Física Experimental: Teoria e Prática

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F́ısica Experimental
F́ısica Experimental
Ángel Miguel Ardila
Departamento de F́ısica
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Sede Bogotá
F́ısica Experimental
c©Ángel Miguel Ardila
Profesor Asociado
Departamento de F́ısica
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
c©Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de F́ısica
Ignacio Mantilla, Decano
Eugenio Andrade, Vicedecano Académico
Jorge Ortiz Pinilla, Director de Publicaciones
Segunda edición, 2007
Bogotá, Colombia
ISBN 978-958-701-838-7
Impresión:
Universidad Nacional de Colombia, Unibiblos
dirunibiblo bog@unal.edu.co
Diagramación en LATEX: Jorge Ortiz P.
Diseño de carátula: Andrea Kratzer
Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia
Ardila Vargas, Ángel Miguel
F́ısica experimental / Ángel Miguel Ardila. — Bogotá : Universidad Nacional de
Colombia. Facultad de Ciencias, 2007
vi, 271 p.
ISBN : 978-958-701-838-7
1. F́ısica - Experimentos 2. F́ısica - Enseñanza
CDD-21 530.0711
Índice general
1. Introducción 1
2. El método cient́ıfico 5
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Prueba de una hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Errores comunes en la aplicación del método cient́ıfico . . . 9
2.4. Hipótesis, modelos, teoŕıas y leyes . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5. Los postulados de la ciencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.1. Postulado de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.2. Postulado de causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.3. Postulado de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . 15
2.6. Bibliograf́ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Teoŕıa de incertidumbres 19
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1. Tipos de medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3. Errores o incertidumbres experimentales . . . . . . . . . . . 25
3.4. Algunos conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5. Clasificación de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5.1. Los errores sistemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5.2. Los errores aleatorios o estad́ısticos . . . . . . . . . 29
i
ii ÍNDICE GENERAL
3.5.3. Los errores ileǵıtimos o espurios . . . . . . . . . . . . 29
3.6. Los errores sistemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6.1. Los errores teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.6.2. Los errores instrumentales . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6.3. Los errores ambientales . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.6.4. Los errores de observación . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6.5. Escalas y paralaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6.6. Propagación de los errores sistemáticos . . . . . . . . 39
3.6.7. Preguntas y problemas sobre errores sistemáticos . . 43
3.7. Los errores estad́ısticos (accidentales o erráticos) . . . . . . 49
3.7.1. Histogramas y distribución estad́ıstica . . . . . . . . 50
3.7.2. Incertidumbre: una medición . . . . . . . . . . . . . 54
3.7.3. Incertidumbre: N mediciones . . . . . . . . . . . . . 55
3.7.4. Combinación de N mediciones independientes . . . . 57
3.7.5. Discrepancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7.6. Factor de corrección t de Student . . . . . . . . . . 59
3.8. Cálculo de la incertidumbre total de una magnitud . . . . . 60
3.9. Elección de los instrumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.11. Bibliograf́ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4. Presentación de resultados 69
4.1. Criterios de redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2. Reglas para expresar los resultados de las medidas . . . . . 71
4.3. Precauciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4. Recomendaciones prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5. Utilización del modo estad́ıstico de las calculadoras . . . . . 74
4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.7. Bibliograf́ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
ÍNDICE GENERAL iii
5. Cifras significativas 79
5.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2. Cifras significativas del resultado de un cálculo . . . . . . . 82
5.2.1. En un producto, división, potencia o ráız . . . . . . 82
5.2.2. En una suma o resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.3. Los resultados intermedios . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.4. Para operaciones combinadas . . . . . . . . . . . . . 85
5.3. Redondeo de cifras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.5. Bibliograf́ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6. Análisis dimensional 93
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2. Dimensión de una magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3. Magnitudes adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4. Las ecuaciones y el análisis dimensional . . . . . . . . . . . 100
6.5. Principio de homogeneidad dimensional . . . . . . . . . . . 101
6.6. Determinación de la forma de una relación desconocida . . 101
6.7. Cambio de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.9. Bibliograf́ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7. Gráficas y modelos 111
7.1. Métodos cualitativos de análisis gráfico . . . . . . . . . . . . 111
7.1.1. Importancia de la representación gráfica . . . . . . . 111
7.1.2. Elección de las variables . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.1.3. Relación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.4. Función potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.1.5. Función Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.1.6. Comparación de los distintos tipos de escalas . . . . 125
iv ÍNDICE GENERAL
7.2. Métodos cuantitativos de análisis gráfico . . . . . . . . . . . 127
7.2.1. Ajuste de curvas por mı́nimos cuadrados . . . . . . . 127
7.2.2. El coeficiente de correlación . . . . . . . . . . . . . 131
7.2.3. Ajuste de funciones no lineales . . . . . . . . . . . . 133
7.2.4. El test chi cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.2.5. ¿Qué significa “la mejor ĺınea”? . . . . . . . . . . . . 139
7.3. Sugerencias para realizar las gráficas . . . . . . . . . . . . . 139
7.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.5. Bibliograf́ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8. Informe de laboratorio 149
8.1. Aspectos a tener en cuenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.2. Ejemplo de presentación de un art́ıculo . . . . . . . . . . . . 153
9. Prácticas experimentales 155
9.1. Elección de instrumentos en una medición . . . . . . . . . . 155
9.2. Interpretación de mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.3. Análisis estad́ıstico de mediciones . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.4. Preparación de gráficas y análisis de un experimento . . . . 177
9.5. Cinemática de un movimiento unidimensional . . . . . . . . 185
9.6. Análisis del movimiento de un cuerpo en dos dimensiones . 193
9.7. Análisis de un movimiento acelerado . . . . . . . . . . . . . 199
9.8. Estudio de la fricción en el movimiento de los cuerpos . . . 207
9.9. Comprobación de una teoŕıa o ley fundamental (I) . . . . . 221
9.10. Comprobación de una teoŕıa o ley fundamental (II) . . . . . 229
Apéndice 231
10.1. El sistema internacional de unidades . . . . . . . . . . . . . 231
10.2. Constantes f́ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
10.3. Factoresde conversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
10.4. Área de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
ÍNDICE GENERAL v
10.5. Valores de coeficientes de rozamiento . . . . . . . . . . . . . 242
10.6. Chi cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.7. Coeficiente t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.8. Fotosensores de Pasco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.9. Uso del programa Mathematica c© . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.9.1. Cómo importar los datos experimentales . . . . . . 255
10.9.2. Gráficas con Mathematica . . . . . . . . . . . . . . 257
10.9.3. Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.9.4. Estad́ıstica de una variable . . . . . . . . . . . . . . 261
10.9.5. Análisis de regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.10.Reglas y estilo de uso del sistema internacional . . . . . . . 264
10.10.1.Reglas de escritura de śımbolos y nombres . . . . . . 264
10.10.2.Cuestiones básicas de estilo . . . . . . . . . . . . . . 266
10.10.3.Expresiones que dan lugar a eqúıvocos . . . . . . . . 267
10.11.Bibliograf́ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
vi ÍNDICE GENERAL
Caṕıtulo 1
Introducción
La f́ısica, una de las ramas más importantes del conocimiento, es una
ciencia experimental.
El primer paso para el establecimiento de las leyes de los fenómenos
f́ısicos consiste en la observación. Sin embargo, la observación cient́ıfica re-
presenta una tarea no del todo sencilla. Para la explicación de las leyes que
rigen cualquier fenómeno f́ısico, es necesario saber separar sus elementos
más importantes, y en lo posible variar las condiciones en las cuales sucede
el fenómeno, esto es, pasando de la simple observación al experimento. Por
esta razón, es supremamente importante encontrar las caracteŕısticas cuan-
titativas (que sea posible medir) de los fenómenos. Es necesario establecer
de qué forma y con la ayuda de qué aparatos se van a medir unas u otras
caracteŕısticas y establecer leyes cuantitativas. El establecimiento de las
leyes cuantitativas que demuestran cómo cambian unas de las magnitudes
medidas cuando se vaŕıan otras, constituye una de las principales tareas.
De lo expuesto está claro cuál es el valor del experimento para las cien-
cias f́ısicas.
Un experimento es la observación metódica de algunos de los innumera-
bles problemas, fenómenos o comportamientos de la naturaleza, con los que
el hombre se enfrenta cada d́ıa y que le incitan a descubrir sus secretos para
darles una explicación. El experimento es una parte importante en el desa-
rrollo del conocimiento cient́ıfico y la observación metódica mencionada se
basa en diversos procedimientos que se han establecido como resultado de
la experiencia de muchos años de investigación cient́ıfica en las tantas áreas
del conocimiento que se conocen. Estos procedimientos fueron evolucionan-
do con el tiempo hasta convertirse en verdaderos métodos cient́ıficos.
1
2 CAṔITULO 1. INTRODUCCIÓN
El método cient́ıfico es un rasgo caracteŕıstico de la ciencia, tanto pura
como aplicada. No es un método en el sentido de un procedimiento formal,
ni una receta infalible para los descubrimientos, sino más bien una actitud
y una filosof́ıa que proporcionan una orientación según la cual se pueden
deducir, con confianza, conceptos generales de las impresiones que desde
el mundo exterior entran a raudales en los sentidos del hombre, y que
permiten encontrar soluciones más acertadas a los problemas planteados
por la sociedad.
El método cient́ıfico se basa en la realización de varias etapas entre las
cuales se deben mencionar las siguientes cuatro:
1. Percepción y planteamiento del problema.
2. Formulación de una hipótesis.
3. Comprobación de la hipótesis.
4. Construcción de leyes, teoŕıas y modelos.
Cabe destacar que el método cient́ıfico es tan general que lo pueden utili-
zar cient́ıficos de todas las especialidades, pues es el instrumento utilizado
para conseguir conocimiento de la naturaleza y de la sociedad. No se debe
olvidar que es un instrumento de trabajo cuya finalidad práctica impone la
necesidad de tener en cuenta siempre sus posibilidades de aplicación.
