Geometría AMAUTA

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GEOMETRIA 
1965-2020 
UNIVERSIDAD NACIONAL 
] 2 00 twitter.com/calapenshko 
PROBLEMAS ordenados por temas 
Pedro Pariona Mendoza 
Geometría -3- UNI (1965 - 2020 1) 
 
 
 
 
GEOMETRÍA, UNI, Problemas ordenados por temas (1965 - 2020) 
O Autor-Editor: PEDRO PARIONA MENDOZA 
Av. César Vallejo N.* 300, Independencia 
%a. edición - Febrero 2020 
Tiraje: 1000 ejemplares 
HECHO EL DEPÓSITO LEGAL EN LA BIBLIOTECA NACIONAL DEL PERÚ 
N* 2020-02540 
Se terminó de imprimir en Febrero del 2020. 
Impreso en talleres gráficos de Amautas Editores. 
Av. César Vallejo N.? 300, Independencia - Lima. 
Pedidos al por mayor y menor: 
Teléfono: 990014389 
Sugerencias y críticas a: 
E-mail: amautas_pGhotmail.com 
 
Geometría -4- UNI (1965 - 2020 1) 
Y
 
ESTADÍSTICA DE GEOMETRÍA (1965 - 2020) .. -7- 
1. CONJUNTOS CONVEXOS ............... - 10 - 
2. LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS ........... =Yd 5 
BL ÁNGULOS 19 
4. TRIÁNGULOS ..... o... 15% 
5. LÍNEAS Y PUNTOS'NOTABLES+9%........ - 19- 
6. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ........ «Dis 
7. CUADRILÁTEROS. o... oo oooooo.. -29- 
TRAPECIO. 0... o... o oo ooooro a - 29 - 
PARALELOGRAMOS .......cccoco oo... 3 
8. POLÍGONOS ...... o... ooooooomomomo.. 34. > 
9. CIRCUNFERENCIA... o... o... ........ - 39 - 
PROPIEDADES... .....o.oooocoooo - 39 - 
CIRCUNFERENCIA: ÁNGULOS. .......... 0 40'» 
CIRCUNFERENCIA: POSICIONES ....... - 45 - 
10. CUADRILÁTERO INSCRITO. ............ 47 > 
11. PROPORCIONALIDAD ................. - 53 - 
12. SEMEJANZA ...... ooo - 58 - 
13. R. M. EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS .. - 66 - 
14. R.M. EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 
LLE CER ES E EOS EE E E - 78 - 
15. R. M. EN LA CIRCUNFERENCIA ......... - 80 - 
16. POLÍGONOS REGULARES. ............. 87 
17. ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES .. - 94 - 
18. ÁREAS DE PARALELOGRAMOS........ - 1025 
19. ÁREAS: TRAPECIOS ................. - 105 - 
20. ÁREAS: POLÍGONOS REGULARES ..... - 109 - 
Geometría -S- UNI (1965 - 2020 1) 
 
 
 
 
21. ÁREAS: REGIONES CIRCULARES. ...... «112 - 
22. RELACIÓN DE ÁREAS. ................ -118- 
23. PERÍMETROS : : vi nai mes a - 122 - 
24. GEOMETRÍA DEL ESPACIO ............ -127.- 
25. ÁNGULOS DIEDROS Y TRIEDROS ...... - 138 - 
26. POLIEDROS REGULARES ............. - 145 - 
27.PRISMA o... ooo - 154 - 
28. CILINDRO. ......o.ooocooo - 160 - 
29. PIRÁMIDE. ..........o.oooocororonc oo - 165 - 
30. D0ÑNO 05 5 os s nes Eos E Pes REO AO - 172 e 
31. ESFERA +. - 178- 
32. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: RELACIONES 
A - 182 - 
33. PAPPUS Y GULDING. ................. - 191 - 
CLAVES DE RESPUESTAS (1965 - 2020 I) ... - 194 - 
Geometría 
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UNI (1965 - 2020 1)
ESTADÍSTICA DE GEOMETRÍA (1965 - 2020) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRÍA UNI H Preg. | %Total 
R. M. EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 80 7 
GEOMETRÍA DEL ESPACIO 71 6 
POLIEDROS REGULARES 67 6 
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS: RELACIONES 58 5 
ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES 51 4 
ÁNGULOS DIEDROS Y TRIEDROS 51 4 
SEMEJANZA Www w.amautas-peru.cor 50 4 
CIRCUNFERENCIA 49 4 
CONO 48 4 
POLÍGONOS REGULARES 46 4 
R. M. EN LA CIRCUNFERENCIA 43 4 
CUADRILÁTERO INSCRITO 40 3 
PIRÁMIDE 40 3 
PRISMA 39 3 
POLÍGONOS 38 3 
CUADRILÁTEROS 36 3 
LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES 35 3 
TRIÁNGULOS 34 3 
CILINDRO 33 3 
ÁREAS: REGIONES CIRCULARES 31 3 
PROPORCIONALIDAD 29 2 
RELACIÓN DE ÁREAS 28 2 
ÁREAS: TRAPECIOS 26 2 
PERÍMETROS 26 2 
ESFERA 25 2 
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 24 2 
Geometría -?7- UNI (1965 - 2020 l) 
 
 
 
ÁREAS DE PARALELOGRAMOS 
 
 
 
 
 
 
 
21 2 
PAPPUS Y GULDING 20 2 
ÁREAS: POLÍGONOS REGULARES 18 2 
R. M. EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 14 1 
LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS 13 1 
ÁNGULOS 9 1 
CONJUNTOS CONVEXOS 6 1 
TOTAL DE PREGUNTAS (1965 - 20201) 1199 100 
 
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Geometría -8- UNI (1965 - 2020 1) 
 
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GEOMETRÍA: 
Exámenes de 
admisión 
UNI: 
1965 - 2020 (1) 
eometría -Y- UNI (1965 - 2020 |) 
 
 
1. CONJUNTOS CONVEXOS 
Problema 1. UNI1993-1M1 3 
¿Cuál o cuáles de las siguientes 
afirmaciones son verdaderas? 
l, El interior de todo ángulo plano es 
una región convexa. 
Il, Una región triangular es convexa. 
IM. La superficie de un cilindro es región 
convexa. 
IV. — El interior de una circunferencia es 
una región convexa. 4 
A) Todas B)!, ll y IV C) Il y IV 
D)I yl E)ll, MM yv 
Problema 2. UNI1998-11. ¿2 
Determinar el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
, El borde de un poligono convexo es 
una región convexa. 
Il. El complemento de un plano en el 
espacio es una región convexa. 
lll... La diferencia de dos regiones no 
convexas es una región no convexa. 
A)VWWY B)VFF C) FFF 
D) VWF E) FFV 
Problema 3. UNI 2000 -1 PENN 
En los siguientes enunciados poner (V) si 
es verdadero y (F) si es falso. 
l. Una región poligonal convexa de la 
que se han excluido sus vértices, es 
un conjunto convexo. 
Il. — Ninguna región convexa resulta de la 
reunión de dos regiones no 
convexas. 
IN... La reunión de los dos semiespacios 
determinados por un plano de 
separación contenido en el espacio 
A)VVF. B)VVWVY C)VFF 
D) VFV E)FFF 
Problema 4. UNI 2003- 1 IL 
El valor de verdad de las siguientes 
proposiciones: 
Il. Toda línea recta separa al plano que 
la contiene en dos conjuntos 
convexos. 
IN.+ Si le quitamos un punto a un plano, 
el conjunto resultante es convexo. 
lll. Toda poligonal no convexa que gira 
360* alrededor de uno de sus 
extremos y en el plano que la 
contiene, determina siempre una 
región convexa. 
Es: 
A)VVV B)VFV C)FWW 
D)VVF E)VFF 
Problema 5. UNI 2005-1 18 
A. la región plana representada en (a) le 
falta el punto A; a la de (b) le faltan los 
puntos C y D y a lla de (c) le falta su 
circunferencia frontera. ¿Cuáles de las 
siguientes proposiciones son correctas? 
 
(a) (b) 
. La intersección de los conjuntos en 
(a) y (b) es un conjunto no convexo. 
Il. — La intersección de los conjuntos en 
(b) y (c) es un conjunto convexo. 
Ill. — La intersección de los conjuntos en 
(a), (b) y (c) es un conjunto convexo. 
tridimensional, es una región 
convexa. AJly lll B)ilylll C)Solo lll 
D)sólol E)sólo ll 
Geometría - 10 - UNI (1965 - 2020 1) 
L
T
 
Problema 6. UNI 2006 - 1 354 
Dadas las siguientes proposiciones: 
P El conjunto convexo más pequeño 
que contiene a tres puntos no 
colineales del plano es la región 
triangular cuyos vértices son dichos 
puntos. 
IL. El conjunto S = (x € R/ |x| > 1) es 
a . y im sis 
convexo. 
Ml... Si al borde de un círculo se le quita 
un solo punto, el conjunto resultante 
ya no es convexo. 
Es(son) correcta(s): 
AjJl yl! B)Sólo II 
D) Il y lll E) Sólo | 
C)! y! 
2. LÍNEA RECTA Y SEGMENTOS 
Problema 7. UNI 1965 
Sobre una linea recta se han dado uta 
tres puntos diferentes P, R y S, de tal 
modo que el punto R pertenece al 
segmente PS. ¿Cuál de las siguientes 
afirmaciones es verdadera”? 
A) El punto P pertenece a RS. 
B) El punto S pertenece a PR. 
C) Todos los puntos de RS 
pertenece a PS. 
D) Todos los puntos de PR 
pertenece a RS. 
Problema 8. UNI 1968 29 
Sobre una recta están ubicados 4 puntos 
en el orden que se indica A, B, C y D. Si 
AD mide 24 cm, AC mide 15 cm y BD 
mide 17 cm. ¿Cuánto mide BC? 
A) 9 B)6 C)5 
D)7 E)8 
Problema 9. UNI 1970 3 
El punto P divide a una recta dada en dos 
semirrectas. Sobre una de ellas están los 
puntos A y B, y sobre la otra, los puntos C 
y D. ¿Cuál de las siguientes proposiciones 
es cierta? 
A) El segmento AB contiene a P. 
B) El segmento AC no contiene a P. 
C) El segmento BD no contiene a P. 
Geometría 
 
==. 
D) El segmento BC no contiene a P. 
>"EJEl segmento CD no contiene a P. 
Problema 10, UNI 1971 4 
El segmento AB mide 23 cm, El 
segmento AM=15. ¿Cuánto mide el 
segmento AN, siendo N el punto 
conjugado amónico de N con relación a 
AB? 
 
A MB N 
A) 33,00 cm B) 49,23 cm 
C) 45,26 cm D) 33,95 cm 
E) Ninguno de los valores indicados. 
Problema14. UNI 1978 Se 
Sobre una recta se dan los puntos 
consecutivos: M, A, B; siendo "O" el punto 
medio de AB. Calcular MO?, sabiendo 
que: MA = 2 m, AB = Sm, 
A)25m? B)28m? C)32m? 
D)21m* EJNA. 
Problema 12. UNI1979 A 
Sobre una recta se tiene los puntos 
consecutivos A, B y D. Entre los pun tos B 
y D se toma un punto C- tal que: Ac==2. 
Determinar BC sabiendo que: 
BD - 4AB = 20 
UNI (1965 - 2020 1) 
 
A) 2 
D) 4 
B)5 
E)8 
C)6 
Problema 13. UNI 1980 e 
Sobre una recta se ubican seis puntos 
consecutivos: A, B, C, D, E y F, sabiendo 
que se cumple: AC+BD+CE+DF = 91 y 
BE-(S)AF ¿Cuál es la longitud de AF? 
A) 52 B) 48 C) 54 
D) 64 E) 56 
Problema 14. UNI1983-1. 5 
Sobre una recta se toman los puntos 
consecutivos A, B, H, C, D, N y E de modo 
que M es punto medio de AD y BC y Nes 
punto medio de DE. Sabiendo que AD = 
18 m, BE = 16 m y CN = 11 m. Hallar la 
longitud de MN y BD. 
A)llmy8m B)12my10m 
C)12my11m D)13my12m 
E)8 m y 11 m 
Problema 15. UNI1985-1. 232 
Al dividir la longitud de un cierto segmento 
en partes directamente proporcionales a 
11,7 
34?2 
segundo de los cuales mide 12 unidades. 
La suma de las longitudes del segundo y 
tercero es: 
se obtienen tres longitudes, el 
 
partir de este se obtienen *n” segmentos 
de la siguiente manera: 
El primero es AB de longitud n unidades, 
: | el segundo de longitud igual a la mitad del 
primero, el tercero de longitud igual a la 
mitad del segundo el cuarto de longitud 
igual a la mitad del tercero y así 
sucesivamente. Luego se toma la enésima 
parte de cada una de dichas longitudes Y 
se suman los resultados Esta suma es: 
 
