Derivación de funciones complejas en Variable Compleja I

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Variable compleja I 
Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas 
 
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 
 1 
Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
 
Licenciatura en matemáticas 
 
 
5° Semestre 
 
 
Variable compleja I 
 
 
Unidad 3. Derivación de funciones complejas 
 
 
Clave: 
060920517/ 050920517 
 
 
 
Variable compleja I 
Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas 
 
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 
 2 
 
 
INDICE 
 
Contenido 
Unidad 3. Derivación de funciones complejas .................................................................................... 3 
Presentación de la unidad ...................................................................................................................... 3 
Propósitos de la unidad .......................................................................................................................... 3 
Competencia específica ......................................................................................................................... 3 
3.1. La derivada compleja ...................................................................................................................... 3 
3.1.1 Definición de derivada compleja ............................................................................................. 3 
3.1.2. Condiciones de suficiencia y necesidad de la derivada ..................................................... 7 
3.1.3. Propiedades de la derivada .................................................................................................. 16 
Actividad 1. Derivación de funciones complejas............................................................................... 21 
Actividad 2. La derivada compleja ..................................................................................................... 22 
3.2. Funciones holomorfas ................................................................................................................... 22 
3.2.1. Definición de una función holomorfa ................................................................................... 22 
3.2.2. Funciones armónicas ............................................................................................................. 25 
Actividad 3. Funciones holomorfas ..................................................................................................... 30 
Autoevaluación ....................................................................................................................................... 31 
Evidencia de aprendizaje. Diferenciación de funciones complejas ............................................... 32 
Autorreflexiones ................................................................................................................................. 33 
Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 33 
Para saber más ...................................................................................................................................... 33 
Referencias bibliográficas .................................................................................................................... 34 
 
 
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Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas 
 
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 3 
Unidad 3. Derivación de funciones complejas 
 
 
Presentación de la unidad 
 
En esta unidad se presenta la definición de derivada de una función compleja motivada por la 
derivada de funciones de variable real, se mostrará que relaciones hay entre la derivada 
compleja y las derivadas parciales de sus componentes, además se presentan las 
propiedades de la derivada compleja y finalmente se presentan el concepto de función 
armónica. 
 
 
Propósitos de la unidad 
En la primera parte esta unidad se estudiará el concepto de derivada para una función 
compleja, después se estudian las condiciones de suficiencia y necesidad de la derivada y 
finalmente, se estudiarán las propiedades de la derivada de funciones complejas. En la 
segunda parte se estudiará el concepto de función holomorfa y por último estudiaras el 
concepto de función armónica. 
 
 
Competencia específica 
 
Utilizar las características de las funciones elementales complejas, mediante el concepto de 
derivada para resolver problemas que involucren variables complejas. 
 
 
3.1. La derivada compleja 
 
La variable compleja generaliza las ideas del Cálculo para funciones con dominio en el 
conjunto de los números complejos, en consecuencia, la derivada es uno los conceptos mas 
importantes dentro de la funciones complejas, aquí se presenta el paralelismo existente entre 
la derivada de funciones reales y la derivada compleja. 
 
 
3.1.1 Definición de derivada compleja 
 
La derivada compleja se define de manera similar que derivada real, el cual se realiza del 
siguiente modo: Sean :f   y 0z  se dice que f es derivable en 0z ó que f 
tiene derivada en 0z si y solo si el límite 
0
0
0
( ) (
lim
)
z z
f z f z
z z


 existe, en caso tal caso se denota 
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 4 
por 
0z z
df
dz 
 ó por 0'( )f z . Se dice que f es derivable en un conjunto 1  si y solo si 
'( )f z existe para todo 1z , en particular, se dice que f es entera si f es derivable en 
todo . 
De manera equivalente, denotando 0z z z   , es fácil ver que cuando 0z z se tiene que 
0z  , en consecuencia se tiene lo siguiente: 
0
0 0 0
0
0
0
lim l
( ) ( ) (
im
) ( )
'( )
z z z
f z f z f z z f z
f z
z z z  
   
 
 
. 
Gráficamente se tiene lo siguiente: 
 
 
Ejemplo: Calcular la derivada de la función 
2( )f z z en 0 1 2z i   . 
Solución: Solo hay que aplicar la definición de derivada para al función 
2( )f z z y el punto 
0 1 2z i   . Entonces 
 
0
2 2
0
1 2 1 2
0
lim li
( 1 2 )( ) ( ) ( 1 2 )
( 1 2
m lim
)z z z i z i
z if z f z z i
z z z i    
     
 
   
 ( 1 2 )
( 1 2 )
z i
z i
  
  
 
1 2
( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )
2
l
4
i
.
m
z i
z i i i
i
 
         
  
 
Por lo tanto '( 1 2 ) 2 4f i i     . 
 
Ejemplo: Muestre que para la función ( )f z z , se tiene que '( )f z no existe para todo z . 
Solución: Sea 0z un número complejo arbitrario. Aplicando la definición de derivada se tiene 
lo siguiente: 
0 0
0 0
0 0
( ) (
lim lim
)
z z z z
f z f z
z z
z
z z
z
 
 

 
 
Ahora hay que presentar dos aproximaciones que tengan dos límites distintos. Sea 1 la recta 
horizontal qua pasa por 0 0 0yz x i  , cualquier elemento 1z tiene la forma 0z x iy  como 
lo muestra la figura: 
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Luego se obtiene lo siguiente: 
0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
lim lim l
( ) ( )
( ) ( )
im
lim
z z x x x x
x x
z z x iy x iy x iy x iy
x iy x iy x xz
x
z
x
  

  
 
  


   
 
0x x 0
1lim 1.
x x
 
 
 
Sea 2 la recta vertical qua pasa por 0 0 0yz x i  , cualquier elemento 2z tiene la forma 
0z x iy  como lo muestra la figura: 
 
Luego se obtiene lo siguiente: 
0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
( ) ( )
( )
lim lim lim
lim
( ) ( )
( )
z z y y x x
x x
z z x iy x iy x iy x iy
x iy x iz z i y y
i y y
y  

  
 
 
 


  



0( )i y y 0
[l 1] 1i .m
x x
   
 
 
Así 
0
0
0
lim
z z
z z
z z


 no existe. Por lo tanto 0'( )f z no existe paratodo 0z  . 
Ejemplo: Muestre que la función 
1
( )f z
z
 es derivable para todo  0 \ 0z  . 
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Solución: Claramente la función 
1
( )f z
z
 está definida para todo 0z  . Sea 0 0z  un 
número complejo arbitrario fijo, aplicando la definición de derivada se tiene lo siguiente: 
 
 
0 0
0 00 0 0 0
0 0 0 0
lim l
1
im lim lim
1
( ) ( )
z z z z
z z z z
z z zf z z f z z z z
z z z       
    

     
  
  
 0 0z z z
z
 

   
2
0 0
2 2 20 0
0 0 0 0 0
0
2
0
1
1 1 1
1 0
1
lim lim
.
limz z
z
z zz
z zz z zz z z
z
   
 

   
   
     
 
 
Por lo tanto 
0 2
0
1
'( )f z
z
  . 
Ejemplo: Dada la función ( ) nf z z , donde  \ 0n , muestre que 10 0'( )
nf z nz  para todo 
0z  . 
Solución: Sea 0z un número complejo cualquiera. Por definición de derivada se tiene lo 
siguiente: 
 0 0
0 0 0 0
0 0
0
0
0
0
lim lim lim
0
l
( ) ( ) ( ) ( )
im
n kk n
n n
z
k
z z
n
z
n
z z z
f z z f z z z z
z
n
z
n
k
z
z




    

 
  
        
  
 
 
 


     
2 11 2
0 0 0 0
0 10
n nn n nz z z z z z z z
n n
n n n n                       
     

 
     
2 11 2
0 0 0
0
0
0 0
lim
li
1
m
n nn n
z
z
z
z z z z z z z
n n
z
n
z
n n n 
 
 

       
              
       



   
2 11 2
0 0 0
10 0
n nn nz z z z z z
n n n n
n n
z
  
        
             
        


   
2 11 2
0 0 0
0
1 1 1
0 0 0
1
!
lim
0
.
0!
0
( 0)!0
n nn n
z
n n n
n n n n
n
z z z z z z
n n
n
z z nz
n
  
 
  
        
              
        
 
   



 
Por lo tanto 
1
0 0'( )
nf z nz  . 
 
