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RESUMEN C2 COMPLEMENTOS - Mario Sánchez

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USM Campus Santiago 
Resumen Contenidos Certamen 2 MAT021 
 
http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 1/4 
 
Informáticos 09 
Complementos 
Trigonometría 
Definición: 
Considerar el triangulo rectángulo ���: 
 
Se definen: 
sen��	 
 ��
�
� �����
�����
����� 
 ���� 
cos��	 
 ��
�
� �������
�����
����� 
 ���� 
tg��	 
 ��
�
� �����
���
�
� �������
� 
 ���� 
cotg��	 
 ��
�
� �������
���
�
� �����
� 
 ���� 
sec��	 
 ����
�������
�
� �������
� 
 ���� 
cosec��	 
 ����
�������
�
� �����
� 
 ���� 
 
Observaciones: 
(1) tg��	 
 sen��	cos��	 (3) sec��	 
 1cos��	 
(2) cotg��	 
 1tg��	 
 cos��	sen��	 (4) cosec��	 
 1sen��	 
 
Identidad Fundamental 
sen���	 � cos���	 
 1 
Otras Identidades 
tg���	 � 1 
 sec���	 
1 � cot���	 
 cosec���	 
Ángulos Compuestos 
(1) sen�� � 	 
 sen��	 cos � 	 � sen� 	 cos ��	 
(2) sen�� ! 	 
 sen��	 cos � 	 ! sen� 	 cos ��	 
(3) cos�� � 	 
 cos��	 cos � 	 ! sen��	 sen � 	 
(4) cos�� ! 	 
 cos��	 cos � 	 � sen��	 sen � 	 
(5) tg�� � 	 
 tg��	 ! tg� 	1 ! tg��	 tg� 	 
(6) tg�� ! 	 
 tg��	 ! tg� 	1 � tg��	 tg� 	 
 
Ángulos Dobles 
(1) sen�2�	 
 2 sen��	 cos ��	 
(2) cos�2�	 
 cos���	 ! sen���	 cos�2�	 
 1 ! 2 sen���	 cos�2�	 
 2 cos���	 ! 1 
(3) tg�2�	 
 2 tg��	1 ! tg���	 
 
Ángulos Medios 
(1) sen #�2$ 
 % &1 ! cos ��	2 
(2) cos #�2$ 
 % &1 � cos ��	2 
(3) tg #�2$ 
 % &1 ! cos ��	1 � cos ��	 
 
Prostaféresis 
(1) sen��	 � sen� 	 
 2 sen '� � 2 ( cos '� � 2 ( 
(2) sen��	 ! sen� 	 
 2 cos '� � 2 ( sen '� � 2 ( 
(3) cos��	 � cos� 	 
 2 cos '� � 2 ( cos '� � 2 ( 
(4) cos��	 ! cos� 	 
 !2sen '� � 2 ( sen '� � 2 ( 
 
(5) sen��	 cos� 	 
 12 )sen�� � 	 � sen�� ! 	* 
(6) cos��	 cos� 	 
 12 )cos�� � 	 � cos�� ! 	* 
(7) sen��	 sen� 	 
 12 )cos�� ! 	 ! cos�� � 	* 
 
 
USM Campus Santiago 
Resumen Contenidos Certamen 2 MAT021 
 
http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 2/4 
 
Informáticos 09 
Relaciones en el Triangulo 
Considere un triangulo cualquiera 
 
Teorema del seno 
sen��	� 
 sen� 	+ 
 sen�,	� 
Teorema del coseno 
�� 
 +� � �� ! 2+� cos ��	 +� 
 �� � �� ! 2�� cos � 	 �� 
 �� � +� ! 2�+ cos �,	 
Resolución de ecuaciones trigonométricas 
Ecuación Solución sen�-	 
 � - 
 �!1	. arcsen��	 � 12 cos�-	 
 � - 
 %arccos��	 � 212 tg�-	 
 � - 
 arctg��	 � 12 
 1 3 4 
 
Función exponencial 
Definición: 
Una función exponencial es de la forma: 
5�-	 
 �6 �: +��� � 8 0 
(i) Si - 
 �, � 3 ; < �= 
 � · � · � · � · … · � 
(ii) Si - 
 !�, � 3 ; < �@= 
 ABC 
(iii) Si - 
 DE , �, F 3 ; < �GH 
 I√�H KD 
En general: 
(1) Si � 8 1 < 5�-	 
 �6 �� �L�����
� 
(2) Si 0 M � M 1 < 5�-	 
 �6 �� ���L�����
� 
Propiedades 
Sea 5�-	 
 �6 
(1) N�O�5	 
 P Q���5	 
 PR 
(2) 5 �� �����
�S� 
(3) 5�0	 
 1 
(4) 5�-	 8 0 T- 3 P 
(5) �6RU 
 �6 · �U 
(6) �6@U 
 BVBW 
(7) ��6	U 
 �6U 
(8) �@6 
 ABV 
Función Logaritmo 
Definición: 
La función logaritmo es la inversa de la función 
exponencial 
Notación: 
El logaritmo en base � de - es: logB�-	 
Observaciones: 
(1) logB�-	 
 �6 
(2) Si la base es 10, simplemente se llama 
“logaritmo” y se denota por: log�-	 
(3) Si la base es el “número �” se llama “logaritmo 
natural” y se denota por: ln�-	 
Propiedades: 
Sea 5�-	 
 logB�-	 
(1) N�O�5	 
 PR Q���5	 
 P 
(2) logB�-�	 
 logB�-	 � logB��	 
(3) logB #6U$ 
 logB�-	 ! logB��	 
(4) logB�-Y	 
 L logB�-	 
(5) logB��	 
 1 ; ln��	 
 1 
(6) logB�1	 
 0 
(7) logB��6	 
 - ; ln��6	 
 1 
(8) �[\]^�6	 
 - ; �[_�6	 
 - 
(9) �6 
 �[_�BV	 
 �6 [_ �B	 
(10) logB�-	 
 [_�6	[_�B	 
 
