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RESUMEN C1 CÁLCULO - Mario Sánchez

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USM Campus Santiago 
Resumen Contenidos Certamen 1 MAT021 
 
http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 1/3 
 
Informáticos 09 
Cálculo 
Números Reales 
Axiomas de Cuerpo 
Existe el conjunto de los números reales (ℝ) en el cual 
se tienen 2 operaciones algebraicas, la suma (�) y la 
multiplicación (·); que cumplen: 
(1) Clausura de la suma �, � � ℝ � � � � � ℝ 
(2) Asociatividad 	� � �
 � � � � � 	� � �
 
(3) Conmutatividad � � � � � � � 
(4) Existe neutro aditivo 
 0 � ℝ �� � ℝ: 0 � � � � 
(5) Inverso aditivo �� � ℝ 
 � � ℝ: � � � � 0 
(6) Clausura del producto �, � � ℝ � � · � � ℝ 
(7) Asociatividad 	� · �
� � �	� · �
 ��, �, � � ℝ 
(8) Conmutatividad � · � � � · � 
(9) Existe neutro multiplicativo 
 1 � ℝ �� � ℝ: 1 · � � � 
(10) Inverso multiplicativo �� � ℝ � �0� 
� � ℝ: � · � � 1 
(11) Distributividad �	� � �
 � �� � �� 
 
Observaciones 
(i) 0 · � � 0 �� � ℝ 
(ii) 	�1
 · � � �� 
(iii) 0 y 1 son únicos. 
(iv) los inversos son únicos. 
(v) – 	��
 � � 
Potencias 
Definición: 
Sea � � ℝ y � � �, se define �� � 1 �� � � · � · � · … · � 	� �����
 
Definición: 
Sea � � ℝ y � � �, se definen: 
��� � 	�� 
� � 1�� 
Se cumple: 
(i) �� · �! � ��"! 
(ii) 	� · �
� � �� · �� 
(iii) 	��
! � ��! � �� · �� · �� · … · �� 	# �����
 
(iv) 	�� 
� � � 
(v) $%&'� � %(&( � ����� 
(vi) 
%(
%) � ���! 
Definición: 
sea � � ℝ�", llamamos raíz cuadrada de � a aquel 
número real positivo * tal que *+ � � : 
Notación: 
√� � * si * es positivo y *+ � � 
Definición: 
Sea � � ℝ y � � �, se define: 
√�( � � � 
Generalizando: 
�-. � /� .0- 1, 2 � �; 2 4 0 
 
Productos notables 
	� 5 �
+ � �+ 5 2�� � �+ 	� 5 �
7 � �7 5 3�+� � 3��+ 5 �7 	� � �
	� � �
 � �+ � �+ �7 � �7 � 	� � �
	�+ � �� � �7
 �7 � �7 � 	� � �
	�+ � �� � �7
 
 
 
USM Campus Santiago 
Resumen Contenidos Certamen 1 MAT021 
 
http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 2/3 
 
Informáticos 09 
Axiomas de orden 
Existe el conjunto de los números positivos (ℝ") que 
cumple: 
(1) �, � � ℝ" � � � � � ℝ" 
(2) �, � � ℝ" � �� � ℝ" 
(3) Ley de tricotomía: 
si � � ℝ" se cumple una y solo una de las 
siguientes afirmaciones: � � ℝ" � � � ℝ" � � 0 
 