 
2n-1 -4 2-4 gn +1 -41 
E 2 E > qa 
«1 
p) + ey L 
2n1-1 2-1 
Problema 17. UNI1990 > 0% 
Sobre un segmento, de izquierda derecha 
se consideran los puntos consecutivos A, 
A Sy D Esimoda que Ae + 20m. BC = 
Ca Ba cm. Sabiendo que (£D E 
Aló AB. 
A) rn cm Ba 2 cm 
0) 138 D) 32 cm E) 2 cm 
16 16 
Problema 18. UNI1997-11.. 03 
Los puntos A, B, € y D son consecutivos 
sobre una linea recta y forman una 
cuaterna armónica que cumple la siguiente 
A)24u B)30u C)36u relación: 
D)42u E)48u LL e Si AD = 9, entonces el 
AB AD 
segmento CD mide: 
hdi A)5 B)4 C)3 
Problema 16. UNI 1987 AnS D) 2 EN 
Se tiene un segmento AB de longitud: n.A 
Geometría - 12- UNI (1965 - 2020 1) 
 
"e
 
Problema 19. UNI 1967 
Las rectas : XOZ y YOW, se cortan en el 
punto O. La bisectriz del ángulo de XOY 
forma con OZ un ángulo de 160”, ¿Cuánto 
mide el ángulo XOY? 
A)48%. B)40” C)32* 
D)20” E)16* 
Problema 20. UNI 1980 AA 
En la figura OX es la bisectriz del ángulo 
AOC y OY es la bisectriz del ángulo BOD. 
El ángulo COD mitle 99”. El ángulo XOY 
mide 90”. Calcular el ángulo AOB; 21% 
 
A)98 B)81* C)99* 
D) 100” E) 70? 
Problema 21. UNI1997-1.. 33 
Dadas dos rectas paralelas, se toma en 
una de ellas un punto A y en la otra un 
punto B. Se toma otro punto Cen el 
segmento AB; se consideran en las 
paralelas a un mismo lado de AB, un 
segmento AD = AC y otro BE = BC. Siendo 
a el ángulo CAD, calcular el ángulo DCE. 
Ay A a) 2 2 ES ) - ) 4 
Dr» py 2 ) 2 ) P 
Problema 22. UNI 1999 - 1 3 
En la figura mostrada las rectas XX' e YY" 
son paralelas. Si la suma de los ángulos a 
y bes de 76”, hallar la medida del ángulo 
e formado por XX' con la bisectriz del 
ángulo que determinan las rectas mm' y 
Geometría 
3. ÁNGULOS 
 
- 13- 
 
 
 
Y 
A) 28* 
D)52* 
B) 42* 
E) 14? 
C) 36” 
Problema.23.. UNI 2001-1532 
En la figura L, // Lo y La M La, el valor 
numérico de 3x” - 12” es: 
eS 
E La 
11x 
 
AJ15" B)16% C)17* 
D)18:: E)19* 
Problema 24. UNI 2010-1 A 
Halle la medida del ángulo “B” indicado en 
la figura mostrada, donde las rectas L, y 
L, son paralelas. 
 L 
 
 
L . 
A)51% B)53% C)55* 
UNI (1965 - 2020 |) 
 
 
 
 
D) 57” E) 59" 
Problema 25. UNI 2016-13 
En la figura mí4AOC = 120*, halle el 
menor valor entero de x. 
C B 
2x - dy 
x + 3y 
O Á 
A) 34% B)35" C)36* 
D) 37” E) 38* 
Problema 26. UNI 2017 - Luro id 
En el gráfico AB//FG y O - B = 38", 
Determine la medida del ángulo formado 
por L, y L,. 
 
 
 
 
 
 
Calcule mdABC en términos de a y B. 
o_ a+B gag os-a-+B 
A) 90 s )9 —=ÑÁ 
 
 
C) = B D)a+B 
E) 90" + 2-8 
2 
Problema 28. UNI 2019-1 3 
Sabiendo que L,//L¿ y O es la medida de 
un ángulo agudo. Calcule el mínimo valor 
entero de *x”. 
 
 
A) 41* 
D) 45* 
B) 42” 
E) 46" 
C) 44* 
A)15% B)30% C)37" 
D)532 E)60* 
Problema 27. UNI20181. 22% 
En la siguiente figura: 
z La 
a L, 
Geometría - 14. UNI (1965 - 2020 l) 
 
sl
 
 
ii e E A a 
4. TRIÁNGULOS 
Problema 29. UNI 1966 Pa 
El ángulo BAC de un triángulo cualquiera 
ABC mide 54” 12". ¿Cuál es el valor del 
ángulo menor formado por las bisectrices 
interiores de los ángulos ABC y ACB ? 
A) 27" 06' 
C) 35” 48' 
E) Faltan datos 
B)54* 12 
D) 62* 54' 
Problema 30. UNI1968 www.am 
El ángulo que forma la altura relativa a la 
base de un triángulo isósceles y la 
bisectriz interior de uno de sus ángulos 
iguales es 56”. Dichos ángulos iguales 
miden: 
A)44? B)134” C)68* 
D)34% E)62* 
Problema 31. UNI 1969 ER 
Las bisectrices interiores de los ángulos 
iguales de un triángulo isósceles forman 
un ángulo de 100”. ¿Cuánto vale cada uno 
de dichos ángulos iguales ? 
A)10% B)80” C)50* 
D) 40* E) 20” 
Problema 32. UNI1969 4 
Dosrectas paralelas determinan sobre una 
secante un segmento cuya longitud es el 
doble de la distancia entre las mismas, El 
menor ángulo formado por la secante con 
una de las paralelas mide: 
A) 30* B)75* C)60* 
D) 45" E) 15* 
Geometría 
 
-15- 
Problema 33. UNI 1970 26d 
En cierto triángulo isósceles, el ángulo 
opuesto a la base mide 162”. ¿Cuánto 
mide el ángulo agudo formado por la 
bisectriz de uno de los ángulos iguales del 
triánguto con la altura retativa a la base? 
A)35% B)75” C)75%30' 
D)85*30' E)81* 
Problema-34:0:1UNI 1972.00 
En un triángulo ABC, la diferencia de los 
ángulos A y B es de 76” 30", la bisectriz 
del ángulo C corta al lado opuesto en D. 
Hallar el ángulo formado por la bisectriz y 
el segmento DB. 
A) 38* 15' B) 47" 30' 
C)51* 45' 
D) 54” 45' E) 56* 45' 
Problema 35. UNI 1973 ON 
AB y AC son los lados iguales de un 
triángulo isósceles ABC en el que se 
inscribe un triángulo equilátero DEF con 
vértices D sobre AB, E sobre AC y F 
sobre BC. Si a es el ángulo BFD, b es el 
ángulo ADE y c es el ángulo FEC. 
 
 
 
AJb=*S B)b= 2 
2 2 
C)ja= > D)a= 
b+c 
Eja= 28 
Problema 36. UNI1973 1 AL 
Del siguiente conjunto de datos el único 
que no determina la forma de un triángulo 
es: 
UNI (1965 - 2020 1) 
 
 
 
 
A) La relación entre dos lados y la 
medida del ángulo comprendido. 
B) Lasrelaciones entre las tres alturas. 
C) Las relaciones entre las tres 
medianas. 
D) Dos ángulos. 
E) La relación entre la altura y la base 
sobre la que cae. 
Problema 37. UNI 1975 la 
La bisectriz de uno de los ángulos de un 
triángulo escaleno forma con el lado 
opuesto dos ángulos que son entre sí 
como 7:13. Determinar el menor de los 
ángulos del triángulo asumiendo que la 
medida en grados de cada uno de los tres 
ángulos es un número entero menor que 
80”. 
A) 76* B) 25” C)79* 
D)78* E)24* 
Problema 38. UNI 1978 
Los ángulos agudos de un triángulo 
rectángulo, están en la relación 3/5. El 
valor del ángulo que forman la mediana y 
la altura que parten del vértice del ángulo 
recto, es: 
A) 30* B)22,5” C)42,5” 
DE3I2* EIN. A. 
Problema 39. UNI1978 4 
El ángulo ABC de un triangulo ABC mide 
70* y el ángulo BCA mide 13”. ¿Cuál es el 
menor ángulo que forman entre sí, las 
alturas bajadas de los vértices B y C? 
A)83? B)76” C)72* 
D)68%" EJNA,. 
Geometría 
| En el siguiente triángulo, 
 
= 16 - 
Problema 40. UNI 1980 aida 
En un triángulo ABC la bisectriz interior 
trazada por A forma con la bisectriz 
exterior del ángulo C un ángulo de 36”. 
Sabiendo que: Á-C = 20”. Calcular en 
ángulo 6.A)44% B)88% C)36* 
D)64% E)72* 
Problema 44. UNI1981 005 
En un triángulo ABC, la medida del ángulo 
exterior en el vértice B es el triple de la 
medida del ángulo C, la mediatriz de BC 
corta a AC en el punto F. Siendo FC = 12 
m. Calcular AB. 
A) 24 B) 16 Cc) 12 
D)8 E) 10 
Problema 42. UNI1981 0 
calcular el 
valor del ángulo que es el Complemento 
del suplemento de 6. 
Ó 
 
A)40" B)20% C)110* 
D)220" E)80* 
Problema 43. UNI 1981 E 
Tita 
En la figura: Sea el AABC; AG = BC.Sea 
P un punto cualquiera de AB y, XP.LAC y 
YPLBC. Si XP = 5 y YP = 8, hallar la 
longitud de la altura BT. 
UNI (1965 - 2020 1) 
 
=$ 4 
P, A A A 
e ls rl te ol: ei tc a A do 
 
c 
, 
Y 
A 
A P B 
AJ15 B)13 C) 2 
o28 Eo 
3 WWW.am 
Problema 44. UNI 1981 2 
En la figura, RS biseca el ángulo PRQ 
luego podemos afirmar : 
R 
 
 
E A) P= ¿e q) 
1 
B) p= tp +q) 
e a C) a p D)5 - B 
E) p-H(a+p)+15" 
Problema 45. UNI1982-1 
En el triángulo ABC se tiene que: 
m«ABC = 3(m4ACB) 
AH: altura trazada desde A, 
AD bisectriz del ángulo BAC. 
Entonces la media del ángulo HAD, es 
A) míACB B) =má4ACB 
; 
2 
C) 3(m<«ACB) 
D) S(m<ACB) E) 2(m<ACB) 
Geometría 
 
- 17 - 
Problema 46. UNI 1982-1 5d 
En un triángulo ABC, sea | el punto de 
intersección de las bisectrices, D el punto 
de intersección de la prolongación de Al y 
BC, IE es la perpendicular trazada de | a 
BC. Entonces la medida del ángulo BID es 
igual a la medida del ángulo: 
A)JBAC B)JIÁE C)EicC 
D)DÍE E)JIBD 
Problema 47. UNI1982-1. 0.03 
Los ángulos interiores de un triángulo son 
a, B, y; Ó es otro ángulo tal que: 
PB +05=180*. Además: ó-PB=15* 
y; y-a=15* — Entonces y es: 
A) 54" 15' B)56* 30" C)56* 15' 
D) 62 30' E) 56* 12' 
Problema 48. UNI1982-1M.. 2 
En el triángulo ABC, AB= 12,AC=7yBC 
= 10. Si las longitudes AB y AC se 
duplican, mientras que BC permanece 
constante, entonces se cumple: 
A) La altura trazada desde A, se 
duplica. 
B) La nueva figura no es un 
i triángulo 
C) Elárea del triángulo se duplica 
D) El área del nuevo triángulo es 
4 veces el área original 
E) La mediana trazada desde A 
queda invariable. 
Problema 49. UNI 1984- II A 
Sea el triángulo ABC en el cual se cumple 
que: míABC = 64”, m<AÓB = 72” y 
sean, BM y CP bisectrioes de los ángulos ABC 
y ACB respectivamente. BM y CP se 
cortan en el punto Q, BH es la altura 
trazada desde B. Hallar la medida de los 
ángulos BÁC yMBH. 
A) 112* y 16” B)120* y 12* 
UNI (1965 - 2020 |) 
 
 
C) 110" y 14? 
E) 112" y 14? 
D) 110* y 12* 
ed 
Problema 50, UNI 1985-1 sa MEL 
Se tienen dos rectas oblicuas (secantes) 
L, y L, las cuales se intersectan en el 
punto QA. Además una tercera secante o 
transversal las intersectan en los puntos A 
y B, formando con ellas ángulos agudos 
correspondientes cuyas medidas son 85” 
y 75” respectivamente. Sea X un punto de 
AB, y un punto de AQ y Z un punto de BQ 
tal que AY AX y BZ = BX. 
Calcular la medida del 4YXZ. 
A)75” B)80” C)100* 
D)85" E)95” 
Problema 54. UNI 1985 ll 
En la siguiente figura, si: a<u, B=u,5> 
w, decir cuál de las siguientes 
desigualdades es verdadera: 
Á 
 
 > 
A) AP + PB < AQ + QB 
B) AP + PB = AQ + QB 
C) AP + PB > AQ + QB > AR + RB 
D) AQ +0QB < AR+RB y AQ+0B > AP +PB 
E) AQ +QB <AR+RB y AQ +0B < AP +PB 
 
