RESUMEN C2 CÁLCULO - Mario Sánchez

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USM Campus Santiago 
Resumen Contenidos Certamen 2 MAT021 
 
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Informáticos 09 
Cálculo 
Funciones Trigonométricas 
Seno 
Dominio y recorrido 
����sen� 	 
 
�
��sen� 	 ��1, 1� 
Periodicidad: 2� 
sen�� � 2��� 	 sen��� ; � � � 
Inyectividad 
sen��� NO es una función inyectiva 
Paridad 
sen��� es impar � sen���� 	 � sen��� 
Gráfica 
 
Función Inversa 
Definición: 
Si se restringe el dominio de la función seno, 
entonces la función es biyectiva y tiene inversa 
sen:�� � 2� , � 2� ! ��1, 1� 
" #$%
��$ó' 
 ( ! sen�(� 
El inverso se sen�(� en el intervalo �� � 2� , � 2� se 
llama Arcoseno ( arcsen�(�) 
arcsen:��1, 1� ! �� � 2� , � 2� 
 ( ! arcsen�(� 
 
sen�%� 	 ( , � � 2� - % - � 2� . arcsen�(� 	 % 
arcsen�sen�(�� 	 ( /( � �� � 2� , � 2� 
Coseno 
Dominio y recorrido 
����cos� 	 
 
�
��cos� 	 ��1, 1� 
Periodicidad: 2� 
cos�� � 2��� 	 cos��� ; � � � 
Inyectividad 
cos��� NO es una función inyectiva 
Paridad 
cos��� es par � cos���� 	 cos��� 
Gráfica 
 
 
Función Inversa 
Definición: 
Si se restringe el dominio de la función coseno, 
entonces la función es biyectiva y tiene inversa 
cos:�0, �� ! ��1, 1� 
" #$%
��$ó' 
 ( ! cos�(� 
 
El inverso se cos�(� en el intervalo �0, �� se llama 
Arcocoseno ( arccos�(�) 
 
arccos:��1, 1� ! �0, �� 
 ( ! arccos�(� 
 
cos�2� 	 ( , 0 - 2 - � . arccos�(� 	 2 
arccos�cos�(�� 	 ( /( � �0, �� 
 
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Informáticos 09 
Tangente 
Dominio y recorrido 
����tg� 	 
 � 5( � 
 / �789:�7 � , ' � � ; 
�
��tg� 	 
 
Periodicidad: � 
tg�� � ��� 	 tg��� ; � � � 
Inyectividad 
cos��� NO es una función inyectiva, pero es 
epiyectiva. 
Paridad 
tg��� es impar � tg���� 	 � tg��� 
Gráfica 
 
Función Inversa 
Definición: 
Si se restringe el dominio de la función coseno, 
entonces la función es biyectiva y tiene inversa 
tg: � � � 2� , � 2� � ! 
 
" #$%
��$ó' 
 ( ! <=�(� 
El inverso se tg�(� en el intervalo �0, �� se llama 
Arcotangente ( arctg�(�) 
arctg: 
 !� � � 2� , � 2� � 
 ( ! artg�(� 
 
tg�%� 	 ( , �� 2� - % - � 2� . arctg�(� 	 % 
arctg�tg�(�� 	 ( /( �� � � 2� , � 2� � 
Circulo Unitario 
Definición: 
Sea el círculo unitario: 
 
Donde: 
>?: "
�$@
�<A 
�: Á'=CD� E
 $'�D$'A�$ó' 
F?: $'<
@"
��$ó' E
 >? ��' 
D �í@�CD� C'$<A@$� 
 F? 	 �(? , %?� 
Se definen las siguientes Funciones: 
sen��� 	 %? cos��� 	 (? 
 tg��� 	 sen���cos��� 	
%?
(? 
 