Definición: 
Se define el subconjunto de los números negativos: ℝ� � �� � ℝ / � � � ℝ"� 
Con esto ℝ � ℝ" : ℝ� : �0� 
Definición: 
Sean �, � � ℝ 
(i) � es menor que � si � � � � ℝ" 
Notación: � ; � 
(ii) � es mayor que � si � � � � ℝ" 
Notación: � < � 
(iii) � es menor o igual que � si � � � � ℝ" ó � � � 
Notación: � = � 
(iv) � es mayor o igual que � si � � � � ℝ" ó � � � 
Notación: � > � 
Propiedades 
Sean �, �, �, ? � ℝ 
(i) � = � 
(ii) � = � @ � = � � � � � 
(iii) � = � @ � = � � � = � 
(iv) Si � ; � � � � � ; � � � 
 � = � � � � � = � � � 
(v) Si � ; � @ � < 0 � �� ; �� 
 � = � @ � < 0 � �� = �� 
(vi) Si � ; � @ � ; 0 � �� < �� 
 � = � @ � ; 0 � �� > �� 
(vii) Si � ; � @ � ; ? � � � � ; � � ? 
 � = � @ � = ? � � � � = � � ? 
 � = � @ � ; ? � � � � ; � � ? 
(viii) 
0 ; � ; �0 ; � ; ? � �� ; �? 
 
Intervalos 
Sean �, � � ℝ; � ; �, se definen los conjuntos: 
(i) A�, �B � �C � ℝ / � ; C ; � � 
(ii) B�, �A � �C � ℝ / � = C = � � 
(iii) A�, �A � �C � ℝ / � ; C = � � B�, �B � �C � ℝ / � = C ; � � 
(iv) A-∞, �A � �C � ℝ / C = � � A-∞, �B � �C � ℝ / C ; � � 
(v) B�, �∞B � �C � ℝ / � = C � A�, �∞B � �C � ℝ / � ; C � 
(vi) A-∞,�∞B � ℝ 
Proposición: 
Sean �, � � ℝ 
(i) �� � 0 F � � 0 G � � 0 
(ii) �� < 0 F 	� < 0 @ � < 0
 G 	� ; 0 @ � ; 0
 
(iii) �� ; 0 F 	� ; 0 @ � < 0
 G 	� < 0 @ � ; 0
 
 
Valor Absoluto 
Definición: 
Sea C � ℝ, se define el valor absoluto de x como: 
|C| � I C �J C < 00 �J C � 0�C �J C ; 0
K 
Observación |C| mide la distancia entre 0 y C 
Propiedades 
Sea C � ℝ, � < 0 
(i) |C| > 0 
(ii) |C| � 0 F C � 0 
(iii) |C| � |L| F C � L G C � �L 
(iv) |C · L| � |C| · |L| 
(v) |C � L| = |C| � |L| 
(vi) M|C| � |L|M = |C � L| 
(vii) |C| = � F �� = C = � 
(viii) |C| > � F C = �� G C > � 
(ix) |C| � √C 
 
USM Campus Santiago 
Resumen Contenidos Certamen 1 MAT021 
 
http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 3/3 
 
Informáticos 09 
La ecuación cuadrática 
La ecuación �C+ � �C � � � 0 con � 4 0 tiene por 
solución: 
C � �� 5 √�+ � 4��2� 
Se le llama “parábola” a la función L � �C+ � �C � � , 
en ella se cumple: 
 
Definición: 
El punto $�&+% , �&R�S%TS% ' se llama vértice. 
Grafica 
 
 
 
 
 
Axioma del Supremo 
Definición: 
Sea A c ℝ, U � ℝ 
(1) M es cota superior de A si �� � V: � = U 
(2) M es cota inferior de A si �� � V: U = � 
Observaciones 
(i) M es cota superior de A y si W > U � W es cota 
superior 
(ii) M es cota inferior de A y si W = U � W es cota 
inferior 
Definición: 
Sea A c ℤ 
(1) Z es el supremo de A si: 
i) Z es cota superior de A 
ii) Z es la más chica de las cotas superiores 
(2) W es el supremo de A si: 
i) W es cota superior de A 
ii) W es la más chica de las cotas superiores 
 
 
 
 
 
 
 
 
El Autor de este resumen no se hace responsable por posibles errores o por no 
incluir los contenidos mínimos necesarios para el certamen. 
Se recomienda complementar con textos como “Cálculo Uno” de “Tapia”.

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