Reflexión y refracción de - Arturo Lara

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Reflexión y refracción de
ondas planas
En el último capítulo se estudiaron ondas planas de extensión infinita de modo que pudieran considerarse como viajando en un medio infinito. Sin embargo, en una situación real llegará el momento en que la onda se encuentre con otro medio que tenga propiedades electromagnéticas diferentes; por ejemplo, una onda de luz en el aire puede llegar a un cuerpo de vidrio. Por lo general, la onda incidente será capaz de penetrar en el segundo medio hasta cierto punto, y lo que aquí se investiga es cómo quédala situación general cuando se alcance un nuevo estado estacionario. Como se verá, resulta posible resolver este problema a través de las condiciones de frontera que la onda debe satisfacer en una superficie de discontinuidad de propiedades, recordándose que estas condiciones de frontera se obtuvieron directamente de la ecuaciones de Maxwell.
24- 1 Las leyes de la reflexión y la refracción
Se supone que la superficie entre los dos medios es plana e infinita. Se supone también que no existen cargas o corrientes libres sobre la superficie limitante. En ese casólas condiciones de frontera dadas en (21-25) a (21-28) se reducen simplemente a (1) las componentes normales de D y B son continuas, y (2) las componentes tangenciales de E y H son continuas. Pronto se verá que para los objetivos presentes, únicamente se necesita la segunda dc ellas; queda como ejercicio demostrar que se obtendrían los mismos resultados si se utilizara la primera condición relativa a las componentes normales.
Por lo tanto, la situación más general que se puede visualizar corresponde aúna onda incidente que viaja en un medio 1 de parámetros electromagnéticos (jui ,ei ,cq ) que entraen otro medio 2 de parámetros (¿22^2^2)- Aunque resulta bastante fácil encontrar una solución general cuando ambos medios son conductores, la complejidad de los resultados tiende a dificultar la cabal comprensión e interpretación de lo que está ocurriendo. En consecuencia, por ahora se toman ambos medios como no conductores, de modo que todos los vectores de propagación son reales; en la sección 25-6 se estudia brevemente el efecto de la conductividad. Aprovechando la experiencia ajena, se supone desde el principio que la única manera de satisfacer las ecuaciones de frontera es aceptando la existencia de tres ondas: la onda incidente en el medio 1, la onda reflejada también en 1 y la onda
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Reflexión y refracción de ondas planas
transmitida en el medio 2; se utilizan los índices i, ry t, respectivamente, para marcar las cantidades que corresponden a cada una de estas ondas.
Por medio de (24-89) se pueden expresar los campos eléctricos de estas ondas como
E, = Eoze,(k'r-‘v-/> Er = EOre'(Vr~"r')
E, = EOíe/(k'r~‘,’'/)
(25-1)
donde
fc,2 =
2
2_/ Wr \2_ /
r \ t>! /	\ C /
k2 = ( ^t\2_(n2^t\2
(25-2)
habiéndose introducido, por medio de (24-17) y (24-13), la velocidad de fase y el índice de refracción del medio correspondiente; nótese que no se han hecho suposiciones acerca de las frecuencias. Se pueden escribir ecuaciones similares para los campos magnéticos.
El origen del tiempo t en (25-1) es arbitrario; r es el vector de posición de un punto dado con respecto al origen, también arbitrario. Sin embargo, por simplicidad, supóngase que el origen se encuentra situado sobre la superficie de separación, de modo que el vector de posición rB, de un punto sobre la superficie limitante queda también sobre la propia superficie. La figura 25-1 muestra todas estas cantidades, donde también se indícala normal ñ a la frontera, dibujada del medio 1 al 2, siguiendo la convención estándar adoptada.
El campo eléctrico total en un punto dado del medio 1 será Et = Ez + Er, mientras que en un punto del medio 2 será E2 = Ef. En cualquier punto sobre la frontera, donde r = rB, se debe tener que Eltang= E2 tang> 0 sea>
[ EOí e /(k'r«	+ Eore z(k'r*
Jtang
(25-3)
debiendo esto ser cierto para todos los valores de t y todos los xB posibles, donde ty rB pueden variar de manera independiente. Sin importar los valores relativos délas amplitudes Eo, resulta evidente que no se puede satisfacer (25-3) a menos que los valores de todos los exponentes sean iguales. Por lo tanto, se aprecia, en primer lugar, que w;- = cor =	= w
de manera que las tres ondas deben tener todas la misma frecuencia co; en este caso, (25-2) se simplifica a
V = V = (”^)	^2 = (~t9 =k2	(25-4)
De manera similar, se debe tener que kz-rB = krrB = kt-rB; resulta útil tomarla diferencia en pares de éstas para obtener las dos ecuaciones:
(k,—k,)-rB=0	(k,-k,)-r4=0
(25-5)
que demuestran que estas diferencias entre los vectores de propagación deben ser perpendiculares a rB y, por lo tanto, a la superficie limitante; esto es cierto también para el par kr y kf, dado que también tiene (kr — kf)-rB = 0. La primera ecuación en (25-5) relaciona
Las leyes de la reflexión y la refracción
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Figura 25-1 Relaciones en una superficie plana entre dos medios.
entre sí los vectores de propagación incidente y reflejada, por lo que puede llamársele la ley de la reflexión; de manera similar, la segunda es la ley de la refracción puesto que relaciona entre sí las ondas incidente y transmitida (refractada).
