Teoría de la óptica radial o geométrica - arturo lara morales

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7.6 Teoría de la óptica radial o geométrica
Tal como se mencionó en la sección 7.1, el análisis de las fibras multimodo se facilita utilizando el método de la óptica radial o geométrica. El objetivo de esta sección es precisamente estudiar dicha técnica.
Las longitudes de onda que se emplean para transmitir luz en fibras ópticas están en el rango de 0.8 a 1.6 mieras (véase la Fig. 7-2). Por otra parte, el diámetro del núcleo de una fibra puede medir entre 10 y 200 mieras, aproximadamente. O sea que, en términos de longitudes de onda, el núcleo es visto por una onda de luz como si fuese una estructura muy grande. Esto permite estudiar el comportamiento de las ondas de luz en el interior de una fibra óptica como si se tratase de rayos que se reflejan y se refractan en la frontera núcleo-revestimiento. Dicho de otra manera, los frentes de la onda* electromagnética óptica son “vistos” como líneas rectas por la apertura o el objeto en el que inciden, debido a que éste es muchas veces más grande en términos de longitudes de onda; y bajo estas circunstancias, la onda de luz puede ser representada por una onda plana (Fig. 7-18).
Cuando un rayo de luz viaja por un medio con índice de refracción n t (por ejemplo, en el núcleo de la fibra), su velocidad v, es inferior a la que tendría en el vacío (c). Ambas velocidades están relacionadas por la ecuación:
frentes de la onda
rayos de luz, que
indican la dirección
en que fluye la
energía
Fig. 7-18 Los frentes de una onda plana son líneas rectas paralelas entre sí y perpendiculares a los rayos empleados para indicar la dirección de propagación.
♦ Se considera el “frente de una onda” como el lugar geométrico de todos los puntos que tienen la misma fase. En el caso de una onda plana, el frente de onda es una línea recta perpendicular a la dirección de propagación. Refiérase también a la Fig. 4-1.
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O sea que el índice de refracción puede ser interpretado como cuántas veces más grande es la velocidad de la luz en el vacío que en el material 1. Por ejemplo, el aire, el vidrio y el diamante tienen, respectivamente, índices n igual a 1.00, 1.50 y 2.42.
Si el rayo de luz que viaja por ese medio con índice de refracción nx se encuentra de pronto con un medio diferente (por ejemplo, con el revestimiento de la fibra) de índice se producen los fenómenos de reflexión y refracción (Fig. 7-19), Es decir, una parte del rayo es reflejada y regresada al medio de origen (72 0, y el resto es desviado (o refractado) al penetrar en el segundo material (ti2) y viajar por él. Por lo tanto, la velocidad de los rayos incidente y reflejado es igual a c/nv mientras que la del rayo refractado es ligeramente mayor e igual a c/n2. El rayo reflejado forma con la frontera un ángulo igual al del rayo incidente con la misma frontera; y ambos rayos, junto con la línea normal (punteada en la Fig. 7-19) a la superficie de la fontera, quedan en el mismo plano, que a su vez es perpendicular a dicha superficie. Este tipo de reflexión se denomina reflexión interna, pues el rayo incidente se refleja en un material menos denso (7i2) para regresar al más denso (n} > n2).
El ángulo que forma el rayo refractado con la frontera se puede deducir a partir de la ley de Snell, que de acuerdo con los ángulos definidos en la misma Fig. 7-19, establece que
«jCOsOj = 7/2cos92	(7-66)
De la ecuación anterior se puede despejar el ángulo de refracción, 02:
02
ang eos
n\
	COS0J
772
<7-67)
Como «|/«2 > 1, conforme 0j disminuye, el ángulo de refracción 02 se aproxima a cero grados. Cuando esta última condición es alcanzada, ya no hay refracción y se dice que el rayo tiene reflexión intema total. Al ángulo