Funciones Sinusoidales 
Definición: 
Una función sinusoidal es de la forma: 
H�(� 	 I sen�J( � K� 
Donde: 
I: I�LD$<CE � MN O Á'=CD� E
 PA"
 
J: P@
�C
'�$A 7QN : R
@$�E� 
 
 
 
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Informáticos 09 
Límites 
Definición: 
Sea H: I c 
 ; (S � 
; > � 
 
Notación: 
El límite de H, cuando ( se acerca a (S es > si: 
limW!WX H�(� 	 > 
Teorema 
Si limW!Z H�(� existe . Es único! 
Límites Laterales 
Definición: 
Sea H: I c 
 ; (S � 
; > � 
 
(1) “Límite por la derecha” 
Notación: 
limW!WX_ H�(� 	 > 
(2) “Límite por la izquierda” 
Notación: 
limW!WX̀ H�(� 	 > 
Teorema 
Si limW!WX H�(� 	 > � limW!WX_ H�(� 	 limW!WX̀ H�(� 	 > 
Álgebra de Límites 
Sean H, =: I c 
 ; (S � 
; � � 
 constante; 
limW!WX H�(� 	 >: ; limW!WX =�(� 	 >7 ; >:, >7 � 
 
(1) limW!WXaH�(� b =�(�c 	 limW!WX H�(� b limW!WX =�(� 	 >: b >7 
(2) limW!WXH�(� · =�(� 	 limW!WXH�(� · limW!WX=�(� 	 >: · >7 
(3) limW!WX� · H�(� 	 � · limW!WXH�(� 	 � · >: 
(4) 
limW!WX
H�(�
=�(� 	
limW!WXH�(�
limW!WX=�(�
	 >:>7 >7 e 0 
Teorema 
 Los Límites de la forma: 
0
� � e 0 fAD
' �
@� �
0 '� 
($<
' 
0
0 "
 �AD�CDA' 
 
Teorema del Sandwich 
Sean H, =, g: I c 
 ; (S � 
; > � 
 
Si g�(� - H�(� - =�(�, entonces: 
limW!WX g�(� 	 > 	 limW!WX =�(� . limW!WX g�(� 	 > 
Limites Trigonométricos 
Teorema 
limW!S
sen�(�
( 	 1 
Limites infinitos 
Definición: 
H crece sin límites cuando ( tiende a “A” 
limW!Z H�(� 	 ∞ 
H decrece sin límites cuando ( tiende a “A” 
limW!Z H�(� 	 �∞ 
Observaciones: 
(1) ∞�∞ 	 ∞ 
(2) ∞� � 	 ∞ 
(3) � · ∞ 	 ∞ � i 0 
(4) � · ∞ 	 �∞ � j 0 
(5) ∞ · ∞ 	 ∞ 
Formas indeterminadas: 
 ∞ � ∞ 0 · ∞ 1k 0S 
 
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 como límite 
limW!k l1 �
1
(m
W
	 
 
Continuidad 
Definición: 
H es continua si: 
(1) limn!Z H�(� 
($"<
 
(2) H�A� 
"<á E
H$'$EA 
(3) limn!Z H�(� 	 H�A� 
 
Discontinuidades 
Definición: 
Sea f H: I c 
 ; (S � 
, H tiene una 
discontinuidad en (S: 
(1) Reparable si: 
limW!WX H�(� 
($"<
 
(2) Irreparable si: 
limW!WX H�(� '� 
($"<
 
Algebra de funciones continuas 
Definición: 
Sean H, = funciones continuas en ( 	 A, entonces 
también son continuas en ( 	 A: 
(1) H�(� b =�(� 
(2) H�(� · =�(� 
(3) � · H�(� � � 
 
(4) 
p�W�
q�W� =�A� e 0 
Composición de funciones continúas 
Definición: 
Si = es continua en A y H es continua en =�A�, 
entonces H�=�(� 	 Ha=�(�c es continua en A 
Si H�(� y =�(� son continuas en A, entonces 
H�=�(� es continua en A 
Teorema del valor intermedio 
Definición: 
Si H es continua en el intervalo �A, #� y r es 
cualquier numero entre H�A� y H�#�; H�A� H�#� 
Entonces, existe al menos un número � en �A, #� tal 
que H��� 	 r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El Autor de este resumen no se hace responsable por posibles errores o por no 
incluir los contenidos mínimos necesarios para el certamen. 
Se recomienda complementar con textos como “Cálculo Uno” de “Tapia”.