Veamos qué representa cada una de estas etapas.
1. Percepción y planteamiento del problema, esto es, el estudio inicial de
un fenómeno en cuestión por medio de la observación.
2. Generalización, esto es, la conformación de hipótesis que relaciona
resultados separados de la observación entre śı, con factores conocidos
anteriormente y que establecen entre ellos relaciones determinadas.
En ese proceso, de acuerdo a las posibilidades, es necesario desechar
completamente todas aquellas cuestiones que se apartan de las demás,
con el fin de escoger o separar lo más esencial del fenómeno en estudio.
En el proceso de la generación, a veces surge la necesidad de obtener
datos adicionales, para lo cual se hacen nuevas observaciones o se
implementan experimentos especiales.
3. Comprobación práctica de la veracidad de la hipótesis en condiciones
reales, esto es, considerando todas aquellas cuestiones que se desecha-
ron anteriormente. En caso de un resultado positivo, esta hipótesis
queda comprobada y se eleva al rango de teoŕıa, y sus relaciones pue-
den pasar a ser consideradas en el marco de las leyes de la naturaleza.
3
No se puede considerar, sin embargo, que el proceso del conocimiento
cient́ıfico de un fenómeno dado termine con la comprobación práctica de la
hipótesis. Con el transcurso del tiempo, aparecerán nuevos experimentos y
nuevos fenómenos que en algunos casos son contradictorios con la teoŕıa,
tal y como sucedió en los albores del siglo XX cuando surgieron algunos
experimentos que no pod́ıan ser explicados con las teoŕıas ampliamente es-
tablecidas en ese momento, y que hicieron repensar las leyes de la f́ısica
bajo un nuevo modelo: el modelo cuántico, desarrollado para poder expli-
car los experimentos realizados. Como se ve, el experimento puede inducir
inclusive al desarrollo de teoŕıas más completas en un proceso de constante
evolución y desarrollo.
En el caṕıtulo 2 se hace una descripción del método cient́ıfico y los pos-
tulados básicos de la ciencia. En el caṕıtulo 3 se presenta una introducción
a la teoŕıa de errores, se analizan los diferentes tipos de errores e incerti-
dumbres experimentales y la forma de calcularlos en un experimento dado.
El caṕıtulo 4 trata el tema de la presentación de resultados experimenta-
les mostrando algunas reglas, con ejemplos y ejercicios, para expresar los
resultados de las medidas tomadas. En el caṕıtulo 5 se aborda el tema de
las cifras significativas para expresar correctamente el resultado del cálculo
indirecto de magnitudes f́ısicas. También se presentan ejemplos y ejercicios
para practicar. Un aspecto importante, y al que se le hace poco énfasis, es
el mostrado en el caṕıtulo 6, en el que se trata el tema del análisis dimensio-
nal. El caṕıtulo 7 se dedica al tema de las gráficas, su correcta realización
y algunos de los métodos que se tienen para realizar el análisis de la infor-
mación contenida en ellas. El caṕıtulo 8 propone la forma de presentación
de los informes de laboratorio para la materia de F́ısica Experimental I.
El caṕıtulo 9 está dedicado a las prácticas de laboratorio que se realizarán
en la tercera parte del curso. La última parte de esta etapa consistirá en
resolver, experimentalmente, problemas planteados por el profesor de tal
forma que se aplique todo lo aprendido hasta ese momento. Al final del
libro se presenta un apéndice (caṕıtulo 10) con tablas y datos útiles para
la realización de los experimentos.
Estas notas de clase no pretenden ser ni mucho menos una obra total-
mente original. La teoŕıa y los procedimientos aqúı mostrados han sido el
resultado de muchos años de trabajo de miles de investigadores tantof́ısi-
cos como matemáticos que han aportado su grano de arena en todo este
desarrollo. En la literatura y en la internet se encuentran sin dificultad
libros y trabajos (muchos de ellos referenciados aqúı), que abarcan todos
los temas relacionados en estas notas de clase. Sin embargo, he buscado
agrupar en un solo texto, de forma más extensa que en otros conocidos,
pero menos amplia que en los libros especializados, aquellos conocimien-
4 CAṔITULO 1. INTRODUCCIÓN
tos que considero, deben dominar los estudiantes que cursen la materia de
F́ısica Experimental I de la carrera de F́ısica de la Universidad Nacional de
Colombia.
En cuanto a los experimentos planteados, algunos son modificaciones,
complementaciones y adaptaciones de prácticas propuestas, mejoradas co-
mo resultado de varios años de trabajo con los estudiantes, teniendo en
cuenta el instrumental disponible en el laboratorio de F́ısica experimen-
tal I del Departamento. La metodoloǵıa de estas prácticas propuestas va
encaminada a que el estudiante vaya aprendiendo, desde cuestiones senci-
llas, como realizar una medida de manera correcta, teniendo en cuenta los
procedimientos y las incertidumbres experimentales, hasta lograr realizar
y analizar por su propia cuenta un determinado experimento y a presentar
en forma clara los resultados de su investigación para que otras personas
puedan aprender de su experiencia. Adicionalmente, en este proceso el es-
tudiante debe comprender la importancia del experimento, basándose en
el entendimiento del mundo que lo rodea; con ello podrá descubrir cosas
nuevas y explicar aquellos fenómenos que hayan sido predichos por proce-
dimientos teóricos.
Hay que destacar que la parte teórica ocupa un lugar importante en este
libro y acapara buena parte del curso. Mı́nimo seis semanas para una bue-
na asimilación por parte del estudiante. Aunque el número de prácticas es
relativamente pequeño (10 en total), la parte teórica tiene una buena can-
tidad de problemas y ejercicios, algunos de ellos complejos, que se pueden
usar para afianzar los conocimientos adquiridos.
Caṕıtulo 2
El método cient́ıfico
La ciencia se define como una búsqueda cuidadosa, disciplinada
y lógica por el conocimiento sobre cualquier y todos los aspectos
del universo, obtenidos por la examinación de la mejor evidencia
disponible, y siempre sujeta a la corrección y la mejora tras el
descubrimiento de una mejor evidencia. Lo demás es magia. Y
no funciona. James Randi.
2.1. Introducción
El método cient́ıfico es el proceso por el cual los investigadores se esfuer-
zan colectivamente y a través del tiempo, para construir una representación
del mundo lo más exacta posible, es decir, que sea confiable, constante y
no arbitraria.
Reconociendo que las creencias personales y culturales influencian nues-
tras opiniones e interpretaciones de los fenómenos naturales, apuntamos por
el uso de procedimientos y criterios estandarizados para reducir al mı́nimo
esas influencias en el momento de desarrollar una teoŕıa. Como un cient́ıfico
famoso dijo una vez, la “gente elegante (como abogados elegantes) puede
llegar con explicaciones muy buenas sobre puntos de vista equivocados”.
Resumiendo, el método cient́ıfico procura reducir al mı́nimo la influencia
de tendencias o prejuicios en el experimentador al probar una hipótesis o
una teoŕıa.
El método cient́ıfico tiene cuatro pasos:
1. Observación y descripción de un fenómeno o grupo de fenómenos.
5
6 CAṔITULO 2. EL MÉTODO CIENT́IFICO
2. Formulación de una hipótesis para explicar los fenómenos. En la f́ısica,
la hipótesis toma a menudo la forma de un mecanismo causal o de
una relación matemática.
3. Uso de la hipótesis para predecir la existencia de otros fenómenos, o
para predecir cuantitativamente los resultados de nuevas observacio-
nes.
4. Realización de pruebas experimentales de las predicciones por varios
experimentadores independientes y experimentos realizados correcta-
mente.
Los pasos 3 y 4 se repiten hasta que no haya discrepancias entre la teoŕıa
y el experimento u observación. Mario Bunge (M. Bunge, p: 25) propone
los siguientes pasos para aplicar el método cient́ıfico:
1. Enunciar preguntas bien fundadas y verośımilmente fecundas.
2. Arbitrar conjeturas, fundadas y contrastables con la experiencia, para
contestar a las preguntas.
3. Derivar consecuencias lógicas de las conjeturas.
4. Arbitrar técnicas para someter las conjeturas a contraste.
5. Someter a su vez a contraste esas técnicas para comprobar su rele-
vancia y la fe que merecen.
6. Llevar a cabo el contraste e interpretar sus resultados.
7. Estimar la pretensión de verdad de las conjeturas y la fidelidad de las
técnicas.
8. Determinar los dominios en los cuales valen las conjeturas y las técni-
cas y formular los nuevos problemas originados por la investigación.
Si los experimentos soportan la hipótesis, ésta puede ser tomada como
una teoŕıa o ley de la naturaleza. En caso contrario, debe ser rechazada o
modificada. Lo clave en la descripción del método cient́ıfico es la potencia
predictiva (la capacidad de conseguir más de la teoŕıa que lo que se puso
adentro, ver Barrow, 1991) de la hipótesis o de la teoŕıa, según lo probado
por el experimento. A menudo en la ciencia se dice que las teoŕıas nunca
pueden ser probadas, sólo refutadas. Hay siempre la posibilidad de que una
nueva observación o un nuevo experimento entre en conflicto con una teoŕıa
establecida por mucho tiempo.
El diagrama de la figura 2.1 resume lo dicho anteriormente.
2.2. PRUEBA DE UNA HIPÓTESIS 7
 
observaciones hipótesis predicciones 
TEORÍA 
prueba 
consistente 
no consistente 
cambiar la 
hipótesis 
Figura 2.1: Diagrama de flujo que describe el método cient́ıfico.
2.2. Prueba de una hipótesis
Como se acaba de indicar, las pruebas experimentales pueden condu-
cir a la confirmación de la hipótesis, o a la eliminación de la hipótesis.