Al resolver el triángulo siguiente, (donde 
AM: mediana) 
A 
Xx 
30* 15* 
B M E 
Geometría 
| Enla siguiente figura, calcular el ángulo a. 
-18- 
El ángulo x es: 
A)45% B)30% C)60* 
D) 75” E) 15” 
Problema 53. UNI 1993-13 
Se tienen dos rectas coplanares L, y L, 
que forman un ángulo agudo 6, siendo L, 
horizontal y L,¿ con pendiente positiva. 
Luego se trazan en el mismo plano dos 
rectas Lz y L¿ secantes a las anteriores 
que forman respectivamente ángulo a y B 
con la vertical y con L, ángulos iguales. 
¿Cuál de las siguientes relaciones es 
verdadera? 
= 90 - (AB =< AB ano AJ0=00"-(2É) Bo =É)+45 
“8 | cyo= =(90* +2a +B) 
D) 8 = Z(a+p) E)8= 2 (20 +) 
do 1H4N 
la Problema 54. UNI1994-1l..* 
En un triángulo ABC se traza la bisectriz 
interior AM del ángulo BAC (M en BC). 
Luego se traza MN paralelo a AC (N en 
AB) y la bisectriz ND del ángulo MNA (D 
en AC). Si: m4ABC - m4ACB = 80* y 
m<MDN = m4BMD. 
Entonces mINDM vale: 
A)60? B)80” C)66* 
D)56” E)70* 
Problema 55. UNI1995-1. 
ta] 
 
B) 10* 
E) 30* 
A) 9” 0) 15* 
D) 22,5? 
UNI (1965 - 2020 1) 
pr
 
 
5 
 
 
A A añ 
Problema 56. UNI 2000- Il do 
En un triángulo ABC, la medida del ángulo 
ABC es igual a 128”. Las mediatrices de 
AB y BC cortan a AC en los puntos R y S, 
respectivamente. Luego, la suma de las 
medidas de los ángulos ABR y SBC es: 
AJ40% B)48% C)50” 
D)52% E)64* 
Problema 57. UNI 2008-11 
Sobre los lados AC y BC de un triángulo 
acutángulo ABC se ubican los puntos D y 
E, respectivamente, de tal modo que AD = 
BD = BE y m4DEB = m4íABC.., 
Si las bisectrices de los 4BAC y JACBs se e 
cortan en P y m4EDC = 40, entonces 
m«4CPA es: 
A)110 B)115 C)120 
D)125 E)130 
Problema 58. UNI 2009-13 
En un triángulo ABC se cumple AB = 2 m 
y AC= 32 m. Calcule el perímetro del 
triángulo en metros, sabiendo que es un 
número entero y el ángulo en A es obtuso. 
-AJ65 B) 66 C)67 
D) 68 E) 69 
Problema 59. UNI 2010-9485 
En un triángulo ABC, denote por | al 
incentro y por O a la intersección de la 
bisectriz interior del ángulo A con la 
bisectriz exterior del ángulo C. Si m4AlC 
+ m<4COA = 150”, halle m4COA. 
A)20% B)25% C)30* 
D)35% E)40* 
Problema 60. UNI 2012-11... 13 
¿Cuál es el menor valor entero que puede 
tomar “k”, siendo "a" constante? 
 
ak 
8 a 
A) 1 B) 2 C)3 
Es e ES 
Problema 61. UNI 2015-1033 
En el gráfico AB = AD = DC, calcule a (en 
grados) 
 
A)8 B) 9 C)10 
DJ12 EJ13 
Problema 62. UNI 2016-14. 
Determine el número de triángulos 
escalenos, de perímetro menor que 10 u y 
cuyos lados tengan medidas enteras. 
A) 1 B) 2 C)3 
D) 4 E) 5 
5. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES 
Problema 63. UNI 1965 PELS 
Para determinar en un plano la posición de 
un punto, equidistante de tres puntos A, B, 
y C (que no pertenecen a una línea recta), 
buscar la intersección de: 
Geometría -19- 
A) Las bisectrices de los ángulos 
ABC y BCA. 
B) Las bisectrices de AB y AC. 
C) La bisectriz de ABC yla 
mediatriz de AC. 
UNI (1965 - 2020 1) 
 
 
D) La mediatriz de AB yla 
bisectriz de ABC. 
Problema 64. UNI 1965 pS 
AS 
El segmento que une un vértice con el 
punto medio del lado opuesto de un 
triángulo se llama: 
A) Altura 
C) Bisectriz interior. 
B) Mediatriz. 
D) Mediana 
Problema 65. UNI 1965 RES 
El centro de la circunferencia inscrita en 
un triángulo, incentro, es el punto donde 
se cortan: 
A) Las tres medianas del triángulo. 
B) Las tres bisectrices del triángulo. 
C) Las tres alturas del triángulo. 
D) Las tres mediatrices del triángulo. 
$. 
Problema 66. UNI 1966 Ea 
El centro de la circunferencia inscrita a un 
triángulo ABC y relativa al lado BC esta en 
la intersección de: 
A) La mediatriz de BC con la bisectriz 
exterior del ángulo B. 
La altura relativa a BC y la bisectriz 
exterior del ángulo C 
La bisectriz interior del ángulo A y la 
mediatriz de BC. 
La bisectriz interior del ángulo A y la 
bisectriz exterior del ángulo C. 
B) 
C) 
D) 
E) La prolongación de la mediana 
relativa al lado BC y la bisectriz 
exterior del ángulo B. 
Problema 67. UNI 1966 Ad 
El centro de la circunferencia circunscrita 
a un triángulo O, circuncentro, es el punto 
de intersección de: 
A) Las tres medianas del triángulo. 
B) Las tres bisectrices del triángulo. 
C) Las tres alturas del triángulo. 
D) Las tres mediatrices del triángulo. 
E) Los tres circulos exinscritos. 
Geometría 
 
- 20 - 
Problema 68. UNI 1966 De 
¿Cuál de las siguientes expresiones es 
falsa? 
A) En todo triángulo obtusángulo el 
ortocentro es un punto exterior al 
triángulo. 
En un triángulo equilátero el 
ortocentro y el incentro coinciden. 
En un triángulo cualquiera la 
intersección de las medianases un 
punto interior al triángulo. 
En un triángulo cualquiera el incentro 
es siempre un punto interior al 
triángulo, 
En un triángulo, el circuncentro es 
siempre un punto interior al triángulo. 
B) 
C) 
D) 
E) 
Problema 69. UNI1966- 203 
El ortocentro de un triángulo es el punto 
donde se intersectan: 
A) Las tres medianas del 
triángulo. 
E) Las tres bisectrices del 
triángulo. 
C) Las tres alturas del triángulo. 
D) Las tres mediatrices del 
triángulo. 
E) Los tres radios de los circulos 
exinscritos. 
Problema 70. UNI1967 2004 
El centro de la circunferencia circunscrita 
a un triángulo cuyos 3 lados son 
desiguales, siempre es el punto donde se 
intersectan: 
A) Las medianas de un lado con la 
bisectriz del ángulo opuesto. 
B) Las bisectrices de los ángulos. 
C) Las alturas. 
D) Las medianas de los lados. 
E) Las mediatrices de los lados. 
Problema 74. UNI1967 7 
En un triángulo de lados desiguales, el 
UNI (1965 - 2020 1) 
EE ci Ma 
 
segmento que une un vértice con el centro 
del circulo inscrito, pertenece a una : 
A) Bisectriz 
B) Altura 
C) Mediatriz . 
D) Tangente do dicho circulo 
E) Mediana 
Problema 72. UNI 1969 AUTOR 
Si uno de los vértices de un triángulo es a 
la vez su ortocentro, dicho triángulo es: 
A) No existe B) Rectángulo 
C) Obtusángulo D) Acutángulo 
E) Equilátero 
Problema 73. UNI 1969 
Para un triángulo equilátero. ¿Cuál es la 
relación de los radios de la circunferencia 
circunscrita y de la circunferencia que 
pasa por los puntos medios de los lados?. 
A) y2 B) y3 C)3 
D) 2 E) 4 
Problema 74. UNI 1970 A 
La distancia entre el centro de la 
circunferencia circunscrita a un triángulo 
rectángulo y el punto de observación de 
sus tres alturas es igual a: 
A) Dos tercios del cateto menor. 
B) Un tercio de la altura relativa a 
la hipotenusa. 
C) La semisuma de los catetos. 
D) La mitad de la hipotenusa. 
E) —Lostercios del cateto mayor. 
Problema 75. UNI 1973 ? 
Dado un triangulo ABC, rectángulo en A, 
se traza una perpendicular cualquiera a la 
recta que contiene a la hipotenusa, la cual 
corta a AB en D, y a AC en E. El lugar 
geométrico de las intersecciones H de las 
rectas BE y CD es: 
A) Una recta paralela a AC. 
B) Una circunferencia de diámetro BC. 
Geometría 
tt 
 
-2- 
——_— a 
C) Una circunferencia de diámetro AC. 
D) Unasemi-circunferencia de diámetro 
AC. 
E) —Unasemi-circunferencia de diámetro 
BC. 
Problema 76. UNI 1973 ME 
Por uno de los puntos comunes Á, de dos 
circunferencias secantes de centros O y O' 
de igual radio se traza: 
1? Una recta BAB' que corta a las 
circunferencias respectivas en los 
puntos B y B'. 
27 La mediatriz del segmento BB" que 
“corta a la cuerda común a las dos 
circunferencias en un punto €. 
Entonces es cierto que: 
A) Ángulo BCA = 2 ángulo B'CO' 
B) Ángulo BCO = ángulo B'CO' 
C) Ángulo ACB' = ángulo OCB 
D) Ángulo B'A'O' = ángulo B'CO' 
E) Ángulo BCA = ángulo B'CO' 
Problema 77. UNI 1973 00 
A través de un punto interior de un 
triángulo se dibujan tres segmentos desde 
los vértices a los lados opuestos formando 
seis triángulos parciales. En tal figura: 
A) - Los pares opuestos de triángulos 
son semejantes. 
B) Los pares opuestos de triángulos 
son congruentes. 
C) Los pares opuestos de triángulos 
tienen la misma área. 
D) Seforman tres cuadriláteros iguales. 
E) Ninguna de las proposiciones 
anteriores es cierta. 
Problema 78. UNI 1973 ca 
Se selecciona un punto al azar dentro de 
un triángulo equilátero y desde tal punto se 
trazan perpendiculares a los lados. La 
suma de éstas perpendiculares es: 
A) Mínima cuando el punto es el centro 
UNI (1965 - 2020 1) 
 
il
 
de gravedad del triángulo. 
B) Mayor que la altura del triángulo. 
C) Igual a la altura del triángulo. 
D) La mitad del perímetro del triángulo. 
E) Máxima cuando el punto es el centro 
de gravedad del triángulo. 
Problema 79. UNI 1978 
El cateto de un triángulo rectángulo mide 
“a” m. Calcular la altura respecto de la 
hipotenusa si la distancia del ortocentro al 
baricentro es "b” m, además. 
a 9 
b 5 
A)08a B) 2b C) a? 
LA b 
D) b EN 
Problema 80. UNI 1985-1 pa 
aaa 
En un rombo ABCD cuyo lado mide 12 m, 
se ubica el punto medio M de BC. AM 
intersecta a BD en G y DM intersecta a 
AC en H. Calcular GH. 
Aj4m B)J6m C)2/2m 
D)3/2m E)3m 
Problema 81. UNI 1987 DES 
En la figura, AD y BM son medianas del 
triángulo ABC, y AC = 30 m. Entonces, las 
longitudes x é y en metros son 
respectivamente: 
A 
gp Cc 
A)11y4 B)9y6 C)J10y5 
D)8y7 EJ95y5,5 
Problema 82, UNI 1989 A 
En el interior de un triángulo equilátero se 
Geometría 
 
-22- 
ubica un punto arbitrario P desde el cual 
se han trazado las perpendiculares PD, PE 
y PF a los lados BC, CA y AB 
respectivamente Hallar: PD+PE+PF 
BD+CE+AF 
al Bs cí 
1 1 
D)= E) = 
2 y2 
Problema 83. UNI 1994-1. 
En una circunferencia se inscribe el 
triángulo ABC, la recta mediatriz del 
segmento AC intersecta la circunferencia 
en el punto M. La prolongación del 
segmento MB intersecta a la prolongación 
del lado AG en el punto O. 
Si AC =cC,BC = a, AC = b y AB > BC, 
calcule la longitud del segmento CA. 
 
 
ay) 22. B) 
c-a b-a c-a 
are c-a 
Problema 84. UNI1998-1. 53 
. | Si la mediana relativa a la hipotenusa de 
un triángulo rectángulo mide 5 cm y forma 
un ángulo de 30* con el cateto mayor, 
entonces la distancia en cm del baricentro 
al vértice opuesto al cateto menor es: 
A) 2/13 p) +48 C) 3/3 
p) 48 E) 4/13 
Problema 85. UNI1999-1.. 0% 
En un triángulo acutángulo ABC se trazan 
las alturas BH,AJ y CK. Desde H se 
trazan HM y HN perpendiculares a los 
lados BC y BA respectivamente. Si MN = 4/3 
entonces el perímetro de triángulo HJK es: 
A)4/3 B)6 C) 6/3 
UNI (1965 - 2020 1) 
 
