GEOMETRIA_11_POLIGONOS REGULARES - Gabriel Solís Flores

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GEOMETRIA 
 
SEMANA 11: POLIGONOS REGULARES 
 
*01. Dado un polígono regular, indique el valor 
de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
I. El triángulo elemental es un triángulo 
isósceles, done la base es el lado del polígono 
regular. 
II. En todo triangulo elemental los lados 
congruentes viene a ser el radio de la 
circunferencia circunscrita al polígono regular. 
III. El lado de un polígono regular de n lados es 
menor que el lado de un polígono regular de 2n 
lados ambos inscritos en la misma 
circunferencia. 
A) VVV B) VVF C) VFV 
D) VFF E) FVV 
 
*02. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
I. Todo polígono inscriptible y circunscriptible 
a la vez es un polígono regular. 
II. No existe un polígono regular cuyo lado mide 
la mitad del circunradio. 
III. Todo polígono convexo e inscriptible es 
regular. 
A) VVV B) VVF C) VFV 
D) VFF E) FVV 
 
*03. Indicar verdadero (V) o falso (F) según 
corresponda: 
I. Todas las diagonales de un polígono regular 
son congruentes. 
II. Si un triángulo equilátero está inscrito en una 
circunferencia de radio “R”, entonces su 
perímetro es 6R 
III. Todo polígono equiángulo inscrito en una 
circunferencia es un polígono regular. 
IV. En todo polígono regular la apotema es 
siempre mayor que su lado. 
A) FVVF B) VFFV C) FFVF 
D) FFFF E) FFVF 
 
*04. En un polígono regular PQRST ……, de n 
lados . Calcule la medida del ángulo formado 
por las cuerdas PS y RT . 
A) 
720
n
 B)
540
n
 C)
360
n
 
D) 
180
n
 E) 
90
n
 
 
*05. Halle la longitud del lado de un polígono 
regular de 16 lados en función del radio R de la 
circunferencia circunscrita a dicho polígono 
A) 2 2 2− +R B) 2 2 2+ +R 
C) 2 2 2− −R D) 2 2 2+ −R 
E) 2 2 2−R 
 
06. Halle la longitud del lado de un polígono 
regular de 24 lados en función del radio R de la 
circunferencia circunscrita a dicho polígono 
A) 2 2 3R − + B) 2 2 3R + + 
C) 2 2 3R − − D) 2 2 3R + − 
E) 2 2 3R − 
 
*07. En un polígono regular de n lados, inscrito 
en una circunferencia de radio R, el lado del 
polígono regular de doble número de lados 
inscrito en la misma circunferencia mide 
2n
. 
Halle la longitud la apotema del polígono 
regular de n lados en función de R y 2n. 
A) 
2
2n2R - 
2R
 
 
 
 B)
2
2nR - 
2R
 
 
 
 C) 
2
2nR -
2 2R
 
 
 
 
D) 
( )
2
2n
R-
4R
 E) 
( )
2
2n
R-
R
 
 
08. El lado de un polígono regular de n lados 
inscrito en una circunferencia de radio R mide 
n, halle la longitud del lado del polígono 
regular de n lados circunscritos a la misma 
circunferencia. 
A) 
( )
n
22
n
R
4R −
 B)
( )
n
22
n
2R
4R −
 C) 
( )
n
22
n
2R
4R +
 
D) 
( )
n
22
n
3R
4R −
 E) 
( )
22
n
R n
4R +
 
 
*09. En una circunferencia cuyo radio mide 6 m, 
se inscribe un triángulo equilátero ABC. Calcule 
(en m) la distancia entre el punto medio de la 
cuerda AC y el punto medio del arco BC. 
A) 6 B) 6 √2 C) 6√3 
D) 3 √3 E) 3√7 
 
10. En una circunferencia de radio 6 se 
consideran los puntos A, B, C y D de tal manera 
que AB =3 2 , BD= 2 3 y CD= 6 . Halle AD. 
A) 3+ 3 B) 3 - 3 C) 2+ 3 
D) 2- 3 E) 5 
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*11. ABCD es un cuadrado inscrito en una 
circunferencia, sea P un punto del arco AB, si PA 
= 2 y PB = 2 . Halle PC. 
A) 2 2 B) 3 2 C) 4 
D) 6 E) 8 
 
*12. Se tiene un cuadrado ABCD inscrito en una 
circunferencia de radio R y centro O, M es punto 
medio de AO , con radio MB y centro en M se 
traza un arco que corta en N a OC . Calcular ON. 
A) R/4 B) R/2 C) R 2 - 3 
D) 
3R
4
 E) 
R( 5-1)
2
 
