Campo del dipolo eléctrico - Arturo Lara (1)

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7- Campo del dipolo eléctrico
El potencial que se desea investigar es el dado por (8-21), y será el término principal cuando Q = 0. Aunque se obtuvo al analizar el potencial a una gran distancia de la distribución de carga, resulta conveniente estudiar sus propiedades al suponer que es verdadero para todos los puntos del espacio. Un campo con estas características recibe generalmente el nombre de campo dipolar, suponiéndose que está producido por un dipolo puntual, P, situado en el origen. Esta suposición ficticia pero conveniente puede resultar de un proceso de límite aplicado a la distribución de cargas iguales de la figura 8-3. En este proceso, la separación 1 se va reduciendo a cero mientras que la carga q va aumentando de tal manera que el momento dipolar, que es su producto de acuerdo con (844), permanezca constante
Campo del dipolo eléctrico
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e igual a p. Si se utilizan coordenadas esféricas para localizar el punto de campo p, y se elige el eje z en la dirección de p, se llega a la situación que se ilustra en la figura 8-6. Al utilizar (8-21) y (1-15) se encuentra que se puede expresar el potencial dipolar como
pcos#
477€or2
(8-48)
La ecuación que da las superficies equipotenciales que corresponden a = const es entonces
r2 = í P. cosQ—Q cosq
\ 4^0^ /
(8-49)
donde la constante CD que caracteriza a una superficie dada depende del valor de . Estas equipotenciales se muestran en la figura 8-7 como líneas continuas; las superficies reales se generan al rotar imaginariamente esta figura bidimensional alrededor del ejez. Dado que r2 en (8-49) debe ser positivo, se puede observar que Q> debe también ser positivo
para 0 <4 tt cuando cos 0 es positivo; así, los valores positivos de corresponden a las curvas equipotenciales de la mitad superior de la figura. De manera similar, las curvas en la parte inferior de la misma corresponden a valores negativos de dado que cos 0 es negativo para 6 > de modo que Cq debe también ser negativo.
Las componentes de E pueden encontrarse a partir de (8-48), (5-3) y (1-101), los resultados son:
r — _	— í P \ 2 cos#
r dr \ 4tt€0 / r3
(8-50)
,, _ _ j_ 94>p í p Ásen#
0 r 30 \4t7€0/ r3
y -90£>/3(p = 0. Estas componentes poseen una dependencia angular diferente pero ambas presentan la variación inversa al cubo de la distancia, que es característica del campo dipolar.
Se puede encontrar la ecuación de las líneas de E a partir de la expresión anterior (5-39), que expresa el hecho de que la línea es paralela a E en todos sus puntos. Si se escriben tanto ds¡f como E en coordenadas esféricas por medio de (1-98), se tiene que
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Multipolos eléctricos
dr=kEr Y rd9 = kEf)	(8-51)
de manera que
dr _ Er _ 2 eos# _ r/lnr _ 2<7( lnsén/9)
~rd9 ~~E0~ ^0 ~	~ ~~~d¡T~"
que se integra para dar
1 n r = 1 n sen2 f) +1 n KD = 1 n ( KD sen 2 0 \
Donde Kd es una constante de integración. Al despejar r se obtiene la ecuación para estas
curvas:
r=KDsen2e	(8-52)
de modo que cada una de las líneas queda caracterizada por un valor particular de KD. Cuando se graítcan las curvas, se obtienen las líneas de E que se muestran punteadas en la
Figura 8-7 Equipotenciales (líneas llenas) y líneas de campo eléctrico (punteadas) de un dipolo puntual.
Campo del cuadripolo lineal
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figura 8-7. Se observa que son consistentes con los casos especiales de (8-50), que indica que Er - 0 cuando 0 - 2 tt y que Ed = 0 cuando 6 = 0 y ir. Es necesario asegurarse a satisfacción propia que las direcciones de E que se indican por medio de la flechas resultan de las expresiones para las componentes dadas en (8-50), y que las líneas de E son perpendiculares a las superficies equipotenciales.