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Fig. 7-19 Reflexión y refracción de un rayo de luz en la frontera de dos materiales dieléctricos.
0, que elimina la posibilidad de refracción se le da el nombre de ángulo crítico de incidencia y se denota como 0 . Para todo ángulo de incidencia 0[ menor que el ángulo crítico 0c , la reflexión interna es total.*
De acuerdo con lo anterior, el ángulo crítico se alcanza cuando 02 en la Fig. 7-19 vale cero. Es decir, a partir de la ec. (7-66):
i
e2=o
angcos
n2
«i
(7-68)
Ahora bien, al ser el ángulo de incidencia 0j menor que 0c, el ángulo del rayo reflejado totalmente también será 01 < 0 Este rayo se convertirá en el rayo incidente en la frontera opuesta, y como 0, seguirá siendo menor que 0 , nuevamente habrá reflexión interna total, y así en forma sucesiva. De modo que el rayo viajará a lo largo de la fibra rebotando una y otra vez dentro de una banda, que es precisamente el corte transversal del núcleo de la fibra (Fig. 7-20). Cada vez que el rayo haga contacto con la frontera, al
* Con el fin de evitar confusiones innecesarias, nótese que algunos textos definen los ángulos de incidencia y de refracción con referencia a la normal a la superficie de la frontera. Si se les representa, respectivamente, como <1^ y ó2, simplemente se cumple que = 90° - 0p y 4>2 = 90° - 02. En este caso, la ley de Snell toma la forma sen = n2 sen 4>2, y la reflexión intema es total cuando es mayor que el ángulo crítico. Lo importante es entender el concepto y estar consciente de la definición adoptada para los ángulos.
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Fig. 7-20 Ilustración de la reflexión interna total de un rayo de luz dentro de una fibra óptica, cuando 0t es menor que el ángulo crítico de incidencia 0 .
reflejarse sufrirá un cambio de fase. En todo curso básico de teoría electromagnética se estudia este efecto, subdividiendo a la onda incidente en sus componentes normal y paralela al plano de incidencia. Si se denota, respectivamente, al desfasamiento de las componentes normal y paralela como Sn y 5 , se puede demostrar que
5
p
2 ang tan
n sen 0¡
(7-69,)
2 ang tan
eos2 0
sen 0
(7-70)
n
en donde n = n{/n2.
Ejercicio 7-8 Un rayo de luz viaja dentro de un material con índice de refracción igual a 1.48 y que colinda con otro material cuyo índice es igual a 1.46. Encuentre el rango de valores que puede tener el ángulo de incidencia para garantizar que la reflexión interna sea total.
Teoría de la óptica radial o geométrica 431
Solución
Primero se calcula el ángulo crítico de incidencia, a partir de la ec. (7-68):
1.46
0.. = angcos	= 9.43°
1.48
Por lo tanto, si 0] < 9.43°, la reflexión interna es total y no hay rayo refractado.
Ejercicio 7-9 Con los mismos datos del ejercicio anterior para n1 y n2, obtenga una gráfica, en función del ángulo de incidencia del desfasamiento que sufrirían las componentes normal y paralela de la onda de luz al hacer contacto con la frontera y reflejarse nuevamente hacia el medio n}.
Solución
En realidad, simplemente se pide graficar las funciones dadas por las ecs. (7-69) y (7-70), considerando que 0! puede torpar valores desde 0o hasta 9.43°, que es el ángulo critico. De manera que las funciones a graficar son:
5
n
2 ang tan
n sen 0!
n Jn2 eos2 0i - l
8	= 2 ang tan 			
y	sen 0|
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con n - n{/n2 = 1.48/1.46 = 1.0137.
En las tablas siguientes se dan los datos para algunos puntos de ambas gráficas.
	
	go
	
	0°
	180.00°
	180.00°
	T ■
	167.77°
	168.10°
	2° "
	155.40°
	156.04°
	3°
	142.74°
	143.68°
	4°
	129.60°
	130.79°
	
	w
	
	5°
	115.73°.
	117.12°
	6°
	100.72°
	102.25°
	7° V
	83.88°
	85.44°
	8°
	63.70°
	65.11°
	9.4°
	9.10°
	9.35°
Por lo tanto, las gráficas aproximadas pedidas son las siguientes:
Desfasamiento en grados