El método cient́ıfico requiere que una hipótesis se elimine o modifique si
sus predicciones están clara y repetidamente incompatibles con las pruebas
experimentales. Además, no importa qué tan elegante sea una teoŕıa, sus
predicciones deben coincidir con los resultados experimentales si queremos
creer que es una descripción válida de la naturaleza. En la f́ısica, como en
toda ciencia experimental, el “experimento es supremo” y la verificación
experimental de las predicciones hipotéticas es absolutamente necesaria.
Los experimentos pueden comprobar la teoŕıa directamente (por ejemplo,
la observación de una nueva part́ıcula) o pueden probar las consecuencias
derivadas de la teoŕıa usando las matemáticas y la lógica (la tasa de un
proceso radiactivo de decaimiento que requiere la existencia de la nueva
part́ıcula). Se debe observar que la necesidad del experimento también im-
plica que una teoŕıa pueda ser comprobable. Las teoŕıas que no pueden
8 CAṔITULO 2. EL MÉTODO CIENT́IFICO
ser probadas, porque, por ejemplo, no tienen ninguna ramificación obser-
vable (como, una part́ıcula cuyas caracteŕısticas la hacen inobservable), no
califican como teoŕıas cient́ıficas.
Si las predicciones de una teoŕıa establecida por muchos años se en-
cuentran en desacuerdo con nuevos resultados experimentales, la teoŕıa se
puede desechar como descripción de la realidad, pero puede continuar sien-
do aplicable dentro de una gama limitada de parámetros mensurables. Por
ejemplo, las leyes de la mecánica clásica (leyes de Newton) son válidas so-
lamente cuando las velocidades son mucho más pequeñas que la velocidad
de la luz (es decir, en forma algebraica, cuando v/c << 1). Puesto que éste
es el dominio de una porción grande de la experiencia humana, las leyes
de la mecánica clásica se aplican extensa, provechosa y correctamente en
una gama grande de problemas tecnológicos y cient́ıficos. Sin embargo, en
naturaleza observamos un dominio en el cual v/c no es pequeño. Los movi-
mientos de objetos eneste dominio, aśı como el movimiento en el dominio
“clásico”, se describen exactamente con las ecuaciones de la teoŕıa de Eins-
tein de la relatividad. Creemos, debido a las pruebas experimentales, que la
teoŕıa relativista proporciona una descripción más general, y por lo tanto
más exacta, de los principios que gobiernan nuestro universo, que la teoŕıa
“clásica” anterior. Además, encontramos que las ecuaciones relativistas se
reducen a las ecuaciones clásicas en el ĺımite v/c << 1. Igualmente, la f́ısi-
ca clásica es válida solamente en escalas mucho mayores que las distancias
atómicas (x >> 10−8 m). Una descripción que es válida en todas las escalas
de longitud esta dada por las ecuaciones de la mecánica cuántica.
Todos somos familiares con teoŕıas que tuvieron que ser desechadas fren-
te a la evidencia experimental. En el campo de la astronomı́a, la descripción
de las órbitas planetarias centradas en la tierra fue derrocada por el siste-
ma de Copérnico, en el cual el sol fue colocado en el centro de una serie
de órbitas planetarias concéntricas circulares. Más adelante, ésta teoŕıa fue
modificada, ya que la medida del movimiento de los planetas dieron órbitas
compatibles con trayectorias eĺıpticas y no circulares, y aún más tarde se
encontró que el movimiento planetario se puede determinar con las leyes
de Newton.
El error o incertidumbre en un experimento tiene varias fuentes. Pri-
mero hay un error intŕınseco a los instrumentos de medida. Como este tipo
de error tiene igual probabilidad de producir una medida numéricamente
más alta o baja que el valor “verdadero”, se llama error aleatorio. En se-
gundo lugar, hay un error no aleatorio o sistemático, debido a factores que
desplazan el resultado en una dirección. Ninguna medida, y por lo tanto
ningún experimento, puede ser perfectamente exacto. Al mismo tiempo,
2.3. ERRORES COMUNES EN LA APLICACIÓN DEL MÉTODO CIENT́IFICO 9
en ciencia tenemos maneras estándares de estimar, y en algunos casos de
reducir las incertidumbres. Aśı, es importante determinar la exactitud de
una medida particular, al indicar resultados cuantitativos, para expresar la
incertidumbre de la medida. En experimentación una medida sin incerti-
dumbre no tiene sentido. La comparación entre el experimento y la teoŕıa se
hace dentro del contexto de las incertidumbres experimentales. Los cient́ıfi-
cos siempre piden cuántas desviaciones estándar tienen los resultados de la
predicción teórica, y si todas las fuentes de error sistemático y aleatorio se
han estimado correctamente.
2.3. Errores comunes en la aplicación del método
cient́ıfico
El método cient́ıfico procura reducir al mı́nimo la influencia de las ten-
dencias y prejuicios del cient́ıfico en el resultado de un experimento. Al
probar una hipótesis o una teoŕıa, es importante que las posibles preferen-
cias del cient́ıfico no influyan ni en los resultados ni en su interpretación.
El error más fundamental está en tomar una hipótesis para explicar un
fenómeno, sin la ejecución de pruebas experimentales. A veces el “sentido
común” y la “lógica” nos tientan a creer que no es necesario realizar prue-
bas. Hay ejemplos numerosos de esto que datan desde los filósofos griegos
hasta hoy.
Otro error común es omitir o eliminar datos que no apoyan la hipótesis.
Idealmente, el experimentador admite la posibilidad de que la hipótesis sea
cierta o falsa. A veces, sin embargo, un cient́ıfico puede tener una creencia
fuerte en que la hipótesis sea verdadera (o falsa), o sentir presiones inter-
nas o externas para conseguir un resultado espećıfico. En ese caso, puede
haber una tendencia sicológica a encontrar “algo malo” en los datos que
no apoyan sus expectativas, mientras que los datos compatibles pueden no
ser comprobados cuidadosamente. La lección es que todos los datos deben
manejarse de la misma forma.
Otro error común se presenta por la falta de estimar cuantitativamente
las incertidumbres sistemáticas (y todas las incertidumbres). Hay muchos
ejemplos de descubrimientos que se pasaron por alto en datos que conteńıan
un nuevo fenómeno, porque los experimentadores los reportaron como rui-
do o fondo sistemático. Inversamente, hay muchos ejemplos de anuncios de
“nuevos descubrimientos” que más adelante resultaron ser debidos a incer-
tidumbres sistemáticas no analizadas y explicadas como corresponde por
los “descubridores.”
10 CAṔITULO 2. EL MÉTODO CIENT́IFICO
En un campo donde hay experimentación activa y comunicación abierta
entre los miembros de la comunidad cient́ıfica, las tendencias de individuos
o grupos pueden ser canceladas, porque las pruebas experimentales son
repetidas por cient́ıficos diferentes que pueden tener tendencias diferen-
tes. Además, diversos tipos de disposiciones experimentales tienen diversas
fuentes de incertidumbre sistemática. En un peŕıodo (por lo general de va-
rios años) por el que atraviesa una variedad de pruebas experimentales, se
llega a un consenso en la comunidad cuando los resultados experimentales
han pasado la prueba del tiempo.
La gran ventaja del método cient́ıfico es que está libre de prejuicios:
uno no tiene que creer a un investigador dado, uno puede hacer de nuevo
el experimento y determinar si sus resultados son verdades o falsos. Las
conclusiones se sostendrán con independencia del estado mental, la per-
suasión religiosa, el estado de conocimiento del investigador o del tema de
investigación. La fe, definida por la real academia de la lengua española,
(www.rae.es) como la creencia que se da a algo por la autoridad de quien
lo dice o por la fama pública, no puede por śı sola determinar si una teoŕıa
cient́ıfica está adoptada o desechada, ya que esta no se basa sobre una
prueba lógica o evidencia material. Una teoŕıa no se acepta basándose en
el prestigio o el poder de convencimiento del autor, sino en los resulta-
dos obtenidos con observaciones y/o experimentos que cualquier persona
pueda reproducir. Los resultados obtenidos usando el método cient́ıfico son
repetibles. De hecho, la mayoŕıa de los experimentos y de las observacio-
nes se repite muchas veces (algunos no se repiten independientemente sino
como parte de otros experimentos). Si los requerimientos originales no se
verifican, se busca entonces el origen de tales discrepancias y se estudian
exhaustivamente para buscar una explicación.
2.4. Hipótesis, modelos, teoŕıas y leyes
En la f́ısica y otras disciplinas de la ciencia, las palabras hipótesis, mo-
delo, teoŕıa y ley, tienen diversas connotaciones en lo referente al estado de
aceptación o conocimiento de un grupo de fenómenos.
Una hipótesis es una declaración limitada con respecto a la causa y
efecto en situaciones espećıficas; también se refiere a nuestro estado del co-
nocimiento antes de que se haya realizado el trabajo experimental y quizás
incluso antes de que se hayan predicho nuevos fenómenos. Para tomar un
ejemplo de la vida diaria, suponga que descubre que su auto no arranca.
Puede decir, “mi auto no arranca porque la bateŕıa está baja”. Ésta es su
primera hipótesis. Puede entonces comprobar si las luces se dejaron encen-
2.4. HIPÓTESIS, MODELOS, TEOŔIAS Y LEYES 11
didas, o si el motor hace un sonido particular cuando se da vuelta a la llave
de encendido. Puede ser que pruebe directamente el voltaje a través de los
terminales de la bateŕıa. Si descubre que la bateŕıa no está baja, puede ser
que procure otra hipótesis (“el motor de arranque está dañado”, “éste no
es realmente mi auto”).
