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USM Campus Santiago Resumen Contenidos Certamen 2 MAT021 http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 1/4 Informáticos 09 Complementos Trigonometría Definición: Considerar el triangulo rectángulo ���: Se definen: sen�� �� � � ����� ����� ����� ���� cos�� �� � � ������� ����� ����� ���� tg�� �� � � ����� ��� � � ������� � ���� cotg�� �� � � ������� ��� � � ����� � ���� sec�� ���� ������� � � ������� � ���� cosec�� ���� ������� � � ����� � ���� Observaciones: (1) tg�� sen�� cos�� (3) sec�� 1cos�� (2) cotg�� 1tg�� cos�� sen�� (4) cosec�� 1sen�� Identidad Fundamental sen��� � cos��� 1 Otras Identidades tg��� � 1 sec��� 1 � cot��� cosec��� Ángulos Compuestos (1) sen�� � sen�� cos � � sen� cos �� (2) sen�� ! sen�� cos � ! sen� cos �� (3) cos�� � cos�� cos � ! sen�� sen � (4) cos�� ! cos�� cos � � sen�� sen � (5) tg�� � tg�� ! tg� 1 ! tg�� tg� (6) tg�� ! tg�� ! tg� 1 � tg�� tg� Ángulos Dobles (1) sen�2� 2 sen�� cos �� (2) cos�2� cos��� ! sen��� cos�2� 1 ! 2 sen��� cos�2� 2 cos��� ! 1 (3) tg�2� 2 tg�� 1 ! tg��� Ángulos Medios (1) sen #�2$ % &1 ! cos �� 2 (2) cos #�2$ % &1 � cos �� 2 (3) tg #�2$ % &1 ! cos �� 1 � cos �� Prostaféresis (1) sen�� � sen� 2 sen '� � 2 ( cos '� � 2 ( (2) sen�� ! sen� 2 cos '� � 2 ( sen '� � 2 ( (3) cos�� � cos� 2 cos '� � 2 ( cos '� � 2 ( (4) cos�� ! cos� !2sen '� � 2 ( sen '� � 2 ( (5) sen�� cos� 12 )sen�� � � sen�� ! * (6) cos�� cos� 12 )cos�� � � cos�� ! * (7) sen�� sen� 12 )cos�� ! ! cos�� � * USM Campus Santiago Resumen Contenidos Certamen 2 MAT021 http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 2/4 Informáticos 09 Relaciones en el Triangulo Considere un triangulo cualquiera Teorema del seno sen�� � sen� + sen�, � Teorema del coseno �� +� � �� ! 2+� cos �� +� �� � �� ! 2�� cos � �� �� � +� ! 2�+ cos �, Resolución de ecuaciones trigonométricas Ecuación Solución sen�- � - �!1 . arcsen�� � 12 cos�- � - %arccos�� � 212 tg�- � - arctg�� � 12 1 3 4 Función exponencial Definición: Una función exponencial es de la forma: 5�- �6 �: +��� � 8 0 (i) Si - �, � 3 ; < �= � · � · � · � · … · � (ii) Si - !�, � 3 ; < �@= ABC (iii) Si - DE , �, F 3 ; < �GH I√�H KD En general: (1) Si � 8 1 < 5�- �6 �� �L����� � (2) Si 0 M � M 1 < 5�- �6 �� ���L����� � Propiedades Sea 5�- �6 (1) N�O�5 P Q���5 PR (2) 5 �� ����� �S� (3) 5�0 1 (4) 5�- 8 0 T- 3 P (5) �6RU �6 · �U (6) �6@U BVBW (7) ��6 U �6U (8) �@6 ABV Función Logaritmo Definición: La función logaritmo es la inversa de la función exponencial Notación: El logaritmo en base � de - es: logB�- Observaciones: (1) logB�- �6 (2) Si la base es 10, simplemente se llama “logaritmo” y se denota por: log�- (3) Si la base es el “número �” se llama “logaritmo natural” y se denota por: ln�- Propiedades: Sea 5�- logB�- (1) N�O�5 PR Q���5 P (2) logB�-� logB�- � logB�� (3) logB #6U$ logB�- ! logB�� (4) logB�-Y L logB�- (5) logB�� 1 ; ln�� 1 (6) logB�1 0 (7) logB��6 - ; ln��6 1 (8) �[\]^�6 - ; �[_�6 - (9) �6 �[_�BV �6 [_ �B (10) logB�- [_�6 [_�B USM Campus Santiago Resumen