 
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3.1.2. Condiciones de suficiencia y necesidad de la derivada 
 
En esta sección se presenta la relación existente entre la derivada compleja ya la derivadas 
parciales de las componente. Antes de comenzar se presentan las definiciones de derivadas 
parciales de una función real de dos variables reales. Sean 
2:g   y 0 0 ),( yx  , la 
derivada parcial de g con respecto a x en 0 0( , )x y se define por: 
9
0 0 0
0
( , ) ( , )
lim
x x
g x y g x y
x x


 
 
Cuando este límite existe, en tal caso se denota por 
0 0( , )x
g
x
y


. Análogamente, la derivada 
parcial de g con respecto a y en 0 0( , )x y se define por: 
9
0 0 0
0
( , ) ( , )
lim
x x
g x y g x y
y y


 
Cuando este límite existe, en tal caso se denota por 
0 0( , )x
g
y
y


. 
 
La primera parte es la condición de necesidad, la cual se enuncia de la siguiente manera: 
Teorema: Sean :f   y 0,z z  , con ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y  , z x iy  y 0 0 0z x iy  . 
Si f es derivable en 0z entonces las derivadas parciales , , ,
u u v v
x y x y
   
   
 existen en 0 0( , )x y y 
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: 
0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) (, , ,) ( ), y 
u v v u
y y y y
x y
x
x y
x x x
 


 

   
. 
 
Demostración: Como f es derivable en 0z , se tiene que: 
0
0
0
0
(
lim
) ( )
'( )
z z
f z f z
f z
z z



 
 
Por la unicidad del límite de una función compleja, no importa por dónde se haga el 
acercamiento al valor 0z . En particular, sea 1 la recta horizontal qua pasa por 0 0 0yz x i  , 
luego, cualquier elemento 1z tiene la forma 0z x iy  como lo muestra la figura: 
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Por consiguiente: 
   
   
0 0
0
0 0
0 0 0 0 0 00
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0
0 0
lim lim
, ,
lim
,
( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( ) ( ,
,
lim li
) ( )
( , ) ( ) ( , ) (
m
)
z z x x
x x
x x x x
z
x iy x iy
y y
u x y iv x y u x y iv x yf z f
z z
u x y u x i v x y v x
u x y u x v x y v
x x
y yx
i
x xx x
u
x
 

 
  

 
  


    
    
    

 


0 0 0 0 0( , ) ( , ) '( )x y i x y f z
v
x
 

 
 
Análogamente, sea 2 la recta vertical qua pasa por 0 0 0yz x i  , así, cualquier elemento 
2z tiene la forma 0z x iy  como lo muestra la figura: 
 
Además se tiene: 
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   
   
 
0 0
0
0
0 0 0 0 0 00
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0 0
0
lim lim
l
( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( )
im
lim
,
z z y y
x x
x x
u x y iv x y u x y iv x yf z f
z z
u x y u
z
x i
x y i v x y v x y
iy
u
y x iy
iy
i
x y u x y
y
i
y
 


  

 
  


 
 





0
0 0( , ) ( )i
,
l m
x x
v v
i
x y x y


 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) '( )
y
u v v u
y y
y
x y x y x y i x y f z
i y y
 
 
 
  
  

  



 
 
Por la relación del límite de una función y los límites de sus componentes, se sigue que las 
derivadas parciales , , ,
u u v v
x y x y
   
   
 existen en 0 0( , )x y , adicionalmente se tienen las siguientes 
igualdades: 
0 0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) '( ) ( , ) ( , )x y i x y f z
u v v u
x x y
x
y
y i x y   
   
   
 
 
Por la igualdad de números complejos se tienen las ecuaciones de Cauchy-Riemann 
0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) (, , ,) ( ), y 
u v v u
y y y y
x y
x
x y
x x x
 


 

   
. 
 
Como consecuencia inmediata de lo anterior se tiene el siguiente resultado: 
 
Corolario: Si las componentes de una función no cumplen con las ecuaciones de Cauchy-
Riemann en un punto, entonces la función no es derivable en ese punto. 
 
Ejemplo: Muestre que la función ( )f z z no es derivable en para todo z . 
Solución: Ya se demostró por medio de la definición de derivada que la función ( )f z z no 
es derivable, lo cual fue algo tedioso por el hecho de calcular los límites. Hay que observar 
que cuando z x iy  se tiene que ( )f z x iy  . Por consiguiente ( , )u x y x y ( , )v x y y  . 
Así, se obtienen las siguientes derivadas parciales: 
( , ) 1 ( , ) 0
( , ) 0 ( , ) 1
u v
x y x y
x x
u v
x y x y
y y
 
 
 
 
  
 
 
Se sigue que ( , ) ( , )
u v
x y x y
x y
 

 
 para todo 
2( , )x y  , la conclusión se obtiene del corolario 
anterior. 
 
Dado que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se obtienen de calcular la derivada de una 
función compleja, es natural pensar que es proceso es inverso, es decir, que la validez de las 
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ecuaciones de Cauchy-Riemann implica la derivada compleja de una función. Es camino 
inverso no siempre es verdadero como lo muestra la siguiente observación: 
 
Ejemplo: Sea ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y  donde ( , )u x y xy y ( , ) 0v x y  para cualesquiera 
2( , )x y  . Muestre que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen en 0 0z  pero que 
'(0)f no existe. 
Solución: Inmediatamente se tiene que (0,0) (0,0) 0
v v
x y
 

 

 ya que ( , ) 0v x y  . Para 
calcular (0,0)
u
x


 sea 1 el eje horizontal, entonces dado 1z se tiene que 0z x i  , con 
x . En consecuencia 
0 0 0
( ,0) (0,0) 0
(0,0)
·0 0·0
lim lim lim 0
0x x x
xu x u
xx
u
xx   

   



. 
 
Análogamente, para calcular (0,0)
u
y


 sea 2 el eje vertical, así dado 2z se tiene que 
0z iy  , con y . Entonces 
0 0 0
(0, 0· 0·0
lim lim li
) (0,0) 0
(0,0) 0
0
m
y y x
u y u
y y y
yu
y   





 

. 
 
De lo anterior se deduce que 
(0,0) 0 (0,0) (0,0) 0 (0,0) y 
u v v u
x y x y
   
  
  

  
 
Por lo tanto se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. 
Por otra parte, se 3 la recta 0x y  , así, dado 3z , se tiene que z x ix  . Tomando 
   
   
 
 
0 0
0
0 0
( , ) ( , ) (0,0) (0,0)( ) (0)
0 0 0
(0) 0 (0)
1
1
.
1 1
lim lim
· ·0
lim
lim lim
z x
x
x x
u x x iv x x u ivf z f
z x ix i
x x i i
x i
x x
x i i x
 

 
  

   
     
   

 
 
 
 
Pero es fácil ver que 
0
lim
x
x
x
 no existen por con siguiente '(0)f no existe. 
Antes de continuar con la condición de suficiencia de la existencia de la derivada, se requiere 
presentar el siguiente resultado funciones reales de dos variables reales. En esencia afirma 
que la derivada es la mejor “aproximación lineal” de una función. 
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 11 
Lema: Sean 
2:g   y 0 0 ),( yx  , si las derivadas parciales de g existen y son 
continuas en 0 0( , )x y , entonces 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 20( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )g x y g x y x x x y y y x y x x
g
x y
y y
g
        
 
 
 
 
Donde 
0 0( , )
0k
x x y y

 
 cuando 0 0(( , )) ,xy yx  , para 1,2k  . 
 