La palabra modelo se reserva para las situaciones cuando se sabe que la
hipótesis por lo menos tiene alguna validez. Un ejemplo citado a menudo es
el modelo de Bohr del átomo, en el que por analoǵıa con el sistema solar,
los electrones se mueven en órbitas circulares alrededor del núcleo. ésta no
es una representación exacta de lo que es el átomo, pero el modelo tiene
éxito matemáticamente en la determinación de las enerǵıas(pero no de los
momentos angulares correctos) de los estados cuánticos del electrón en el
caso más simple, el átomo del hidrógeno. Otro ejemplo es la ley del resorte
(o principio de Hook, o modelo del resorte), que indica que la fuerza ejercida
por una masa unida a un resorte es proporcional a la cantidad que se estira
el resorte. Sabemos que este principio es solamente válido para longitudes
de elongación pequeñas. La “ley” falla cuando el resorte se estira más allá de
su ĺımite elástico (puede deformarse permanentemente o romperse). Este
principio, sin embargo, conduce a la predicción del movimiento armónico
simple y, como modelo del comportamiento de un resorte, ha sido versátil
en una gama de usos muy amplia.
Una teoŕıa o ley cient́ıfica representa una hipótesis, o un grupo de
hipótesis relacionadas, que se ha confirmado a través de pruebas experi-
mentales repetidas. Las teoŕıas en la f́ısica se formulan a menudo en térmi-
nos de algunos conceptos y ecuaciones, que se identifican como “leyes de la
naturaleza,” sugiriendo su aplicabilidad universal.
Las teoŕıas cient́ıficas y leyes aceptadas se convierten en parte de nues-
tra comprensión del universo y la base para explorar áreas del conocimiento
menos comprendidas. Las teoŕıas no se desechan fácilmente; los nuevos des-
cubrimientos se asumen primero para encajar en el marco teórico existente.
Si después de repetidas pruebas experimentales, el nuevo fenómeno no pue-
de ser acomodado, los cient́ıficos cuestionan seriamente la teoŕıa y procuran
modificarla. La validez que asociamos a las teoŕıas cient́ıficas como repre-
sentación de la realidad del mundo f́ısico debemos contraponerla con la
anulación fácil implicada por la expresión, “es solamente una teoŕıa.” Por
ejemplo, es indeseable que una persona dé un paso afuera de un edificio
alto, bajo la asunción que no caerá porque la “gravedad es solamente una
teoŕıa”.
Los cambios en el pensamiento y teoŕıas cient́ıficas ocurren, por supues-
to, a veces revolucionando nuestra visión del mundo (Thomas, 1962). Una
12 CAṔITULO 2. EL MÉTODO CIENT́IFICO
vez más la fuerza clave para el cambio es el método cient́ıfico y su énfasis
en el experimento.
Circunstancias en las cuales el método cient́ıfico
no es aplicable
Además de ser necesario para desarrollar conocimiento, el método cient́ıfi-
co es también útil para solucionar problemas de la vida diaria. ¿Qué hace
cuando su teléfono no funciona? ¿Está el problema en el auricular, el cablea-
do dentro de su casa, la transmisión hacia afuera, o en el funcionamiento
de la compañ́ıa telefónica? El proceso que realice para solucionar el pro-
blema podŕıa implicar el pensamiento cient́ıfico y los resultados podŕıan
contradecir sus expectativas iniciales.
Como cualquier buen cient́ıfico, puede preguntarse por la gama de si-
tuaciones (fuera de la ciencia) en las cuales el método cient́ıfico puede ser
aplicado. De lo dicho arriba, determinamos que el método cient́ıfico fun-
ciona mejor en las situaciones en las que uno puede aislar el fenómeno de
interés, eliminando o teniendo en cuenta los factores externos, y en las que
uno puede probar repetidamente el sistema bajo estudio mediante cambios
limitados y controlados en él.
Hay, por supuesto, circunstancias en las que uno no puede aislar los
fenómenos o en las que uno no puede repetir la medida varias veces. En
tales casos los resultados pueden depender, en parte, de la historia de una
situación. Esto ocurre a menudo en interacciones sociales entre la gente. Por
ejemplo, cuando un abogado presenta argumentos frente a un jurado en el
tribunal, este no puede intentar otros enfoques repitiendo la prueba una y
otra vez delante del mismo jurado. En una nueva audiencia, la composición
del jurado será diferente. Incluso con el mismo jurado escuchando una nueva
argumentación, no se puede esperar que hayan olvidado lo que oyeron antes.
2.5. Los postulados de la ciencia
El postulado básico de toda ciencia afirma que la naturaleza es, en cierta
medida, previsible. Este postulado es simplemente una inferencia inductiva
basada en la experiencia humana. El hombre ha descubierto que los intentos
de previsión han sido suficientemente afortunados para ser útiles en la lucha
por la supervivencia. El postulado sirve únicamente para hacer notar que
el hombre espera continuar sus esfuerzos por hacer previsiones, mientras
estas le sean útiles.
2.5. LOS POSTULADOS DE LA CIENCIA 13
Los postulados cumplen una doble función: dar base al razonamiento
(punto de partida para el proceso de deducción lógica) y dar la definición
impĺıcita de los entes (conceptos fundamentales).
La historia de la ciencia muestra que los más destacados precursores
procuraron el conocimiento a partir de postulados generales de la ciencia:
el de orden, el de causalidad y el de la probabilidad, sucesivamente, Esta
separación se establece con la intención de hacer distinciones con base en
los métodos empleados en la continuidad fundamental de la ciencia, aun
cuando se sabe que históricamente hay un traslape entre el surgimiento,
desarrollo y desenlace de los peŕıodos correspondientes a cada uno de los
postulados, de igual forma que los métodos derivados del postulado causal
implican algunos de los métodos derivados del postulado del orden, y que
a su vez los métodos probabiĺısticos incluyen métodos casuales.
2.5.1. Postulado de orden
La creencia de vivir en un mundo ordenado fue una de las primeras bases
cient́ıficas, además de que es posible lograr conocimiento nuevo si se procede
dentro de este orden, o sea, conforme a un conjunto de normas y criterios
preestablecidos, en el que elegimos siempre las figuras y las fórmulas más
simples para nuestras explicaciones.
El sabio que interpreta el postulado del orden admitiendo a Dios, da un
sentido metaf́ısico, un sentido mı́stico a sus investigaciones. Este postulado
tiene la particularidad de derivar conocimiento taxonómico, a partir de la
metodoloǵıa de él mismo, esto es, el que clasifica todos los elementos que son
objeto de estudio en “categoŕıas” ubicadas en continuos, cuya capacidad de
descripción, explicación y predicción conduce al descubrimiento de las leyes
que rigen a los fenómenos de cada rama del conocimiento.
La definición, (M. Bunge, p: 139) en estrecha relación con la clasifica-
ción, es la operación que pone orden sobre los conocimientos adquiridos y
establece el marco de referencia para coordinar el trabajo cient́ıfico.
Definir desde lo más general equivale a delimitar, es decir, a indicar los
fines o ĺımites conceptuales de un ente con respecto a los demás, opera-
ción que consiste en la aprehensión de las caracteŕısticas comunes a una
clase y a la diferencia entre clases. La definición procura comunicar sólo las
caracteŕısticas cŕıticas esenciales e indispensables que hacen posible esta
delimitación, y en consecuencia la clasificación.
Para cada sistema de clasificación se ha de suponer un “universo del dis-
curso”, es decir un conjunto de elementos expresivos a los que los esquemas
14 CAṔITULO 2. EL MÉTODO CIENT́IFICO
de clasificación aplica los términos comprendidos. En etapas muy tempra-
nas de la ciencia, la definición adquirió su importancia como instrumento
de clasificación, puesto que quienes haćıan investigación, en primer término
deseaban sustituir el conocimiento adquirido a través de la familiarización
con las cosas, muy ligado a la percepción y a la acción directa y cotidia-
na, por un conocimiento teórico de carácter riguroso expresado mediante
un vocabulario técnico y preciso que a la vez permitiŕıa eliminar todo tipo
de ambigüedades del lenguaje ordinario. Quizá por eso Bertrand Rusell (R.
Bertrand, p: 12) se refeŕıa a la ciencia como “el terreno de lo definido”, esto
es, ah́ı donde el concepto sustituye a la unidad de pensamiento, y la defi-
nición, el instrumento para la clasificación, además de permitir la “puesta
enorden” de los conocimientos, “facilita su adquisición”.
El postulado del orden y su metodoloǵıa categorizadora, fue compartida
entre cient́ıficos como el naturalista Carlos Linneo (1707-1778), el f́ısico-
qúımico Robert Boyle (1627-1691) y el qúımico Dimitri Ivanovhich Mende-
leiv (1834-1907) entre otros, quienes intentaron despojarse de los conceptos
emanados de las corrientes vitalistas y espiritistas provenientes de la alqui-
mia, la astronomı́a y la medicina para sustituirlos por conceptos definidos
uńıvocamente al organizarlos y ordenarlos en categoŕıas. Los descubrimien-
tos permitieron hacer nuevas clasificaciones y éstas a su vez permitieron
hacer nuevos planteamientos que sirvieron de base para más leyes cient́ıfi-
cas.
La definición y la clasificación son operaciones metodológicas inherentes
a la ciencia que se ha ido adaptando y perfeccionando de acuerdo con las
caracteŕısticas del postulado de la causalidad y de la probabilidad, que
precede al postulado de orden.
2.5.2. Postulado de causalidad
La noción de causas y efecto es antropomórfica, derivada de los con-
ceptos de fuerza y acción, cuando las fuerzas no hab́ıan sido definidas con
precisión por la f́ısica y el modelo de una fuerza era todav́ıa como la que
empleó Sansón para derribar el templo de los filisteos.
