Ley de inducción - Arturo Lara

Vista previa del material en texto

Ley de inducción, de Faraday
Los resultados generales que se han obtenido hasta ahora pueden resumirse en las cuatro ecuaciones diferenciales fuente para campos vectoriales:
V-E= —	V-B = 0
eo	(17-1)
VxE = 0	VxB = iu0J
según se desprenden de(4-10), (5-4), (15-12) y (16-3). Se cuenta también con (12-13), que expresa la conservación de la carga, y con (14-32) que da la fuerza sobre una carga puntual en función del campo eléctrico y de la inducción magnética:
V-J+-^=0 F = ^(E + vXB)	(17-2)
Las ecuaciones (17-1) forman dos conjuntos completamente independientes, uno para E y otro para B, sin implicar conexión alguna entre ambos campos vectoriales. Faraday sospechó que en realidad existía cierta relación entre estos campos, por lo que diseñó muchos experimentos para tratar de demostrarlo. Por fin, aproximadamente en 1831 pudo lograrlo, aunque sólo fuera para el caso en el que las cosas cambian con el tiempo, es decir, para un situación no estática. Henry también encontró el mismo resultado en forma independiente, pero se le ha dado el nombre de ley de inducción de Faraday o más simplemente de ley de Faraday.
Todas las ecuaciones (17-1) se obtuvieron por el estudio de campos estádicos. Unicamente en el caso de la derivación de la ecuación de continuidad se consideraron, aunque sólo en forma breve, algunos casos dependientes del tiempo. Para poder seguir adelante, lo más conveniente es suponer que las ecuaciones (17-1) son también válidas para casos no estáticos, a menos que la experimentación indique que deban ser modificadas. En este capítulo se podrá ver que una de ellas debe cambiarse a fin de tomar en cuenta nuevas circunstancias.
325
326
Ley de inducción, de Faraday
17-1 Ley de Faraday
Se considera aquí sustancialmente la misma situación esperimental que utilizó Faraday, aunque hasta cierto punto simplificada. Supóngase que se tiene un circuito cerrado, C, formado por un alambre conductor como el que se muestra en la figura 17-1. Supóngase también que existe una inducción B, de manera que existe un flujo $ a través de la superficie S encerrada por C. Si se escoge una dirección arbitraria de recorrido de C, como la que se indica con la flecha, queda definida la dirección del elemento de superficie da, de acuerdo con la figura 1-24, por lo que se puede así obtener 4> a partir de (16-6) ;<£ será positivo para la dirección que se muestra en la figura. Se supone que no existen baterías ni otras fuentes de fem en el circuito.
Si el flujo a través de C es constante, de modo que d<&/dt=Q, entonces puede observarse que no existe corriente en el circuito. Sin embargo, Faraday encontró que si el flujo no es constante a través de C, de modo que d <&/dt #= 0, entonces existe una corriente provocada en C. Se dice que esta corriente fue “inducida” por el cambio de flujo, por lo que el valor numérico de la corriente depende de la resistencia del circuito, por lo que es más conveniente expresar el resultado cuantitativo del experimento en función de la fem inducida, Es decir, el trabajo realizado por unidad de carga como quedó definido en (12-22). Resulta que
’ind dt
(0-3)
lo que viene a ser la ley de Faraday. Dado que &¡ncj se mide en volts, a veces también se le llama voltaje inducido o solamente el voltaje; otro nombre que se le suele dar es el de electro- motancia inducida.
El flujo 4* puede cambiar por diversas razones: la inducción B puede variar con el tiempo, el circuito puede moverse por traslación o por rotación encerrando así diferentes valores de B, o bien puede haber una combinación de ambos efectos. Una experimentación muy extensa ha demostrado que (17-3) es válida cualquiera que sea la cusa de d <bjdt. Se puede observar también que no es necesario que B sea diferente de cero en todas las partes de la superficie S, pudiendo anularse en algunas porciones de S; aun en estos casos (17-3) sigue siendo aplicable. Más aún, la forma(17-3) de la ley de Faraday sigue siendo válida incluso en presencia de materia. Ya que no se estudiarán sistemáticamente los efectos magnéticos sobre la materia hasta el capítulo 20, se supondrá que todos los materiales hasta entonces son “no magnéticos”, es decir, que tienen las mismas propiedades magnéticas que el vacío.
Figura 17-1 El flujo a través de este circuito es positivo.
Ley de Faraday
327
Figura 17-2 La dirección de la corriente inducida cuando la magnitud de B está (a) aumentando y (ó) disminuyendo.