A A AA 
D)8 E) 8/3 
Problema 86. UNI 2000-1 3% 
En un triángulo ABC, M y N son puntos de AC 
si los segmentos 'BM y BN dividen al 
ángulo B en tres ángulos iguales y al lado AC 
en segmentos proporcionales a 2, 1 y 3, 
B Calcular la medida del ángulo 
A)22,5% B)67,5% C)72,5* 
D) 53,5% E)60* 
Problema 87. UNI 2001-1 SEAS 
En el triángulo rectángulo la--Mediana/:: 
relativa a un cateto de longitud b se 
interseca perpendicularmente con la 
mediana relativa a la hipotenusa. 
Entonces la longitud del otro cateto es: 
b b b 
ddr 23 C) gis 
b b D) q (/5+1) E) ¿12 
nera 
Problema 88. UNI 2002- 1 AMARA 
Deducir el valor de verdad de las 
siguientes afirmaciones: 
B En todo triángulo acutángulo la 
altura es menor que la semi-suma de 
los otros dos lados que parten del 
mismo vértice. 
En todo triángulo, la altura es menor 
que la medida de los otros tres lados 
del triángulo. 
En todo triángulo acutángulo, la 
suma de las tres alturas es mayor 
que la suma de los tres lados del 
triángulo. 
A) VW B)VWVF C)FFV 
D)VFV E)VFF 
Problema 89. UNI 2002- 1 
En un triángulo rectángulo se inscribe una 
circunferencia cuyo radio r es 1/6 de la 
longitud de la hipotenusa. Luego, la 
Geometría 
¿| Problema 92. 
AA A 1 A 
longitud del segmento que une el incentro 
con el baricentro del triángulo dado es: 
altr Br 02 
3 2 5 
D) £r E) Sr 
Problema 90. UNI 2003-1 7 
La suma de dos ángulos exteriores de un 
triángulo mide 2707; el lado mayor mide 
48m. Hallar la distancia del baricentro al 
circuncentro. 
A)J6m B)8m C)12m 
-D)i6m_ E)20m 
Problema 91. UNI2003-1. 2 
Tres rectas se intersecan dos a dos. 
¿Cuántos puntos del plano, determinado 
por dichas rectas, equidistan de las tres 
rectas? 
A) Uno D) Cuatro B) Dos 
E) Cinco C) Tres 
UNI 2003- 11 2 
En la figura mostrada el punto O es el 
ortocentro e | es el incentro del AABC., 
Hallar la relación entre 6, a y B. 
 
 
 A)B=20-8B)B=2(a-0) C)B= — 
Dpe= 2% EJp=a-0 
Problema 93. UNI 20061. 73 
'| Las longitudes de los lados de un triángulo. 
ABC son 3, 4 y 6. Entonces el mayor radio 
de dos circunferencias iguales que pueden 
-23- UNI (1965 - 2020 1) 
 
—
 
inscribirse en dicho triángulo, (dado entérminos de r, radio de la circunferencia 
inscrita al triángulo ABC) es: 
 
 
6r ár 3r 
B — 
E) r+3 r+3 ) r +3 
D) 3r E) 2r 
2r+3 r+2 
Problema 94, UNI 2007-1 RAS 
Se tiene un triángulo equilátero, donde la 
distancia del ortocentro a la recta que une 
los puntos medios de dos lados del 
triángulo es 2, calcule la longitud del lado 
del triángulo. 
A) 2 B)2/3 C)4 
D)4/3 E)8y3 
Problema 95. UNI2007-1. 25% 
En la figura mostrada, calcule la medida 
del ángulo APC. 
 
 
Geometría 
 
-24- 
A) 100% B)105" C)110* 
D) 115” E)120* 
Problema 96. UNI 2013 -1l 2 
En la figura, el triángulo ABC recto en B, 
BH es la altura, BD es la bisectriz del 
. Lángulo ABH y BE es la bisectriz del ángulo 
HBC. Si AB = 7u y BC = 24u. Calcule el 
valor del segmento DE (en u). 
 
8 
AD H E G 
AJA B)5 C)6 
D)8 E) 9 
Problema 97. UNI2017-1M 
23 
En un triángulo rectángulo ABC recto en B, 
AC = 2AB. Si AC = 6 cm, calcule la 
longitud (en cm) de IM, donde M es el 
punto medio de AC e | es el incentro del 
triángulo ABC. 
A) 3/3-/3 8) 3/2-/3 C) 3/3+/3 
D) 3/2+/3 E) 3/3 
UNI (1965 - 2020 1) 
lt 
 
 
6. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 
Problema 98. UNI 1966 Da 
AR, BS y CT son tres segmentos 
cualesquiera no paralelas, que se bisectan 
mutuamente en un punto de intersección P 
(es decir: AP = PR, RP = PS, CP = PT). 
¿Cuál de las siguientes expresiones no es 
cierta? 
A) Los ángulos ABC yTSR 
siempre son iguales. 
B) Los segmentos “AB wy:T8S] 1140 
pueden ser desiguales. 
C) Los segmentos AC y TR 
pueden ser desiguales. 
D) Los triángulos ABC y TSR 
siempre son iguales. 
E) Los segmentos AB y SR 
siempre son iguales. 
Problema 99. UNI 1967 ESA 
¿Cuánto mide un ángulo entre el lado de 
un cuadrado y el lado más próximo de un 
triángulo equilátero inscrito en dicho 
cuadrado? Ambos lados tienen un vértice 
común. 
A) Un quinto de radián. 
B) 0,1 radianes. 
C) 30* 
D) 10* 
E) Un sexto del ángulo recto. 
Problema 100. UNI1994=1 ..-.: 
Una hoja de papel ABCD de forma 
rectangular, se dobla de tal modo que el 
vértice B coincida con el punto P del lado 
opuesto AD (lado mayor). Siendo XY la 
línea del doblez y la medida del ángulo 
AXY es 115”, entonces la medida del 
ángulo APX es: 
Geometría 
 
-25- 
 
 
A X B 
JJ La 
p 
y 
m| GM 
D Cc 
A) 35* B) 40? C) 45* 
D) 55* E) 65” 
na 
En un AABC se traza la ceviana BD tal 
Problema 101. UNI 1996-1. 
que: AB = CD y D está en el lado AC. 
Además m4ABD = 60* y m4BAC = 20”. 
Hallar la m4BCA. 
A)15% B)30” C)25* 
D) 22*30' E) 20" 
Problema 102. UNI1998-1. “7 
En la figura mostrada el triángulo ABC es 
recto en B y además AB = CO. Hallar el 
valor del ángulo a. 
C 
Q 
3” A 
E 
B 
A)15* B)22*30' C)20* 
D)30" E)18*30' 
Problema 103. UNI1999-11. 4% 
Sea ABCD un cuadrado cuyos lados 
tienen longitud L. Por el vértice B pasa una 
recta que no es paralela a ninguno de los 
lados. Si las distancias de los puntos A y € 
a la recta que pasa por B son 12 m y 9 m, 
UNI (1965 - 2020 1) 
 
 
respectivamente, el valor de L es: 
A)20m B)12m C)15m 
D)25m E)18m 
Problema 104. UNI 2002-11 3 
En un trapezoide ABCD, AB = BC, mb = 
90”, mb = 45”. Se traza el segmento BH 
perpendicular a AD. Si AD = L, calcular 
BH. 
2 L L A) 3" B) > C) : 
py £ Ey 1/2 
4 3 
Problema 105. UNI 2006-1 “;:j 
En el interior de un triángulo ABC 
(AB=BC), se toma el punto "P” tal que PB 
= AC, mAPBA = 10? y máA4PBC = 30? 
Calcule la medida del ángulo PAB. 
A)15% B)20% C)25' 
D)30 E)35* 
Problema 106. UNI 2006-17 
Se construyen exteriormente los triángulos 
equiláteros AEB y BFC sobre los lados AB 
y BC de un triángulo escaleno, tal que 
AF NM CE =(P). Calcule la m<«APC., 
Ay ger ¿a de ) 3 ) 4 
án 5n py 2 Ey 
5 5 
Problema 107. UNI 2006-15 
Indique la secuencia correcta después de 
determinar si la proposición es verdadera 
(V) o falsa (F): 
() Dos triángulos rectángulos con la 
misma hipotenusa son congruentes. 
() Dostriángulos rectángulos isósceles 
con un cateto común son 
congruentes. 
() Dos triángulos rectángulos con un 
ángulo agudo de igual medida son 
Geometría 
 
-26- 
congruentes. 
A)FFF. B)FVF C)VFF 
D)VVF E)FWW 
Problema 108. UNI 2007- 1 
En el interior de un triángulo ABC (AB = 
BC), se toma el punto P tal que PB = AC, 
m«4PBA = 10?” y máiPBC = 30”, Halle 
m«PAB. 
A)10% B)15% C)20* 
D)25% E)30* 
Problema 109. UNI 2008-1 3% 
En un triángulo ABC se traza la mediana 
BR; tal que AB = AR, mIRBC = 14”. 
Halle m4BAC 
A) 104* 
B) 105* C)
 1062 
D) 107? E)108* 
Problema 110. UNIZ01041 03 En un cuadrado ABCD se prolonga el lado AD 
hasta el punto R. Desde un punto Q de 
: | BC se traza QR que interseca a CD en P. 
Determine la medida del ángulo APO si 
PA = CR y m4PAR=20”. 
A)55” B)60%? C)65* 
D)70* E)75* 
Problema 11%. UNI 2014-12 :3 
En un triángulo ABC la mediatriz relativa al 
lado AC interseca a BC en P. AP y BM se 
intersecan en Q. Determine AQ (en cm), si 
MQ= QB y BP = 4 cm. 
A) 2 B) 4 
D)8 E) 10 
C)6 
Problema 112. UNI 2012-11.” 
En un cuadrilátero convexo ABCD, la 
mediatriz de AD pasa por C. 
Si: m1CBD = 30”, m4BDA = 40* y 
m«DAB = 70*, calcule la míCDB. 
A) 8? B)10 C)12* 
D) 15* E) 17? 
UNI (1965 - 2020 |) 
F
a
i
 
 
=- a lil a Dd ie = sa . 
Problema 113. UNI 2014-17 
En la figura, BF = 3u y ED = 4u. Calcule el 
valor del segmento CF (en u). 
C D 
 
A B 
A) 4,5 055 
D) 6 
B)5 
E) 6,5 
Problema 114. UNI 2014-11 37] 
En un triángulo equilátero ABC, sobre la 
altura AH (H € BC) se toma el punto E y 
en la prolongación de AC se toma el punto 
D (C € AD), tal que EC = CD y AC =ED. 
Halle m<4HED. 
A)40" B)45% C)48* 
D)50" E)52* 
Problema 115. UNI 2016-17 
En la figura siguiente, AB = RC. 
B 
 
A A A A A A e 
8x 5x 
A P OD C 
A)12,25 B)20,25 C)21,00 
D) 25,00 E) 49,00 
 
Problema 147. UNI 2017-1 233 
En: un» cuadrilátero convexo ABCD se 
verifica que AB = BC = CD. Sim4ABD = 
13m4DBC y m4ADB = 6m4DBC, halle 
m«DBC. 
A) 2* B) 3" C)4* 
D)5" EJ6* 
Problema 118. UNI 2017-1 73 
En un triángulo ABC, en AC se ubica un 
punto H, por dicho punto se traza la 
perpendicular PH a AC, la cual interseca 
a AB en O. Si ma4PAB = 53%, m4ACB = 
143”, AP = AB y AH = 12m. Calcule HC 
(en m). 
A) 4 B)6 C)8 
D) 10 E) 12 
Problema 119. UNI20181 3] 
 
6x|7x En la figura, si PB = a + 6, AB = RC. 
Entonces se cumple: 
B 
Xx 
A R c a B 
Determine el valor de x. 
A) 8” B) 10* C) 12” 
D) 14” E) 15* 8 
Lo A R c 
Problema 116. UNI 2016-18... 4 
En la figura AB = 10 cm. BD = AC, DC = A)p+0=90" B)a+B8=90" 
3cm. Halle AP x PD. C) 28 +8 = 180” D) 2a + B = 180* 
Geometría = 27 - UNI (1965 - 2020 |) 
 
 
 
E)a+pB=60* 
Problema 120. UNI 20191 4 
En un triángulo ABC, 
m«BAC = 2(m4ACB) = 30", si se traza la 
mediana BM, calcule m4ABM. 
A)75" B)80” C)90* 
D) 100 E)105* 
Problema 121. UNI 2020-1.¿ 
En un triángulo acutángulo ABC, se 
Geometría 
 