La mayoŕıa de los filósofos ha pensado, y aun lo sigue haciendo, que
precisamente uno de los objetivos más importante que persigue la ciencia,
es el de encontrar causas en los fenómenos o eventos. Por este motivo, los
filósofos han buscado expresiones de lo que piensan que es, o debe hacer,
el principio de causalidad. Este postulado supone el establecimiento de re-
laciones funcionales entre variables, y surge de la pregunta ¿Qué es lo que
determina que las cosas y los fenómenos sean como son? Anteriormente, la
2.5. LOS POSTULADOS DE LA CIENCIA 15
determinación causal fue una entre muchas de las determinaciones conside-
radas como de necesidad. El postulado de determinación causal establece
que todo tiene una causa, y fue definido tanto por materialistas como por
empiristas, racionalistas y nominalistas.
Muchos hombres de ciencia estuvieron vinculados a este postulado, al
que con posterioridad se le denominó corriente mecanicista de la ciencia:
su mayor expresión está plasmada en la creencia de Newton de que to-
da predicción cient́ıfica es semejante a la predicción astronómica: dadas la
situación y las velocidades de todos los cuerpos celestes en un momento
dado, se pueden predecir todos sus movimientos a partir de ese momento
y hasta el infinito. Laplace extiende esa afirmación no solo hacia el futuro,
sino hacia el pasado infinito. Para estos hombres de ciencia, el postulado en
cuestión consistió en el descubrimiento de leyes causales que eventualmente
pudieran conducir a la realización del cálculo ideado por Newton para ex-
plicar el pasado y predecir el futuro, aspiración coherente con la convicción
mecanista de que todo está perfectamente determinado, pero además, de
que esta determinación es de orden causal.
2.5.3. Postulado de la probabilidad
Los más recientes descubrimientos de la ciencia señalan que el mundo
no está absolutamente determinado. Esto ha llevado a la formulación de la
determinación probabiĺıstica que consiste en la sustitución del concepto de
evento inevitable, por el de tendencia probable.
El modelo de Newton aportaba la seguridad de que todo fenómeno era
resultado de muchas variables y que estas seŕıan descubiertas paso a paso
aislándolas de manera paulatina hasta su numeración final, en el resultado
natural de su concepción del espacio y el tiempo como absolutos. Actual-
mente, la f́ısica demuestra que no se puede considerar al espacio y al tiempo
de manera independiente en relación con el observador. Los avances de la
teoŕıa de la f́ısica y sus cambios en la metodoloǵıa se acompañan de la pérdi-
da de inteligibilidad, en la medida que ya no es posible ajustar la imagen
del mundo sobre la estructura espacio-tiempo.
Los creadores de la estad́ıstica aplicada en el campo de la psicoloǵıa dife-
rencial, Francis Galton (1822-1911) y Karl Pearson (1857-1936), realizaron
observaciones de los rasgos humanos que marcaron derrotero en el desarro-
llo de esta disciplina. Su perspectiva supera la del postulado del orden y el
postulado causal, para alcanzar el nivel del postulado de la probabilidad.
Dichos creadores incluyeron que cada rasgo humano teńıa una distribución
“probable” en un grupo de personas de donde derivaron al menos dos con-
16 CAṔITULO 2. EL MÉTODO CIENT́IFICO
secuencias: la teoŕıa de las diferencias estad́ısticas, que se supone que son
la base de la ciencia futura, y la convicción de que el concepto de causa,
que anteriormente fue fundamental, pero que ahora según Pearson, hab́ıa
de desechar.
Otras investigaciones se siguieron realizando en el campo de la expe-
rimentación a partir de un análisis causal de los fenómenos, en la apro-
ximación que supone la diferencia clásica entre variables independientes y
dependientes. Percy William Bridgman (1882-1961), en 1927, encontró que
los resultados y las conclusiones de esos trabajos difeŕıan en forma signifi-
cativa de los de otros investigadores. Posteriormente comprobó que hab́ıa
un error en la forma de interpretación de los conceptos implicados en las
hipótesis que investigó. Para remediarlo replanteó los conceptos implicados,
definiéndolos operacionalmente, provisional y transitoriamente favorece un
acuerdo ı́nter subjetivo sobre el contenido y la posible extensión del con-
cepto; esto es, se construye con referencia a un experimento que entraña la
descripción del procedimiento: localización, medición y registro de aconte-
cimientos.
Bridgman (P.W. Bridgman, p: 17) con su tesis, significó un avance im-
portante en la ciencia, pues al señalar que los conceptos son sólo definibles
a través de su uso, estableció las bases para distinguir las proposiciones que
son susceptibles de confrontación de los problemas seudo cient́ıficos que no
admiten esta forma de decisión.
Lo que plantea este postulado no es la determinación absoluta, si no que
pasa del concepto causa-efecto inevitable al concepto de tendencia probable,
esto es, se plantea que es posible conocer con exactitud el comportamiento
individual o de sus partes. O como el mismo Bridgman (P.W. Bridgman,
p: 46) dice “Se conocen las tendencias generales constantes a partir de las
fluctuaciones particulares”.
2.6. Bibliograf́ıa
1. W. E. Bright. An introduction to Scientific Research, McGraw-Colina,
1952.
2. K. Thomas. The structure of scientific revolutions, Univ. Of Chicago
Press, 1962.
3. J. Barrow, Theories of everything, Oxford Univ. Press, 1991.
4. R. Bradbury, Fahrenheit 451, Barcelona, Plaza, & Janes, 1967.
2.6. BIBLIOGRAF́IA 17
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1927.
6. M. Bunge, La ciencia su método y su filosof́ıa, Buenos Aires. Eds.
Siglo Veinte, 1978. La investigación cient́ıfica. Su estrategia y su filo-
sof́ıa, 2da. ed. México, Ed. Planeta, 1983 (Colec. Methodos).
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duccion Ciencias/metodo.html.
8. N. Campbell, What is science?, New York, Dover Publ., 1952.
9. C. Morris R. y E. Nagel, An introduction to logic and scientific met-
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10. E. Nagel, The nature and aim of science, En Sidney Morgenbesser,
Philoshophy of science today, New York Basic Books 1967, cap. 1.
11. L. Rosas, y H. G. Riveros, Iniciación al método experimental, 2a ed.,
México, Ed. Trillas, 1990.
12. A. Rosenblueth, El método cient́ıfico, México, CINVESTAV-IPN, 1971.
13. B. Russell, Historia de la filosof́ıa, Madrid, Aguilar, 1973. La pers-
pectiva. Barcelona, Ariel, 1971.
14. M. Walker, El pensamiento cient́ıfico, México, Ed. Grijalbo, 1968.
15. IPN Ciencia arte y cultura. El método cientifico. mayo 1996.
http://www.hemerodigital.UNAM.mx/ANUIES/ipn/arte-ciencia-culturalmay96/anota/sec-2.html.
16. http://teacher.pas.rochester.edu/phy labs/AppendixE/AppendixE.
html.
17. http://physics.ucr.edu/∼wudka/Phisics7/Notes www/node5.html.
18 CAṔITULO 2. EL MÉTODO CIENT́IFICO
Caṕıtulo 3
Teoŕıa de incertidumbres
3.1. Introducción
Un experimento es simplemente la observación metódica de algún com-
portamiento interesante de la naturaleza. En el proceso de medición que se
realiza en el experimento, tanto el ejecutante como el instrumento de medi-
da, participan activa y determinantemente, puesto que siempre se presenta
una interacción de mayor o menor intensidad entre lo observado y quien
lo hace. Inclusive esto queda claramente plasmado, debe quedar, en la ex-
presión misma del resultado, el cual no puede ser por lo tanto de carácter
infalible o infinitamente preciso, sino que por el contrario debe reflejar todas
las limitaciones del juicio humano y de la técnica instrumental.
Lord Kelvin resumió la importancia de la medición como parte primor-
dial de la ciencia en la siguiente expresión:
Con frecuencia digo que, cuando se puede medir y expresar con
números aquello sobre lo cual se está hablando, se sabe algo
acerca del tema; pero cuando no se puede medir, cuando no es
posible expresarlo con números, el conocimiento es mezquino e
insatisfactorio; tal vez sea el principio del conocimiento, pero
sólo representa un pequeño paso hacia la etapa cient́ıfica, sea
cual fuere el tema de que se trate.
Es bien sabido que la especificación de una magnitud f́ısicamente men-
surable requiere cuando menos de dos elementos:
1. Un número.
19
20 CAṔITULO 3. TEOŔIA DE INCERTIDUMBRES
2. Una unidad.
(A veces también es necesario especificar la dirección de magnitudes
vectoriales y ciertas magnitudes tensoriales.)
Con frecuencia se menosprecia un tercer elemento que tiene virtual-
mente la misma importancia:
3. Indicar la confiabilidad o grado en que se puede confiar en el valor
establecido y que, por lo común, se conoce como “́ındice de precisión”.
Cuando una ciencia se desarrolla y llega a su madurez, sus experimen-
tos tienden a hacerse más exactos y/o elaborados, pero siempre hay
áreas o experimentos particulares en que sólo se obtiene una precisión
relativamente baja, y otros en los que es aceptable y aún conveniente
una precisión media o relativamente baja. En las fronteras de una
rama en desarrollo (ciencia nuclear o espacial, por ejemplo), es posi-
ble y necesaria por un lado, una alta precisión y por otro, puede ser
un gran obstáculo el obtener un valor confiable en un 100 % o en un
cierto orden de magnitud.
Cada cient́ıfico e ingeniero debe ser capaz de evaluar lo relativo de una
medición, sea ésta directa o indirecta. Debe desarrollar una “conciencia del
error”, alerta en todo tiempo, aun cuando no esté en completa operación.
Esto es tan importante en el manejo de magnitudes de baja precisión, como
en el de magnitudes muy exactas.
Lo anterior significa que cuando se pretenda comunicar el resultado de
un experimento, se debe incluir además información suficiente del grado de
seguridad o confianza con el que la medición fue realizada.