 
13. En un triángulo ABC recto en B, AB=BC=2
2 . Haciendo centros en A y C y con radio AB 
se trazan arcos que interceptan el lado AC en 
los puntos N y M respectivamente. Halle MN. 
A) 
1
2
 B) 1 C) ( )4 2 1− 
D)2 E) 3 
 
*14. Calcular la medida del radio de una circun-
ferencia, si el triángulo ABC que se encuentra 
inscrito en ella tiene: AB = 4; AC = 3 2 y m
BAC = 45 
A) 5 B)2 3 C) 5 2 
D)2 5 E) 10 
 
*15. Un cuadrado ABCD de lado 5 u está inscrito 
en una circunferencia, en el punto medio de CD 
y en el arco CD se ubican los puntos E y F 
respectivamente de modo que DF = 2EF, en la 
prolongación deFE se ubica el punto G tal que 
GE = EF, calcule AG (en u). 
A) 1 B) 3 C) 5 
D) 6 E) 4 
 
16. En la figura, AB = 2 2 , calcule PQ. 
A) 2 
B) 2 2− 
C) 2 2+ 
D) 2 2 2− 
E) 2 2 2+ 
 
*17. En un triángulo isósceles ABC; AB = BC y 
AC = 2 3 . Si m∡A=75. Calcule el circunradio 
del triángulo. 
A) 3 B) 2 3 C) 1 
D) 2 E) 3 /3 
 
18. En un triángulo ABC: AB = R y BC = R 3 . 
Calcular la medida del ángulo ABC, siendo R 
el circunradio. 
A) 45º B) 53º C) 60º 
D) 90º E) 120º 
 
19. Se tiene un hexágono regular el cual está 
inscrito en una circunferencia de radio 2. 
Calcular la longitud del lado del triángulo que 
se forma al unir los puntos medios de tres 
lados no consecutivos del hexágono. 
A) 3 B) 4 C) 6 
D) 2 3 E) 3 
 
*20. La apotema de un triángulo equilátero 
inscrito en una circunferencia mide 3 m. 
Calcular la longitud de la mayor diagonal del 
hexágono regular inscrito en la misma 
circunferencia. 
A) 4 B) 5 C) 9 
D) 12 E) 8 
 
21. En la figura, O es centro de la semicir-
cunferencia. PQ//RS y el radio mide 3 1+ . Si 
m PQ⏜ = 60 y m RS = 120, calcule x. 
A) 1 
B) 1,5 
C) 2 
D) 2,5 
E) 2 
 
*22. En la figura ABCDEF es un hexágono 
regular. Si PQ = 2 y QR = 5, calcular AP. 
 
A) 7 
B) 10 
C) 14 
D) 14/3 
E) 8 
 
R 
A 
P 
B 
S 
Q 
x 
O 
A D 
B C 
Q P 
B C R 
Q 
P 
A 
F E 
D 
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*23. La figura muestra un hexágono regular. Si 
m 𝐴𝑃𝐵⏜ = 90. Calcular AQ 
A) 2 3− 
B) 2 2 3− 
C) 3 1− 
D) 2 3 1+ 
E) 2 2− 
 
24. Se tiene un cuadrado de 4 m de lado, sobre 
cada lado se ubican dos puntos de manera 
que los ocho puntos son los vértices de un 
octógono regular. Calcular el lado de éste 
octógono regular. 
A) 2( 2 + 2) B) 4( 2 + 2) C) 4( 2 - 1) 
D) 4( 2 - 2) E) 2( 2 +1) 
 
*25. Un hexágono regular y un octógono re-
gular son isoperimétricos, el hexágono está 
inscrito en una circunferencia de radio R. 
Calcular el radio de la circunferencia cir-
cunscrita al octógono regular. 
A) 2 2R − B) 2 2
2
R
+ C) 2 2
4
R
+ 
D) ( )3 2 2 2
8
R
+ E)
3
2 2
4
R
+ 
 
*26. La hipotenusa de un triángulo mide 2. 
Cuánto mide el cateto menor que mide igual al 
segmento de bisectriz interior relativa a la hi-
potenusa. 
A) 2 B) 1 C) 2 
D) 2 2− E) 2 2+ 
 
27. La longitud del lado de un dodecágono 
regular es 36 -18 3 se inscribe en este 
polígono, un triángulo equilátero de manera 
que los vértices del triángulo pertenecen a los 
vértices del polígono. Determine el perímetro 
del triángulo equilátero. 
A) 9 6 B) 10 6 C) 11 6 
D) 12 6 E) 14 6 
 