El signo negativo que se incluye en (17-3) representa la “dirección” o “sentido” de la fem inducida en comparación con el sentido original arbitrariamente elegido para el recorrido por C. Este sentido queda descrito de una manera más conveniente por la ley de Lenz: la fem inducida (y, por lo tanto, la corriente inducida) tiene un sentido tal que tiene a oponerse al cambio que la provoca. Las palabras claves a recordar de esta ley son oponerse y cambio: en otras palabras, no es el valor absoluto de «L ni su signo lo que aquí importa, sino la manera en que cambia, (cuando se enuncia de esta manera, se puede observar que ley de Lenz viene a ser un ejemplo del principio de Le Chatelier, que describe la respuesta de un sistema en estado de equilibrio estable a efectos externos que tiendan a alterar ese estado.) Para ilustrar la aplicación de la ley de Lenz, por simplicidad considérese un circuito que es fijo en forma, tamaño y posición, de manera que únicamente puede haber una variación de d> si cambia B. La figura 17-2 muestra el caso, y en ella se ha elegido como dirección de recorrido de C aquélla para la cual es positivo. Primero se supone que B está aumentando; en este caso d <1> ¡dt es positivo y, según (17-3), &¡nd debe ser negativa. Esto significa que &¡nd será opuesta a la elección original de recorrido por Cy, por lo tanto, quedará en el“sen- tido” de las flechas dobles de (a) en la figura; esta misma será la dirección de la corriente inducida Zind tal como se ilustra. [No necesariamente debe considerarse que &jnd está localizada, como podría inferirse de la posición de su símbolo, ya que (17-3) describe el efecto total sobre un circuito macroscópico.] Considérese ahora la concordancia entre estos resultados y la ley de Lenz. Dado que 0 está aumentando, la corriente inducida tenderá a oponerse a este cambio tratando de hacer disminuir el flujo por medio de la producción de líneas de B opuestas al sentido positivo de la normal a la superficie, es decir, hacia “adentro” del circuito. Las curvas punteadas muestran las direcciones generales de las líneas de B producidas por /ind> obtenidas de acuerdo con la regla de la mano derecha que siguió a (14-6), y puede observarse que en realidad representan una tendencia a disminuir el flujo a través de
And
B (saliendo)
Figura 17-3 La barra conductora se mueve hacia la derecha a velocidad constante.
328
Ley de inducción, de Faraday
C. Así, las dos proposiciones llevan a la misma conclusión cualitativa. En la parte (b) de la figura se ilustran los resultados obtenidos cuando se supone que [B] está disminuyendo. Así, sigue siendo positivo pero decreciente, de modo que d<b/dt es negativo y &jnd es positiva, es decir, en el mismo sentido que el de recorrido original por C. La dirección de /ind en este caso es tal que produce líneas de B que tienden a aumentar el flujo a través de la superficie encerrada, es decir, se opone al cambio, de acuerdo con la ley de Lenz.
Antes de expresar la ley de Faraday en función de los campos, considérese un ejemplo que puede ser analizado cuantitativamente de manera sencilla.
Ejemplo
La figura 17-3 muesta una barra conductora que descansa sobre otro conductor doblado en forma de U. Un agente externo mueve la barra hacia la derecha a velocidad constante, v. Existe una inducción constante, B, que es normal a la página y sale de ella. Por lo tanto, el circuito C viene a ser el rectángulo de lados 1 y x. Tómese el sentido de recorrido por C en el sentido positivo de la superficie es saliendo de la página. De acuerdo con (16-6), el flujo a través de C es
De (17-3) se obtiene la fem inducida yes
= -«/«>	i'7’5)
siendo negativa, es decir, en el sentido de las manecillas del reloj. Esta también será la dirección de /ind, tal como se muestra. Para comparar esto con la ley de Lenz, se puede observar que aumenta a medida que aumenta x. Así,/jnd tenderá a que rb disminuya produciendo líneas de B que, dentro del circuito, estén dirigidas hacia adentro de la página, en total de acuerdo con el sentido de /ind que se encontró arriba y que se muestra en la figura. La magnitud de la fem inducida es constante porque r es constante. Pero, a medida que aumenta x el contacto que forma el circuito es más largo, por lo que la resistencia aumenta. Por lo tanto, la corriente inducida disminuye a medida que aumenta la superficie encerrada por el circuito.
De (12-23) puede observarse que la existencia de la fem inducida puede interpretarse como indicativa de la presencia de un campo eléctrico inducido, Eind, no conservativo a lo largo del alambre, de modo que también se puede expresar (17-3) en la forma
(17-6)
En (9-21) se vio que las componentes tangenciales del campo eléctrico son continuas, y en las siguientes secciones se verá que eso sigue siendo correcto en este caso. Por lo tanto, el campo eléctrico justo afuera del alambre será el mismo que adentro, de tal forma que (17-6) es también aplicable a una trayectoria muy próxima al circuito y fuera de él. De hecho, (17-6) ya no contiene ninguna característica específica del alambre, por lo que es lógico suponer que (17-6) representa una ley física general que relacionad campo eléctrico inducido con el flujo cambiante y que por lo tanto se puede aplicar a cualquier curva cerrada, sea o no que existe ahí un circuito capaz de llevar una corriente inducida. Más aún, para cualquier
Medios estacionarios
329
punto del espacio, el campo eléctrico total puede expresarse como la suma de una parte conservativa, Ec, y una parte no conservativa, Ein d, es decir, E = Ej. +E¡nci, con lo que se tiene
(j)E-ds = Ef-ds + (£Eind -ds	(17-7)
Pero, de acuerdo con (5-5), la primera integral es cero para el campo conservativo, por lo que, al combinar (17-7) y (17-6) se obtiene una expresión que relaciona el campo eléctrico total E con el flujo cambiante:
Aquí se tomará a (17-8) como el enunciado final de la ley de Faraday expresada en función de los vectores de campo, y es válida para cualquier trayectoria cerrada C y para cualquier motivo por el que pueda variar <í>. Debido a las diversas posibilidades para la variación del flujo, es conveniente dividir el subsecuente estudio de (17-8) en dos grandes categorías, dependiendo de si el medio se encuentra en reposo o en movimiento.