Finalmente, la condición de suficiencia requiere que una hipótesis extra que es la existencia 
y continuidad de las derivadas parciales. 
 
Teorema: Sean ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y  y 0 0 0z x iy  , supóngase que las derivadas parciales 
, , ,
u u v v
x y x y
   
   
 existen y son continuas en 0 0( , )x y . Entonces las ecuaciones de Cauchy-
Riemann: 
0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) (, , ,) ( ), y 
u v v u
y y y y
x y
x
x y
x x x
 


 

    
 
Implica que f es derivable en 0z . 
Demostración: Sea z un punto cerca de 0z , entonces se tiene lo siguiente: 
   
   
0 0 0 00
0 0 0
0 0 0 0
0 0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( ) ( )
u x y iv x y u x y iv x yf z f z
z z x iy x iy
u x y u x y i v x y v x y
x x i y y
  

   
  

  
 
Sean 0x x x   y 0y y y   . Por el lema anterior se tiene lo siguiente: 
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
2
3 4
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
u x y u x y x x y y x y x y
v x y v x y x x y y x y x
u u
x y
v v
x y
y
 
 
        
  
 
 
    



 
 
Donde 
( , )
(
0
, )
k x y
x y




 cuando 0 0(( , )) ,xx y y , para 1,2,3,4k  . 
Sustituyendo 
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 12 
   
 
0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1
2
3 4
3
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
u u
x y
v v
x
u x y u x y i v x y v x y x x y y x y x y
i x x y y x y x y
y
u v
x x y i x y y x y i x y
u v
x x y y
x i y
 
 
  
 
           
 
 
       
 
 
 
 
  

 
  
       
   


 
 
 
 
 2 4 .i
 
Pero las ecuaciones de Cauchy-Riemann dicen que 
0 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ) (, , ,) ( ), y 
u v v u
y y y y
x y
x
x y
x x x
 


 

   
 
En consecuencia 
0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )
u v v u
y
x y i x y x y
x
x
x
i
y
y  
  
 


 
 
Luego 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
u v v u u v
x x x x
x x y i x y y x y i x y
x x
x i y x y i x y
     
   
     
               
      
 
 
Sustituyendo se tiene lo siguiente: 
     
   
0 0 0 0 1
0
0
1
0 0 0
3
3 2 4
0
2 4( , ) ( , )( ) ( )
( , ) ( , )
x i y x y i x y x i y i
f z f z
z z x i y
x i y i
x y
u v
x x
u v
x x
i x y
x i y
   
   
 
            
   
    
  

 
 

  

 
 
Observando que 
   1
0 0
3 2 4 0 ( , ) ( , ) cuando 
x i y
x y x y
i
x i y
      

  


 
 
Así se obtiene que 
0
0
0 0 0 0
0
( ) ( )
( , ) ( ,l m )i
z z
uf z f z
x y i
v
x x
x y
z z

 

 
 
 
 
Por lo tanto 0'( )f z existe. 
 
Ejemplo: Muestre por medio de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que función 
2( ) (1 ) ( 2 3 )f z i z i z     es derivable para todo z . 
Solución: Dado z x iy  se tiene que 
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 13 
2
2
( ) ( ) (1 ) ( 2 3 )
(1 )( ) ( 2 3 )( )
f z f z i z i z
i x iy i x iy
     
      

 
 
Ejemplo: Muestre por medio de las ecuaciones de Cauchy-Riemann que función 
1
( )f z
z
 es 
derivable para todo 0z  . 
Solución: Dado z x iy  se tiene que 
2 2 2 2
( )
y
x y
f z i
x x y

 
 
, en consecuencia 
2 2 2 2
( , ) ( , ) y 
x y
u x y v x y
x xy y

 
  
 
Calculando las derivadas parciales se tiene lo siguiente: 
   
   
 
   
  
   
     
 
2 2 2 2
2 22 2 2 2 2 2
2 22 2 2 2 2 2
2 22 2 2 2 2 2
2 2 2
22 2 2 2
2
( , )
2 2
( , )
2 2
( , )
1 2
( , )
yu y
x x y y y
u y
y x y y y
x x xx x
x y
x x x
x yx x
x y
x x x
y xy x
x y
x x x
x y y
v y
x x y y y
yv y
y x y
y x
x y
x x y
  
   
 
 
    
 
  
   
 
     
   
 
  
    
 
    
 
    
 
     
2
2
2 2x y
 
 
Claramente se tienen las siguientes relaciones: 
   
2 2
2 2
2 2 2 2
2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) y 
xu y v u y v
x y y
x
x y x y x y x y
x xyxy

   
    
   
 

 
 
Además como las derivadas parciales son polinomios en de las variables ,x y , estos son 
continuos salvo 0x y  . Por lo tanto 
1
( )f z
z
 es derivable para todo  \ 0z . 
 
Ejemplo: Hallar el conjunto donde la función 
2
2 1( )f z z  es derivable. 
Solución: Sea z x iy  , entonces 
2 2 2( ) 2yz x xyi  , por consiguiente: 
 
       
2 22
2 2 2 2 2
2 22 2 2 4 2 2 2 4 2 2
2 4 2 2 2 4
( ) 2
2
1 ( ) 2 1 1
1 1 2 2 2
1
4
.2 2 2
x y xyi y
y x x y
f z z x xyi
x xx y y y
x x y x y y
y x
   
   

 

     
      
   
 
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 14 
Es decir, 
2 4 2 2 2 41 2 2 2( , ) x x y x y yu x y      y ( , ) 0v x y  . Derivando parcialmente las 
anteriores funciones se obtiene lo siguiente: 
2 4 2 2 2 4 3 2
2 4 2 2 2 4 2 3
0
0
1 2 2 2 4 4 4
1 2 2 2 4 4 4
 
 
u v
x x y x y y x x xy
x x x
u v
x x y x y y y x y y
x y y
  
       
  
 
    
 

      
 
  
 
 
 
Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann se tiene las siguientes relaciones: 
3 2
2 3
4 4 4
4
0
4 04
u v
x x xy
x y
u v
y x y y
x y
 
  
 

  
   


 
 
 
La continuidad de las derivadas parciales esta garantizada por el hecho de que las 
expresiones que determinan las derivadas parciales son polinomios. El ejercicio se resuelve 
encontrando la solución del siguiente sistema de ecuaciones, el que se obtiene de factorizar 
los términos 4x y 4y , así como también cancelando el número 4 en las relaciones previas: 
  
2
2
2
2
01
1 0
x x y
y x y
  
 


 
 
Se tiene que 
2 2 01 x y  para cualesquiera ,x y por consiguiente de la segunda 
ecuación se tiene que 0y  . Así la primera ecuación se transforma en 
2( 1 ) 0x x   , de 
donde se obtienen que 0x  ó 1x  . Por lo tanto f solo es derivable en el conjunto  0,1, 1 . 
 
Para finalizar esta parte, se presentan las ecuaciones de Cauchy-Riemann en su forma polar. 
Pero antes hay que presenta la regla de la cadena para funciones de varias variables reales. 
 
Teorema: Dadas dos funciones : n mf U   y : m pg V   tales que g f exista. Si 
f es derivable en 0x y g es derivable en 0 0( )y f x entonces ( )g f es derivable en 0x y 
se cumple que    0 0 0( ) ( )D g f x Dg y Df x . 
 
