Araiza_Rincón_Sánchez_T5 - Axel

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Análisis Numérico
Grupo: 13
UNAM / FI / DCB(DIE)
Semestre 2021-1
Tarea 5
Método de Krylov y Método de Potencias
Araiza Alfredo, Rincón Carlos, Sánchez Axel
1. Método de Krylov para el polinomio característico y ei-
genvalores
Polinomio característico:
δ3 − 20δ2 + 94δ − 60 = 0 (1)
Eigenvalores:
• δ1 = 0.7550
• δ2 = 6.0000
• δ3 = 13.2450
2. Método de las Potencias para el Eigen-valor y el Eigen-
vector
Tabla 1: Método de las potencias
Iteración k 1 2 3
x1 0.5774 0.5774 0.5774
x2 0.5774 0.5774 0.5774
x3 0.5774 0.5774 0.5774
αk 0 4.0000 4.0000
AN21-1x13: Tarea 5 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
3. Descripción de trabajo en equipo
Para obtener los resultados del sistema de ecuaciones, nos repartimos equitativamente todo el
trabajo, Alfredo se encargó de realizar el programa principal y el del método de Gauss-Seidel,
que posteriormente explicó a los demás integrantes, mientras que Carlos y Axel desarrollaron los
ejercicios a mano sobre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel, y capturaron la información en LATEX,
comparando los resultados con los programas realizados. Al final realizamos una videollamada para
verificar que el archivo y su contenido sean los correctos y para aclarar las dudas que surgieron en
el proceso.
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AN21-1x13: Tarea 5 Araiza Alfredo, Rincón Mejía, Sánchez Axel
4. Desarrollo
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5. Códigos utilizados
Código Principal
1 A1= [10 15 0; 2 4 0; 3 6 6 ]; % Funcin para mtodo Krylov
2 x0=[1 0 0]’; %Vector Inicial para mtodo Krylov
3 A2= [2 -2 4; -1 3 2; -5 10 -1 ]; % Funcin para mtodo Potencias
4 tol=0.0001; %Tolerancia
5 kmax=20; % Iteraciones maximas
6 x1=[1 1 1]’; %Vector Inicial para mtodo Potencias
7
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9 %Ejecución método Kylov
10 disp(’Método de Krylov’)
11
12 MetodoKrylov(A1,x0);
13 disp(’--------------------------------------------------’)
14 %Ejecución método Potencias
15 [alpha, x]= MetodoPotencias(A2,x1,tol,kmax);
16 disp(’Método de Potencias’)
17 disp(’Alphas obtenidas’)
18 disp(alpha);
19 disp(’Valores de x obtenidos’)
20 disp(x)
’Código Método de Krylov’
1 function MetodoKrylov(A,x0)
2 I=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; % Matriz Identidad
3 % Se obtiene los valores de la derecha del sistema de ecuaciones
4 a=(A^3)*x0;
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6 % Se hacen las matriz de la izquierda y se multiplican por x0
7 %En este caso va de n-1 hasta 0, el exponente
8 b1=-((A^2)*x0);
9 b2=-(A*x0);
10 b3=-(I*x0);
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12 %Se obtiene la matriz que representa el sisemta de ecuaciones
13 b(:,1)=b1;
14 b(:,2)=b2;
15 b(:,3)=b3;
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17 %Se resuelve el sistema de ecuaciones
18 x=b\a;
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20 % Se crea l
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21 % Se hace una concatenacin para obtener el coeficiente de l^3
22 x=x’;
23 s=[1];
24 disp(’Polinomio l: ’)
25 l=horzcat(s,x)
26 %Se resuelve el polinomio l
27 disp(’Los eigenvalores son: ’)
28 roots(l)
29
30 disp(’Comprobación con función eig(A)’)
31 eig(A)
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’Código Método de Potencias’
1 function [alpha, x]= MetodoPotencias(A,x1,tol,kmax)
2
3 alpha = []; % Define a variable alpha como vector
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5 alpha(1) = 0; % Inicializa el valor de alpha
6
7 x(:,1) = x1/norm(x1,2); % Normaliza al vector x1
8
9 x(:,2) = A*x(:,1); % Calcula x2
10 alpha(2) = x(:,1)’*x(:,2); % calcula alpha2
11 x(:,2) = x(:,2)/norm(x(:,2),2); % Normaliza el vector x2
12
13 for k=2:kmax
14
15 x(:,k+1) = A*x(:,k); % Calcula x_{k+1}
16 alpha(k+1) = x(:,k)’*x(:,k+1); % calcula alpha_{k+1}
17 x(:,k+1) = x(:,k+1)/norm(x(:,k+1),2); % Normaliza el vector x_{k+1}
18 if abs(alpha(k+1) - alpha(k)) < tol
19 return
20 end
21 end
22
23 end
6