Forma integral de la - Arturo Lara (1)

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Forma integral de la
ley de Ampere
La primera ecuación diferencial fuente que se desea considerar es V X B. La definición general del rotacional de un vector dada en (1-73) sugiere que se debe considerar la integral de línea de B sobre alguna trayectoria cerrada.
15.1 Derivación de la forma integral
Se demostrará que
(15-1)
donde se toma la integral con respecto a una trayectoria cerrada arbitraria C, y Ienc es la corriente total que pasa a través de la superficie encerrada por la curva C. La trayectoria C puede ser cualquier curva cerrada y no necesita coincidir con algún circuito real. A la expresión (15-1) se le conoce como la forma integral de la ley de Ampere; otro nombre muy común que se le suele dar es la ley circuital de Ampere.
Para simplificar, se empieza suponiendo que B es producida por un solo circuito filamental, C que conduce una corriente I de manera que B está dada por (14-2). Al sustituir esta expresión en el miembro izquierdo de (15-1), se encuentra que
£b-*=	(z^lK (15-2)
donde se ha utilizado (1-29) para intercambiar el punto y la cruz en el integrando. Recordando ahora de la sección 1-7 que la magnitud del producto cruz es igual al área del paralelogramo que tiene a los dos vectores como lados, y recordando también (4-3), se puede observar que es necesario analizar (15-2) en función de ángulos sólidos.
La figura 15-1 ilustra la situación general. Supóngase que se considera un punto dado P sobre la trayectoria de integración C. El circuito fuente C ' subtenderá algún ángulo sólido total, Í2 , en ese punto. Al efectuar la integración sobre C se le dan aP una serie de desplazamientos sucesivos, uno de los cuales es ds. Después de que P ha sido des-
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Figura 15-1 Cálculo del cambio en el ángulo sólido subtendido en P producido por un desplazamiento del circuito C .
plazado por ds, el circuito fuente C', visto desde P, tendrá por lo general un aspecto diferente, de tal forma que el ángulo sólido subtendido por C ' en la nueva posición deP habrá cambiado a un nuevo valor Í2 ' = £2 + d£l. Así, d£l =cambio en el ángulo sólido subtendido por C ' en P como resultado del desplazamiento de P por ds. Pero es posible obtener el mismo cambio relativo imaginando que P se encuentra fijo y que cada punto de C recibe un desplazamiento igual y opuesto (-ds). (Puede uno fácilmente convencerse de ello si se mantiene este libro a una distancia razonable de los ojos y se compara el resultado visual de: (1) mantener el libro fijo y mover la cabeza hacia atrás y, (2) mantener la cabeza fija y mover el libro hacia adelante una distancia equivalente). Por lo tanto, se puede decir también que d Í2 = cambio en el ángulo sólido producido al mantener a P fijo y desplazar todos los puntos de C 7 por -ds; la nueva posición y orientación de C' se muestra también en la figura. Se puede ahora observar que —ds X ds = da superficie sombreada de lados -ds y ds ', de modo que, de acuerdo con (4-3), el término bajo las integrales de (15-2) es justamente da ' R/R2 - ángulo sólido subtendido en P por da - cambio en el ángulo sólido subtendido en P como resultado del desplazamiento de ds ’ por ds. Por lo tanto, cuando se efectúa la integración sobre C ’ en (15-2), se están sumando las contribuciones de todos los ds ' de C', de modo que se tiene
( —JsX¿/s')-R
(15-3)
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donde, de nuevo. d Í2 es el cambio en el ángulo sólido observado enP debido a un desplazamiento ds de P, pero que se calcula en (15-3) por medio de una suma equivalente sobre C', basada en mantener fijo a /J y desplazar a C'. Al sustituir (15-3) en (15-2) y llevar a cabo la integración sobre C, se obtiene
(^)B-ds = - -^^dQ = - Afi	(15-4)
donde A £2 es el cambio total en el ángulo sólido subtendido por C' en los diversos puntos de C, sumando sobre la trayectoria cerrada C. Resulta que existen dos casos a considerar.
1. La trayectoria C no cruza el circuito C '. En este caso, las orientaciones relativas son como las que se muestran en la figura 15-2. Aquí, si se empieza enP, al regresar a P después de haber recorrido la trayectoria C, el ángulo sólido final tiene el mismo valor que tenía en un principio, de modo que AÍ2 ~ 0 y (15-4) resulta
^)B-ds = O	(15-5)
2. La trayectoria C sí cruza el circuito C ’. En este caso, la trayectoria de integración encierra la corriente fuente, teniéndose una situación como la que se ilustra en la figura 15-3. Es más fácil observar el cambio si se toma como punto inicial A el punto justamente por encima de la superficie 5 * encerrada por Cy como punto final B el que se encuentra justamente por debajo de S ’, tomando después el límite en que B y A coinciden. Antes que nada, se puede observar que la dirección de la normal ñ ’ a la superficie limitada por C ' queda determinada por la dirección de /' por medio de la regla normal de la mano derecha que se ilustró en la figura 1-24.
(a) En el punto inicial A. En la figura 15-4a se puede apreciar que el ángulo formado entre da ' y R es 0^ = 90°-9, siendo 9, muy pequeño y positivo. Así, de acuerdo con (4-3), el ángulo sólido subtendido por da' en A será da' eos 0^ ¡R2 = da ' eos (90o- 9)/R2 y es positivo. A medida que A se acerca a la superficie S ', 9 -> 0, todas las contribuciones al ángulo sólido subtendido por C ' en A son positivas y, dado que A “ve” sólo la mitad de todo el espacio, se tiene
ra , =	. =+2%	(15-6)
para A inicial	v '
(Para comprender esto mejor, imagínese un observador situado en A justamente sobre esta página y que después se acerca hasta casi tocar la hoja).