Contenidos Certamen 2 MAT021 http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 3/4 Informáticos 09 Geometría Analítica La línea recta Distancia entre dos puntos Definición: Sean `�-A, �A y a�-�, �� 3 P� ��`, a b�-� ! -A � � ��� ! �A � Norma de un punto Definición: Se define la norma del punto `�-, � , como la distancia del punto P al origen: c|`|c b-� � �� Propiedades Sean P y Q puntos cualesquiera en el plano P� (1) c|`|c 8 0 y c|`|c 0 e `�0,0 (2) c|λ`|c |λ| c|`|c ; λ 3 P (3) Desigualdad Triangular c|` � a|c g c|`|c � c|a|c División de un segmento en una razón dada Definición: Sea `a el segmento que une los puntos `�-A, �A y a�-�, �� 3 P� y sea Q�-, � un punto que divide al segmento como: `QQa L� Donde las coordenadas - e � del punto Q son: - � -A � L -�� � L � - � �A � L ��� � L Ecuación de la recta Pendiente de una recta Definición: Sea ℓ una recta por la que pasan los puntos `�-A, �A y a�-�, �� , la pendiente de la recta ℓ está dada por: O ∆-∆� �� ! �A-� ! -A Observaciones: (1) La pendiente de una recta es independiente del par de puntos escogidos para calcularla. (2) La pendiente de una recta es tangente del ángulo que forma la recta con el eje x: O ∆-∆� tg�j Deducción de la Ecuación de la recta Sea ℓ la recta que pasa por los puntos ��-A, �A y ��-�, �� y sea `�-, � un punto cualquiera de ℓ Si la pendiente de la recta es: O �� ! �A-� ! -A La ecuación de la recta que pasa por A y B está dada por: �� ! �A-� ! -A � ! �A- ! -A O también, la ecuación de la recta que pasa por A y tiene pendiente m está dada por: � ! �A O�- ! -A Formas de escribir la ecuación de la recta Ecuación principal � O- � � Ecuación general �- � +� � � 0 USM Campus Santiago Resumen Contenidos Certamen 2 MAT021 http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 4/4 Informáticos 09 Ángulo entre rectas Definición: Sean ℓA y ℓ� rectas con pendientes OA y O� respectivamente, y sea j el ángulo entre ellas. tg�j OA !O�1 �OA O� Se deduce que: (1) ℓA // ℓ� e j 0 < tg�j 0 e OA O� (2) ℓA m ℓ� e j n� < OA · O� !1 Distancia de un punto a una recta Definición: Sea ℓ la recta dada por �- � +� � � 0 y sea `�-o, �o un punto no perteneciente a la recta ��`, ℓ |� -o � + �o � �|√�� � +� Ecuación del Círculo Definición: Una circunferencia de centro ���, 1 y radio Q 8 0 es el lugar geométrico de todos los puntos en P� tales que su distancia a C es constante R Sea `�-, � un punto cualquiera en el círculo: �- ! � � � �� ! 1 � Q� Ecuación de la Parábola Definición: La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano equidistantes de un punto fijo p llamado foco y de una recta � llamada directriz Si la parábola tiene vértice q ��, 1 y directriz paralela a los ejes coordenados, entonces su ecuación está dada por: �� ! 1 � 4��- ! � �- ! � � 4��� ! 1 El Autor de este resumen no se hace responsable por posibles errores o por no incluir los contenidos mínimos necesarios para el certamen. Se recomienda complementar con textos como “Algebra Uno” de “Bustos”.
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