Ejemplo 6
Hallar el mínimo del funcional: A(y) = , afecto a la función económica: E = 2 – 3A2, con las condiciones: y(0) = y() = 0, y sujeto a la restricción: .
Solución:
En los ejercicios anteriores hemos visto las condiciones necesarias para la existencia de un extremo de funcionales definidos en clases de funciones que toman valores constantes en la frontera. Ahora bien, pueden existir ciertas aplicaciones económicas en las que proceda considerar restricciones adicionales sobre el conjunto de las funciones admisibles; entre las más importantes se hallan las restricciones de tipo isoperimétrico (como es el caso de la que aquí nos ocupa) y las de igualdad.
En este caso, el funcional asociado es: A*(y) = , con:  = (y’2 + y2), y la ecuación de Euler-Legendre viene dada por la EDO: y’’ = ·y, es decir, se trata de un problema de autovalores. La ecuación característica de esta EDO es: r2 -  = 0, con lo que sus raíces serán: r = . Si   0, entonces la integral general viene dada por:
y(x) = , y las condiciones de frontera exigirían que:
y(0) = C1 + C2 = 0
y() = = 0,
lo que implicaría el absurdo de que  = -, por lo que no se cumplen las condiciones de frontera, de tal suerte que no hay solución para el caso en que   0. En el caso contrario, o sea, para  < 0, se tiene que la integral general es:
y(x) = .
Aquí, las condiciones de frontera exigen que:
y(0) = C2 = 0
y() = = 0
Con ello, resultará que: = 0, o bien: y(x) = C1sin kx, habiendo hecho: k = .
Por otra parte, la condición isoperimétrica dada implica que:
,
habiendo hecho el cambio de variable: x = s/k, o bien directamente:
, c.s.q.d.,