-28- 
cumple que mí1ABC = 3m«4ACB,. Si la 
mediatriz de BC interseca a la 
prolongación de la bisectriz interior BM en 
el punto P, entonces el mayor valor entero 
de la medida (en grados sexagesimales) 
del ángulo PCA es: 
Ay 11 
D) 14 
B) 12 
E) 15 
C) 13 
UNI (1965 - 2020 1) 
v ” e O 
e ls tr cts e ra cs cc il e 
 
o 
7. CUADRILÁTEROS 
TRAPECIO 
Problema 122. UNI 1965 ¿U- 34 
En un trapecio convexo ABCOD, los lados 
AB, BC y CD son de la misma longitud, Si 
el lado AD, paralelo de BC es el doble de 
este lado (BC). ¿Cuánto mide el ángulo 
interno en B? 
A)135* B)120* C)110? D)108* 
Problema 123. UNI1965 WWW.AM: 
El ángulo ABC de un triángulo ABC mide 
68” y el ángulo BCA mide 12”, ¿Cuál es el 
menor ángulo que forman entre sí las 
alturas bajadas de los vértices B y C? 
A) 40? B)80* C)56* D) 112* 
Problema 124. UNI 1978 157% 
En un trapecio ABCD la base menor AB 
es igual a la altura AH, el ángulo: A= 135" 
y el ángulo B = 150". Hallar el perímetro de 
este trapecio, teniendo presente AB = A = 
20cm 
A) 195,92 cm B)200cm 
C)182,92cm D)162,92 cm 
E) 170,50 cmProblema 125. UNI 1979 757 
En un cuadrilátero convexo, el ángulo A = 
9” y el ángulo B = 4*. Calcular el valor del 
ángulo formado por las bisectrices de los 
ángulos C y D. 
AJ6"30" B)7"20" C)7"59 
D)9"00" E)12*00' 
Problema 126. UNI1979 7] 
Un campesino posee un terreno de forma 
cuadrangular cuyas diagonales miden 80 
m y 100 m. El perímetro más probable de 
este terreno está entre: 
Geometria 
A) 140y 160 B)180 y 360 
C)380 y 400 D)420y500 
E) 540 y 600 
Problema 127. UNI 1980 18 
En un trapecio ABCD de bases AB y CD 
se trazan las bisectrices de los ángulos A 
y D que se cortan en R y las bisectrices de 
los ángulos B y C que se cortan en 5. 
Hallar RS, si AB=4 ,CD= 12, AD = 7 
yBC=92100.c01m 
 
A B 
D c 
AJO B)8 C) 5 
DÉ Ema 
2 
Problema 128. UNI1997-1.. 23 
Se tiene un trapecio rectángulo ABCD, en 
el que Á = D = 90”, tomando como 
diámetro AD se traza una 
semicircunferencia que es tangente a BC 
en M, las diagonales del cuadrilátero se 
cortan en N. Hallar la longitud de MN en 
metros, sabiendo que AB = 10 m y DC = 
6 m. 
A)3 
D) 3,75 
B) 2/3 
E) 3/2 
Problema 129. UNI 2000-11. 3 
En el trapecio ABCD: AB = AD, BC = 10 u, 
m«BCD = 45”. La suma de las distancias 
del vértice A a las rectas que contienen a 
los segmentos BC y BD es: 
C) 3,25 
UNI (1965 - 2020 1) 
 
 
 
 
A D 
A)5u B)10u 
D)5/20 u E)6/19 u 
C) 20 u 
= 
Problema 130. 1UNI2002-1.... 
Se tiene un triángulo acutángulo ABC en el 
que se trazan las alturas AH y CJ. Se 
unen H y J con M punto medio de AC; si el 
menor ángulo que forman las bisectrices | - 
del 4ABC y del 4HMJ mide 6 y el 4JCA 
mide a, hallar la medida del 4HAC. 
A)2a-8 B)38-a c) 3(6+a) 
D)6+2a E)208+a 
Problema 131. UNI20051 
En la figura mostrada, si BC = CD = AD, 
encuentre x. 
=> 
A 
A) 12* 
D) 20* 
B) 15" 
E) 30* 
C) 18* 
Problema 132. UNI 2005-11 3% 
Sea el trapecio ABCD (BC//AD y BC < 
AD). Por el punto de intersección de la 
diagonales del trapecio se traza una recta 
L que interseca a AB y CD enP y Q 
respectivamente, que se encuentran en el 
mismo semiplano con respecto a la recta 
que contiene a la mediana del trapecio. Si 
AA', CC' y DD' son las distancias de los 
vértices a la recta L y AA'+DD'= a, BB' + 
CC' = b ; calcule la distancia del punto 
medio de la mediana del trapecio a la 
rectal L. 
Geometría 
¡En un cuadrilátero ABCOD, las 
 
-30- 
 
 
A) a+b B) a-b C) a+b 
6 6 4 
p)22 jad 4 6 
Problema 133. UNI 2006-1 
En el trapecio de la figura, los ángulos y y 
Ó son tales que y + 5 = = Determine la 
medida del segmento EF que une los 
¿2 puntos medios de las bases. 
D E c 
5 Y 
 B de F 
A)AD.BC/2 B)(BC-AD)/2 
C)(AB - DC)/2 D) (AB +DC)/2 
E) (AD + BC)/2 
d 10% 
Problema 134, 5 UNI 2010-] 
prolongaciones de los lados BA y CD se 
intersecan en M (A E BM) y las 
prolongaciones de los lados AD y BC se 
intersecan en N (C € BN). Si los ángulos 
BAD y BCD miden 70” y 80* 
respectivamente, determine el ángulo que 
forman las bisectrices interiores de los 
ángulos AMC y ANC
. 
A)90” B)100” C)105* 
D) 110" E)115” 
Problema 135. UNI 201221 +3
 
Determine la diferencia en cm entre el 
mayor y menor valor entero que puede 
tomar la suma de las bases de un trapecio, 
si se sabe que la suma de sus diagonales 
es 15 cm. 
A) 12 
D) 15 
B) 13 
E) 16 
C) 14 
Problema 136. UNI 2014-11 5 
En un trapezoide dos ángulos interiores 
UNI (1965 - 2020 1)
4 Lo Ja e . 
AA a lc lc E e cr 
 
opuestos se diferencian en 24”. Calcule el 
ángulo formado por las bisectrices 
interiores de los otros dos ángulos. 
A) 196” B)186” C)175" 
D) 168 E).123" 
Problema 137. UNI 2016-11. 
En un trapecio ABCD (AD//BC), las 
bisectrices exteriores de A y B se 
intersecan en P y las bisectrices exteriores 
de C y D se intersecan en Q. Si AD + BC 
=AB + CD= 10cm, entonces PQ en cm es: 
A)8 B) 10 Cc) 12 
D) 14 E) 16 o 
Problema 138. UNI2017-11. 3 
Dadas las siguientes proposiciones: 
I) Dados tres puntos no colineales es 
posible escoger un cuarto punto de 
modo que el cuadrilátero formado 
tenga sus diagonales de la misma 
longitud. 
Es posible construir un cuadrilátero 
cuyos lados sean 1, 2, 4 y 10 
unidades. 
Si las diagonales de un cuadrilátero 
son iguales, entonces el cuadrilátero 
es un trapecio isósceles. 
Son correctas: 
11) 
111) 
C)! y 11 A)Solol B)!yll 
D) Il y Ill E) Solo 111 
Problema 139. UNI 2018-1 2 
En la figura mostrada, AC y BD se cortan 
en el punto "O”. Sabiendo que AB + BC + 
CD + DA = 20. Determine el intervalo de 
mayor longitud, al cual pertenece 
 
k = AC+BD 
10 
INS 
Geometría 
A E me a 
 
-31- 
at; 2) B)(1:2) 0c1(4:2) 
D)(1;2) E)(1;3) 
Problema 140. UNI2018-11... 3 
Indique la alternativa correcta después de 
determinar si cada proposición es 
verdadera (V) o falsa (F), según el orden 
dado: 
$ Si las diagonales de un cuadrilátero 
se bisecan entonces el cuadrilátero 
es un paralelogramo. 
Il. Silas diagonales de un cuadrilátero 
son perpendiculares y congruentes 
"entonces 'el cuadrilátero es un 
cuadrado. 
Si las diagonales de un trapecio son 
congruentes entonces el trapecio es 
isósceles. 
A)VVF B)VFF C)VFV 
D)FVF E)VWvv 
Problema 141. UNI20191. 03 
En un cuadrilátero ABCD, las diagonales 
miden AC = 17 cm y BD = 15 cm; sea “M" 
punto medio de AC y “F" punto medio de 
BD; los ángulos interiores de B y D miden 
90”. Calcule MF en cm. 
A) 2 B)3 
D)5 E) 6 
C)4 
PARALELOGRAMOS 
Problema 142. UNI 1965 A 
En un cuadrilátero ABCD el ángulo ABC es 
obtuso y los lados AB y CD son paralelos 
entre si. ¿Cuál de las siguientes hipótesis 
es suficiente para poder establecer que los 
triángulos ABC y CDA son iguales entre sí, 
sabiendo que AC es una diagonal del 
cuadrilátero? 
A) Que las diagonales sean 
iguales. 
B) Que los ángulos DAC y DBC 
UNI (1965 - 2020 1) 
 
A A 
 
sean iguales. 
C) Que el trapecio se pueda 
inscribir en una circunferencia. 
D) Que los lados AB y DC sean 
iguales. 
Problema 143. UNI1966 35 
Uno de los ángulos de un paralelogramo 
mide 84”. Encontrar el valor del ángulo 
menor formado por las diagonales. 
A)90” B)84% E)96" 
D) 48” E) Faltan datos 
Problema 144. UNI 1966 DA 
AB y CD son segmentos de diferente 
longitud, no paralelas, que se bisectan 
mutuamente en un punto de intersección 
común P. Es decir AP = PB y CP = PD, 
¿cuál de las siguientes expresiones no es 
cierta? 
A) AC es siempre paralela a BD. 
B) Los ángulos CAP yPDB 
siempre son iguales. 
C) Los triángulos APC y BPD 
siempre son iguales. 
D) Los ángulos ACP yBDP 
siempre son iguales. 
E) ACes siempre igual a DB. 
Problema 145. UNI1968 + 77 
Si se trazan las bisectrices de los ángulos 
interiores de un rectángulo cualquiera, 
ellas se intersectan en 4 puntos, que 
vienen a ser los vértices de: 
A) Un rectángulo semejante. 
B) Un paralelogramo. 
C) Un rombo. 
D) Un cuadrado. 
E) Un cuadrilátero irregular. 
Problema 146. UNI1968 23 
Si una hoja rectangular ABCD de papel se 
dobla de modo que la punta A coincida 
con la punta C, la longitud del doblez MN 
Geometría 
 
-32- 
es 2 dm. ¿Cuál es la altura AD en dm, si el 
ancho AB mide y/3 dm? 
A)2/3 B)2/2 C)1,54/6 
D)3 E) 3,125 
Problema 147. UNI1974 33 
Los lados de un rectángulo miden 20 y 30 
m respectivamente. ¿Cuáles son las 
dimensiones del rectángulo de 360 m de 
perimetro semejante al lado? 
A) 72 m y 108 m B) 80 m y 100 m 
C)75 m y 150 m D) 68 m y 102 m 
D) 96 m y 144 m 
Problema 148. UNI1982-11. 4 
En la siguiente figura, los lados AB y CD 
son paralelos. Si AB = 5 y AD = 12; hallar 
la longitud del segmento CD. 
C 
 
Á 
AJ15 BJ16 C)18 
D)17 E)10 
Problema 149. UNI1985-1. “3 
A 
Dado un cuadrado, al unir los puntos 
medios de los lados se obtiene otro 
cuadrado, si se efectúa este procedimiento 
cuatro veces más se tendrá un cuadrado 
más pequeño, se pide la razón entre las 
longitudes de los lados del cuadrado inicial 
y el último que se obtuvo. 
A) y2 B)2/2 C)3/2 
D) 4/2 E)5y2 
Problema 150. UNI1986 iO 
Se tieneun cuadrado de lado 2 cm. 
UNI (1965 - 2020 1)
 
LAA AAA A € e a Lal Pa E 
Uniendo los puntos medios de los lados en 
forma consecutiva se obtiene un 2% 
cuadrado: haciendo lo mismo con el 2% 
se obtiene un 3” y así sucesivamente, 
La razón entre el lado del primer cuadrado 
y el del noveno es: 
A) 2 B) 2? c)2 
Dy 2* E) 2? 
Problema 15%. UNI1994-1. 3% 4 
Se tiene un paralelogramo ABCD. Se 
construyen exteriormente los triángulos 
equiláteros ABM y BCM. Por M se traza la 
perpendicular MH a ND. Calcular la 
medida del ángulo HMB si el ángulo NDC 
mide 46. 
A)16% B)14% C)18* 
D)11% E)20* 
Problema 152. UNI1996-11. 7 
En un mismo plano se tienen las rectas L,, 
Lo, La y La; donde Ly y Ly, son rectas 
paralelas, L, y L, son rectas tales que 
L¿NL,=A,L¿NL,=B,L¿NL;,=C, La 
NL, = D, BD = CD = AD y BD 1 AC. 
Indicar cuáles de las proposiciones 
siguientes son verdaderas. 
l. ABCOD es siempre un rombo 
ll.. ABCD es siempre un trapecio 
IN. Por los vértices de ABCD pasa 
siempre una circunferencia. 
A)lyll B)lyll C)lyil 
D)sólol E)sólo lll 
Problema 153. UNI 1998 - Il a 
En un paralelogramo ABCD, no 
rectángulo, con AB < BC se trazan las 
——_—_ 
E) otros cuadriláteros 
Problema 154. UNI2001-1.. 34 
Sea ABCD un cuadrilátero, donde 
BC//AC; PE BC, AP es bisectriz del 
ángulo BAD; suponga también que DC es 
bisectriz exterior del ángulo Ó del triángulo 
ABD. Si BD -AB = 3 , determine la 
longitud de PC. 
A) 3 B)6 C)9 
DJ12 E)15 
A Problema 155. UNI 2003-1 ASE 
¡Una: circunferencia es tangente a tres 
lados de un paralelogramo. Si las alturas 
del paralelogramo miden 16 y 20 
unidades. Calcular la longitud de la cuerda 
encerrada por la circunferencia en el lado 
no tangente. 
A)12u B)14u C)16u 
D)18u E)20u 
Problema 156. UNI-20041 3 
En un rombo ABCD, Mes punto medio de CD 
y la diagonal BD corta a AM en un punto 
R. Si RM= 5u y la medida del ángulo DRM 
es 53”; hallar BD. 
A) 18u B) 30u C) 35u 
D) 36u E) 40u 
Problema 157. UNI 2010-11 eE 
En el paralelogramo ABCOD se tiene AB = 
6 m y BC = 8 m. Se traza la bisectriz 
interior del ángulo A la cual interseca a BC 
en E y a la prolongación de DC en F; 
desde M, punto medio de EF, se traza un 
rayo paralelo a CD que interseca al 
segmento AD en N. Determine MN (en m). 
bisectrices interiores de sus cuatro A) 6 B)7 C)8 
ángulos. Dichas bisectrices al D) 9 E) 10 
intersecarse, forman un: 
A) rombo B) cuadrado 
C) rectángulo D) trapecio 
Geometría - 33 - UNI (1965 - 2020 |) 
 