28. En un triángulo rectángulo la hipotenusa 
mide 2+ 3 y uno de sus ángulos agudos mide 
82,5. Calcule la longitud de la altura relativa a la 
hipotenusa. 
A) 1/3 B) 1/4 C) 1/5 
D) 1/6 E) 1/7 
 
29. Se tiene un dodecágono regular inscrito en 
una circunferencia cuyo radio mide 8. Calcular 
el perímetro del polígono determinado al unir 
los puntos medios de los lados del dodecágono 
A) 24 B) 56 C) 48 
D) 60 E) 52 
 
*30. Un triángulo equilátero y un hexágono 
regular se inscriben en una circunferencia de 
radio R= 2 ( )3 1− de modo que un lado del 
triángulo y un lado de hexágono sean bases de 
un trapecio inscrito en la mis-ma 
circunferencia. El valor de la diagonal del 
trapecio es: 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 2 E) 3 
 
*31. En un triángulo BAC isósceles, BA = AC, se 
inscribe el cuadrado PQRS (el lado RS está 
sobre el lado CA ). Si BS y BR inter-secan a 
PQ enlos puntos M y N, m∠ A = 30 y MN = 
2 3+ , calcular BC. 
A) 12 B) 6 C) 9 
D) 3 2 3+ E) 4 2 3+ 
 
32. En un triángulo ABC, m B = 75, AB = 
2 3+ , BC = 1. Calcular m C 
A) 45 B) 75 C) 16 
D) 30 E) 15 
 
*33. En un triángulo acutángulo ABC se trazan 
las alturas AP , BQ y CR , tal que m PQR = 
30. Calcular PR, si AC = 4+2 3 
A) 2 B) 2 / 2 C) 2 2 
D) 3 2 / 2 E) 5 2 / 2 
 
*34. Se tiene un triángulo acutángulo ABC de 
ortocentro H. Si AH = R, CH = R 2 , siendo R el 
radio de la circunferencia circunscrita al 
triángulo, calcular BH. 
A) 2 3R − B) ( )2 1R − C) ( )/ 2 5 1R − 
D) / 2 10 2 5R − E) 3R 
 
35. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
P 
Q 
A 
B 
1 
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I. En una misma circunferencia se cumple (L6)2 
+ (L10)2 = (L5)2 
II. En una misma circunferencia se cumple (L4)2 
+ (L6)2 = (L3)2 
III. Al construir un triángulo con el lado de un 
pentágono regular, con el lado de un 
decágono regular y con el lado de un hexágono 
regular que tienen el mismo circunradio, 
dicho triángulo es rectángulo. 
A) VVV B) FVV C) VVF 
D) VFV E) FFF 
 
36. En una circunferencia está inscrito el 
triángulo ABC tal que AB = L6 y BC = L5. 
Calcular la medida del ángulo ABC. 
A) 100º B) 114º C) 105º 
D) 120º E) 90º 
 
*37. En un triángulo ABC, m∡ABC=90, m∡ACB 
=18. Se traza la interior bisectriz AD y luego 
BH perpendicular a AD (H en AD ). Si AB=3
5 + 5. Calcule DH. 
A) 3 B) 4 C) 4,5 
D) 5 E) 6 
 
38. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, 
se tiene que AC = 8 y m∠ C = 9. Calcular la 
medida de la altura BH 
A) 5 1− B) ( )2 5 1− C) 5 1/ 2− 
D) 5 1/ 4+ E) 5 1/ 2+ 
 
*39. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto 
en B interiormente se ubica un punto D tal que 
m ∡DCB =18 y m ∡A = 53. Cal-cular m ∡DBC, si 
AC = 5 +1 y BD = 1 
A) 37 B) 36 C) 35 
D) 34 E) 33 
 
40. Se tiene un pentágono regular ABCDE, en el 
triángulo ACE la circunferencia inscrita es 
tangente en M y N a los lados AC y CE respec-
tivamente. Calcular MN, si AE = a 
A) ( )5 5
4
a
− B) ( )5 5
2
a
− C) ( )5 1
4
a
− 
D) ( )5 1
2
a
− E) ( )5 1
4
a
+ 
 