(b) En el punto final B. En la figura 15-4b se aprecia que el ángulo entre da ' y R es ahora 0	= 90° + e, siendo e positivo y muy pequeño. Así, el ángulo sólido subten-
c
Figura 15-2 La trayectoria C no enlaza al circuito C'.
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Figura 15-3 La trayectoria C enlaza al circuito C'.
(a)
Figura 15-4 La situación cerca de (a) el punto inicial A y (ó) el punto final B.
b ,
dido por í/a en B será da cos (90 + e )/A y sera negativo. A medida que B se acerca a la superficie, e -> 0, todas las contribuciones al ángulo sólido serán negativas y, dado que B “ve” sólo la mitad del espacio, se obtiene
para B ^final
(15-7)
Combinando (15-7) con (15-6) se puede encontrar que el cambio total en el ángulo sólido en este caso es igual a
- ñ¡n¡c¡a]= ( - 2^) - (2,7) = -
por lo que (15-4) queda
$B-ds = f¿0/'
(15-8)
(15-9)
y es igual a ¡Jq veces la corriente que pasa a través de la superficie limitada por la curva C. Al comparar (15-5) con (15-9) se puede observar que el valor de esta integral de línea de B no es igual a cero solamente si la trayectoria de integración encierra una corriente.
Se observa también que si se invierte el sentido de integración a lo largo de C,entonces A y B se intercambian como puntos inicial y final, AÍ2 es igual a +4tt y el valor de la integral es igual a -p0 1es decir, que la corriente I' se toma como negativa. La figura 15-5 resume estos resultados sobre los signos. Una vez que se ha elegido el sentido de integración sobre C, queda determinado el sentido positivo de su normal, ft, como en la figura 1-24. Si entonces una corriente / ' pasa a través de la superficie limitada por C en este mis
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mo sentido, como se muestra en la parte (a) de la figura, resultará una contribución positiva Mo ■ A a la integral, mientras que si pasa a través de C en sentido opuesto, como en (6), su contribución a la integral es de -q0 /. (Nótese que la figura 15-5¿z corresponde a la figura 15-3).
Si existe más de una corriente fuente, de manera que B esté determinada por una expresión como (14-4), cada una de las corrientes L contribuirá con 0 ó ± p I dependiendo de si pasa o no a través de C y, si lo hace, del sentido en que lo hace; así se tiene
<f>B-ds= 2	=	(15-10)
encerrada
donde Ienc es la corriente neta encerrada por la trayectoria de integración. De esta manera se ha obtenido la forma integral de la ley de Ampere que se enunció originalmente en (15- 1). [Nótesela “similitud” de este resultado con la ley de Gauss (4-1) ]. Se puede señalar ahora una serie de implicaciones que resultan de todo esto. Caulesquiera corrientes no encerradas por la trayectoria de integración no contribuyen en nada al valor de la integral, aunque desde luego afectan el valor de B en algún punto particular. También ocurre que la localización de las corrientes encerradas por C no afecta a la integral, aunque si se movieran de lugar dentro de C sí se efectaría el valor de B en algún punto en particular sobre la trayectoria de integración.
Se puede expresar ahora (15-10) de otra manera muy útil si se escribe Ienc en una función de la densidad de corriente J por medio de (12-6). (Por simplificación, aquí se elimina la prima de la densidad de corriente.) Al hacerlo, y usando el teorema de Stokes (1-67), se obtiene
(j)B-ds = Jda = J (VxB)-¿/a	(15-11)
donde 5 es la superficie abierta limitada por C. Dado que C es arbitraria, (15-11) también es valida para cualquier superficie muy pequeña, por lo que se pueden igualar los integran- dos para obtener la ecuación fuente deseada
VxB=u.0J	(15-12)
Este resultado fundamental es equivalente a la ley de Ampere para las fuerzas entre circuitos completos. Se puede observar de inmediato que la inducción magnética no es un campo conservativo porque V x B no siempre es igual a cero, a diferencia del campo electrostático.
Figura 15-5 Convención de signos para la corriente, según el sentido de integración a lo largo de C.
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Figura 15-6 Pequeño elemento de superficie en la capa de transición.
Más aún, es posible utilizar (15-12) para obtener las condiciones frontera que las componentes tangenciales de B deben satisfacer en una superficie de discontinuidad. Si se sustituye (15-12) en (9-13), se tiene
ñX(B2 —Bj)= lim (/i0AJ)	(15-13)
h—>0
Para poder interpretar este resultado, considérese un pequeño elemento de superficie en la capa de transición que sea perpendicular al flujo, tal como se ilustra en la figura 15-6. (compárese con la figura 9-5). De acuerdo con (12-6), la corriente total ZV a través de esta superficie es A / = J7? A s. A medida que la capa de transición se reduce a un grosor de cero, de modo que h 0, la corriente total es reducida a una corriente superficial de densidad K, y el total constante puede ahora expresarse A / = K A s, como se aprecia en la figura 12-5a. Al comparar estas dos expresiones de A I se observa que hj -> K, y, puesto que los dos vectores están en la misma dirección se obtiene
K=lim(/zJ)	(15-14)
A—>0
con lo que (15-13) queda
ú X (B2 - B,) — ;i0K	(15-15)
que viene a ser la condición de frontera requerida. Como en el caso de (9-18), se puede utilizar la forma alternativa expresada directamente en función de las componentes tangenciales:
B2/ — B]( = p,0KXn	(15-16)
donde la relación entre los vectores normal y tangencial queda ilustrada por la figura 9-5.