 
 
8. POLÍGONOS 
Problema 158. UNI 1965 có 
Los ángulos internos B, C, D, de un 
polígono convexo ABCDEA, miden 170*, 
160" y 150”, respectivamente. ¿Cuál es el 
valor del menor ángulo formado por los 
lados AB y DE? 
A) 50* 
C) 70? 
B) 60* 
D) 80* 
Problema 159. UNI 1965 ““WW.atiki 
En un pentágono convexo ABCDE, AB es 
perpendicular a BC; BC es perpendicular 
a CD. El ángulo CDE mide 120* y el 
ángulo BAE mide 150%. ¿Cuánto mide el 
ángulo AED? 
AJ90” B)30* 
C)60" D)120* 
Problema 160. UNIt965 “33 
Dos pentágonos regulares ABCDEA, y 
AB'C'DE'A tienen comunes los vértices D 
y A, y son simétricos a un eje que pasa 
por estos vértices. Calcular el ángulo 
EAE'. 
A) 72? B) 48" 
C)36" D)30* 
Problema 161. UNI 1966 AENA 
¿Cuál es el poligono convexo, cuyo 
número de diagonales excede al número 
de vértices en 18? 
A) El hexágono 
B) El nonágono 
C) El poligono de 27 lados 
D) El pentadecágono 
E) No existe 
ma 
Problema 162. UNI 1966 sa 
¿Cuántos lados tiene el poligono regular, 
Geometría 
 
-34- 
si la suma de sus ángulos internos es 
3240" ? 
A 18 lados B) 20 lados 
C)21 lados D)22lados 
E) 25 lados 
Problema 163. UNI1966 
Tres ángulos de un exágono convexo son 
iguales a un recto cada uno. ¿Cuánto mide 
cada uno de los otros tres, si ellos son 
también iguales entre si? 
A) 160% B)150% C)135* 
D) 123% E)110* 
Problema 164. UNI1966. 7 
¿Cuál es el poligono, cuyo número de 
diagonales es igual al doble del número de 
lados? 
A) El cuadrado B) El exágono 
C) El heptágono D) El dodecágono 
E) El nonágono 
Problema 165. UNI1966 1% 
¿Cuál es el poligono convexo, para que al 
duplicar el número de lados, la suma de 
sus ángulos internos se cuadruplica? 
A) El pentadecágono 
B) El decágono C)El octógono 
D) El pentágono E) El triángulo 
Problema 166. UNI1966 —-.'** 
Los ángulos externos de un poligono 
1 
5 de recto. 
¿Cómo se llama el polígono?. 
regular miden cada uno 
A) icoságono 
C) decágono 
E) tetraedro 
B) pentadecágono 
D) dodecágono 
UNI (1965 - 2020 |)
 
— al ct Lil cd 
Problema 167. UNI 1966 6d 
¿Cuántos lados tiene el poligono regular, 
si la suma total de sus ángulos internos y 
externos es 3780 ? 
A) 28 lados B) 20 lados 
C) 21 lados D) 22 lados 
E) 25 lados 
Problema 168. UNI 1967 EN] 
Si el número de lados de un poligono se 
aumenta en tres, al número de sus 
diagonales aumentará en 15. ¿Cuál es el 
poligono? 
Www w.am 
A) Exágono 
B) Decágono 
C) Pentágono 
D) No existe tal polígono 
E) Octógono 
Problema 169. UNI 1968 De 
La suma de los ángulos internos de un 
poligono regular es igual a 4 veces la 
suma de sus ángulos externos. Se trata de 
un: 
A) Exágono B) Heptágono 
C) Octógono D) Pentágono 
E) Decágono 
Problema 170. UNI 1968 y 
Si se quintuplica el número de lados de un 
polígono convexo, la suma de sus ángulos 
internos sería seis veces mayor. ¿Cuál es 
ese poligono? 
A) Pentágono B) Octógono 
C) Decágono D) Cuadrilátero 
Problema 171. UNI 1969 3 
Al sumar el valor de un ángulo interno del 
exágono regular con el valor del ángulo 
externo de un octógono regular se obtiene: 
A) 1652 B) 225% —C)195* 
Geometría 
 
q¿_ _ÉEP[ÉX Co EE o 
D) 100* E) 180? 
Problema 172. UNI 1969 A 
El polígono convexo, cuyo número de 
diagonales aumenta en dos al aumentar 
en uno el número de lados, es: 
A) Cuadrado B) Pentágono 
C) Triángulo D) Octógono 
E) Exágono 
Problema 173. UNI 1969 LIA 
¿Cuál es el polígono regular convexo, 
cuya suma de sus ángulos en el centro y 
externos igualá' á la suma de sus ángulos 
internos? 
A) El cuadrado B) El exágono 
C) El octógono D) El dodecágono 
E) El decágono 
 Problema 174, UNI 1969 1 
El polígono convexo, cuyo número de 
diagonales se multiplica por 7 al duplicar el 
número de lados es: 
A) El pentágono B) El icoságono 
C) El octógono D) El decágono 
E) El dodecágono 
Problema 175. UNI 14970 30) 
¿Cuánto mide cada uno de los ángulos 
interiores de un poligono regular de 18 
lados? 
A) 138% B)160” C)120* 
D) 118% E)145* 
Problema 176. UNI 1970 GANE 
Si el número de lados de un poligono 
regular aumenta en 10, cada ángulo del 
nuevo polígono es 3 mayor que cada 
ángulo del original. ¿Cuántos lados tiene 
el polígono original? 
UNI (1965 - 2020 l) 
INE 
 
 
A) 20 B) 30 C) 16 
D) 27 E) 25 
Problema 177. UNI 1970 odo 
Preis 
La suma de los ángulos internos de un 
poligono excede a la suma de los ángulos 
externos en 900”. ¿Cuántos lados tiene el 
poligono? 
A)18 B)9 C)12 
D)5 E) 16 
Problema 178. UNI 1971 eS 
Call a ia 
¿Cuál es el número de lados del polígono 
que tiene 119 diagonales? 
A) 13 B) 15 C) 17" 
D) 14 E) 16 
Problema 179. UNI1974 2% 
Si la suma de los ángulos internos de dos 
poligonos regulares convexos difieren 
720” y sus ángulos céntricos difieren en 
7,5*. Indicar si el cociente mayor que la 
unidad, de los lados de los poligonos 
convexos es igual a: 
A)1,43 B)1,333 C)1,23 
D)1,13 E)1,23 
Problema 180. UNI 1972 E a 
Hallar la suma de los ángulos de un 
pentágono regular estrellado. 
A) 1509 B)180% C)120% 
D) 225 E)360* 
Problema 181. UNI1975 5% 
0033 
La medida del ángulo interior de un 
poligono regular de 24 lados es: 
A) 125 B)145% C)165* 
D) 105% E)115 
Problema 182. UNI 1978 AN 
dd 
¿Cuál es la afirmación correcta? 
Geometría 
 
- 36 - 
A) Dos polígonos son semejantes si 
ambos tienen la misma suma de 
ángulos interiores y exteriores 
respectivamente. 
B) Un polígono de *n” lados es 
semejante a otro poligono de *n” 
lados; si ambostienen ángulos 
exteriores, iguales 2 a 2 
respectivamente. 
C) Un polígono de *n" lados inscribe a 
una circunferencia es semejante a 
otro polígono de “n” lados 
circunscrito a la misma 
circunferencia. 
D). - Dos polígonos con igual número de 
lados son semejantes. 
E) Ninguna de las anteriores. 
Problema 183. UNI 1981 AR 
Hallar el número de lados de un polígono 
regular de lado igual a 4 cm si el número 
de diagonales es cuatro veces su 
perimetro, expresado en centímetros. 
A)35 B)30 C)25 
D) 32 E) 28 
Problema 184. UNI1981 7 
Los lados de un poligono regular de n 
lados, n>4, se prolongan para formar una 
estrella. El número de grados en cada 
vértice de la, estrella es : 
A) == B) nn 
n 
D) 180-20 p, 180 
mn 
Problema 185. UNI 1982 - E 1 EA 
¿Cuantos lados tiene el poligono cuyo 
ángulo interno es (p+15) veces el ángulo 
exterior (p es el perímetro), ademas se 
UNI (1965 - 2020 |) 
Ir
" 
 
- i 4 A - ' y * ' Ñ 
A A A AAA == 
 
sabe que el número de diagonales es 
135p ? 
A) 80 B) 85 C)90 
D) 95 E) 100 
Problema 186. UNI1982-1. 7 
Los lados de un poligono regular de n 
lados, n>4, se prolongan para formar una 
estrella. El número de grados de cada 
ángulo interno en cada punta de la estrella 
es: 
A 
 
55 | Problema 189. 
e A A. Ll a TT A 
distancia del vértice E a la diagonal AD. 
A)4/3m B)8m 
D)12m E)8/3m 
C) 10 m 
UNI 2006-11. A 
La suma de las medidas de cinco ángulos 
intemos de un polígono convexo es 760", 
Calcule la suma de las medidas de los 
angulos externos correspondientes a los 
vértices restantes. 
A)190% B)200% —C)210* 0 pe 
A) =- B) A, O A 
180(n-2 90(2n-1 Pe 
C) AA D) na Problema 190. UNI 2008-13] 
E) 180 Dados dos poligonos regulares COnvexos, 
0 cuyos números de diagonales se 
diferencian en 4 y cuya medida de sus 
Problema 187. UNI 1988 ye y ángulos centrales están en la relación 5 : 
En la figura mostrada, el punto | es e 
incentro del triángulo ABC. Hallar la 
medida del ángulo PSO. 
 
 
 A) 90*- m<BAC B) 100*- mn 
C) 45" 
D) 60* E) 90*”- máBAC 
2 
ias | 
SpA Problema 188. UNI 1997-11. 
En un pentágono ABCDE los lados AE y 
DE miden 16m y 8 m respectivamente y: 
JIA+4B+4C+4D = 480”, calcular la 
A 
== 
Geometría 
 
- 37 - 
6. Determine la diferencia entre la medida 
del ángulo interior del poligono regular 
convexo que tiene menor número de lados 
y la medida del ángulo exterior del 
polígono de mayor número de lados. 
A) 48” B) 70* C) 90* 
D) 100". E)114* 
Problema 191. “ UNI 2009-1. + 3 
En un polígono convexo equiángulo 
ABCOEF se tiene AB =7,CD=6 y DE = 
8. Calcule BF. 
A) h 18 B)7 C) 5/3 
D)7/2 E)7y3 
Problema 192. UNI 2011-13] 
Halle el número de diagonales de un 
polígono regular ABCDE... sabiendo que 
las mediatrices de los lados AB y DE 
forman un ángulo de 60". 
A) 90 B) 105 
UNI (1965 - 2020 1) 
 
— —- + 
 
 
C) 120 D) 135 E) 150 
Problema 193. UNI 2013-1] ...= 
Tres de las diagonales de un poligono 
regular forman un triángulo equilátero. 
Determine la suma de los ángulos internos 
si se sabe que la medida de su ángulo 
interno es mayor que 140* pero menor que 
156". 
A) 1440* B)1620* C)1800* 
D) 1980” E)2 160" 
Problema 194. UNI 20181. 
a 
A) 16 B) 18 C) 20 
D) 22 E) 24 
Problema 195. UNI 2020 -1 
Si el número de lados de un poligono 
convexo disminuye en dos, el número de 
diagonales disminuye en quince. Calcule 
la suma de las medidas de los ángulos 
internos del poligono inicial en grados 
sexagesimales. 
A)1440 B)1620 C)1800 
D)1980 E)2160 
Se tienen 2 poligonos regulares cuyas me 
sumas de ángulos internos difieren en 
2160” y cuyos ángulos centrales difieren 
en 5”. El número de lados del polígono 
más pequeño es: 
Geometría 
 
