Esfera uniformemente magnetizada - Arturo Lara

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20- Esfera uniformemente magnetizada
Considérese ahora una esfera de radio a que posee magnetización constante M. Tómese el eje z en la dirección de M y el origen en el centro de la esfera, como en la figura 20-8; resulta así que M = Mi. Dado que M es constante, Jm = 0 debido a (20-7). En la figura se puede observar que la normal exterior es n = r, por lo que la densidad de corriente superficial se encuentra a partir de (20-8) como
= Mi Xr = Msen0z<p'
(20-17)
con la ayuda de (1-94) y (1-92). Por lo tanto, las corrientes superficiales se encuentran, en este caso, a lo largo de los “paralelos” de la esfera, con una magnitud que es igual a cero en los “polos” y máxima en el “ecuador”, tal como se ilustra en la figura 20-9. Si se sustituye (20-17) en (20-15) y se utiliza (1-100) para escribir da = a2 sen 6' df)' d<p mientras que R = R/A, se puede encontrar que en general B estará dada por
Figura 20-9 Corrientes superficiales equivalentes de una
esfera uniformemente magnetizada.
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Magnetismo en presencia de materia
B(r) =
p^Ma2 r77 (<pX R)sen2 9'dOf dcp'
4% Jq Jq
R3
(20-18)
Por simplicidad en el ejemplo, se evalúa (20-18) únicamente para puntos de campo sobre el eje z positivo; más adelante se resolverá este mismo problema en forma por un método muy diferente. De la figura 20-10 se desprende que r =z¿, r' =ar , R =zi - ar,Rz (z2 + a2 - 2za eos 0') 1 y que X R = z sen 0' r + (z eos 0' - d)0 = a sen 0' z + (z - a eos 0') (x eos </?' + y sen p'), al utilizar (1-94), (1-92) y (1-93). Si se sustituyen estas ecuaciones en (20-18) se puede observar que las componentes xyy desaparecen al integrar con respecto a ¿ debido a (19-49), de manera que B solamente tiene componente z, como resulta evidente de la simetría de la distribución de corrientes que se muestra en la figura
20- 9. Por lo tanto, la única componente que no desaparece es
p0Ma3 ritr
4*77 Jq
sen3 0' dff' dcp'
2 — 2za cos9')3/2
(20-19)
La integración sobre de un valor de 2zr; al usar sen 20’ = 1 - eos 20' y cambiar la variable de integración por medio de (2-22) se encuentra que Bz se convierte en
p0Ma3
2 .
2 — 2zap)3/2
(20-20)
La integral se resuelve con la ayuda de tablas y resulta
1/2 [ 2	2	3z2a2(M2-l)
— z2 + a2 + zap + ——		—-		
2(z2 + a2 — 2za[¿)
2(z2 + a2 — 2zap)
3^3
2
3z3a3
(20-21)
Figura 20-10 Cálculo del campo en un punto sobre el eje.
El campo H
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y, como es usual, existen dos casos a considerar.
1. En el exterior de la esfera. Aquí z > a, de modo que |z - a\=z - a, con lo que (20-21) se convierte en 4/3z3, que al sustituirse en (20-20) da la inducción en el exterior de la esfera, que es
=	(20-22)
Puede comprenderse mejor este resultado si se le expresa en función del momento dipolar total de la esfera que, de acuerdo con (20-2), es
m = |7r¿z3M	(20-23)
de modo que (20-22) puede también escribirse como
=	(20-24)
Al comparar este resultado con (19-24) y si se recuerda que 6 = 0 y r = z para un punto de campo sobre el eje z, se puede observar que (20-24) esjustamente la inducción de un dipolo puntual de momento total m.
2. En el interior de la esfera. Aquí z < a, de modo que \z - a \=a- z, con lo que (20-21) se convierte en 4/3¿z3, que al sustituirse en (20-20) da la inducción en el interior de la esfera, que es
=	(20-25)
y es constante y paralela a la magnetización. El factor numérico 2/3 es diferente a la unidad que se encontró para el cilindro de (20-16) aun cuando ambos sistemas poseen magnetización uniforme; resulta obvio que la diferencia en los factores numéricos resulta de la diferencia geométrica entre ambos.
Queda como ejercicio demostrar que estos mismos resultados son válidos también para valores negativos de z, es decir, que Bz0 se encuentra siempre en la dirección positiva y que Bzi es constante y dada por (20-25), para todas las z. En la figura 20-11 se ilustran estas direcciones de B que se han encontrado. Recuérdese que estos resultados son similares a los encontrados para E de una esfera uniformemente polarizada en la sección 10-4. Esto lleva a sospechar que es muy probable que se puedan aplicar aquí algunas de las cosas encontradas en ese caso, es decir, que la inducción en todos los puntos del exterior es un campo dipolar que corresponde al momento dipolar total dado por (20-23), mientras que en todos los puntos del interior B; es constante y está dada por Resulta que, como se demostrará más adelante en este capítulo por un método muy diferente, éste es justamente el caso.
En la superficie de la esfera (z = a) (20-22) da Bzn(a) = (2 /= Bzi(a\, este resultado es lógico, pues dado que ambas son componentes normales, deben ser iguales de acuerdo con (16-4).