En particular, si 2n  , 2m  y 1p  entonces la última relación del teorema se escribe del 
siguiente modo: 
2 2
1 1
1 2 1 1
2 21 2 1 2 2 2 21 1 1 1
1
2
1
y y
x xf f f f f y f y f y f y
y yx x y y y x y x y x y x
x x
 
      
         

 
       
   
    
            
 
 
 
 
 
 
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En consecuencia, se tiene las siguientes relaciones: 
2
2
1
1 1 1 1
1
2
2
2 21 2
f f y f y
x y x y x
f f y f y
x y x y x
    
    
    
 
 
    
 
 
Aplicando las relaciones anteriores a una función compleja ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y  y las 
relaciones dadas por cosx r  y seny r  . Calculando las derivadas parciales con respecto 
a r se tiene lo siguiente: 
cos sen
cos sen
u u x u y u u
r x r y r x y
v v x v y v v
r x r y r x y
 
 
      
      
      
     
   
  


 
 
Análogamente, se calculan las derivadas parciales con respecto a  para obtener lo 
siguiente: 
sen cos
sen cos
u u x u y u u
x y x y
v v x v y
r
v
x y x y
r
v
 
  
 
  
      
      

 
    
     
 

 
 
  
   


 
 
 
 
Por las ecuaciones de Cauchy-Riemann se tiene que 
u v
x y

 
 
 y 
v u
x y
 
 
 
, sustituyendo en 
las dos últimas relaciones se tiene lo siguiente: 
sen cos sen cos
sen cos sen cos
u u u v v v
x y y x r
v v v u u u
x y y
r r r
r
x
r
r
r
   

   

   
          
   
   
    
     
     
     

       
 
 
Por lo tanto, las ecuaciones de Cauchy-Riemann en su forma polar son las siguientes: 
1 1
 y 
r r
u v v u
r r 
  
 

 

 
 
 
En consecuencia se tiene el siguiente resultado: 
Teorema: Sean ( ) ( , ) ( , )f z u r iv r   y 00 0
i
z r e

 , supóngase que las derivadas parciales 
, , ,
u u v v
r r 
   
   
 existen y son continuas en 0z . Entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann 
en la forma polar: 
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0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
1 1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) y r r r
u v v
r r
u
r
r r
   
 
 
   
   
 
Implica que f es derivable en 0z . 
 
 
3.1.3. Propiedades de la derivada 
 
En esta sección se presentan las propiedades de las funciones complejo derivables, aquí se 
observará que la variable compleja resulta ser una teoría análoga al cálculo ya que en 
esencia las propiedades de las funciones complejo derivables son las mismas que las 
presentadas en las funciones reales. 
 
La primera propiedad que se presenta es la siguiente: 
Teorema: Si f es derivable en 0z entonces f es continua en 0z . 
Demostración: Por definición de continuidad hay que demostrar que 
0
0( ) ( )lim
z z
f z f z

 ó 
equivalentemente  
0
0( ) ( ) 0lim
z z
f z f z

  . Para obtener la conclusión anterior hay que observar 
lo siguiente: 
     
 
0 0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0
0
0 0
0
lim
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
'(
lim lim
lim li )(0) 0m .
z z z z z z
z z z z
z z f z f z
f z f z f z f z z z
z z z z
f z f z
z z f z
z z
  
 
       
          
       
           
 
Por lo tanto, f es continua en 0z . 
Cabe mencionar que el inverso del teorema anterior no es valido, es decir, existen funciones 
continuas que no son derivables, como se vio anteriormente la función ( )f z z es continua 
pero no derivable. 
 
Ahora toca el turno de presentar las propiedades algebraicas de la derivada de funciones 
complejas. Las cuales se enuncian en el siguiente resultado: 
 
Teorema: Supóngase que , :f g   son derivables en 0z  entonces se tiene lo 
siguiente: 
 
(i). f g es derivable en 0z dónde 0 0 0( ) '( ) '( ) '( )f g z f z g z   . 
(ii). f g es derivable en 0z dónde 0 0 0( ) '( ) '( ) '( )f g z f z g z   . 
(iii). ·f g es derivable en 0z dónde 0 0 0 0 0( ) '( ) ( ) '( ) '(· ) ( )f g z f z g z f z g z  . 
(iv). 
f
g
 es derivable en 0z donde 
 
0 0 0 0
0 2
0
( ) '( ) ( ) '( )
'( )
( )
f g z f z f z g z
z
g g z
  
 
 
 y 0( ) 0g z  . 
 
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 17 
Demostración: Para demostrar (i) y (ii) basta observar lo siguiente: 
   
   
0 0
0
0 0
0 00
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0 0
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
'
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
lim lim
'() .( )
z z z z
z z
z z z z
f z f zf g z f g z
z z z z
f z f g
g z g z
z g z
z g z
g z
z
z z
f z f g z
z z z z
f z
 

 
  

  
   
    
  
  
 
    
    
 

  



 
 
Por otro lado, para mostrar (iii) y (iv) se utiliza el hecho de que f y g son continuas en 0z es 
decir 
0
0( ) ( )lim
z z
f z f z

 . En particular para (iii) hay que realizar lo siguiente: 
   
0 0
0
0
0
0 0 0
0 0
0 0 0 0
0
0 0 0
0
0
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
· ·
lim lim
lim
lim
li
) ( ) ( )
( ) ( )
( )m
z z z z
z z
z z
z z
f g z f g z f z g z f z g z
z z z z
f z g z f z g z f z g z f z g z
z z
f z g z g z f z f z g z
z z
g z g z
f z
 



    
   
    
   
  
 
    
  
 


0 0
0 0 0 0
0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0 0
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim
lim lim m i) li m( l
z z z z
z z z z z z z z
f z f z
g z
z z z z
g z g z f z f z
f z g z
z z z z
g z g z f z f z
f z g
z z z z
 
   
    
    
     
       
       
       
                
0
0 0 0 0
( )
( ) '( ) '( ) ( ).
z
f z g z f z g z
 
  
 
 
 
Finalmente, (iv) se obtiene de los siguientes cálculos: 
Variable compleja I 
Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas 
 
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 18 
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0
0 0 0
0 0
0
0
lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
lim
li
) ( )
( ) ( )
m
z z z z z z
z z
f f f z f z f z g z f z g z
z z
g g g z g z g z g z
z z z z z z
f z g z f z g z f z g z f z g z
g z g z
z z
  

        
         
         
       
         
  


0
0 0 0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
(
lim
lim lim lim l
) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) im
lim l( ) im
z z
z z z z z zz z
z z
f z f z g z g z
g z f z
z z z z
g z g z
f z f z g z g z
g z f z
z z z z
g z
   

 
 
 
 
  
     
    
     
 
 
 
                    
 
  
 
0
0
0 0 0 0
0
2
( )
'( ) ( ) ( ) ( )
.
( )
z z
g z
f z g z f z g z
g z

 
  


 
Como consecuencia inmediata del teorema anterior y aplicando inducción matemática se 
tiene el siguiente resultado: 
 
Corolario: Sean 1 2, , , nf f f un conjunto finito de funciones complejas que son derivables en 
0z entonces  
1 1
( ) ( )
n n
k
k
k
k
d d
f z f z
dz dz 
 
 
 
  . 
 
Ejemplo: Dada una contante c , demuestre que   0
d
c
dz
 , para todo z . 
Solución: Dado z y aplicando la definición de derivada se tiene lo siguiente: 
 
0 0 0
lim lim
0
l [0] 0im
z z z
d c c
c
dz z z     

   
 
. 
Por lo tanto se tiene que   0
d
c
dz
 . 
Ejemplo: Muestre que para todo \ {0}n y para todo z se tiene que   1n n
d
z nz
dz
 . 
 