-38- UNI (1965 - 2020 1) 
 
 
 
a A A 
9. CIRCUNFERENCIA 
PROPIEDADES 
Problema 196. UNIt968 03 
En un círculo de centro O, se dibuja en el 
centro AÓB, correspondiente a la cuerda 
AB, de 1 metro de longitud y un ángulo 
inscrito CDE. Si ambos ángulos miden 
120%; ¿Cuál es la longitud de la cuerda 
CE? 
A)1m B) 0,5 m C)15m_ 
Dam EJasm "mem 
Problema 197. UNI 1969 pi! 
Se dan dos circunferencias cuyas radios 
miden 8 m y 4 m. La circunferencia menor 
tiene su centro en un punto de la 
circunferencia mayor. Se pide encontrar la 
distancia del punto de intersección de la 
tangente común con la recta de los 
centros y el centro de la circunferencia 
mayor. 
A)20m .Bjl4m Cj8m 
D)12m Ej16m 
Problema 198. UNI1973 27M4UTAs 
Sea AB un diámetro fijo de una 
circunferencia con centro O. Desde C, que 
es un punto cualquiera de la 
circunferencia, se traza una cuerda CD 
perpendicular a AB, y una cuerda CP en 
la dirección de la bisectriz del ángulo OCD. 
Siendo asi, y cambiando la posición de C 
sobre la misma circunferencia, el punto P. 
A) Cambia la posición sin ocupar 
ninguna especial. 
B) Equidista de AB y de D. 
C) Permanece fijo. 
D) F dista de B y C. 
E) Equidista de O y B. 
Geometría 
 
- 39 - 
Problema 199. UNI1980 3] 
Un triángulo ABC está inscrito en un 
circulo, se trazan las alturas AE y BF que 
se cortan en D. Si el ángulo m«4ADC 
=125". ¿Cuánto mide el ángulo ABE? 
A)70" B)50” C)76* 
D)55 E)60* 
Problema 200. UNI2001-1. 3 
- 
En un anillo definido por 2 circunferencias 
concéntricas Cy C' de radios R y r, (R> r) 
se colocan 6 circunferencias de 
radios E. de manera que cada una de 
ellas es tangente a las 2 contiguas asi 
como también a C y C'. Entonces el valor 
de A es: 
r 
A) 3 B)5 C)2 
5 D) 4 Ey 2 ) ) > 
Problema 201. UNI 2016-17 
Se inscribe un cuadrilátero ABCD en una 
circunferencia como se aprecia en la 
figura. El perímetro del cuadrilátero es de 
50 cm y el diámetro de la circunferencia 
AC es igual a 20 cm. Calcule r, + r, en cm. 
 
 
A) 3 
D) 6,5 
B)5 
E) 7,2 
UNI (1965 - 2020 |)
Problema 202. UNI 2020-17 
Se traza una circunferencia que tiene 
como diámetro uno de los lados de un 
triángulo equilátero de lado “a”. La longitud 
de la parte de la circunferencia que queda 
dentro del triángulo es: 
 
 
Al ne «0—_ 
6 3 Y3 +1 
plz p4Í 
y2 y2 + 1 
CIRCUNFERENCIA: ÁNGULOS 
Problema 203. UNI 1965 «ru. 
Los lados AB y BC de un triángulo son 
dos cuerdas iguales entre sí de una 
circunferencia de centro O. ¿Cuál de las 
siguientes afirmaciones es verdadera 
respecto a la bisectriz del ángulo ACB? 
A) Es paralelo a la tangente en B. 
B) Es normal a la tangente en B. 
C) Bisecta la cuerda AB. 
D) Bisecta el arco AB. 
ó dde 
Sea e 
cd E Problema 204. UNI 1966 Ed 
Los arcos AB, BC y CA que determinan los 
vértices de un triángulo inscrito en una 
circunferencia están en progresión 
aritmética. ¿Si la razón es 30*, de qué 
clase es el triángulo? 
A) Rectángulo B) Isósceles 
C) No tiene nombre 
D) Equilátero E) Acutángulo 
EN 
dl Problema 205. UNI1966 2“ 
Los lados AB y BC de un triángulo ABC 
son tangentes a una circunferencia de 
centro O y el lado AC es una cuerda de 
dicha circunferencia. ¿Cuál de las 
siguientes afirmaciones es una propiedad 
de la bisectriz del ángulo ACB ? 
A) Estangente a la circunferencia. 
Geometría 
¿18B) 
 
-%0- 
Es perpendicular al radio OC. 
C) Bisecta al arco AC. 
D) Divide en dos partes desiguales al 
arco AC. 
E) Es paralelo al lado CA. 
Problema 206. UNI1967. 00% 
¿Cuánto mide el mayor de los ángulos 
internos de un cuadrilátero inscrito en una 
circunferencia, si tres de sus lados son 
iguales entre sí, y el cuarto lado es un 
diámetro ? 
A) 155% B)144% C)135* 
D) 120% E) 108% 
Problema 207. UNI1968 ._ ” 4 
dali 
Los extremos de dos segmentos de rectas 
AB y CD, perpendiculares entre si, 
pertenecen a una circunferencia de 28”, 
¿cuántos grados tiene el arco AD? 
A)28% B)118" C)62* 
D) 332% E) 152* 
Problema 208. UNI1969 1 
e] 
En la figura, la cuerda AB es igual al radio 
del circulo y la cuerda BC es igual a (ry/2). 
¿Cuál es el valor del ángulo D? 
NS 
 - JE 
A)15% — B)24% C)180 
D)25% E)30* 
Problema 209. UNI1970 "> 
El lado AB de un triángulo ABC es una 
cuerda de unacircunferencia, y subtiende 
un arco de 120”. BC es una secante que 
pasa por el punto medio del arco de 120", 
y AC es tangente a la circunferencia. La 
relación entre las longitudes de los lados 
AC y AB es: 
UNI (1965 - 2020 1) 
 
a)
 
 
 
 
 
3 y2 1 OyE 
2 3 2% a dl AN y 
. G A 
: OS oP E 
Problema 210. UNI 1975 iS 
En un círculo de centro O y diámetro AB = NT 
2a, se ha inscrito el ángulo CAB = 30*, Por c 
el punto C de la circunferencia A) a B) 90” - a C)45”-0 
correspondiente, se traza la perpendicular a 
CT al radio OC de la misma, y se une B D) 2a. E) 90 - 2 
con C. Hallar el valor del ángulo BCT en 
gratos EA NASInaIes: Problema 213. UNI1984-1M 3 
 
A) 60% B)50% C)30* 
D) 40% E)80* 
Problema 211. UNI 1980 ci 
El triángulo PAB está formado por tres 
tangentes a la circunferencia como indica 
la figura entonces el ángulo AÓB mide : 
 
A)45% B)50% C)55* 
D)60" E)70' 
Problema 212. UNI1984-1. 1 
En la figura, el ángulo OBA mide a grados. 
Calcular el valor del ángulo GÉC, 
sabiendo que EC es tangente a la 
| 'Sea'la circunferencia de centro O y radio 
R. Si MN= R y m<4OMN = 185”, hallar la 
medida del ángulo POQ. 
p 
 
A) 30* B) 55* C) 40” 
D)60” E)45* 
Problema 214, UNI 1984 -1I 
 
En un arco de circunferencia AB, donde 
AB es el diámetro, se tiene que M4 CÁB = 
20”, DP es paralelo a AC y DP es 
tangente al arco. Hallar el m 4PDB, 
 
 
A B 
A)45% B)55% C)25* 
D)65% E)35* 
Problema 215. UNI1985M. 03 circunferencia en C y Á es un punto entre 
Geometría - 01 - UNI (1965 - 2020 |)
 
En la figura AB y AC son tangente: a la 
circunferencia. Si el ángulo BÁC = 72” y 
los arcos BD, DE y EC son iguales, hallar 
el ángulo DCB. 
B 
D 
A 
E Cc 
A) 28* B) 36* C) 40* 
D) 42? E) 48” 
nr vw ble am 
Problema 216. UNI 19851, 
Considere el diagrama mostrado en la 
figura. Entonces el valor del ángulo a 
mostrado en el diseño vale: 
 
A)40% B)50% C)55* 
D)11? E)120* 
Problema 217. UNI1986. 203 
En la siguiente figura: 
 
S es el punto medio del arco QR. Calcular 
el valor del ángulo ORS. 
Geometría 
 
- 4 - 
A)J61* B)58* C) 29,5* 
D) 29” E) 28,5” 
Problema 218. UNI 1987 Hei 
4 
En la siguiente figura AB es un diámetro y 
CDE es tangente a la circunferencia. Si el 
ángulo ACD = 32”. Calcular el ángulo AD. 
 
AJ42? B)44% C)48* 
D)52% E)61” 
Problema 219. UNI1993-11. 3 
En la figura mostrada A y B son puntos de 
tangencia. Hallar la medida del arco ML, si 
los ángulos APF y FPB son 24” y 30", 
respectivamente: 
 
A)J63 B)53 C)60 
D)45 E)75 
Problema 220. UNI1994-11. 3% 
En la figura mostrada se tienen dos 
circunferencias tangentes exteriormente 
en T, y tangentes a dos de los lados del 
triángulo rectángulo ABC, siendo los 
puntos de tangencia P, R, $ y O. Hallar la 
medida del ángulo REN, siendo E el punto 
común a las rectas que pasan por RM y 
SN. 
UNI (1965 - 2020 |) 
 
a 
 
=p ss -. - >= 4 i 
ic cl có cl cg ie AI A, A 
 
 
A)30% B)37% C)450 
D)532 E)60* 
Problema 224. UNI19958M. 7 
En la figura, la recta PT es tangente 
común alas dos circunferencias secantes. 
Si el ángulo ABC mide 38”,. calcular la 
medida del ángulo MQN. 1 
 
G 
A) 148” B)142* C) 138* 
D) 152? E) 128” 
Problema 222. UNI1996-11. 73 
Un triángulo ABC está inscrito en una 
circunferencia y a la vez en el triángulo 
está inscrita otra circunferencia que es 
tangente a AB en M y a BC en N. Si por M 
y N se traza una secante a la 
circunferencia menor que intercepta a la 
mayor en D y E (E sobre AB), y los arcos 
AE,BE y BD miden 27", 33 y 43' 
respectivamente. Calcular la medida del 
arco CD ] 
A) 30* B) 35* C) 36" 
D) 37* E) 45* 
Geometría 
 
- YU - 
al A E AT Sc A E 
Problema 223. UNI1996-1M. ¿23 
Sobre una circunferencia de centro “O” se 
tienen 3 puntos: A, B y C (B entre A y C); 
si el punto *B” divide a la longitud del arco 
AC, de modo que la longitud del arco AB 
es media proporcional entre la longitud del 
arco AG y el arco BC. Se pide hallar la 
relación existente entre los ángulos AÓB 
= 8 y BÓC=a. 
A) 0? + a = 8a 
C) 8? + a? = 284 
.+2:D)8”-a= 281 E)a”-9= 200 
B)8* - a? = 8a 
Problema 224, UNI1997-1. 
¿1 
En la figura AC y FC son tangentes a la 
circunferencia. El triángulo ABC es recto 
en B y el ángulo BAC = 10”. Si el arco DE 
= 32” entonces el arco FG vale. 
 
A 
Ne 
F B e 
A)32% B)36" C)38* 
D)42? E)48* 
Problema 225. UNI 1999-11. 1 
En una circunferencia con centro en M y 
radio r se traza una cuerda AB que no 
contiene a M. Se prolonga AB hasta C de 
modo que BC = r y se prolonga CM hasta 
D sobre la circunferencia. Si 4AMD = 
t4ACD, entonces t es igual a: 
3 A) 3 B) 2 Cc) 
N
i
n
 
D)3 E) 2 
UNI (1965 - 2020 |) 
 
 
Problema 226. UNI 2000 -| AECA, 
En un triángulo ABC cuyos ángulos miden 
a=62*, fB= 68%, y= 50% se dibuja una 
circunferencia inscrita, cuyos puntos de 
tangencia son E, F, G como se muestra en 
la figura. Entonces, los ángulos GEF, EFG 
y FGE valen respectivamente: 
 
 
A G Cc 
A) 65*, 59”, 56” B)60”,60*,60* 
C) 50”, 62”, 68” D)68*, 50*, 62* 
E) 62”, 68”, 50” 
Problema 227. UNI 2002-17 
En la siguiente figura: 
 
 
Sir=1u,R=3u, DE // AC,OBF = 60". 
Entonces la medida del ángulo BDE es: 
A)7,5% B)10* C)15* 
D) 22,5% E)30* 
Problema 228. UNI 20041. 0% 
En la figura ABC es un triángulo equilátero 
y la medida del ángulo a es de 100*. 
Calcular la medida del ángulo f. 
 