El resultado de todo experimento está pues afectado por una cierta
incertidumbre. Por ejemplo, alguien puede sostener que ha pesado n veces
un objeto cualquiera, que obtuvo un valor promedio de 12.75 kg y que en
el 90 % de sus n medidas su resultado se encuentra entre 12.70 y 12.80 kg.
Aśı en conjunto, la información suministrada es mucho más completa que
el simple valor de 12.75 kg y corresponde mejor a lo que inexorablemente
es el producto de una acción experimental cualquiera.
Por otra parte, si además se desea realmente que un resultado sea consi-
derado con atención e interés, la información debe complementarse con los
métodos y equipos de medida, la descripción de las causas más importantes
de incertidumbre y los demás detalles que se crean oportunos. De esa forma,
quien se entere del resultado tendrá argumentos más sólidos para juzgar y
decidir sobre la calidad global del experimento.
3.2. MEDIDAS 21
El número de cifras significativas (ver caṕıtulo 5) que contenga el re-
sultado de un experimento se suele aceptar como una manera de expresar
el orden de magnitud de las incertidumbres de la medida.
Queda claro entonces, que ningún experimento en el que se mide una
cierta magnitud es absolutamente preciso, es decir, el resultado de la medida
no coincide exactamente con el valor real de la magnitud. Si queremos utili-
zar el experimento para comprobar una teoŕıa (o también para caracterizar
un producto que va a ser comercializado) es necesario estimar la desviación
del valor medido con respecto al valor real. La teoŕıa de incertidumbres
estudia cómo estimar esta desviación.
En este caṕıtulo se explica qué es la incertidumbre de una medida,
cómo se calcula y cómo deben expresarse los resultados de las medidas. El
contenido y el nivel del material de este caṕıtulo han sido preparados de
manera que sean apropiados y útiles desde el principio. Sólo se requieren
conocimientos de F́ısica básica de enseñanza media. Por esta razón no hay
desarrollos en los que se emplee más que cálculo completamente elemental.
Si bien las relaciones derivadas de la teoŕıa estad́ıstica se presentan sin
prueba, se ha procurado que las ideas básicas sean lógicas y accesibles.
En el laboratorio es necesario calcular, en todas las prácticas, la incer-
tidumbre. Toda práctica debe incluir las incertidumbres de las medidas y
expresar los resultados tal y como se explica en éste y en los dos caṕıtulos
siguientes. éstos son requisitos mı́nimos para que una práctica sea corregida.
3.2. Medidas
Como se mencionó en el punto anterior, la especificación de una mag-
nitud f́ısicamente mensurable requiere de tres elementos:
1. Un número.
2. Una unidad.
3. El ı́ndice de precisión con que se realizó la medida.
Por lo tanto, los resultados de las medidas tomadas en un experimento
deben contener los elementos que se muestran en la figura (3.1). Adicio-
nalmente, tanto el valor como su incertidumbre deben estar expresados
correctamente mediante un número dado de cifras significativas. Para ello,
en muchos casos es necesario hacer uso del redondeo el cual se hace como
se indica en el caṕıtulo 5 (sección 5.3). El manejo de las cifras significativas
también se presenta en el caṕıtulo 5.
22 CAṔITULO 3. TEOŔIA DE INCERTIDUMBRES
(252 ± 37) cm 
Resultado de una medida
 valor incertidumbre unidad
(el valor y la incertidumbre debidamente redondeados) 
Figura 3.1: Cómo se expresan las medidas.
3.2.1. Tipos de medición
Las mediciones pueden ser directas o indirectas.
Mediciones directas
Las mediciones directas son el resultado de la comparación directa que
se realiza de una magnitud f́ısica desconocida, con la ayuda de instrumentos
apropiados. Tres de los más importantes tipos de comparación directa son:
(a) Mediciones de balance, igualdad o nulidad
Aqúı, el valor estándar se selecciona o se ajusta para ser igual a x y
se registra el valor del balance. Las mediciones de este tipo suelen dar
resultados extremadamente precisos.
La garant́ıa de un automóvil es tan buena como el fabricante quiera
hacerla. La garant́ıa de los datos experimentales se basa en la integridad
de los fabricantes de instrumental y de los experimentadores.
Un ejemplo obvio es pesar a la manera antigua, en balanza de brazos
iguales. Otro es la medición de resistencia eléctrica mediante el uso de
un puente de Wheastone de relación 1: 1.
(b) Mediciones de pequeña diferencia.
3.2. MEDIDAS 23
Si la diferencia
x− s = ∆ (3.1)
está determinada, entonces
x = s + ∆ (3.2)
(∆ puede ser positivo o negativo)
Cuando el valor de ∆ es pequeño se pueden tolerar incertidumbres
relativamente grandes (en porcentaje) sin introducir grandes errores
en x. Como ejemplo, considérese la medición de una longitud un poco
mayor de 0.5 pulg, usando una regla de 0.5pulg como estándar (s) y
un detector de diferencia para ∆. Supóngase que el indicador se coloca
en cero, usando un bloque calibrado para el cual s = 0.500000 pulg ±
5 µpulg (± 0.000005 pulg). Ahora se substituye x por s y se supone
que el medidor indica la diferencia ∆ = (98 ± 2) µpulg.
Es obvio que x = 0.500098 pulg. Se debe notar también que la incerti-
dumbre de ± 2 µpulg en ∆, que es ± 2 % del valor de ∆, contribuyen
menos a la incertidumbre en x que lo que contribuye la tolerancia de
± 5 µpulg (0.001 %) en el valor de s de 0.500000. Este es un ejemplo
un tanto exagerado pero ilustrativo de las posibilidades.
(c) Medición de relación
Una incógnita x se compara con una s conocida en términos de alguna
fracción o múltiplo (R).
Entonces
x = Rs (3.3)
R se debe determinar operacionalmente.
Un buen ejemplo es el potenciómetro lineal, como el que se usa en los
dispositivos de medición. En este caso se aplica una diferencia de po-
tencial estandarizada s a través de una resistencia. Por lo común esta
última es un alambre largo y uniforme (que puede estar enrollado),
arreglado de manera que un contacto deslizante pueda separar una de-
terminada fracción de su longitud (R) y, por lo tanto, la misma fracción
de su resistencia. Para un alambre uniforme, esto también significa que
la diferencia de potencial seleccionada tiene aśı mismo la relación (R)
respecto a s.
La precisión con que se determine R (en base fraccional o de porcentaje)
será un factor importante en la confiabilidad del valor medido de x (ver
Fig. 3.2).
24 CAṔITULO 3. TEOŔIA DE INCERTIDUMBRES
x
s
Figura 3.2: Esquema de un potenciómetro lineal.
Mediciones indirectas o derivadas
Son el resultado del cálculo de un valor como una función de una o más
mediciones directas.
Como ejemplo, se tiene el volumen de una esfera determinado a partir
de la medición directa de su diámetro:
V =
1
6
πD3. (3.4)
El diámetro D, una longitud, se puede medir directamente con la sufi-
ciente aproximación para lograr varios propósitos. Entonces se puede cal-
cular el volumen V ; cualquier inexactitud en D será triplicada en la deter-
minación del volumen.
Por lo que respecta al volumen de un cilindro recto circular de diámetro
D y longitud L, éste es
V =
π
4
D2L. (3.5)
Si observadores imparciales miden D y L usando diferentes instrumen-
tos, los errores en D y L no serán necesariamente compuestos, pero en D2
śı hay un efecto compuesto.
En este caṕıtulo se trata de hacer accesible un método sencillo, pero con-
fiable, para evaluar la precisión de las mediciones directas y para localizar
las inexactitudes en los cálculos que se hacen en una medición indirecta.
3.3. ERRORES O INCERTIDUMBRES EXPERIMENTALES 25
3.3. Errores o incertidumbres experimentales
En ciencias e ingenieŕıa, el concepto de error tiene un significado dife-
rente del uso habitual de este término. Coloquialmente, es usual el empleo
del término error como análogo o equivalente a equivocación. En ciencia e
ingenieŕıa, el error, como veremos en lo que sigue, está más bien asociado al
concepto de incerteza en la determinación del resultado de una medición.
Más precisamente, lo que procuramos en toda medición es conocer las co-
tas (o ĺımites probabiĺısticos) de estas incertezas. Gráficamente, buscamos
establecer un intervalo x̄ −∆x ≤ x̄ + ∆x como el de la Figura 3.3, donde
con cierta probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejor valor de
la magnitud x. Este mejor valor, x̄, es el más representativo de nuestra
medición y al semiancho ∆x lo denominamos la incerteza o incertidumbre
o error absoluto de la medición. El valor real de la magnitud medida se
encuentra, con cierta probabilidad, en alguna parte del intervalo hallado.
En todo proceso de medición existen limitaciones dadas por los instru-
mentos usados, el método de medición, y el observador (u observadores)
que realiza la medición. Además, el mismo proceso de medición introdu-
ce errores o incertezas. Por ejemplo, cuando usamos un termómetro para
medir una temperatura, parte del calor del objeto fluye al termómetro (o
viceversa), de modo que el resultado de la medición es un valor modificado
del original debido a la inevitable interacción que debimos realizar. Es cla-
ro que esta interacción podrá o no ser significativa. Si estamos midiendo la
temperatura de un metro cúbico de agua, la cantidad de calor transferida
al termómetro puede no ser significativa, pero śı lo será si el volumen en
cuestión es de una pequeña fracción del mililitro.
Figura 3.3: Intervalo asociado al resultado de una medición. Notamos que,
en lugar de dar un único número, definimos un intervalo. Al valor represen-
tativo del centro del intervalo (x) lo llamamos el mejor valor de la magnitud
en cuestión. El semiancho del intervalo (∆x) se denomina la incertidumbre
o error absoluto de la medición.