Demostración: Se procede por inducción matemática. El resultado se cumple para 1n  ya 
que tiene lo siguiente: 
 1
0
lim
z
zd
z
dz  

 
1
z z  
1 1
0 0
lim lim[ 1 1·1]
z z
z
z
z z

   

   
 
. 
Variable compleja I 
Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas 
 
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 19 
Supóngase que para n k se cumple   1k k
d
z kz
dz
 . Tomando 1n k  y aplicando la 
propiedad (iii) del teorema anterior se tiene lo siguiente: 
             1 1
( 1) 1( 1) ( 1)
· 1k k k k k k
k k k k
z k
d d d d
z z z z z z z z
dz dz dz dz
z kz k k z
z
z
 
 
   
     

 
 
Por lo tanto, se sigue que   1n n
d
z nz
dz
 para todo \ {0}n . 
Ejemplo: Dado c , muestre que si f es derivable en z entonces    ( ) ( )
d d
cf z c f z
dz dz
 . 
Solución: Aplicando la regla del producto se tiene lo siguiente 
           ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )
d d d d d
cf z c f z c f z c f z f z c f z
dz dz dz dz dz
     . 
 
 
Ejemplo: Dada la función 
3 2( ) (3 4 ) ( 1 4 ) (5 3 ) ( 4 6 )f z i z i z i z i          calcular '( )f z . 
Solución: Este ejercicio se resuelve aplicando las propiedades algebraicas de la derivada del 
siguiente modo: 
 
     
       
     3
3
1 2
3
1
2
3 2
2
2
'( ) (3 4 ) ( 1 4 ) (5 3 ) ( 4 6 )
(3 4 ) ( 1 4 ) (5 3 ) ( 4 6 )
(3 4 ) ( 1 4 ) (5 3 ) 0
(3 4 ) 3 ( 1 4 ) 2 (5 3 ) 1
(9 12 ) ( 2 8 ) (5 3 ).
d
f z i z i z i z i
dz
d d d d
i z i z i z i
dz dz dz dz
d d d
i z i z i z
dz dz dz
i z i z i
i z i z i
 
          
         
       
      
      
 
 
Por lo tanto 
2'( ) (9 12 ) ( 2 8 ) (5 3 )f z i z i z i       . 
Ejemplo: Dada la función 
1
( )
1
z
f z
z



, calcular '(1 )f i . 
Solución: Para cualquier número complejo 1z   se tiene lo siguiente: 
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 20 
       
 
     
 
2
2
1
'( )
1
1 1 1 1
1
1 1 1 1
1
d z
f z
dz z
d d
z z z z
dz dz
z
z z
z
z
 
   
    


  



1 z 
   
2 2
1 2
1 1z z


 
 
En particular, tomando 1z i  se tiene que 
    
2 2
2 2 6 8
25 25
2
'(1 )
3 421 1
f i
i
i
ii
    


 
. 
Por lo tanto se tiene que 
6 8
25 25
'(1 )f i i  . 
 
Continuando con las propiedades de las funciones derivables, toca el turno de estudiar como 
se comportan las funciones derivables con respecto a la operación de composición de 
funciones. 
 
Teorema: Dadas dos funciones complejas f y g de tal manera que g f este definida. Si 
f es derivable en 0z y g es derivable en 0 0( )w f z entonces g f es derivable en 0z y se 
cumple que   0 0 0'( ) '( ) '( )g f z g w f z . 
 
Demostración: Supóngase que f es derivable en 0z y que g es derivable en 0 0( )w f z . 
Dado 0 se define una función  con dominio en la vecindad 0( )V w del siguiente modo: 
0
0 0
0
0
( ) ( )
'( ),
( )
0,
si 
si 
g w g w
g w w w
w ww
w w


 
 
 
 
 
Dado que 0'( )g w existe, se tiene que 
0
lim ( ) 0
w w
w

 . Por otra parte como 0'( )f z existe 
entonces f es continua en 0z , así para 0 existe 0  tal que 0( ) ( )f z f z  cuando 
0z z   . Se tiene que cuando 0z z   implica que 0( ) ( )Vf z w , en consecuencia se 
puede considerar que ( )w f z . Luego sustituyendo en  y realizando las operaciones 
adecuadas se tiene lo siguiente: 
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 21 
  
 
0
0
0
0 0 0
0 0
0
0 0
( ( )) ( ( )
( ( )) '( )
( ) (
( ) ( ( ( )) '( ) ( ( )) ( ( )
( ) ( ( ( )) ( ( )
( ( )
)
) '( )
)
) )
) )
g f z g f z
f z g w
f z f z
f z f z f z g w g f z g f z
f z f z g f z g f z
f z g w
z z z z




 

   
  
  
   
 
Lo anterior es válido mientras 
00 z z    . 
Además, como f es continua en 0z y  es continua en 0w se sigue que f es continua 
en 0z , por lo tanto  
0
0lim ( ) 0
z z
f z

 . Finalmente se tiene lo siguiente: 
 
 
 
0 0
0 0
0 0
0
0 0
0
0
0
0 0 0 0
( ( )) ( ( ) ( ) (
lim lim ( ( )) '( )
( ) (
lim lim ( ( )) '( )
'( ) 0 '( ) '( ) '( .
) )
)
)
z z z z
z z z z
g f z g f z f z f z
f z g w
z z z z
f z f z
f z g w
z z
f z g w g w f z


 
 
  
 
 
 

 
  
   
  
 



 


 
 
Por lo tanto   0 0 0'( ) '( ) '( )g f z g w f z . 
Ejemplo: Dada la función  
3
2 2( )h z z z  , calcular '( )h z . 
Solución: Primero hay que observar que h g f donde 
2( 2)f z z z  y 3( )g w w . De lo 
anterior se tiene que '( ) 2 1f z z  y 
2'( ) 3g w w , el resultado se obtiene sustituyendo 
2( ) 2f z zw z    y realizando las siguientes operaciones: 
       
2
2 2'( ) '( ) '( ) '( ) 1 23 2 3 2 1h z g f z g w f z w z z z z      . 
Por lo tanto   
2
2'( ) 3 2 21h z z zz     . 
 
 
Actividad 1. Derivación de funciones complejas 
 
A través de esta actividad podrás recordar alguna(s) interpretación(es) de la derivada de 
funciones reales y comentar si crees que se puedan aplicar a los números complejos, 
 
Instrucciones 
 
 
1. Recuerda alguna(s) interpretación(es) de la derivada de funciones reales 
 
2. Ingresa al foro y comenta si crees que se puedan aplicar a los números complejos, 
recordando lo que aprendiste de ellos en asignaturas anteriores. 
 
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 22 
 
 
 
 
3.2. Funciones holomorfas 
 
En la sección anterior se estudio la derivada de una función compleja, no importó saber que 
propiedades hay en el dominio ni en el contradominio de la misma. En esta sección se estudia 
la derivada de una función agregándole algunas propiedades topológicas al subconjunto de 
dominio donde la función es derivable. 
 
 
3.2.1. Definición de una función holomorfa 
 
Sean f una función definida de  en y 0z  , se dice que f es holomorfa en 0z sí 
y solo si existe una vecindad de 0z donde f es derivable en todo elemento de la vecindad, 
es decir, existe 0 tal que f es derivable en 0( )V z . En consecuencia, se dice que f es 
holomorfa en 1  sí y solo si f es holomorfa en z , para todo 1z . Equivalentemente, 
f es holomorfa en  si y solo si  es un conjunto abierto. En particular, toda función entera 
es holomorfa. También se utiliza la palabra analítica como sinónimo de holomorfa. 
3. Revisa las aportaciones de tres de tus compañeros como máximo, aceptando o 
rechazando su respuesta.4. Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la 
sección Material de apoyo. 
 
Actividad 2. La derivada compleja 
 
A través de esta actividad. Podrás resolver ejercicios sobre derivada compleja. 
 
Instrucciones: 
 
1. Descarga el archivo “Actividad 2. La derivada compleja”. 
 
2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 
 
3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura 
MCO1_U3_A2_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y 
por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso 
del archivo no debe exceder los 4 Mb. 
 