A) 40* B)20* C)30* 
Geometría 
 
- Y - 
D)15* E) 10* 
Problema 229. UNI 2013-11. 
Dos segmentos paralelos en el plano 
tienen longitudes 3cm y 1cm 
respectivamente. Sila distancia entre esos 
segmentos es de 1cm, calcule el radio de 
la circunferencia que pasa por los 
extremos de dichos segmentos. 
3 E E 
Az Buzz Un 
E | Daz $25 
Problema 230. UNI 2014-1l ..+ 
En la circunferencia de radio R de la 
figura, determine el ángulo a de modo que 
(=R, 
a 
A)15" B)18% C)30' 
D)36" E)45* 
Problema 231. UNI 2018-11 3 
3 
Sean ABCD un cuadrado y AEF un 
triángulo equilátero, ambos inscritos en la 
misma circunferencia, de modo que AF y 
CD se intersecan en el punto |. ID = 2 cm, 
halle el radio de la circunferencia (en cm). 
A) 2/2 — y6 B) y2 + /6 
C) 2/2 + /6 D)/2 + 2/8 
E) 2/2 + 2/8 
Problema 232. UNI 2018-11. 2% 
En una circunferencia dos cuerdas 
paralelas miden 2 cm y 6 cm, si la 
distancia entre ellas es 2 cm, calcule el 
UNI (1965 - 2020 |) 
F+
* 
 
 
 
WM 
y A RU Rs + * pr 
DE lg ci, il e _ A 
radio (en cm) de dicha circunferencia. 
A)3 B)/10 C)2/3 
D) 4 E) 3/2 
Problema 233. UNI 2019-51.” 
En la figura, P es punto medio de AB, Q 
es punto medio de BC y R es punto medio 
de AC, entonces míABC es: 
 
A)75* 
D) 90* 
B) 80* 
E) 95” 
C)85* 
CIRCUNFERENCIA: POSICIONES 
Problema 234. UNI1965 3 
Los diámetros de dos circunferencias 
: ; 1 
situados en un mismo plano, miden 23% 
1 
y 17x respectivamente. Si la distancia 
entre sus centros 2x, las 
circunferencias son: 
A) Exteriores B) Tangentes exteriores. 
C) Secantes. — D) Tangentes interiores. 
es 
y 
Problema 235. UNI 1967 E 
La distancia entre los centros de 2 
circunferencias coplanares es 0,5 cm. Si 
sus radios miden 1,25 y 0,75 cm, las 
circunferencias son: 
A) Tangentes interiores 
B) Tangentes exteriores 
C) Interiores 
D) Concéntricas 
Geometría 
A A a e ig 
 
-45- 
E) Secantes 
Problema 236. UNI 1968 35d 
Los radios de dos circunferencias que se 
intersecan miden 8 y 6 cm, 
respectivamente. Las tangentes a ambas 
circunferencias en uno de los puntos de 
intersección son perpendiculares entre sí, 
La distancia entre los centros mide: 
A)7 m B)8m C) 10m 
D)12m Ej2m 
Problema 237. UNIt968 ¿3 
Los diámetros de dos círculos coplanares 
y la distancia éntre sus centros, están en 
la relación 13 : 10; 1, Estos círculos son: 
A) Secantes. — B) Tangentes interiores. 
C) Interiores. — D) Exteriores. 
E) Concéntricas. 
Problema 238. UNI 1970 A 
Los diámetros de dos circunferencias 
situadas en el mismo plano están en larelación 5 a 3, y la distancia entre sus 
centros es de un metro, tales 
circunferencias son: 
A) Tangentes interiormente 
B) Tangentes exteriormente 
C) Exteriores D) Interiores E) Secantes 
Problema 239. UNI1985wW ¿31 
Dos circunferencias de centro A y B se 
cortan en los puntos C y D. La tangente a 
la circunferencia Á por C pasa por el punto 
B y la tangente a la circunferencia B por C 
pasa por el punto A. Si el diámetro de la 
circunferencia A es de 6/5 cm. y el de la B 
es de 12/5cm, la longitud de la cuerda CD 
será en cm: 
A)12 B)16 C)20 
D) 24 E) 26 
Problema 240. UNI1995-1. 3% 
En dos circunferencias ortogonales de 
UNI (1965 - 2020 |)
 
radios R y r respectivamente, se cumple 
que la distancia D entre sus centros es: 
AJ4R—M<D<R+r B)R+r<D 
 o) H<o<tl D)D? =R? + 
E)JR+r=D 
Problema 241. UNI 1996- II 
Las longitudes de dos circunferencias 
coplanares están en relación de 7 a 3 y su 
suma es igual a 20m; si la distancia entre 
sus centros es dos veces la diferencia de 
sus radios, podemos decir que las 
circunferencias son: A 
A) exteriores B) secantes 
C) interiores D) tangentes exteriores 
E) tangentes interiores 
Problema 242. UNI 2000-1 . >; 
Tres circunferencias de radio R son 
tangentes entre sí dos a dos. Si una 
circunferencia de radio r < Res tangente a 
las tres anteriores, entonces el valor de r 
 
 
Problema 243. UNI 2005-13 
Las longitudes de dos circunferencias 
coplanares están en la relación de 5 a 2 y 
su suma es igual a 14m; si la distancia 
entre sus centros es dos veces la 
diferencia de sus radios, podemos afirmar 
que las circunferencias son: 
A) tangentes exteriores D) disjuntas 
B) tangentes interiores E) concéntricas 
C) secantes 
Problema 244, UNI 2011-11 da 
Dos circunferencias C, y C, de centro O y 
O' respectivamente, son tangentes 
exteriormente en T. Desde O se traza una 
tangente a C, en P y desde O' se traza 
una tangente a Cy en Q (OP no se 
interseca con O'Q). Si se tiene que PQ se 
interseca con OO' en T, entonces la 
relación de los radios de dichas 
circunferencias es: 
AZ B)1 C)1 
es: 3 2 
AR BIR(/3-1)0 E D)2 EJ3 a ) R(y3-1) C) R a 
cyR Ey R 
6 3 
Geometría - € - UNI (1965 - 2020 |) 
 
10. CUADRILÁTERO INSCRITO 
A 
Problema 245. UNI 1966 5 9 
El área de un trapecio isósceles es 23 m 
y los lados oblicuos 5 m. Calcular el radio 
de la circunferencia circunscrita, si la 
diferencia de bases es 6 m. 
A)25m B)30m C)40m 
D)48m E)50m 
Problema 246. UNI 1968 od 
Dos rectángulos están inscritos en el 
mismo círculo. El primero tiene una base 
igual a 5 del diámetro. El segundo tiene 
una base igual a : del diámetro. ¿En qué 
relación están sus áreas ? 
A)8:9 B) 64 : 81 
C) 3245 : 27/7 D) Son iguales. 
E) 1645 : 9/21 
A 
Problema 247. UNI 1970 pad dl 
Una de las siguientes proposiciones es 
falsa, ¿Cuál es? 
A) Todos los paralelogramos son 
inscriptibles en una circunferencia. 
Todos los cuadriláteros con 
diagonales iguales y que se bisecan 
son inscriptibles en una 
circunferencia. 
Todos los cuadriláteros cuyos 
ángulos opuestos son 
suplementarios son inscriptibles en 
una circunferencia. 
Todos los trapecios isósceles son 
inscriptibles en una circunferencia. 
Todos los rectángulos son 
inscriptibles en una circunferencia. 
B) 
C) 
D) 
E) 
Problema 248. UNI 1970 4 
La altura de un triángulo equilátero inscrito 
Geometría 
 
- 47 - 
en una circunferencia de 48 cm de 
diámetro mide: 
A)38cm B)18/3cm 
C)32cm D)40cm E) 36cm 
Problema 249. UNI 1970 2d 
A, B, €, y D son cuatro puntos de una 
circunferencia, y los segmentos AB y CD 
se cortan mutuamente en partes iguales. 
Si el segmento AB mide 7,20 metros, 
¿cuánto mide el rádio de la circunferencia? 
A)5m B) 4,80 m C)7,20 m 
D) 3,60 m E) 14,40 m 
Problema 250. UNI 1973 10d 
Si de un punto cualquiera de una 
circunferencia de centro O circunscrita a 
un triángulo ABC se baja perpendiculares 
MD, ME y MP a los lados del triángulo (o 
asus prolongaciones), los pies D, E, F, de 
tales perpendiculares forman un triángulo: 
A) Equilátero B)Isósceles 
C) Escaleno D) Rectángulo 
E) De área nula 
Problema 251. UNI 1977 A 
Si desde un punto contenido en un 
triángulo, trazamos perpendiculares a dos 
de los lados del triángulo. El ángulo que 
forman estos dos lados del triángulo y el 
ángulo que forman las perpendiculares 
trazadas son entre sí. 
A) iguales 
B) complementarios 
C) suplementarios 
D) Conjugados 
E) No existe ninguna relación entre ellos 
Pa Problema 252. UNI1978 4; 
Calcular el radio de una circunferencia 
UNI (1965 - 2020 |) 
 
 
circunscrita a un trapecio de 10 y 8 m de 
bases y de altura 4m. 
A)10,15m B)5/075m 
C) Faltan datos D) /32 m 
E) y17 m 
Problema 253. UNI 1980 GE! 
En el triángulo ABC, AC = 24 cm, BC =10 
cm y AB= 26 cm. El radio del círculo 
inscrito es : 
Eg 
A)26cm B)1i3cm C)8cm 
D)4cm E)3cm 
Problema 254, UNI1982-1 2% 
En el trapecio isósceles de la siguiente 
figura: Si las bases mayor y menor miden 
12 y 8 m respectivamente, hallar la 
longitud de PQ que es el segmento que 
une los puntos de contacto con la 
circunferencia inscrita. 
P Q 
A)92m B)95m C)9,0m 
D)98m E)96m 
Problema 255. UNI1983-1. ER 
La hipotenusa de un triángulo rectángulo 
mide 50 m y el radio del circulo inscrito 
mide 10 m. Calcular los catetos. 
A) 30/2 m,10/7 m B) 10/5 m,20/5 m 
C) 10/13 m,20/3 m D) 30 m, 40 m 
E) 20/2 m,10/17 m 
Problema 256. UNI 1987 EAS 
Hallarlas longitudes de los cuatro lados de 
un trapecio isósceles circunscrito a una 
circunferencia de radio 4 m, sabiendo que 
el perímetro del trapecio es de 40 m. 
Geometría 
3 | AB, 
A) bases: 8 m y 12 m, lados: 10 m c/u 
B) bases: 4 m y 16 m, lados: 10 m c/u 
C) bases: 6 m y 8 m, lados: 13 m c/u 
D) bases: 8 m y 10 m, lados: 11 m c/u 
E) bases: 4 m y 20 m, lados: 8 m c/u 
Problema 257. UNI 1988 0 
Un cuadrilátero ABCD está circunscrito a 
una circunferencia, además se cumple 
que: AB = 16u, BC = 20u y AD = 12u, 
Hallar la longitud del lado CD. 
A)l8u B)12u C)16u 
D)20u E)%4u 
Problema 258. - UNI 1988 5 
En una circunferencia cuyo radio mide 6 
unidades se inscribe un rectángulo cuyo 
lado mayor mide 8 unidades. Por los 
cuatro vértices del rectángulo se trazan 
tangentes a la circunferencia, dichas 
tangentes al intersectarse determinan un 
paralelogramo. Calcular el área de la 
región paralelográmica. 
A) 64,8/58u2 B)143 u* 
C) 65/5u? 
D) 64/5u? E) 144,5 u* 
Problema 259. UNI 1989 Na 
En un triángulo cuyos lados miden 3m, 4 
m y 5 m se inscribe una circunferencia 
cuyo radio mide: 
A)J09m B)2m C)3m 
D)05m Ej1im 
Problema 260. UNI 1990 248 
Se tiene un triángulo ABC inscrito en una 
circunferencia de centro O, se traza el 
diámetro AD. Si H es el ortocentro del 
triángulo, hallar la distancia de O al lado 
sabiendo que el perímetro del 
cuadrilátero HBDC es de 30 m. y la 
distancia de O al lado AC es de 4 m. 
A)25m B)50m C)6,5m 
D)4m E) 3,5 m 
UNI (1965 - 2020 |) 
 
 
Problema 261. UNI 1990 Pl 
Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto 
en B, las bisectrices interiores de los 
ángulos A y C interceptan a los catetos BC 
y AB en los puntos E y F respectivamente. 
Si la proyección de EF sobre la hipotenusa 
mide 5,4 cm. Hallar la longitud del inradio 
del triángulo ABC. 
A) 1,8cm B)2,7 cm C) 1,35 cm 
D) 5,4 cm E) 3,6 cm 
Problema 262. UNI - 1991 $ 
Se tiene un cuadrilátero convexo ABCD en 
el cual se trazan sus diagonales. Si'se 
cumple que: BAC = 2.BDC, ACB = 24DB 
y las medidas de los ángulos BDC y ADB 
difieren en 10”, hallar la medida del menor 
ángulo que forman las diagonales. 
A)60” B)50” C)35* 
D)80” E)75* 
Problema 263. UNI 1994-1 ss 
Un triángulo ABC recto en B está inscrito 
en una circunferencia. Calcular la longitud 
del radio de la circunferencia circunscrita 
al triángulo ABC en función de las 
longitudes de los radios r, y r, de las 
circunferencias máximas inscritas a los 
segmentos circulares determinados porlos 
catetos AB y BC, y de la longitud r del