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USM Campus Santiago Resumen Contenidos Certamen 3 MAT021 http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 1/3 Informáticos 09 Complementos Inducción Matemática Primer Axioma de inducción Sea ���� proposición para � � �, se debe cumplir que: - ��1� es verdadero - Hipótesis de Inducción: ���� es verdadero para algún � � �, entonces ��� 1�es verdadero. ���� es verdadero � � � �. Segundo principio de inducción Sea ���� proposición para � � �, se debe cumplir que: - ����� es verdadero; �� 1 - Hipótesis de Inducción: ����� � ���� 1� � … � ����es verdadero para algún � � �, entonces ��� 1�es verdadero. Sumatorias Notación � � � "Sumatoria desde k=1 hasta k=n de ak" � ��� Definición ��� � �� �� �� …. � ��� �� Importante � �� � ��� � ��� � � �� ��� ��� � ��� ; � � 1 Propiedades ���� ��� � � ��� � �� � ��� ��� � ��� � · �� � � ��� · ��� � ��� � � � · � ��� Algunas Sumas Clásicas �" � ��� 1�2 � ��� �"� � ��� 1��2� 1�6 � ��� �"� � %��� 1�2 & �� ��� Suma telescópica ���� � ��'�� � � ��� �� � ��'� ����'� � ��� � � ��� ��'� � �� Progresiones Progresión Aritmética (P.A.) �� � �� �" � 1�( (: (*+,-,� *� ,�.-, 2 .,-�*�/0 /�0, 1.*2/0. Suma de los n primeros términos de una P.A. ��� � ���� ���2 � ��� Progresión Geométrica (P.G.) �� � �� · -��� -: -�4ó� ,�.-, 2 .,-�*�/0 /�0, 1.*2/0. USM Campus Santiago Resumen Contenidos Certamen 3 MAT021 http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 2/3 Informáticos 09 Suma de los n primeros términos de una P.G. 5� � ���1 � - �� 1 � - Teorema del Binomio �� ��� � �6�"7�����8 � ��� Factorial � � � 9 :0<; �! � "� +� ./-*�?" �! � 1 · 2 · 3 · … · � ; � � 0 0! � 1 �! � �� � 1�! · � Combinatoria � � �, " � � 9 :0<; � "; 6�"7 � n sobre k 6�"7 � �! �� � "�! · "! 6�07 � 1 6�17 � � 6��7 � 1 6�"7 � 6 � � � "7 6 �" 17 6 � "7 � 6 � 1 " 7 " 6�"7 � � 6 � � 1 " � 17 Números Complejos B � :� �* / �, � � C � *2 � �1< Observaciones - C c B - * es solución de la ecuación E� 1 � 0 - 4 � � �* �: ��-., -,�? (, 4 �: ��-., *��F*��-*� (, 4 G,�4� � � H��4� � � 4 � � �* corresponde al par ordenado ��, �� en el Plano Complejo: IJ, E K IJ, G,�? IJ, L K IJ, H��F*��-*/ Operaciones en ℂ Sean 4 � � �* � M � (* � ℂ Suma 4 M � �� � �� (�* Producto 4 · M � �� �*�� (*� � � �(* � * �(*� Teorema ℂ /� ?� 01�� L ,? �-/(1 ./ ,0 1� 1,-�/, ,0 (, *-: (1) La suma y el producto son cerrados (2) La suma y el producto son conmutativos y asociativos (3) Existe un neutro aditivo: 0 � 0 0* (4) �4 � � �* existe un inverso aditivo: �4 � �� � �* (5) Existe un neutro multiplicativo: 1 � 1 0* (6) �4 � � �* existe un inverso multiplicativo: 4�� � ��� �� � �* �� �� (7) El producto distribuye sobre la suma Módulo y Conjugado Sea 4 � � �* � ℂ Definición Módulo de Z |4| � O�� �� Conjugado de Z 4 � � � �* Observaciones Sean 4 � � �* � M � (* � ℂ ; 4 P 0 (i) 4 · 4 � |4|� (ii) 4�� � Q|Q|R � SSR'TR � TSR'TR * (iii) U V � Q·W|W|R ; M P 0 USM Campus Santiago Resumen Contenidos Certamen 3 MAT021 http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 3/3 Informáticos 09 Propiedades (1) 4X � 4 (2) 4 MYYYYYYYY � 4Z M[ (3) 4 · MYYYYYY � 4Z · M[ (4) G,�4� � Q'Q� ; H��4� � Q'Q �\ (5) |4| � |4| (6) |4 · M| � |4| · |M| (7) ] QW] � |Q| |W| ; M P 0 (8) |4 M| ^ |4| |M| Forma Polar de un Número Complejo Sea 4 � � �* � B, su forma polar está dada por: 4 � |4|�cos b * sen b� El ángulo e corresponde al “Argumento de z” y se denota por: fgh�i� j-F�4�: ℂ K C j-F�4� � ��k, kl Determinar mno�p� Si se tiene el complejo 4 � E L* y: - 4 � q r qs cuadrante: b � j-F�4� � j- .�� 6LE7 - 4 � qq cuadrante: b � j-F�4� � j- .�� 6LE7 k - 4 � qqq cuadrante: b � j-F�4� � j- .�� 6LE7� k La Función tuv Sea b � C Definición w*0�b� � cos�b� * sen�b� Observaciones (i) w*0: C K ℂ (ii) Si 4 � ℂ : 4 � |4| �cos�b� * sen�b�� 4 � |4| Cis�b� Propiedades w*0�b� b�� � w*0�b�� · w*0�b�� w*0�b 2"k� � w*0�b� ; " � z |w*0�b�| � 1 w*0��b� � w*0�� · b� Definición ,\{ � cos�b� * sen�b� ,\{ � Cis�b� Si 4 � ℂ 4 � |4| ,\{ Raíces de la Unidad Sea M� � 1 M�� �| � w*0 }2"k� ~ ; " � z Soluciones M� � w*0 }2"k� ~ ; " � 0, 1, 2, 3, … , �� � 1� “Fórmula para las raíces �-esimas de la unidad” (i) Las raíces de la unidad están en el circulo unitario, pues |M�| �1 (ii) Las raíces �-esimas de la unidad forman un polígono regular de � lados (iii) M� � w*0 6���� 7 � w*0� 6��� 7 M� � w*0 6��� 7 M�� � w*0� 6��� 7 . (iv) Las raíces de la unidad tienen suma nula Raíces de un Número Complejo Cualquiera 4� � |4�|w*0 }b�� ~ · M� ; "� 0, 1, 2, 3, … , �� � 1� El Autor de este resumen no se hace responsable por posibles errores o por no incluir los contenidos mínimos necesarios para el certamen. Se recomienda complementar con otros Apuntes o textos como “Algebra Uno” de “Bustos”.
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