4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a). 
 
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 23 
 
Las propiedades de la derivad junto con el hecho de que la intersección de conjuntos abiertos 
es un conjunto abierto implica que la suma, la diferencia y el producto de funciones 
holomorfas es una función holomorfa. Dado que una función holomorfa es continua 
entonces el conjunto donde la función se nula es un conjunto cerrado por consiguiente el 
cociente de funciones holomorfas es también holomorfa. Finalmente, la composición 
de funciones holomorfas resulta ser holomorfa. Aquí se están empleando propiedades 
topológicas que se muestran en un curso de topología o análisis matemático. 
Ejemplo: La función 
2 1
2
( )
z
f z
z


 es holomorfa, ya que f es derivable en \{ }i y este es 
un conjunto abierto. 
 
Ejemplo: La función 
2
( )f z z solo tiene derivada en 0z  ya que 
2 2( , ) yu x y x  y 
( , ) 0v x y  , por consiguiente 2 0
u v
x y
x 
 



 y 2 0y
v u
x y
  






, de donde se obtiene que 
0x y  , pero un punto aislado no es un conjunto abierto. Por lo tanto 
2
( )f z z no es 
holomorfa. 
 
En cálculo se muestra que una función constante tiene derivada cero, e inversamente si una 
función es continua y tiene derivada cero entonces es constante. En la sección anterior se 
mostro que una función compleja y constate tiene derivada idénticamente igual a cero. El 
siguiente es el inverso a esta observación. Antes hay que recordar que un dominio es un 
conjunto y conexo. 
 
Teorema: Sean  un dominio y f una función definida de  en . Si '( ) 0f z  para todo 
z entonces f es constante. 
Demostración: Sean 1 2,z z  , como  es conexo implica que existe una curva 
: [ , ]a b  talque 1( )a z  , 2( )b z  y ( )t  para ( , )t a b . Por la regla de la cadena se 
tiene que: 
       ( ' ( ,') · ), para todo t t y t t a b
d
f f
dt
   
Por hipótesis se tiene que )'( 0( )tf   ya que ( )t  , es decir, se tiene que   ( ) 0
d
dt
tf   . 
Luego denotando por ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y  se observa que: 
        ( ) ( ) ( 0)
d d d
f u i v
dt dt d
t t
t
t    
 
 
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 24 
De lo que se obtiene      ) 0( ( )
d d
u v
dt dt
t t   , luego existen 1 2,c c  tales que 
1( )( ) ctu   y 1( )( ) ctv   . Así 1 2( )( )t cf c i   para todo ( , )t a b . Por la continuidad  se 
sigue que ( (( ) ( )) )f fa b  , por lo tanto 1 2( ) ( )f z f z . 
 
Por otro lado, las relaciones: 
 
1 1
( )
2 2
 si y solo si y z x iy x z yz zz
i
      
Implican que toda función de variable compleja z es una función compleja de las variables 
reales ,x y . Inversamente, toda función compleja de las variables reales ,x y es una función 
compleja de las variables ,z z , donde se consideran a z y z como variables independientes. 
A partir de lo anterior se definen los siguientes operadores: 
1 1
2 2
 y 
z x y z
i
x y
i
     
   
    
   
    

 
   
 
 
Estos operadores no tienen interpretación como límites, pero se pueden interpretar como 
derivadas parciales con respecto a z y z respectivamente. 
 
Sean  un domino en y f una función compleja definida en  , con 
( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y  . Supóngase que una función f satisface ( ) 0f z  para todo z , 
finalmente suponga que el operador  satisface las regla usuales de la derivada. Entonces 
   
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) (
1 1
( ) ( )
2 2
1
2
1
2
1
2
, )
2
f z f z
x y x y
x y
x
i f z i f z
u x y iv x y i u x y iv x y
u x y i v x y i u x y v x y
i
u x y v x y v
x y
x y u x y
y
x y x y
      
     
      
  
  
  
    
  
   
 
  
  
 

 
  

 
  
 

 




 
 
Por hipótesis ( ) 0f z  lo que implica que: 
( , ) ( , ) 0
( , ) ( , ) 0
u x y v x y
v x y u
x y
x
y
y
x
 
 
 



 

 
 
Es decir, f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, si se agrega la condición de la 
continuidad de las derivadas parciales de ,u v en  se sigue que f es holomorfa. Por lo 
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 25 
tanto se puede definir una función holomorfa de manera equivalente a través del operador  : 
Dado un dominio  de y f una función compleja definida en  , entonces f es 
holomorfa en  si y solo si ( ) 0f z  . Es decir, una función holomorfa es independiente de 
la variable compleja z . 
 
Ejemplo: Utilizando el operador  muestre que la función 
 2 2 2 22 2 2 ( 4( ) )x xy y i xf xz y y     
Es holomorfa en . 
Solución: Este problema es directo, basta aplicar la definición del operador  , en 
consecuencia: 
   
       
       
 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 4
2 2 2 4 2 2 2 4
2 2 2 4 2 2 2 4
4
2 ( )( )
2
x xy y i x xy y
x y
x xy y i x xy y x xy y i x xy y
x y
x xy y i x xy y x xy y x xy y
x x y y
x
f
i
i
y
z i
 
    
 
 
     
 
      
 
     
 
   
         
  
 


 
   
 
  2 4i x y   2 4i x y    4 2x y  0.
 
Por lo tanto ( )( ) 0f z  . 
 
 
3.2.2. Funciones armónicas 
 
Antes de comenzar a estudiar las relaciones existentes entre las funciones holomorfas y las 
funciones armónicas, primero hay que definir el operador de Laplace de dimensión n . 
El operador de Laplace ó Laplaciano de dimensión n es el operador diferencial de segundo 
orden definido por: 
2 2 2 2 2
1
2
2 2 2 2
1 1
2
2
n
kn n kx x x x x
 

  
    
    
   
 
En consecuencia, dada una función f definida de n en , el operador de Laplace 
aplicado a f es la siguiente expresión: 
2 2 2 2 2
2
2 2
11
2 2 2
2 1
() )(
n
kn n k
f f f f f
f
x x x x x
f

    
    
    
    
 
Una función f definida de n en es armónica en 1 ),( , na a si y solo si satisface la 
ecuación de Laplace: 
2
2
1 12
1
( , )( ) , , 0( , )
n
n n
k k
f
f a a
x
a a


   


 
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 26 
 
Finalmente, se dice que f es armónica en 1  si y solo si f es armónica en z para 
todo 1z . 
En particular, cuando 2n  el operador de Laplace aplicado a f es 
2 2
2
2 2
( )( )
f f
f
x y
f
 
   
 
. Además, f es armónica en 0 0( , )x y si y solo si 
2 2
0 0 0 02 2
( ), ,( ) 0
f f
y y
x y
x x
 

 

. 
 
Ejemplo: Muestre que la función ( )f x ax b  , con ,a b es armónica en . 
Solución: Sea x , aplicandoel operador de Laplace a f en x se tiene lo siguiente: 
2 2
2 2
( ) ( ) ( ) 0
d d d
f x ax b a
dx dx dx
    . 
 
Ejemplo: La función 2 2( )f x x y , con ,a b es armónica en 2 . 
Solución: Sea 2( , )x y  , aplicando el operador de Laplace a f en ( , )x y se tiene lo 
siguiente: 
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
( , ) ( , ) ( ) ( )
(
( )(
2 ) ( 2 ) 2 2 0
)
.
,f x
f f
x y xy y y
x y
y x x
x y
x y
x y
   
   
   
 

  
     

 
 
Ahora se presenta el teorema de las derivadas iteradas, que es esencial para entender la 
relación entre las funciones holomorfas y las funciones armónicas. 
Teorema: Dada una función f definida de n en tal que sea de clase 2 en 
1 ), ,( na a , es decir, existen las derivadas de segundo orden y son continuas en 1 ), ,( na a . 
Entonces las derivadas iteradas satisfacen la siguiente relación: 
2 2
1 1, , , ,( ) ( ), para 
k
n n
j k j
a a
f f
a a
x x
j k
x x
 
  
   
 . 
 
