�� � Q|Q|R � SSR'TR � TSR'TR * 
(iii) 
U
V � Q·W|W|R ; M P 0 
 
 
USM Campus Santiago 
Resumen Contenidos Certamen 3 MAT021 
 
http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 3/3 
 
Informáticos 09 
Propiedades 
(1) 4X � 4 
(2) 4 	 MYYYYYYYY � 4Z 	 M[ 
(3) 4 · MYYYYYY � 4Z · M[ 
(4) G,�4� � Q'Q� ; H��4� �
Q'Q
�\ 
(5) |4| � |4| 
(6) |4 · M| � |4| · |M| 
(7) ] QW] �
|Q|
|W| ; M P 0 
(8) |4 	 M| ^ |4| 	 |M| 
 
Forma Polar de un Número Complejo 
Sea 4 � � 	 �* � B, su forma polar está dada por: 
4 � |4|�cos b 	 * sen b� 
El ángulo e corresponde al “Argumento de z” y se 
denota por: 
 fgh�i� j-F�4�: ℂ K C j-F�4� � ��k, kl 
Determinar mno�p� 
Si se tiene el complejo 4 � E 	 L* y: 
- 4 � q r qs cuadrante: 
b � j-F�4� � j- .�� 6LE7 - 4 � qq cuadrante: 
b � j-F�4� � j- .�� 6LE7	 k - 4 � qqq cuadrante: 
b � j-F�4� � j- .�� 6LE7� k 
La Función tuv 
Sea b � C 
Definición 
w*0�b� � cos�b� 	 * sen�b� 
Observaciones 
(i) w*0: C K ℂ 
(ii) Si 4 � ℂ : 4 � |4| �cos�b� 	 * sen�b�� 4 � |4| Cis�b� 
 
 
Propiedades 
w*0�b� 	 b�� � w*0�b�� · w*0�b�� w*0�b 	 2"k� � w*0�b� ; " � z |w*0�b�| � 1 w*0��b� � w*0�� · b� 
Definición 
,\{ � cos�b� 	 * sen�b� ,\{ � Cis�b� 
Si 4 � ℂ 4 � |4| ,\{ 
Raíces de la Unidad 
Sea M� � 1 
M�� �| � w*0 }2"k� ~ ; " � z 
Soluciones 
M� � w*0 }2"k� ~ ; " � 0, 1, 2, 3, … , �� � 1� 
“Fórmula para las raíces �-esimas de la 
unidad” 
 
(i) Las raíces de la unidad están en el circulo 
unitario, pues |M�| �1 
(ii) Las raíces �-esimas de la unidad forman un 
polígono regular de � lados 
(iii) M� � w*0 6���� 7 � w*0� 6��� 7 
 
M� � w*0 6��� 7 
 M�� � w*0� 6��� 7 . 
(iv) Las raíces de la unidad tienen suma nula 
 
Raíces de un Número Complejo Cualquiera 
4� � |4�|w*0 }b�� ~ · M� ; "� 0, 1, 2, 3, … , �� � 1� 
 
 
El Autor de este resumen no se hace responsable por posibles errores o por no incluir los contenidos 
mínimos necesarios para el certamen. 
Se recomienda complementar con otros Apuntes o textos como “Algebra Uno” de “Bustos”.

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