*41. En un triángulo ABC se tiene que m∡A = 
18, m∡C = 45 y BC = 5 1− . Calcular AB 
A) 2 B) 2 2 C) 1 
D) 2 2 2− E) 4 
42. Se tiene un triángulo ABC donde m ∠B = 
108 y el lado AC mide 2 ( )5 1+ . Calcular la 
medida del segmento que une los pies de las 
alturas relativas a los lados AB y BC 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
43. Sobre cada lado de un pentágono regular se 
trazan exteriormente pentágonos regulares. 
Calcular el lado del polígono regular que se 
forma al unir los centros de los pentágonos 
trazados, sabiendo que la apotema del 
pentágono regular inicial es 10 2 5+ 
A) 5 B) 1 C) 4 5 
D) 10 2 5+ E) 2 5 
 
*44. Sea un triángulo ABC obtuso en B tal que 
AB = BC= 5 . Sea D el punto medio del arco BC, 
si ( )AC .R=4(AB) entonces la longitud de AD es: 
A) √5 B) 2 C) 2(√5 − 1) 
D) 10 2 5+ E) 5 1− 
 
*45. Alrededor de una circunferencia de radio R 
se pueden colocar 10 circunferencias 
congruentes tangentes a ella. Además cada una 
es tangente con la siguiente. Si el radio de estas 
circunferencias es igual a 1u calcular R 
A) 3 u B) 5 u C) 2 u 
D) 2u E) 3u 
 
46. Calcular la base mayor (en cm) de un tra-
pecio sabiendo que los otros tres lados miden 
(3‒√5)cm y que uno de sus ángulos mide 36. 
A) 2 B) 4 C) 6 
D) ( )2 5 1+ E) ( )4 5 1+ 
 
*47. En la figura adjunta el pentágono ABCDE es 
regular. Si se cumple 1/CH + 1/CP = 1/4, cal-
cular el valor de R. 
 
A) 1 
B) 2 
C) 4 
D) 8 
E) 16 
 
P 
B 
A E 
D 
O 
R 
C 
H 
P 
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48. Un pentágono regular ABCDE está inscrito 
en una circunferencia. Si P es un punto del arco 
AB tal que PA+PB+PD = a y PC = b, calcular PE. 
A) ab B) a‒b C) 2a‒b 
D) a2/b E) 2 2a b− 
 
*49. En un polígono regular de 11 lados: 
ABC…K, AC = a, AD = b y AF = c. ¿Cuál es la 
relación correcta? 
A) 2 2a bc c+ = B) 2 2ab b c+ = C) 2 2ac b c+ = 
D) 2 2 22a b c+ = E) 2 22a bc c+ = 
 
50. En un nonágono regular ABCDEFGHI se 
tiene que AB+BD = 8 2 . Calcular BG. 
A) 8 B) 8 2 C) 16 
D) 16 2 E) 4 2 
 
*51. En un pentágono regular ABCDE las dia-
gonales BE y AD se intersecan en P, tal que: 
2 2CP -PE =12 . Calcular AB 
A) 4 3 B)3 2 C) 6 
D) 3 E) 2 3 
 
52. Indique el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
I. La longitud del lado de un pentágono regular 
es igual a la longitud de la sección áurea de la 
longitud de su diagonal. 
II. La longitud del lado de un decágono regular 
es igual a la longitud de la sección áurea del 
radio de la circunferencia circunscrita a dicho 
polígono regular. 
III. En un triángulo isósceles la medida de uno 
de sus ángulos congruentes es el doble de la 
medida del tercer ángulo, luego la longitud de 
su base es igual a la longitud de la sección áu-
rea de uno de los lados congruentes. 
Dado un segmento AB y un punto M (M 
en AB) tal que AM es la sección áurea 
de AB entonces MB es de igual longitud 
que la sección áurea de AM. 
A) VVVV B) VFVF C) VVFV 
D) FFFV E) FVVV 
 
53. Un segmento de longitud ( 5 + 3) cm es 
dividido en media y extrema razón, calcule la 
longitud de la parte menor. 
A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm 
D) 4 cm E) 0,5 cm 
 
*54. En una circunferencia de radio R y centro 
O se tiene una cuerda AB , AB = 2, en dicha 
cuerda se ubica el punto M tal que OM = 1. 
Calcular R, si M divide en media y extrema 
razón a AB 
A) 5 3− B) 2 5 3− C) 4 5 7− 
D) 2 3 2− E) 3 5 5− 
 
*55. En los lados BC y AC de un triángulo 
rectángulo ABC, recto en B, se ubican los pun-
tos Q y P tales que BQ = QC y PC es congruente 
a la sección áurea de AP . Calcular PQ, si 
(AP)(PC) = 72 y m∡QPA = m∡BAC. 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 6 2 E) 6 
PROF. JAVIER PARRA