 
Volviendo a la variable compleja, sean  un domino en y f una función holomorfa en  , 
con ( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y  . Entonces, se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann para 
todo ( , )x y  : 
( , ) ( , )
( , ) ( , )
u x y v x y
x y
y
x
v
y
x y u x
 
 
 

 


 
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 27 
 
 
En consecuencia, se sigue lo siguiente: 
2 2
2
2 2
2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
x x x x y x y
y
u x y u x y v x y v x y
u x y u x
y
y v x
y y x y x
y v x y
  
    
   
   
       
  
     
      
     
      
 
 
Sumando miembro a miembro se obtiene lo siguiente: 
2 2 2 2
2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )u x y u x y v x y v x
x y y x
y
x y
   
    
  
 
 
Ahora supóngase que , , ,
u u v v
x y x y
   
   
 son continuas en ( , )x y para todo ( , )x y  . Aplicando 
el teorema de la derivada iterada se tiene que 
2 2
( , ) ( , ) 0v x y v y
x y x
x
y
 
 



 
 
Así, ( , )u x y satisface la ecuación de Laplace, es decir, u es armónica en  . Análogamente, 
también que v es armónica en  . Por lo tanto se tiene el siguiente resultado: 
 
Lema: Si f u iv  es holomorfa en  tal que , , ,
u u v v
x y x y
   
   
 son continuas en ( , )x y para 
todo ( , )x y  entonces ,u v son amónicas en  . 
 
Finalmente, suponer que las derivadas parciales de las componentes de f sean 
continuas en ( , )x y es redundante, ya que toda función holomorfa es de clase  , es decir, 
existen todos sus ordenes de diferenciabilidad. La demostración de este resultado utiliza 
técnicas de integración de funciones complejas por tal motivo se presenta en el curso de 
variable compleja II. 
 
Ejemplo: Sea 2( )f z z z  , muestre que Re( )f e Im( )f son armónicas en . 
 
Solución: Dado que Re( )f e Im( )f son las componentes de la función entera f , el teorema 
anterior garantiza que Re( )f e Im( )f son armónicas en . Para comprobar la afirmación 
anterior, dado z x iy  se tiene que    2 2( ) 2yf z x x yx i y    , por consiguiente: 
2 2 ( ,( , ) 2) y y x vu x y yx yyx x    
 
 
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 28 
Aplicando el operador de Laplace a u se obtiene lo siguiente: 
   
   
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
( , ) ( , )
2 1 2 2
( )
2 0.
( , )u x y
x y
y x y x
x
u x y u
y
x y
x
x
y
x
x y
 

 
 
 
 
 
   
 









 
 
 
Análogamente, para v se tiene: 
 
   
   
2 2
2
2 2
2 2
2 2
( )( , )
2 2
2 2 0 0
, )
0
( ( , )
.
v x y v x y
x y
x y
x
v x y
xy y xy y
y x
y
 
 
 
 



  
  







 
 
Por lo tanto Re( )f e Im( )f son armónicas en . 
 
A partir de la observación anterior, una pregunta natural es la siguiente: Si tengo dos 
funciones armónicas ,u v sobre un dominio  , ¿bajo qué condiciones la función 
compleja ( )f z u iv  es una función holomorfa? 
 
La respuesta es muy sencilla: como f tiene que ser holomorfa en  , las funciones u y v 
tienen que satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo punto ( , )x y  . De esta 
observación se tiene que dos funciones armónicas u y v que satisfacen las ecuaciones de 
Cauchy-Riemann se dice u es armónica conjugada de v y viceversa. 
 
Ahora se plantean las siguientes preguntas: Dada una función armónica u ¿existe alguna 
función armónica conjugada v ?, la respuesta a esta pregunta es afirmativa y la demostración 
de como obtener la función v se escapa de los objetivos de este curso, por el cual solo se 
presenta el método para calcularla. La pregunta anterior planea la existen de la función 
armónica conjugada, a partir de ahí, la pregunta inmediata es: ¿Cuántas armónicas 
conjugadas existes para una función armónica dada?, la repuesta a esta pregunta la 
proporciona el siguiente resultado. 
 
Teorema: Sea u una función armónica en un dominio  . Si 1 2,v v son dos funciones 
armónicas conjugadas entonces existe una constante b tal que 1 2( , ) ( , )x y v xv y b  para 
todo ( , )x y  . 
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 29 
 
Demostración: Sean 1 1( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y  y 2 2( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y  las funciones 
holomorfas sobre  que se forman de las funciones armónicas 1 2,,v v v . Se define la función 
1 2)( )) ( (zh f zz f  , entonces para cualquier ( , )x y  se obtiene lo siguiente: 
1 2 2
1'( ) '( ) '( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0.
v
u v
x x x x
u u u u
x
h z f z f z x y i x y u x y i x y
x y i x y
y x
x y i y
y
x
   
       
  
   
       

  
   
   
    
 
 
Por consiguiente, ( )h z es una función constante, denotada por ( )h z a ib  . Más aun, 
tomando 
1 2( ) ( ( ) ( ,) )h z f z f z u x y   1( , ) ( , )iv ux x yy     2 1 2( , ) ( , ) ( , )x y x y v x yiv i v a ib    
 
Luego 0a  y 1 2( , ) ( , )x y v xv y b  , lo que demuestra el resultado. 
 
Ejemplo: Dada la función armónica ( , ) 2u x y xy hallar su función armónica conjugada. 
Solución: Sea ( , )v x y la función armónica conjugada de ( , )u x y . Por la ecuaciones de 
Cauchy-Riemann se tiene que 
 
 
( , ) ( , ) 2 2
( , ) ( , ) 2 2
v x y u x y xy y
v x y u x y x
y x x
y
x
x
x y
  
  
  

  
  

 


 
 
Se comienza escogiendo una de las dos relaciones anteriores, por ejemplo si se elige la 
primera, esta presenta la derivada de ( , )v x y con respecto a y . Así, para encontrar la forma 
de la función ( , )v x y se integra con respecto a la variable y obteniendo lo siguiente: 
2( , ) ( , ) 2 ( ) ( )v x y v x y dy ydy x y x
y
    

 
 
 
Hay que recordar que se está trabajando con derivadas parciales, por lo tanto al integrar con 
respecto a y hay que sumar una función exclusiva de la variable x , en este caso se denota 
por ( )x . 
 
Por otro lado, hay que utilizar la segunda relación que proporcionan las ecuaciones de 
Cauchy-Riemann para ello hay que derivar parcialmente con respecto a la otra variable, en 
este caso es x , después se iguala con la relación que se obtiene de las ecuaciones de 
Cauchy-Riemann, en este caso se obtiene lo siguiente: 
2 ( ) (, )2 ( ) y xx v x x
x x
y        
 

 
 
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Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías30 
 
Por consiguiente ( ) 2x x   , de lo anterior se tiene que 2( )x x c    con c . Por lo tanto 
la función armónica conjugada de ( , ) 2u x y xy es 2 2( , )v x y y x c  . 
 
Ejemplo: Muestre que la función 2( , ) cos(2 )xu x y e y es armónica en todo punto ( , )x y del 
plano complejo y hallar su función armónica conjugada. 
 
Solución: Primero hay que aplicar el operador de Laplace a la función 2( , ) cos(2 )xu x y e y , 
obteniendo lo siguiente: 
     
   
   
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
( , ) cos(2 ) cos(2 ) cos(2 )
2 cos(2 ) 2 sen(2 )
4 cos(2 ) 4 cos(2 ) 0.
x x x
x x
x x
x y
x
u x y e y e y e y
e y e y
e e y
y
y
  
 
 
 
 

 
   

 
 
Es decir, ( , )u x y es armónica. 
 