El plano definido por ñ y el vector incidente kf recibe el nombre de plano de incidencia, el cual está ilustrado en la figura 25-2. El ángulo formado entre k¿ y la normal es el ángulo de incidencia. Se puede descomponer kz- en sus componentes normal y paralela ala superficie de discontinuidad si se define un vector tangencial unitario, r , que es paralelo a la superficie y está sobre el plano de incidencia; así, se puede escribir
k/ = M+ M	(25-6)
Se puede expresar en forma de componentes cualesquiera otros vectores que no necesariamente se encuentren sobre el plano de incidencia, si se introduce un tercer vector unitario, ñ X f , que se encuentra también sobre la superficie entre 1 y 2 y es perpendicular tanto a ñ como a f, tal como se muestra en la figura 25-3. Se pueden, pues, expresar los otros dos vectores de propagación en la forma
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Figura 25-2 Este es el plano de incidencia.
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Figura 25-3 Los tres vectores unitarios mutuamente perpendiculares.
k^fc^ñ + ^f+^ñxf k, = fc,nñ+fcÍTT+fc,cñXf (25-7)
mientras que
= rBTr+rBcñXr	(25-8)
ya que éste se encuentra enteramente en la superficie y por lo tanto no posee componente normal.
Sustituyendo de (25-6) a (25-8) en (25-5) y recordando que los vectores unitarios son mutuamente perpendiculares de modo que ñr = 0. etc., se obtienen
(k¡T - kn)rBr - krcrBc = 0 (kIT - klT)rBr - ktcrBc = 0	(25-9)
Puesto que rB es arbitrario, (25-9) deber ser cierta también para el caso especial en que r^ = 0, mientras que rBc =# 0, resultando por (25-9) que kKC = ktc - Q, de modo que kr y kf no tienen componentes perpendiculares al plano de la figura 25-2. En otras palabras, los tres vectores de propagación se encuentran sobre el mismo plano, es decir, todos se encuentran sobre el plano de incidencia. Dado que rBT puede ser diferente de cero, a partir de (25-9) se observa que
= ktT = kir	(25-10)
de modo que todos los k poseen las mismas componentes tangenciales. Se puede considerar que las ecuaciones en (25-10) son una segunda versión de las leyes de la reflexión y de la refracción. Se deben estudiar ahora las componentes normales.
Si se recuerda que krc = 0, de (25-7), (25-4), (25-10) y (25-6) se desprende que km2 — kr2 ~krT2 —k2 ~krT2 —k¡2 ~ki2 ~kiri2 y por tanto, krn = + kin. Si se tomara el signo positivo se vería que, según la figura 25-2, la onda reflejada se dirigiría hacia la superficie, como lo hace la onda incidente, mientras que lo lógico es que tienda a alejarse de ella, como se muestra en la figura 25-1. Por tanto, se debe tener que krn - - kin. De manera similar, se encuentra que ktn2 -k2 — ktr = k2 — k¡2. Por lo tanto, la tercera versión de las leyes de reflexión y refracción debe ser
krn = - k¡n ktn2 = k22 ~ k 2	(25-11)
Según (254), kz es un vector de magnitud A;T, y de la figura 25-2 se observa que
kin ~ k! cos	kir= k t sen
(25-12)
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y, po lo tanto, krn = —kj eos 6j, krT = kx sen 0Z-, por (25-11) y (25-10). Puesto que también kr tiene magnitud k^, el ángulo de reflexión se define por
krn = - k{ eos0r k„ = 0r
(25-13)
como se ilustra en la figura 25-4a. Al comparar estas diferentes expresiones de las componentes de kr se concluye que
0r = 0,
(25-14)
de modo que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia. Es así como esta antigua y bien conocida ley de óptica resulta ser una consecuencia directa de las ecuaciones de Maxwell.
En cuanto a la onda transmitida, de (25-10), (25-11), (25-12) y (254) se desprende que
ktT — Aqsen#,
ktn2 = ^2 ~ kfsenfy = k2
1 —í —Vsén2#,
\ ni)
(25-15)
(25-16)
Estos valores son válidos para cualesquiera valores de la relación nx/n2 y del ángulo de incidencia.
En muchos casos resulta de gran utilidad definir un ángulo de refracción 6t para kr cuya magnitud es k2 por medio de
ktT= ^2sen km = ^2cos	(25-VT)
como también puede verse en la figura 25-4Z>. Cuando se combina (25-17) con la ley de
refracción según está expresada en (25-15) y (25-16), y se usa también (254), se encuentra
	que se puede obtener
	
	nlsen0. = n2sen^
	(25-18)
	
	/ n \2 eos2#. = 1 - ( —11 sen20,
\n2)
	(25-19)
Figura 25-4 (a) 0res el ángulo de reflexión. (6) Qt es el ángulo de refracción.
