3 Inducción axial de una corriente circular - Arturo Lara

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13- 3 Inducción axial de una corriente circular
Como otro ejemplo de corriente filamental, considérese una corriente 7' que circula por la circunferencia de un círculo de radio a como se ilustra en la figura 14-5. Para mayor pre-
Figura 14-3 Cálculo de la B debida a una corriente recta de longitud finita.
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cisión, se supone que el círculo descansa sobre el plano xy con su centro en el origen. Se toma el punto de campo sobre el z, de modo que se encuentra sobre la recta normal a la superficie limitada por la corriente.
Se puede observar que r =zz. mientras que r =x'x +yy —a (cos q>' X + sen <p' y); se utiliza el ángulo polar q>r para localizar el punto fuente, pero se expresa su vector de posición en función de los vectores unitarios rectangulares constantes. Por lo tanto, R =- a cos <pf x - a sen q>y + z i, de modo que R2 —a2 + z2. Además, ds =dr =ad (- sen x + cos ip'y), por lo que se tiene
ds' X R = a d<p' [ z(cos <p'x + sen <p'y) + ¿zz ]
al usar (1-28). Substituyendo estos valores en (14-2) se obtiene
M'o [z(cos<p'i+sen<f>'y) + ai]d<p' = fa/'a2
4’ •'o	(a2 + z2)3/2	2(«2 + z2)3/2Z	’ '
donde los componentes x y x se han integrado dando cero. Por lo tanto, la inducción es enteramente a lo largo del eje z, como resulta evidente por la simetría de la situación, que se ilustra en la figura 14-5. En el centro del círculo (z =0) la inducción es simplemente
R
^centro
2a
(14-19)
A grandes distancias del círculo, es decir, para z » a, (14-18) se aproxima a
B(z>
-
2z3 Z
(14-20)
y varía en relación inversa al cubo de la distanciaz. Desde este punto de vista, resulta similar al campo eléctrico de un dipolo, como se vio en (10-35). Esta similitud no es accidental, como se explicará después en el capítulo 19. Por ahora, considérese una de las aplicaciones de este resultado.
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Figura 14-5 Cálculo de la inducción axial de una corriente circular.
Ejemplo
Inducción axial de un solenoide ideal. Supóngase que se tiene un cilindro de longitud L y sección circular de radio a. Si se enrolla un alambre a su alrededor para un total de N “vueltas”, el dispositivo resultante recibe el nombre de solenoide, y se encuentra ilustrado en la figura 14-6 (solamente se muestran unas pocas vueltas en el corte.) Si el alambre fuera muy delgado y se enrollara muy apretadamente en cada vuelta, como una primera aproximación se podría despreciar el paso del enrollado, siendo equivalente a un conjunto de N comentes filamentales circulares de radio a. (A menudo a esto se le llama “solenoide ideal”.) Puede entonces obtenerse B en un punto P sobre el eje del solenoide con la suma de las contribuciones de cada una de las vueltas circulares, calculadas según (14-18). Considérese una pequeña porción de solenoide de longitud dzQ situada a una distancia zQ de uno de los extremos. Si n — N/L es el número de vueltas por unidad de longitud, habrá dN = ndzQ anillos circulares en esta pequeña porción, cada uno de los cuales se encuentra aproximadamente a la misma distancia z =zP - z0 del punto de campo P. Así, de (14-18) se desprende que su contribución a la magnitud de B en P será
líora2ndzQ
2[a2 + (zP-ZQ)2^/2
(14-21)
de acuerdo con (14-4). El valor total de B en P será entonces
B =
cl iiQl'a2ndzQ
0 2[u2 + (zP-z0)2]3/2
1^1'na2 CL — Zp	dz'
2	(a2 + z'2)3/2
Poní' I (L — Zp)	Zp
2 í [u2 + (L-zp)2],/2	(a2 + zp2)'/2
(14-22)
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555500			
H	l	H
Figura 14-6 Sección de un solenoide ideal con su eje sobre el eje z. z
donde se tomó z =z$ - zp y se utilizó el valor dado para la integral en (14-15). Este resultado puede expresarse también de manera muy sencilla en función de los ángulos cq y Q>> definidos en la figura ; se observa que se tiene
B = |jti0zi//(cosoí2 + cosoíi)	(14-23)
Si el solenoide es infinitamente largo, entonces tanto cq como cq se aproximan a cero, con lo que (14-23) se reduce a
B = fiQnl'
(14-24)
siendo independiente de la localización de P