Tanto los instrumentos que usamos para medir, como las magnitudes
mismas son fuente de incertezas al momento de medir. Los instrumentos
26 CAṔITULO 3. TEOŔIA DE INCERTIDUMBRES
tienen una precisión finita, por lo que, para un instrumento dado, siem-
pre existe una variación mı́nima de la magnitud que puede detectar. Esta
mı́nima cantidad se denomina la apreciación nominal del instrumento. Por
ejemplo, con una regla graduada en miĺımetros, no podemos detectar cla-
ramente variaciones menores que una fracción del miĺımetro.
A su vez, las magnitudes a medir no están definidas con infinita preci-
sión. Imaginemos que queremos medir el largo de una mesa. Es posible que
al usar instrumentos cada vez más precisos empecemos a notar las irregu-
laridades t́ıpicas del corte de los bordes o, al ir aún más allá, finalmente
detectemos la naturaleza atómica o molecular del material que la constitu-
ye. En ese punto la longitud dejará de estar bien definida. En la práctica,
es posible que mucho antes de estos casos ĺımite, la falta de paralelismo en
sus bordes haga que el concepto de la “longitud de la mesa” comience a ha-
cerse cada vez menos definido, y a esta limitación intŕınseca se le denomina
incerteza intŕınseca o falta de definición de la magnitud en cuestión.
Otro ejemplo seŕıa el caso en que se cuenta la cantidad de part́ıculas
alfa emitidas por una fuente radioactiva en 5 segundos. Sucesivas medicio-
nes arrojarán diversos resultados (similares, pero en general distintos). En
este caso, de nuevo, estamos frente a una manifestación de una incerteza
intŕınseca asociada a esta magnitud “número de part́ıculas emitidas en 5
s”, más que al error de los instrumentos o del observador.
3.4. Algunos conceptos básicos
Otra fuente de error que se origina en los instrumentos además de la
precisión es la exactitud de los mismos. Como vimos, la precisión de un
instrumento o un método de medición está asociada a la sensibilidad o me-
nor variación de la magnitud que se pueda detectar con dicho instrumento
o método. Aśı, decimos que un tornillo micrométrico (con una apreciación
nominal de 10 µm) es más preciso que una regla graduada en miĺımetros;
o que un cronómetro es más preciso que un reloj común, etc.
La exactitud de un instrumento o método de medición está asociada a
la calidad de la calibración del mismo. Imaginemos que el cronómetro que
usamos es capaz de determinar la centésima de segundo pero adelanta dos
minutos por hora, mientras que un reloj de pulsera común no lo hace. En
este caso decimos que el cronómetro es todav́ıa más preciso que el reloj
común, pero menos exacto. La exactitud es una medida de la calidad de la
calibración de nuestro instrumento respecto a patrones de medida aceptados
internacionalmente.
3.5. CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES 27
Por lo general, los instrumentos vienen calibrados, pero dentro de ciertos
ĺımites. Es deseable que la calibración de un instrumento sea tan buena
como la apreciación del mismo. La Figura 3.4 ilustra de modo esquemático
estos dos conceptos.
Figura 3.4: Estafigura ilustra de modo esquemático los conceptos de pre-
cisión y exactitud. Los centros de los ćırculos indican la posición del “valor
verdadero” del mesurando y las estrellas los valores de varias determina-
ciones del centro. La dispersión de los puntos da una idea de la precisión,
mientras que su centro efectivo (centroide) está asociado a la exactitud. a)
es una determinación precisa pero inexacta, mientras d) es más exacta pero
imprecisa; b) es una determinación más exacta y más precisa; c) es menos
precisa que a).
3.5. Clasificación de los errores
Las grandes confusiones no se consideran parte de los errores experi-
mentales. El mal uso de los instrumentos, la mala lectura de las escalas, el
deficiente manejo de los datos, los errores numéricos y matemáticos y otras
28 CAṔITULO 3. TEOŔIA DE INCERTIDUMBRES
confusiones similares se pueden pasar por alto por innecesarios cuando se
tiene entrenamiento adecuado, supervisión, experiencia y cooperación. Por
desgracia no se puede decir lo mismo de los errores experimentales, los cua-
les, aunque se pueden reducir, están siempre presentes. La ĺınea divisoria
entre las equivocaciones menores y los errores inevitables es sumamente
sutil.
Se acostumbra y es conveniente dividir el error experimental en tres
clases, debido a la diferencia de ı́ndole y a los métodos de tratamiento:
1. Errores sistemáticos.
2. Errores aleatorios, erráticos o estad́ısticos.
3. Errores ileǵıtimos o espurios.
En la Fig. 3.5 se muestra una comparación entre los errores sistemáticos
y los errores aleatorios que permite diferenciarlos perfectamente en una
medición. También se muestra que los dos tipos de errores se combinan
para dar una incertidumbre total a la medida realizada. En los siguientes
numerales se hará una descripción detallada de los diferentes tipos de error.
x +σ x- σ 
x
ERROR TOTAL
error sistemático
error aleatorio x
x verdadero
Figura 3.5: Comparación de los diferentes errores de una medida.
3.5.1. Los errores sistemáticos
Se deben a diversas causas y son, para empezar, determinables y corre-
gibles si se sabe lo suficiente de la f́ısica del proceso. Se originan por las
imperfecciones de los métodos de medición y/o teoŕıas usadas. Por ejemplo,
3.5. CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES 29
pensemos en un reloj que se atrasa o adelanta, o en una regla dilatada, el
error de paralaje, etc. Se les llama sistemáticos porque dan efectos consis-
tentes como valores que son consistentemente muy altos o muy bajos. Los
métodos para trabajar con errores sistemáticos y algunos ejemplos t́ıpicos
se presentan en el numeral 3.6.6.
3.5.2. Los errores aleatorios o estad́ısticos
Estos son la suma de un gran número de perturbaciones individuales
pequeñas y fluctuantes que se combinan para dar resultados que son muy
altos en un momento (o lugar) y muy bajos en otro. Las causas individuales
pueden ser conocidas o sólo sospechadas. Aunque por lo general se pueden
reducir los errores accidentales en su efecto total, no se pueden eliminar
por completo ni evaluar en forma individual. En general, mientras mayor
es la sensibilidad de un proceso de medición, más importante es el papel
de las variaciones erráticas. En el numeral 3.7 se da una introducción a los
métodos estad́ısticos que se usan en sus análisis.
Hay una clase de errores conocida como la de los errores residuales que se
introduce algunas veces para describir los errores sistemáticos remanentes
pero indeterminados, siempre presentes o sospechados después de que se ha
realizado toda corrección posible. Puesto que son indeterminados, se deben
incluir entre los errores accidentales, si bien se deben tratar de manera un
tanto diferente.
3.5.3. Los errores ileǵıtimos o espurios
Supongamos que deseamos calcular el volumen de un objeto esférico y
para ello determinamos su diámetro. Si al introducir el valor del diámetro
en la fórmula, nos equivocamos en el número introducido, o lo hacemos
usando unidades incorrectas, o bien usamos una expresión equivocada del
volumen, claramente habremos cometido un error. Esta vez el error está más
asociado al concepto convencional de equivocación. A este tipo de errores
los designamos como ileǵıtimos o espurios. y no se aplica la teoŕıa estad́ıstica
de errores y el modo de evitarlo consiste en una evaluación cuidadosa de
los procedimientos realizados en la medición. Un ejemplo de este tipo de
error es el que se cometió en el Mars Climate Explorer a fines de 1999, al
pasar de pulgadas a cent́ımetro se cometió un error que costó el fracaso de
dicha misión a Marte.
Una analoǵıa correcta, para errores sistemáticos y aleatorios, la dan los
patrones de tiro cuando se dispara con un rifle hacia un blanco. El rifle se
30 CAṔITULO 3. TEOŔIA DE INCERTIDUMBRES
apunta al blanco “verdadero” de la misma manera que se trata de asegurar
datos experimentales que nos den un valor “verdadero”. Los patrones de la
Fig. 3.6 son muestras de disparos hechos con dos rifles diferentes, cada uno
de ellos colocado y apuntado de la misma forma hacia blancos idénticos.
Figura 3.6: Disparos hechos con dos rifles diferentes para ver la diferencia
entre precisión y exactitud.
En ambos casos el centro de fuego se desplaza sistemáticamente desde
el centro del blanco, en el patrón (b) menos que en el (a). Se ha propuesto,
aunque no aceptado universalmente, que la palabra, exactitud se asocie
con los desplazamientos sistemáticos (“errores”) de este tipo. Con base
en ello, el patrón (b) es más esmerado que el (a). La dispersión de los
“valores” individuales (cuya localización individual vaŕıa aleatoriamente y
no se puede predecir) es menor en (a) que en (b). La palabra precisión se
ha recomendado como una medida inversa de la dispersión o diseminación.
Con esta base, la precisión del patrón (a) excede a la de (b). Es conveniente
explicar qué se entiende en el análisis de errores cuando no se cuenta con
términos universalmente aceptados.
3.6. Los errores sistemáticos
El comportamiento de las part́ıculas fundamentales individuales como
electrones, fotones, etc. -aun de átomos o moléculas individuales- no se pue-
de predecir con exactitud. Esto no se debe a deficiencias de los instrumentos
o de las teoŕıas, o a conocimientos insuficientes, sino que se origina en las
propiedades cuánticas de las part́ıculas.
