4 Reflexión total - Arturo Lara

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24- 4 Reflexión total (nT >n2, 6¡>6C)
En breve se verá la razón para este título. En este caso 6t no es un ángulo real, pero como ya se tienen resultados expresados completamente en función de 0Z- éstos se pueden utilizar directamente. Resultaría conveniente, para facilitar la interpretación del resultado, el ser más específico en cuanto al sistema de coordenadas. Tómese el plan o xy como la superficie de separación y el plano xz como el plano de incidencia. La figura 25-15 muestra esta situación, donde el eje y apunta hacia afuera de la página. Se puede observar que con esta elección kT~kx y kn = kz, de modo que el campo eléctrico incidente tiene la fonna
E,- = E0,e'(k--r~wí> = E0/e'^<xsentf-+zcostf')-wfl	(25-53)
según (25-12). La onda transmitida estará dada por
E, = EOze'(k,r_"í) = EOz^'^x+^r-<JÍ>	(25-54)
y según (25-15) se tiene que ktx = ktT - kx sen 0Z. La cantidad entre corchetes en (25-16) es ahora negativa, por lo que es preferible escribir ktn2 en la forma
Reflexión total (n, >«2>
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r.2 _ ¡l2 _ _ e2
Ktn Ktz
n \ 2
— I sen2#. — 1
"2/
(25-55)
por medio de (25-20). Por lo tanto, ktz = ± ik, haciendo que e iktzz - e + kz. El signo positivo en el exponente daría una onda que se aumentaría indefinidamente a medida que viajara en la dirección z positiva, por lo que se le descarta y se escribe ztz = iK, donde
K=k2
n \ 2
— I sen2#. — 1
«2/
sen#. \2 sen #c I
(25-56)
con el empleo de (25-4). Si se sustituyen estos diversos resultados en (25-54), se obtiene la expresión para el campo eléctrico transmitido en el medio de menor índice de refracción:
E, = E0,e
— Kzgi{k\x sen Oj-wt)
(25-57)
Esta es una onda que viaja en la dirección x, es decir, paralela a la superficie de separación, pero cuya amplitud disminuye en la dirección z, perpendicular a la dirección de propagación. La velocidad de la onda es
v -	- c - (c/nJ _/senM
2x /^sen#. HjSen#.	^sen#JÜ2
(25-58)
donde v2 es la velocidad normal de una onda en este medio. Puesto que 6¿ > #c, resulta v2x < v2, Por 1° que esta onda viaja más lentamente que una onda plana usual; (25-57) no es una onda plana, en el sentido de que su valor no es constante en un plano perpendicular a la dirección de propagación. Más aún, la velocidad de onda v2x no es una constante que dependa exclusivamente de las propiedades del medio, sino que también depende del ángulo de incidencia.
La amplitud decrece exponencialmente con el aumento de la profundidad de penetración, disminuyendo por un factor 1/e en una profundidad de penetración 5Z, dada por
(X2/2tt)
[(ni/n2)2^20.- 1 j1/2
(25-59)
512
Reflexión y refracción de ondas planas
donde X2 ~ 2tt/Á72 = Inc/n^a) es la longitud de una onda plana normal en este medio. A esta onda recién descrita se le suele llamar onda evanescente y la figura 25-16 ilustra muy esquemáticamente sus propiedades. Aunque no se indica en la figura, se puede también caracterizar esta onda diciendo que los planos de amplitud constante son perpendiculares a los planos de fase constante. Considérese ahora el campo eléctrico reflejado.
Por medio de (25-56) se encuentra que (25-31) y (2545) se pueden expresar como
Z2cos^-¿Zi(/f/A:2)
Z2 cos 0¡ + iZx(K/ k2)
( Er\ _ Zj cos9¡ — iZ2(K/k2)
\~E¡ ” Z^cosOi + iZ/K/k^
Nótese que ambas tienen la misma forma general:
Er _ A-iB _ (A2 + B2)1/2e~,<p
E¡ A + iB (A2 + B2)i/2e!*
(25-60)
(25-61)
donde tan = B/A. Por lo tanto, en ambos casos \Er/E¡ I = 1, de modo que la onda reflejada tiene la misma amplitud que la onda incidente. Como se verá en la siguiente sección, la energía reflejada es también igual a la energía incidente; de ahí el nombre reflexión total que se aplica a este caso.
Sin embargo, la aparición del factor e ~ 2i* en la relación significa que existe un cambio relativo de fase de 2<p de la onda reflejada con respecto a la incidente. Los ángulos que se calculan a partir de (25-60), (25-56) y (25-35) están dados por
tan<p± =
Z^K/k2) _ / iixn2 \ [(”i/rc2)2sen20¿-l]1/2
Z2cos#( \ ¡i,2nx)	cos0¡
tan <p|| =
Z2(X/<;2) = / fe«i \ [(«,/n2)2sen2fl,-l]'/2
ZiCOS0¡ \	/	COS0(
(25-62)
(25-63)
Puede notarse que estos dos ángulos son diferentes y que, de hecho,
/ n{n2 V
tan<p± = I —- tan<p|(
\ P-2nl /
(25-64)
1
Figura 25-16 Comportamiento esquemático de una onda evanescente.
Relaciones energéticas
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Así, para el caso en que	resulta que tan ipi < tan puesto que n2 <«i y por
ello ipq < ip||. Debido a la similitud entre el plano que contiene a E¿ en la figura 25-8 y el plano que se muestra en la figura 24-7, se puede concluir que si una onda polarizada linealmente incide con el ángulo-superior al ángulo crítico, sus componentes perpendicular y paralela se reflejarán con distintos corrimientos de fase, por lo que la onda reflejada resultante estará polarizada elípticamente, pudiente ser analizada por los métodos utilizados en la sección 24-7.