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que tienen consistencia interna, puesto que eos2 0t = 1 — sen2 0t. La primera ecuación (25-18) es conocida como la ley de Snell de la refracción, por haber sido descubierta experimentalmente por él; como se puede observar, esta ley relaciona los ángulos de incidencia y de refracción con los índices de refracción de los medios, resultando ser también una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell vía las condiciones de frontera que se obtuvieron de ellas.
Aún cuando (25-17) define dos cantidades sen 0t y cos 0t, éstas no siempre corresponden a un ángulo físico real 0t. A continuación se estudia cómo ocurre esto y qué se puede hacer al respecto. De (25-18) se encuentra que sen 0t = (nx/n2) sen 0t. Si nx < n2, entonces sen 0t < sen 0¡ < 1 y eos2 0t = 1 - sen2 0t > 0; por lo tanto, 0¡ es un ángulo real y 0t < 0¡. Este caso se encuentra ilustrado en la figura 25-5¡nótese que k2/kx = n2/^i > 1. Si nx > n2, entonces se sigue teniendo que sen 0t - (n1/n2) sen 0¿ > sen 0¿ de modo que 0t > 0¿, mientras que k2/kx < 1. Sin embargo, debe ser cierto también que sen
1, de manera que 0t será un ángulo real siempre que sen 0¿ < n2/nx < 1. Resulta así útil definir el ángulo crítico, 0C, por medio de
sen ¿7,= —	(25-20)
n\
por lo que se puede expresar
sen#.
Sen#'=sen¿ («>>«2)	(25-21)
Por lo tanto, para 0¡ < 0C, sen 0t < 1 y 0t < 0¡. La figura 25-6 ilustra este caso. (Nótese que el más grande de los ángulos 0¡ y 0t se encuentra siempre en el medio de menor índice de refracción.) Si 0¿ = 0C, entonces sen 0t = 1 y 0t ~ ~ ir, por lo que la onda refractada es paralela a frontera, como se ilustra en la figura 25-7; aquí se tiene que k2 <kx.
Figura 25-5 Los tres vectores de propagación relacionados entre sí por las leyes de la reflexión y de la refracción, cuando nx <n2.
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«i > n7 ; e¿ < e,
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Figura 25-6 Los tres vectores de propagación relacionados
entre sí por las leyes de la reflexión y de la refracción,
cuando > n2 y el ángulo de incidencia es menor que el
ángulo crítico.
Puesto que se puede escoger libremente, es posible hacer que 9¿ >0c. En ese caso, según (25-21), sen 6t >1, mientras que cos20f =1— sen20r < 0, lo que es posible para un ángulo real y por consiguiente no se puede dibujar una figura del tipo de las últimas tres. (Puede todavía interpretarse a Bt como un ángulo, siempre que éste sea complejo y de la forma 6t = 'ti 4- ix. Para ver cómo ocurre esto, se utiliza (24-22) para evaluar el seno como sen 6t = (eiet -e~Ldt)/2i=[ei(7T/2^~x	x]/2i = ~ (e~x +é*)=coshx> 1,
como se necesita.) Es por eso que ya no resulta conveniente seguir con 6t; sin embargo, se puede volver a analizar las componentes de kf en función de 0t- por medio de (25-15) y (25-16), ya que éstas son siempre válidas. Por lo tanto, en principio no hay problema para manejar este caso. Sería conveniente estudiar estas dos clases tan amplias por separado, dejando para la sección 25-4 el tratamiento detallado del caso (n^ > n2 ; > 0C).
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Figura 25-7 Los tres vectores de propagación cuando
el ángulo de incidencia es igual al ángulo crítico.
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Todos los resultados obtenidos hasta aquí se han derivado solamente délos términos exponenciales de propagación en la condición única de frontera (25-3), siendo todavía necesario encontrar las relaciones entre los propios campos. E¿ debe estar sobre el plano perpendicular a k¿, pero no se requiere que tenga una orientación particular con respecto al plano de incidencia de la figura 25-2. La figura 25-8 muestra la situación general de una orientación arbitraria de Ez- para un ángulo de incidencia arbitrario. El plano sombreado es perpendicular a kz y por lo tanto contiene a Ez; este plano es también perpendicular al plano de incidencia definido por kz y ñ. Puede verse que es posible expresar E¿ como la suma vectorial
E,-= EZJ_+EZ||	(25-22)
donde Ezq es la componente perpendicular al plano de incidencia y Ez|| es la componente paralela al (en el) plano de incidencia. Resulta que estas dos componentes se comportan de diferente manera en el plano de separación entre los dos medios, de modo que se
Figura 25-8 Definición de las componentes de Ez paralela y perpendicular al plano de incidencia.
E perpendicular al plano de incidencia
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han de considerar los dos casos por separado. Una vez que se encuentre cómo resulta afectada cada una de ellas, se pueden volver a combinar los resultados para encontrar los campos reflejado y transmitido totales, es decir, será posible expresar
Er = E,± + Er|| E, = Eͱ + EÍ||