Reconforta pensar que en el universo macroscópico en el que vivimos y
hacemos mediciones y la mayor parte de nuestras observaciones, el compor-
3.6. LOS ERRORES SISTEMÁTICOS 31
tamiento global estad́ıstico del enorme número de part́ıculas involucradas
es el que rige los fenómenos en los cuales el efecto sigue a la causa. No es de
sorprender que uno tienda a sentirse en su medio al afrontar el problema
de atender errores que se deben a agentes perturbadores sistemáticos. No
significa que en cada experimento se emprenda de inmediato la tarea de eli-
minar los errores sistemáticos o hacerlos fantásticamente pequeños. Tales
procedimientos, que ocasionan gastos considerables de dinero y esfuerzo,
con frecuencia son innecesarios y a veces hasta indeseables. Una gama muy
amplia de mediciones es suficientemente satisfactoria si la incertidumbre va
de algunas décimas de por ciento hasta algunos tantos por ciento.
Muchos errores sistemáticos corresponden a alguna de las cuatro cate-
goŕıas principales:
1. Teóricos 3. Ambientales
2. Instrumentales 4. De observación
3.6.1. Los errores teóricos
Los errores teóricos conciernen a las ecuaciones o relaciones que se usan
en el diseño o calibración de los instrumentos o en la determinación de medi-
ciones indirectas. En el ĺımite se puede permitir una pequeña incertidumbre
para los errores teóricos desconocidos, pero en general, los errores teóricos
se toleran (o corrigen) para permitir el uso de ecuaciones aproximadamente
correctas que pueden reemplazar las formulaciones muy complejas o inabor-
dables.
La ciencia avanza en gran medida con baseen aproximaciones: primero,
el estudio de los factores más importantes; después, la corrección de factores
secundarios. Conceptos tales como las superficies sin fricción, las cuerdas
ligeras y no extensibles, las poleas ligeras y sin fricción y otros, vendrán a
la mente como temas en que no se busca una solución de primera instan-
cia en los problemas mecánicos, sino que posteriormente, se espera hallar
soluciones más exactas.
Un ejemplo excelente se tiene también en el caso del péndulo “simple”
(y es aplicable a los péndulos f́ısicos, reales); ver la Fig. 3.7.
Para encontrar el tiempo de oscilación o periodo (T ) de un ciclo com-
pleto, la ecuación diferencial del movimiento variable se resuelve con mucha
mayor facilidad si F = mgθ. Ahora, si θ ≈ sin θ, para ángulos pequeños, y
si θ ≈ sin θ es pequeño, el valor del periodo se calcula como
32 CAṔITULO 3. TEOŔIA DE INCERTIDUMBRES
T0 = 2π
√
`
g
(3.6)
F =mg sen θ
mg
m
l
θ
Figura 3.7: A cualquier ángulo de desplazamiento θ, en la esfera del péndulo
actúa una fuerza de restauración, F , que es una componente mg. sin θ del
peso mg.
En la tabla 3.1 se muestran algunos valores de θ y sin θ.
Tabla 3.1: Valores de θ y sin θ.
θ (exacto) θ
sin θ
%
(grados) (radianes) diferencia
1.0 0.01745 0.01745 0.00
3.0 0.05236 0.05234 0.04
5.0 0.08727 0.08716 0.13
10.0 0.17453 0.17365 0.51
15.0 0.26180 0.25882 1.15
30.0 0.52360 0.50000 4.72
Si se efectúa la solución mucho más dif́ıcil de la ecuación de movimiento
usando el término exacto F = mg sin θ, el resultado no es una respuesta
cerrada, sino una solución en serie:
3.6. LOS ERRORES SISTEMÁTICOS 33
T = 2π
√
`
g
(
1 +
1
4
sin2
θ
2
+
9
64
sin4
θ
2
+ · · ·
)
. (3.7)
esto es lo mismo que
T = T0 ·
(
1 +
1
4
sin2
θ
2
+
9
64
sin4
θ
2
+ · · ·
)
, (3.8)
donde T0 es la primera aproximación -el valor de T cuando θ se aproxima
a cero. La discrepancia porcentual en T comparado conT0 es menor que la
diferencia correspondiente entre θ y sin θ. Ver tabla 3.2.
Es obvio que los errores teóricos de este tipo se pueden ajustar para
satisfacer las demandas globales de precisión del proceso de medición que
se considere.
3.6.2. Los errores instrumentales
Puesto que el observador y el medio ambiente forman parte del proceso
completo de medición, es dif́ıcil separar los errores puramente instrumen-
tales. Sin embargo, es posible hacerlo y, en la actualidad, los fabricantes de
instrumentos garantizan que sus instrumentos tendrán “errores de no más
de —–”. Una expresión de este tipo da el ĺımite residual dentro del cual el
fabricante garantiza que se producirán los errores. Los términos “ĺımite de
error” y “ĺımite de precisión” son de uso común.
Tabla 3.2: Comparación del periodo de un péndulo simple usando la fórmula
aproximada (Ec. (3.6)) y la completa (Ec. (3.8)).
θ (grados) T0 (base 1.0) T
% Dif.
(T − T0)/T0
1.0 1.00000 1.00002 +0.002
3.0 1.00000 1.00018 +0.018
5.0 1.00000 1.00048 +0.048
10.0 1.00000 1.00191 +0.190
15.0 1.00000 1.00480 +0.48
30.0 1.00000 1.01808 +1.81
La Asociación Americana de Normas y la Sociedad Americana para
Prueba de Materiales recomiendan que el ĺımite de error se iguale a la
34 CAṔITULO 3. TEOŔIA DE INCERTIDUMBRES
cuenta mı́nima o a la lectura más pequeña que se obtenga con el instru-
mento. Un buen ejemplo es el de los medidores eléctricos con un tablero de
2 a 4 pulgadas, que se usan con fines diversos. Por lo común, estos instru-
mentos tienen cincuenta divisiones (si son lineales) y generalmente están
garantizados para un ĺımite de error de ±2% del valor total de la escala
(es decir, ± una división). Tales instrumentos generalmente son de lectu-
ras reproducibles para un ĺımite superior al conocido, pero el logro de algo
mejor que el ± 2% requiere una recalibración individual y frecuente.
No es económico hacer medidores eléctricos con un ĺımite de error menor
que el 0.5 % de la escala completa, como los instrumentos de laboratorio
costosos, pesados e incómodos que se fabricaron en una época, buenos hasta
para ± 0.1 %. Las mediciones más económicas y precisas se pueden realizar
con potenciómetros y puentes.
A veces, tratar de reducir un ĺımite de error de cierta magnitud cambian-
do los instrumentos por otros mejores, resulta más costoso que la reducción
que se logra. Sin embargo, no sucede aśı si los fabricantes complementan
los instrumentos con novedades en método, tecnoloǵıa o manufactura.
En las últimas décadas se han introducido enormes mejoras en la ins-
trumentación. Entre ellas se han incluido medios para reducir errores (am-
biéntales y de observación) que se estudiarán aqúı en forma breve. En ge-
neral, se puede confiar en la integridad del fabricante del instrumento para
mantener su garant́ıa. La competencia es enorme y la industria está tan bien
autocontrolada que las violaciones serias a los ĺımites de error son extre-
madamente raras. Muchos fabricantes tienen la satisfacción justificada de
que sus instrumentos exceden a las especificaciones. No hay mayor secreto o
vaguedad en tormo a los ĺımites de error de los instrumentos existentes. Por
supuesto, es cierto que el descuido y el mal uso pueden aumentar el ĺımite
de error, algunas veces en forma drástica, de manera que se debe contar
con posibilidades de probar y calibrar estos instrumentos. Después de la
segunda guerra mundial se extendió el mal uso del verbo inglés “ruggedi-
ze” (hacer fuerte, resistente). Con una escala apropiada, se puede decir que
muchos instrumentos han sido “ruggedized” (hechos resistentes,) (aśı como
miniaturizados).
3.6.3. Los errores ambientales
Un experimento cuantitativo se puede considerar una batalla entre el
observador y la naturaleza. Los instrumentos, bien diseñados y bellamente
construidos, junto con los procedimientos experimentales bien pensados se
pueden llevar a la batalla con los genes de la precisión incubados en ellos.
3.6. LOS ERRORES SISTEMÁTICOS 35
De manera similar a como ocurre en muchos procesos dinámicos de
este mundo, se encuentran presiones ambientales que son más adversas
que benignas. Con toda certeza, cada experimentador debe encarar en su
trabajo el hecho de que los cambios en las propiedades del medio ambiente
afectarán tanto el comportamiento de sus instrumentos y las relaciones
entre las cantidades que va a medir, como aquello que pretende medir.
Las soluciones más simples son:
(1) Aislar el experimento (como se hace en un traje espacial con el ocupante
y su indumentaria)
(2) Controlar el ambiente (en una región o tiempo limitado), como se haŕıa
en un domo lunar o como se realiza con la temperatura y la humedad,
mediante aire acondicionado y cuartos limpios, etc.
En una región no aislada, no controlada, los factores ambientales más
importantes que se deben considerar son:
la temperatura.
la presión.
la humedad.
La aceleración (cuando es >> g, o cero, etc.).
El mayor de ellos es probablemente la temperatura, y como el experi-
mentador se mueve entre el vaćıo del espacio y las presiones hidrostáticas
de las profundidades oceánicas, la presión será el segundo. En el laboratorio
usual de la superficie terrestre, las variaciones de presión (atmosféricas) son
mucho menores que las de la temperatura. La aceleración, a partir de cero
en las naves espaciales hasta grandes valores en colisiones accidentales o en
el despegue de veh́ıculos espaciales, es de una importancia creciente.
En la instrumentación y el diseño de experimentos hay pocos caminos
a seguir:
(1) Calcular el error a partir del comportamiento conocido y medido, y
aplicar un factor de corrección.
(2) Compensar los disturbios ambientales mediante la introducción de un
elemento (parte del instrumento o experimento) en el cual se logra un
efecto de oposición.
36 CAṔITULO 3. TEOŔIA DE INCERTIDUMBRES
Los ejemplos del tipo (1) son comunes en la práctica y es probable que
nunca escaseen: corrección de las escalas y lecturas por expansión, resisten-