Ecuaciones de Maxwell - Arturo Lara

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Ecuaciones de Maxwell
Desde que se hizo el último resumen al principio del capítulo 17, se ha añadido la ley de Faraday y se ha definido el vector H como resultado de haber incluido los efectos magnéticos de la materia. Por lo tanto, todos los resultados obtenidos hasta aquí se pueden resumir en las siguientes ecuaciones:
V-D = py V-B = 0
3B	(21-1)
VXE=-~	VxH = Jf
dt	J
según (10-41), (16-3), (17-30) y (20-29). Estos vectores de campo se relacionan entre sí y con la materia por medio de (10-40) y (20-28): D = e0E + P y H = (B/p0) —M. Además, se cuenta con la ecuación de continuidad (12-19) que describe la conservación de la carga Ubre:
V.J/+^=0	(21-2)
Como ya se hizo notar con anterioridad, se ha supuesto que estas ecuaciones siguen siendo válidas cuando los campos varían en el tiempo aun cuando, a excepción de la ley de Faraday, fueron obtenidas a partir de leyes de acción a distancia, que describen situaciones independientes del tiempo.
Una de las grandes contribuciones de Maxwell ala teoría electromagnética consistió, primero, en señalar que dos de las ecuaciones de (21-1) son incompatibles con la conservación de la carga según se enuncia en (21-2), y después, demostrar que esta situación puede resolverse por medio de la introducción de una “corriente” más.
20- 1 Corriente de desplazamiento
Como se enuncia en (1-49), la divergencia del rotacional de cualquier vector es siempre igual a cero. Si se calcula la divergencia del rotacional de H según se expresa en (21-1) y se utiliza (21-2), se obtiene
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V-(VXH) = V-JZ=-^	(21-3)
Dado que por lo general se debe esperar que (dpfjdty^ 0, se observa una contradicción
fundamental entre (21-3) y el requisito de (1-49).
Para remediar esta situación, Maxwell supuso que de hecho, la ecuación para VX H
todavía no estaba completa, sino que le faltaba otra “densidad de comente”, es decir,
supuso que dicha ecuación en realidad debe ser de la forma
VXH = J/ + Jí/	(21-4)
siendo el término adicional que hacía falta. El objetivo es, pues, encontrar J¿.
Al sustituir (21-4) en (1-49) y utilizar (21-2) y A D = p¿, se obtiene
dm	A
V-(VxH) = O = V-J/+V-Jd=--^ + V-Jrf=-^V-D + V-J¿
de manera que
= 0	(21-5)
ya que se puede intercambiar el orden de la derivación parcial. Por lo tanto, sin importar
lo que Jd pueda ser, se sabe que debe satisfacer (21-5). Desde luego, la suposición más
simple es que el término entre paréntesis es igual a cero; de acuerdo con ello, Maxwell
supuso que
(21-6)
de modo que (214) puede también expresarse como
VXH=Jy+®	(21-7)
siendo así completamente consistente con (21-2). Nótese también que (21-5) se puede
satisfacer en general si se escribe = (3D/Ar) +VX G, donde G es algún vector arbitrario;
sin embargo, todavía no se ha encontrado que sea necesario hacerlo así, por lo que sólo
complicaría las cosas innecesariamente manejar este término extra.
A esta nueva densidad de corriente, Jj, Maxwell le dio el nombre de comente de
desplazamiento. Este concepto tiene grandes consecuencias y resulta necesario más
adelante para hacer que los resultados que se obtendrán estén de acuerdo con la experimenta-
ción y, como se verá en el capítulo 24, también resulta esencial para la existencia de las
ondas electromagnéticas.
Ahora que se ha modificado la forma de A X H, se hace necesario investigar cómo
se afectan algunos de los resultados que dependen de ella. En primer lugar, la forma
integral de la ley de Ampere para H se obtuvo al combinar (21-7) con el teorema de Stokes
(1-67), resultando
$H-ds = f (Jf+J¿)-da= j Jf-da+ J* ~^’^a
If, ene + ^d, enc
(21-8)
Corriente de desplazamiento
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Figura 21-1 Vista de perfil de un capacitor de placas paralelas en proceso de carga.
donde Iq enc es la corriente de desplazamiento total encerrada por la trayectoria de integración. Cuando D escomíante, 9D/9/= 0, por lo que (21-8) se reduce muy apropiadamente a la expresión ya anotada (20-32).