Por otra parte, sea ( , )v x y la función armónica buscada, las ecuaciones de Cauchy-Riemann 
proporcionan las siguientes relaciones: 
 
 
 
2 2
2 2
( , ) ( , ) cos(2 ) 2 sen(2 )
( , ) ( , ) cos(2 ) 2 cos(2 )
x x
x x
x y y
y x
v x y u x y e y e y
v x y u x y y e
x
e y
  
  
  


 
   
  
 
 
Tomando la primera relación e integrando con respecto a x se tiene lo siguiente: 
2 2( , ) ( , ) 2 sen(2 ) sen(2 )) (x xdv x y x ev x y
x
y dx e y y  


 
 
Derivando parcialmente con respecto a y e igualando se obtiene: 
2 co 2 )2 s(xe y  2 2( , ) sen( ( ) cos2 ) (2 )2x xe y y
y y
v x y y e

  

 
 ( )y 
Lo que implica que ( ) 0y  , equivalentemente ( )y c  . Por lo tanto 2( , ) sen(2 )xv x y e y c  . 
 
 
Actividad 3. Funciones holomorfas 
 
Mediante esta actividad, resolverás ejercicios de funciones holomorfas, para determinar que 
sea armonica. 
 
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 31 
 
 
A través de esta actividad. Podrás resolver ejercicios sobre derivada compleja. 
 
Instrucciones: 
 
1. Descarga el archivo “Actividad 3. Funciones holomorfas”. 
 
2. Resuelve los ejercicios que en el documento se proponen 
 
3. Guarda y envía tu documento y el archivo de la función creada con la nomenclatura 
MCO1_U3_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, la Y 
por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. El peso 
del archivo no debe exceder los 4 Mb. 
 
4. Espera la retroalimentación de tu facilitador (a). 
 
Autoevaluación 
 
 
Es momento de realizar la autoevaluación, recuerda que es importante realizarlo para medir 
el conocimiento adquirido durante la unidad. 
 
Instrucciones: Selecciona la respuesta correcta que corresponda al reactivo planteado 
 
1. Calcular '( )f z donde 2
3 4
( ) (2 3 ) (3 4 )
i
f z i z i z
z

     . 
a. 
2
3 4
'( ) 2(2 3 ) (3 4 )
i
f z i z i
z

     . 
b. 2
2
3 4
'( ) (2 3 ) (3 4 )
i
f z i z i z
z

     . 
c. 
2(2 3 )
'( ) (3 4 ) (3 4 )
i
f z i i z
z

     . 
d. 
2
3 4
'( ) (2 3 ) 2(3 4 )
i
f z i i z
z

     . 
2. Dada la función ( )f z x i y  hallar el conjunto  donde se cumplen las ecuaciones 
de Cauchy-Riemann. 
a.  ( , ) 0yy xx û . 
b.  ( , ) 0xx y y  û . 
c.  ( , ) 0xx y y  û . 
d.  2 2( , ) 0y x yx û . 
Variable compleja I 
Unidad 3.Diferenciacion de funciones complejas 
 
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 32 
 
 
3. Hallar los valores de ,a b tales que la función 
   ( ) cos cosh senh sen cosh senhf z x y a y i x y b y    
Sea holomorfa en . 
a. 1 1 y a b    . 
b. 2 2 y a b   . 
c. 3 1 y a b  . 
d. 0 0 y a b  . 
4. Dada la función armónica  2 2( , ) ln yu x y x  , hallar su función armónica conjugada. 
a. 1( , ) 2 tan
y
v x y c
x
    
 
. 
b. 1( , ) 4 tan
x
v x y c
y
    
 
. 
c.  1( , ) tanv x y x y c    . 
d.  ( , ) tan 2 3v x y x y c   . 
5. Dada la función    2 2 2 22 2 2( ) x xy y i xf z y    , calcular ( )f z . 
a. ( ) 2(1 )f z i z   . 
b. ( ) 2f z z  . 
c. ( ) 2f z z z   . 
d. ( ) 0f z  . 
 
 
RETROALIMENTACION 
 
1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente 
el contenido de la unidad. 
4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro de los conocimientos de la Unidad, sigue 
adelante. 
 
Evidencia de aprendizaje. Diferenciación de funciones complejas 
 
En esta actividad, resolverás ejercicios de los temas vistos durante la unidad, recuerda que 
debes realizar los procedimientos en el documento que envíes para que tengas evidencia. 
 
Instrucciones: revisa y resuelve los ejercicios que a continuación se plantean 
 
a) Calcular '( )f z donde 
2
4
(
4
3
)
iz
i
f z
z



. 
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 33 
 
 
 
 
Cierre de la unidad 
 
En esta unidad se estudió el concepto de derivada para una función compleja, además se 
estudiaron las condiciones de suficiencia y necesidad de la derivada, así como también sus 
propiedades, después estudiaste el concepto de función holomorfa y finalmente aprendiste el 
concepto de función armónica. 
 
 
Para saber más 
 
Para mayor comprensión de funciones armónicas y armónicas conjugadas puedes visitar los 
siguientes sitios: 
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Conjugate_harmonic_functions 
 
b) Dada la función    3 2 2 327 3) 27 3( x x xyf z i y x y y      hallar los valores 
z tales que '( )f z existe. 
c) Dado 2( ) (2 )f z i z iz   y ( )
2
z i
g z
iz



, calcular ( ) '(0)g f . 
d) De las siguientes funciones ¿Cuál es armónica en el plano complejo? 
e) Dada la función armónica 2 2 2 2
1
2 6 2 ln( [ ])
2
, x x xu x y y x yy      hallar su 
función armónica conjugada. 
 
1. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCO1_U3_EA_XXYZ. 
 
2. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu 
apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. 
 
3. Envía tu reporte al Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación de tu 
Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia. 
 
4. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será evaluado tu 
trabajo. 
 
Autorreflexiones 
 
Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio 
correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también 
se toman en cuenta para la calificación final. 
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Conjugate_harmonic_functions
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 34 
http://caicedoteaching.wordpress.com/2008/12/23/275-harmonic-functions-and-harmonic-
conjugates/ 
 
Para profundizar los conceptos de cálculo vectorial utilizados en esta unidad, se puede visitar 
el siguiente sitio: 
 
http://www2.ph.ed.ac.uk/~bjp/vc/vc.pdf 
 
 
Referencias bibliográficas 
 
Bak, J. y Newman, D. (2010). Complex analysis. USA: Springer-Verlag. 
 
Churchill, R. y Brown, J. (2010). Variable compleja y aplicaciones. México: McGraw-Hill. 
Lang, S. (1998). Complex analysis. USA: Springer-Verlag. 
Marsden, J. y Hoffman, M. (1996). Análisis básico de variable compleja. México: Trillas. 
Marsden, J. y Tromba, A. (2009). Cálculo vectorial. México: Pearson. 
McMahon, D. (2008). Complex variables demystified. USA: McGraw-Hill. 
Spiegel, M. (2011). Variable compleja. México: McGraw-Hill. 
Zill, D. y Shanahan, P. (2008). A first course in complex analysis with applications. USA: Jones 
& Bartlett Publishers. 
http://caicedoteaching.wordpress.com/2008/12/23/275-harmonic-functions-and-harmonic-conjugates/http://caicedoteaching.wordpress.com/2008/12/23/275-harmonic-functions-and-harmonic-conjugates/
http://www2.ph.ed.ac.uk/~bjp/vc/vc.pdf
http://www.amazon.com/Joseph-Bak/e/B001KDEJZ8/ref=ntt_athr_dp_pel_1
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