USM Campus Santiago 
Resumen Contenidos Certamen 2 MAT021 
 
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Informáticos 09 
Geometría Analítica 
La línea recta 
Distancia entre dos puntos 
Definición: 
Sean `�-A, �A	 y a�-�, ��	 3 P� 
��`, a	 
 b�-� ! -A	� � ��� ! �A	� 
Norma de un punto 
Definición: 
Se define la norma del punto `�-, �	, como la 
distancia del punto P al origen: 
c|`|c 
 b-� � �� 
Propiedades 
Sean P y Q puntos cualesquiera en el plano P� 
(1) c|`|c 8 0 y c|`|c 
 0 e `�0,0	 
(2) c|λ`|c 
 |λ| c|`|c ; λ 3 P 
(3) Desigualdad Triangular c|` � a|c g c|`|c � c|a|c 
División de un segmento en una razón dada 
Definición: 
Sea `a el segmento que une los puntos `�-A, �A	 y a�-�, ��	 3 P� y sea Q�-, �	 un punto que divide al 
segmento como: 
 
 `QQa 
 L� 
 
Donde las coordenadas - e � del punto Q son: 
- 
 � -A � L -�� � L 
 � 
 - 
 � �A � L ��� � L 
 
Ecuación de la recta 
Pendiente de una recta 
Definición: 
Sea ℓ una recta por la que pasan los puntos `�-A, �A	 
y a�-�, ��	, la pendiente de la recta ℓ está dada por: 
O 
 ∆-∆� 
 �� ! �A-� ! -A 
Observaciones: 
(1) La pendiente de una recta es independiente del 
par de puntos escogidos para calcularla. 
(2) La pendiente de una recta es tangente del ángulo 
que forma la recta con el eje x: 
 
O 
 ∆-∆� 
 tg�j	 
 
Deducción de la Ecuación de la recta 
Sea ℓ la recta que pasa por los puntos ��-A, �A	 y ��-�, ��	 y sea `�-, �	 un punto cualquiera de ℓ 
Si la pendiente de la recta es: 
O 
 �� ! �A-� ! -A 
La ecuación de la recta que pasa por A y B está dada 
por: �� ! �A-� ! -A 
 � ! �A- ! -A 
O también, la ecuación de la recta que pasa por A y 
tiene pendiente m está dada por: � ! �A 
 O�- ! -A	 
Formas de escribir la ecuación de la recta 
Ecuación principal � 
 O- � � Ecuación general �- � +� � � 
 0 
 
 
 
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Resumen Contenidos Certamen 2 MAT021 
 
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Informáticos 09 
Ángulo entre rectas 
Definición: 
Sean ℓA y ℓ� rectas con pendientes OA y O� 
respectivamente, y sea j el ángulo entre ellas. 
tg�j	 
 OA !O�1 �OA O� 
Se deduce que: 
(1) ℓA // ℓ� e j 
 0 < tg�j	 
 0 e OA 
 O� 
(2) ℓA m ℓ� e j 
 n� < OA · O� 
 !1 
Distancia de un punto a una recta 
Definición: 
Sea ℓ la recta dada por �- � +� � � 
 0 y sea `�-o, �o	 un punto no perteneciente a la recta 
��`, ℓ	 
 |� -o � + �o � �|√�� � +� 
Ecuación del Círculo 
Definición: 
Una circunferencia de centro ���, 1	 y radio Q 8 0 es 
el lugar geométrico de todos los puntos en P� tales 
que su distancia a C es constante R 
 
Sea `�-, �	 un punto cualquiera en el círculo: 
 �- ! �	� � �� ! 1	� 
 Q� 
Ecuación de la Parábola 
Definición: 
La parábola es el lugar geométrico de todos los 
puntos del plano equidistantes de un punto fijo p 
llamado foco y de una recta � llamada directriz 
Si la parábola tiene vértice q ��, 1	 y directriz 
paralela a los ejes coordenados, entonces su ecuación 
está dada por:
 �� ! 1	� 
 4��- ! �	 
 �- ! �	� 
 4��� ! 1	 
 
 
 
 
El Autor de este resumen no se hace responsable por posibles errores o por no incluir los contenidos 
mínimos necesarios para el certamen. 
Se recomienda complementar con textos como “Algebra Uno” de “Bustos”.

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