Otro resultado importante que depende de ñ X H es la condición de frontera para las componentes tangenciales de H en una superficie de discontinuidad de propiedades. Si se sustituye (21-7) en el resultado general (9-13), se obtiene
ñX(H2 —H])= lim
,/t	9D\
(21-9)
Como antes, se puede utilizar la análoga de (15-14) para corrientes libres para obtener lim/, 0(ZzJy) = Ky. Lo que es más, tal como se hizo antes de (17-13), es de esperarse que 9D/9f sea finito a medida que la capa de transición se reduce a un grosor cero, de modo que h -+0, /z(9D/9í) ->0 y (21-9) se vuelven ñ X (H2 - HO = Ky, que no es sino (20-30) de nuevo. Por lo tanto, la introducción de la corriente de desplazamiento no ha cambiado esta condición de frontera, por lo que las componentes tangenciales de H cambiarán sólo como consecuencia de la existencia de comentes superficiales libres.
Ejemplo
Capacitor en proceso de carga. Enla figura 21-1 se muestra una vista de perfil de un capacitor de placas paralelas, circulares, de radio a. Para simplificar, se supone que existe vacío entre las placas y, como ya es usual, se supone también que la separación entre placas es tan pequeña comparada con el radio, que se puede suponer que el campo eléctrico E es uniforme y está confinado enteramente a la región entre las placas. El campo eléctrico está dado por (6-4) como E = (ay/e0)z = (<7/e0 ita2 )z en función de la densidad superficial Oy, la carga total ¿y y la superficie tta2 de una placa. Por lo tanto, en la región entre las placas
D = £„E=-^z	(21-10)
ira
Estos resultados son los que corresponden al caso electrostático en que la carga tiene un valor constante y se encuentra uniformemente distribuida sobre la superficie de las placas. Ahora supóngase que el capacitor se carga a una razón constante dq/dt. Esto puede lograrse por medio de una corriente I = dq/dt que fluye por un alambre muy delgado y largo que coincide con el eje z, como se ilustra. Sin embargo, se desea seguir tratando este caso como si la carga estuviese uniformemente distribuida en las placas, de modo que se pueda seguir utilizando (21-10). En otras palabras, se supone que la carga
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se distribuye sobre la superficie de la placa esencialmente en forma instantánea. Lo que de hecho significa que el capacitor se está cargando tan lentamente que cualquier cantidad apreciable de carga transferida a la placa se le añade en un tiempo muy largo comparado con el tiempo de relajación del conductor, que se estudió en la sección 12-6. Allí se vio que este tiempo puede, a lo más ser del orden de 10~14 segundos en el caso de un buen conductor, de modo que no existe dificultad para suponer que I es lo suficientemente pequeña para que la distribución de carga sea siempre casi la misma que la del caso de equilibrio electrostático, es decir, que se trata de un proceso cu asi estático.
Dado que q no es constante, la corriente de desplazamiento que se obtuvo en (21-6) y (21-10) es
¥ 3D 1 .
J 	-r.	y 1
ai
(21-H)
Así, se tiene el equivalente de una densidad de corriente uniforme entre las placas como se ilustra en la figura 21-2; se utiliza la palabra “equivalente” porque en realidad no existe transferencia de carga real en la región al vacío entre las placas pero, según (21-7), existe un término fuente para el campo magnético. Sin embargo, existe una equivalencia numérica, ya que de (21-11) y (12-6) se encuentra que la “corriente” total entre las placas debe ser
Id = íí = I	(21-12)
Js Js na2
y es por tanto igual a la corriente real total que aporta la carga al capacitor.
Se puede utilizar (21-8) para calcular H. Siendo las placas circulares y estando la corriente / a lo largo del eje z, se tendrá simetría axial con respecto al eje z, por lo que se puede concluir que H es de la forma general H = .Por lo tanto, si se elige una trayectoria de integración circular de radio p con centro en el eje z y perpendicular al mismo, se encuentra que la integral de línea de (21-8) se vuelve ttyl-np como ya es usual, por lo que
ene Jd, enc
2?rp
(21-13)
Resulta de gran utilidad dividir el espacio en las cuatro regiones que se muestran en la figura21-3. La región 1 es el volumen entre las placas del capacitor, y la 2 es el resto del encerrado entre los dos planos paralelos que coinciden en parte con las placas. Las regiones
Figura 21-2 La corriente de desplazamiento entre las placas de un capacitor de placas paralelas en proceso de carga.
