Efectos de la elección del origen - Arturo Lara

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III. Efectos de la elección del origen
El momento monopolar Q dado por (8-15) es una propiedad única de la distribución de carga. Tanto (8-19) como (8-26) dependen del valor absoluto de las rz, de manera que el momento dipolar y las componentes del momento cuadripolar no son generalmente propiedades exclusivas de la distribución de carga, sino que también dependen de la elección del origen. Sin embargo, bajo ciertas circunstancias resultan ser independientes de e»ta elección, lo que se investigará con mayor detalle enseguida.
Supóngase que en lugar de elegir el origen en 0 de la figura 8-1 se eligiera el nuevo origen, 0n, que se obtiene trasladando los ejes (sin rotación) mediante un desplazamiento
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Multipolos eléctricos
a, como se muestra en la figura 8-2. La posición de q¡ con respecto a este nuevo origen es rin y se puede ver en la figura que a +	= r¿, de manera que los vectores de posición nue
vos y viejos quedan relacionados entre sí por
ren=r,-a	(8-41)
Si se sustituyen estos valores en (8-19) para encontrar el nuevo valor del momento dipolar P„, se obtiene
IL = S ^in = S W. - a s 4/ = P - 2a	(8-42)
i	i	i
lo que demuestra que los momentos dipolares calculados con respecto a estos nuevos orígenes serán generalmente diferentes. Sin embargo, también se puede observar que el mo-
Figura 8-2 El nuevo origen de coordenadas se desplaza una distancia a del anterior.
mentó dipolar será independiente de la elección del origen y, por tanto, una función singular de la distribución de carga, siempre y cuando el momento monopolar se anule, es decir,
P„ = P si 2 = 0	(8-43)
Además, el término dipolar será el término principal de la expansión (8-7). Para que 0 = 0, se requieren por lómenoslas cargas en la distribución; esta es la razón de nombre “dipolar”.
Ejemplo
Dos cargas puntuales iguales y opuestas. Este es el ejemplo más simple para el que se anula
Q. Las dos cargas y sus posiciones se muestran en la figura 8-3. A partir de (8-19) se encuentra que p es
Desarrollo multipolar del potencial escalar
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p = qr+-qr = q(r +—r _) = q\
(8-44)
de modo que el momento dipolar es igual al producto de la magnitud de la carga y el vector de desplazamiento, 1, de la carga negativa a la positiva. Aunque esta distribución de carga es considerada por lo general como el prototipo de un dipolo, y se le llama simplemente “dipolo”. generalmente sus momentos de orden superior no se anulan, de manera que (8-8) necesariamente incluye más del término 0w(r).
Figura 8-3 Dos cargas puntuales iguales y opuestas po-
seen un momento dipolar en la dirección de 1.
•		• Figura 8-4 Una distribución de carga que posee momen-
'	7 todipolar.
Otro ejemplo sencillo que satisface (8-43) se muestra en la figura 8-4 y por medio de (8-19) se puede verificar fácilmente que su momento dipolar es p =2ql.
Se pueden obtener resultados similares para el momento cuadripolar. Será suficiente considerar una sola componente, por ejemplo Qxv. Las componentes x y y de (8-41) son x¡n - x¡ - ax y yin ~y¡ ~ av y cuando se sustituyen éstas en (8-28) se obtiene que la nueva componente Qx r" es
Qv" = 3 S ^-ve„yen-■= 3 S	~	- ay)
l	/
=	- 3	- 3+ 3 ax ay Q	(8-45)
por medio de (8-19) y (8-15). Dado que existen expresiones similares para las otras componentes 0/A., se puede concluir que por lo general el momento cuadripolar no es tampoco una propiedad exclusiva de la distribución de carga. Sin embargo, en (8-45) se puede observar que será independiente del origen si los momentos tanto monopolar como dipolar desaparecen, es decir,
QJkn = Q)k si 2=0 y p = 0	(8-46)
Además, el término cuadripolar será el término principal del desarrollo (8-7).
Por lo general, se pueden satisfacer ambas condiciones de (8-46) por lo menos con cuatro cargas de la distribución; de aquí la razón del nombre “cuadripolar”. Los ejemplos más simples generalmente se obtienen colocando dos dipolos de manera tal que se cancele el momento dipolar total. Dos de estos ejemplos se muestran en la figura 8-5, en la que los
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	I
	
	a
	“1
	-q	2q	-q
«	— 	„	•
a	a
	
	1
1
	(b)
	
	
	
	(a)
	
	
Figura 8.5. Distribución de carga que poseen momentos cuadr¡polares.
dipolos se han indicado con flechas punteadas. Nótese que la figura 8-5¿> es una variante de la figura 8-4 con 1 = 0; nótese también que para que concuerde con la necesidad de tener por lo menos cuatro cargas, se debe realizar una división mental de la carga central de valor 2q en dos cargas superpuestas de valor individual q. Debe tenerse cuidado al diseñar arreglos de este tipo. Por ejemplo, si se intercambian las dos cargas en la parte superior de la figura 8-5tz, las condiciones de (8-46) ya no se cumplen completamente, dando como resultado que la configuración de carga así tendría un momento cuadripolar dependiente de la posición de origen.
Para resumir esta sección tan larga, se puede decir que cuando la distancia a una distribución de carga es lo suficientemente grande, el potencial que ésta produce puede desarrollarse en la forma:
(8_47)
tal como se obtuvo en (8-8), (8-16), (8-21) y (8-30). Dado que en (8-47) solamente aparece la posición del punto de campo a través de su distancia al origen y la dirección de r, se puede pensar qüe todos los momentos se encuentran localizados en el origen, sin importar la extensión espacial de la distribución de carga fuente.
Hasta ahora se ha prestado atención a la forma del potencial. A continuación se consideran algunas de sus propiedades, así como el campo eléctrico que describe. Resulta útil analizar cada una de las contribuciones que resultan de (8-47); el E total será la suma vectorial de todas ellas. El primer término corresponde a una carga puntual localizada en el origen, y dado que ya se han visto a fondo sus propiedades, se procede directamente con el segundo término.