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USM Campus Santiago Resumen Contenidos Certamen 1 MAT021 http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 1/3 Informáticos 09 Cálculo Números Reales Axiomas de Cuerpo Existe el conjunto de los números reales (ℝ) en el cual se tienen 2 operaciones algebraicas, la suma (�) y la multiplicación (·); que cumplen: (1) Clausura de la suma �, � � ℝ � � � � � ℝ (2) Asociatividad � � � � � � � � � � � (3) Conmutatividad � � � � � � � (4) Existe neutro aditivo 0 � ℝ �� � ℝ: 0 � � � � (5) Inverso aditivo �� � ℝ � � ℝ: � � � � 0 (6) Clausura del producto �, � � ℝ � � · � � ℝ (7) Asociatividad � · � � � � � · � ��, �, � � ℝ (8) Conmutatividad � · � � � · � (9) Existe neutro multiplicativo 1 � ℝ �� � ℝ: 1 · � � � (10) Inverso multiplicativo �� � ℝ � �0� � � ℝ: � · � � 1 (11) Distributividad � � � � � �� � �� Observaciones (i) 0 · � � 0 �� � ℝ (ii) �1 · � � �� (iii) 0 y 1 son únicos. (iv) los inversos son únicos. (v) – �� � � Potencias Definición: Sea � � ℝ y � � �, se define �� � 1 �� � � · � · � · … · � � ����� Definición: Sea � � ℝ y � � �, se definen: ��� � �� � � 1�� Se cumple: (i) �� · �! � ��"! (ii) � · � � � �� · �� (iii) �� ! � ��! � �� · �� · �� · … · �� # ����� (iv) �� � � � (v) $%&'� � %(&( � ����� (vi) %( %) � ���! Definición: sea � � ℝ�", llamamos raíz cuadrada de � a aquel número real positivo * tal que *+ � � : Notación: √� � * si * es positivo y *+ � � Definición: Sea � � ℝ y � � �, se define: √�( � � � Generalizando: �-. � /� .0- 1, 2 � �; 2 4 0 Productos notables � 5 � + � �+ 5 2�� � �+ � 5 � 7 � �7 5 3�+� � 3��+ 5 �7 � � � � � � � �+ � �+ �7 � �7 � � � � �+ � �� � �7 �7 � �7 � � � � �+ � �� � �7 USM Campus Santiago Resumen Contenidos Certamen 1 MAT021 http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 2/3 Informáticos 09 Axiomas de orden Existe el conjunto de los números positivos (ℝ") que cumple: (1) �, � � ℝ" � � � � � ℝ" (2) �, � � ℝ" � �� � ℝ" (3) Ley de tricotomía: si � � ℝ" se cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones: � � ℝ" � � � ℝ" � � 0 Definición: Se define el subconjunto de los números negativos: ℝ� � �� � ℝ / � � � ℝ"� Con esto ℝ � ℝ" : ℝ� : �0� Definición: Sean �, � � ℝ (i) � es menor que � si � � � � ℝ" Notación: � ; � (ii) � es mayor que � si � � � � ℝ" Notación: � < � (iii) � es menor o igual que � si � � � � ℝ" ó � � � Notación: � = � (iv) � es mayor o igual que � si � � � � ℝ" ó � � � Notación: � > � Propiedades Sean �, �, �, ? � ℝ (i) � = � (ii) � = � @ � = � � � � � (iii) � = � @ � = � � � = � (iv) Si � ; � � � � � ; � � � � = � � � � � = � � � (v) Si � ; � @ � < 0 � �� ; �� � = � @ � < 0 � �� = �� (vi) Si � ; � @ � ; 0 � �� < �� � = � @ � ; 0 � �� > �� (vii) Si � ; � @ � ; ? � � � � ; � � ? � = � @ � = ? � � � � = � � ? � = � @ � ; ? � � � � ; � � ? (viii) 0 ; � ; �0 ; � ; ? � �� ; �? Intervalos Sean �, � � ℝ; � ; �, se definen los conjuntos: (i) A�, �B � �C � ℝ / � ; C ; � � (ii) B�, �A � �C � ℝ / � = C = � � (iii) A�, �A � �C � ℝ / � ; C = � � B�, �B � �C � ℝ / � = C ; � � (iv) A-∞, �A � �C � ℝ / C = � � A-∞, �B � �C � ℝ / C ; � � (v) B�, �∞B � �C � ℝ / � = C � A�, �∞B � �C � ℝ / � ; C � (vi) A-∞,�∞B � ℝ Proposición: Sean �, � � ℝ (i) �� � 0 F � � 0 G � � 0 (ii) �� < 0 F � < 0 @ � < 0 G � ; 0 @ � ; 0 (iii) �� ; 0 F � ; 0 @ � < 0 G � < 0 @ � ; 0 Valor Absoluto Definición: Sea C � ℝ, se define el valor absoluto de x como: |C| � I C �J C < 00 �J C � 0�C �J C ; 0 K Observación |C| mide la distancia entre 0 y C Propiedades Sea C � ℝ, � < 0 (i) |C| > 0 (ii) |C| � 0 F C � 0 (iii) |C| � |L| F C � L G C � �L (iv) |C · L| � |C| · |L| (v) |C � L| = |C| � |L| (vi) M|C| � |L|M = |C � L| (vii) |C| = � F �� = C = � (viii) |C| > � F C = �� G C > � (ix) |C| � √C USM Campus Santiago Resumen Contenidos Certamen 1 MAT021 http://www.informaticosusm.uni.cc PÁGINA 3/3 Informáticos 09 La ecuación cuadrática La ecuación �C+ � �C � � � 0 con � 4 0 tiene por solución: C � �� 5 √�+ � 4��2� Se le llama “parábola” a la función L � �C+ � �C � � , en ella se cumple: Definición: El punto $�&+% , �&R�S%TS% ' se llama vértice. Grafica Axioma del Supremo Definición: Sea A c ℝ, U � ℝ (1) M es cota superior de A si �� � V: � = U (2) M es cota inferior de A si �� � V: U = � Observaciones (i) M es cota superior de A y si W > U � W es cota superior (ii) M es cota inferior de A y si W = U � W es cota inferior Definición: Sea A c ℤ (1) Z es el supremo de A si: i) Z es cota superior de A ii) Z es la más chica de las cotas superiores (2) W es el supremo de A si: i) W es cota superior de A ii) W es la más chica de las cotas superiores El Autor de este resumen no se hace responsable por posibles errores o por no incluir los contenidos mínimos necesarios para el certamen. Se recomienda complementar con textos como “Cálculo Uno” de “Tapia”.
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