Corriente de desplazamiento
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3
4
Figura 21-3
I 2 I
Regiones utilizadas para el cálculo del campo magnético.
3 y 4 representan el resto del espacio; / es diferente de cero en ellas.
En las regiones 3 y 4, /y>enc = /, mientras que Id,me ~ 0, con 1° Que se tiene
^<p3(p)
(21-14)
Para una trayectoria en la región 2, /y enc = 0, mientras que Id, enc ~¡d~ I, de acuerdo con (21-12), de modo que
(p>a)
(21-15)
Aunque (21-14) y (21-15) se parecen, fueron encontradas usan do fuen tes diferentes — una corriente real y una corriente de desplazamiento, respectivamente. Por último para la región 1, en la que p < a, se tiene que /y, enc = 0 y Id, enc/Id = Id,enc!T = tt p2 ¡Tta2 = p2/ a2, de modo que (21-13) da otra expresión de aspecto familiar:
A/P = Ip
2 tí a2	2ita2
(P<a)
(21-16)
H„i(p) =
Si se consideran primero los valores de p > a, se observa de los resultados anteriores que a medida que se pasa de la región 3 a la 2 y después de la 2 a la 4, las componentes tangenciales de H son continuas, como era de esperarse según (20-31), ya que no existen corrientes libres en estas fronteras imaginarias. Por otro lado, si la corriente de desplazamiento no se hubiera incluido en este caso de simetría axial, se hubiera llegado a la conclusión de que H = 0 en la región 2 (y en la 1 también); esto hubiera dado una discontinuidad en las componentes tangenciales de H a través de la frontera entre 3 y 2, donde no existe ninguna corriente real, en contradicción directa con todas las suposiciones y experiencias. Maxwell también consideró este problema y fueron precisamente este tipo de argumentos los que le convencieron de la necesidad de la existencia de la corriente de desplazamiento.
Si ahora se consideran los valores de p < a, sí existe una discontinuidad en las componentes tangenciales de H al pasar de la región 3 a la 1, por decir algo, y de (21-16) y (21-14) se encuentra que la diferencia es
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. ¡gura 21-4 Cálculo de la densidad de
corriente superficial sobre la placa de un
capacitor en proceso de carga.
(21-17)
y, según (20-31), esto debe ser igual a Ky X ñ, que en este caso es KyX ñ3 -> i = Ky X z. Para poder verificar esto se necesita conocer Ky, que puede encontrarse con la ayuda de la figura 21-4. En un tiempo At, una carga ¿±q=I&t se deposita en las placas. Por suposición, ésta se distribuye “instantánea” y uniformemente en las placas. Por simetría, Ky debe ser radial y por lo tanto debe tener la forma Ky — Kf(p)p. Como se muestra en la figura, la corriente superficial a través del círculo de radio p debe distribuir la carga que llega al resto de la placa en el exterior del círculo sombreado de radio p. Por lo tanto, en un tiempo At la carga total transferida a través de este círculo se obtiene de la figura 12—5a y resulta ser
f Kfds= Kfit 2vp = Oj(va2 — vp2)
= (va2 — wp2) = JAtí 1 —
va2	\ a2 /
y, por lo tanto, Ay = (7/2 7rp)[ 1 —(p2/a2)] de manera que
k/=Wp=¿(‘-^)p	(21-18)
Así, por medio de (1-76) se encuentra que Ky X z = Kfp X z = ~K^ = (I/2vp)](p2 /a2)-l]<p, que es exactamente el miembro derecho de (21-17). por lo tanto, las condiciones de frontera quedan precisamente satisfechas, pudiéndose hacer notar de nuevo que ello no hubiera sido posible si no se hubiera incluido la corriente de desplazamiento como una fuente de H.
Si Jy = 0, entonces VX H = dD/dt, por lo que todavía queda una posible fuente de H. En esta forma se encuentra cierta analogía con la ley de Faraday dada por (21-1), que puede enunciarse a grandes rasgos diciendo que la ley de Faraday describe un campo eléctrico producido por un vector de campo magnético cambiante, mientras que (21-7) describe un campo magnético producido por un vector de campo eléctrico cambiante.