Fuerza entre elementos de corriente - Arturo Lara (1)

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12- Fuerza entre elementos de corriente
Aunque a menudo resulta imprudente llegar a conclusiones acerca de un integrando a partir de la naturaleza y valor de uná integral definida, eso fue lo que se hizo, por ejemplo, para obtener (7-29),y ahora se hará otra nqz. en lo que sigue. La forma de(13-l)estalque puede escribirse como
(13-16)
y se le puede dar al integrando
¿Fe,^= £2. ^.X(ZWXR)	(]3_17)
e e 477	/?2	v 7
una interpretación natural como la fuerza ejercida sobre el elemento de corriente Ids por el elemento de corriente Id¿. Se podría considerar que ésta fuera otra versión más de la ley de Ampere y, de hecho, es lo que se hace a menudo. Como ya se indicó, no es posible realizar experimentos directos sobre elementos de corriente, pero esta ecuación sí permite una generalización verificable aplicada a cargas puntuales en movimiento y está en concordancia con todo lo que se hará más adelante. En esta forma, (13-17) guarda una analogía inesperada con la ley de Coulomb, incluso con la dependencia respecto al inverso del cuadro de la distancia R entre los elementos.
Sin embargo, en contraste con la ley de Coulomb,dFe > -* e por lo general no queda en la dirección R de la línea que conecta los elementos. En consecuencia, la tercera ley de Newton no se satisface en (13-17) aun cuando sí funcionó para los circuitos generales en (13-8). Para mostrar esto, se calcula la fuerza que Ids ejerce sobre Ais'; como se vio antes, ésta se puede obtener intercambiando las cantidades primas y no primas en (13-17) y remplazando ft con ~ft. De esta manera se tiene que
dV - I'ds'X(IdsXR)	n
4<7J. r2	(13-18)
siendo todavía R = r ~r í Por medio de (1 -30) se encuentra que si se suman (13-17) y (13-18) se tiene
[R X (*' X <*) ]	(13-19)
que por lo general no es igual a cero, en contraste con (13-8). Esta suma será igual a cero solamente siíZs' y ds son paralelos, como lo son en la figura 13-2, o si ft es perpendicular al plano formado portís y ds1.
Si se hace lo mismo con la forma (13-6) que es más simétrica, se obtiene todavía otra forma posible de la fuerza entre elementos de corriente, es decir,
Mo [(/<fe)-(7W)]ft
477	R2
(13-20)
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Ley de Ampere
Figura 13-3 Elementos de corriente "cruzados".
cuya dirección es a lo largo de la línea que une los elementos. También resulta fácil comprobar que esta forma satisface la tercera ley, es decir,
¿7F'e^ + ¿ZF'^ = 0	(13-21)
Aunque (13-17) y (13-20) dan el mismo valor para la fuerza total entre circuitos completos, pueden dar resultados diferentes cuando se les aplica a elementos. Por ejemplo, supóngase que la corriente I de la figura 13-2 estuviera dirigida hacia la página mientras que I' se mantuviera sin cambio. El aspecto de estas corrientes “cruzadas” es el mismo que se muestra en la figura 13-3, que se ha dibujado como si se mirara hacia el origen de la figura
12- 2 en la dirección — p; recuérdese que las dos corrientes de la figura 13-3 siguen separadas por una distancia p. En este casot/s yds' son perpendiculares entre sí, de manera que (13-17) resulta ¿ZFe ’ _> e 0. La razón de esta discrepancia es que al pasarde(13-l)a(13-5)se perdió, en efecto, un término que es cero para un circuito completo pero que no lo es para los intégremelos; esto quedó demostrado explícitamente en (13-4).
Si (13-20) tiene una apariencia más simétrica, si su dirección es sobre la línea que une los elementos, si tienelapropiedad tandeseable expresadaen( 13-21 )encontraste con( 13-19), entonces, ¿por qué es (13-17) la forma más aceptada para la fuerza entre elementos de corriente en lugar de aquélla? Dejando a un lado la futura comparación con el experimento, es posible notar que (13-20) posee un problema inherente que la descalifica páralos propósitos deseados. Debido a su proporcionalidad con respecto at/s • ds', (13-20) involucra el coseno del ángulo entre los elementos. Por ello no puede expresarse en forma de producto entre el elemento ids y algo independiente de ese elemento, es decir, un campo. Dado que esta propiedad de producto es esencial para el desarrollo de una teoría que se basa en campos,no queda otra más que abandonar (13-20). Por otro lado, (13-17) sí posee la forma deseada que permite la introducción de un campo nuevo, como se hará en seguida, por lo que aquí se toma (13-1) junto con (13-17) como la ley fundamental de la magnetostática.