Condiciones de frontera para el potencial escalar - Arturo Lara

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8- Condiciones de frontera para el potencial escalar
uaao que 0 es un campo escalar en lugar de vectorial, no se pueden utilizar los resultados generales obtenidos en las secciones 9-2 y 9-3 para estudiar su comportamiento en una superficie de discontinuidad. Sin embargo, se puede lograr este propósito fácilmente a
Condiciones de frontera para el potencial escalar
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través de (5-11). Si 02 y son los valores de 0 a cada lado de la capa de transición, se tiene
(9-27)
donde la integración se realiza sobre cualquier trayectoria conveniente a través de la capa de transición. Si se elige esta trayectoria en la dirección de n, se puede escribir entonces (9-27) como
<>2-^!=-^ Ends=-(En}h
(9-28)
donde <£’„> es el valor promedio de la componente normal de E en la capa de transición de anchura h. En cualquier situación física real, el campo eléctrico no será infinito cuando A->0, ya que ello implicaría una fuerza infinita sobre una carga puntual. En realidad, como se vio en (9-26), lo más que podría ocurrir es que En tuviera una discontinuidad, pero seguiría siendo finito. Por lo tanto, <En> será siempre finito, de manera que lim^-^ <En > h = 0 y (9-28) da entonces
(t)2~ 4*1
(9-29)
Así, el potencial escalar deberá ser continuo a través de una superficie de discontinuidad.
Aunque <p es continuo, sus derivadas normales a la superficie no necesariamente lo son. Por (1-21) y (5-3) se tiene que
£„=-ñV</>	(9-30)
de manera que se puede escribir (9-26) en función del potencial como
(9-31) e0
[Mientras que (9-29) es correcta para cualquier situación física real, ocasionalmente se manejan idealizaciones matemáticas que dan por resultado una discontinuidad de Ó a través de la superficie. El ejemplo más común de esto es una “capa dipolar” que resulta al suponer que la superficie de separación contiene dipolos eléctricos del tipo que se estudia en el siguiente capítulo, pero con una separación infinitesimal entre las cargas de signo opuesto. Sin embargo, aquí no se considera necesario entrar en detalles acerca de tales casos especiales].