qfii_7_h

Vista previa del material en texto

Apuntes de la asignatura
Qúımica F́ısica II (Licenciatura en Qúımica)
Tema 7: El átomo de hidrógeno
Ángel José Pérez Jiménez
Dept. de Qúımica F́ısica (Univ. Alicante)
Índice
1. Part́ıcula sometida a un potencial central 2
1.1. Ecuación de Schrödinger para una part́ıcula en un campo central . . . . . . . . . . 2
1.2. Autofunciones: producto de parte radial y un armónico esférico . . . . . . . . . . . 3
1.3. Ecuación radial para un potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide 6
2.1. Descripción del problema: forma del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Separación del movimiento relativo y del centro de masas . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Resolución de la ecuación radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Funciones de onda: orbitales hidrogenoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Análisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides 16
3.1. Niveles energéticos. Degeneración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Caracterización y representaciones gráficas de orbitales hidrogenoides . . . . . . . . 17
4. Esṕın 20
4.1. Evidencia experimental del momento angular intŕınseco o esṕın . . . . . . . . . . . 20
4.2. Introducción del esṕın en Mecánica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3. Esṕın-orbitales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5. Unidades atómicas 26
6. Problemas 27
2 Tema 7: El átomo de hidrógeno
1. Part́ıcula sometida a un potencial central
1.1. Ecuación de Schrödinger para una part́ıcula en un campo central
Potencial en un campo central.
En esta sección vamos a estudiar la estructura y posibles soluciones de la ecuación de
Schrödinger para una part́ıcula de masa m que se mueve bajo un potencial esféricamente
simétrico:
V (~r) = V (r) (1)
A este tipo de potencial también se le denomina potencial central y se caracteriza por-
que la enerǵıa potencial sólo depende de la distancia al origen del campo, r, siendo
independiente de la orientación.
Una fuerza central es una fuerza que proviene de un potencial central. La relación entre
ambas se deduce de:
~F = −∇V (x, y, z) = −
[(
∂V
∂x
)
~i+
(
∂V
∂y
)
~j +
(
∂V
∂z
)
~k
]
(2)
↪→ Si V = V (r) ⇒

∂V/∂x = (x/r)(dV/dr)
∂V/∂y = (y/r)(dV/dr)
∂V/∂z = (z/r)(dV/dr)
(3)
↪→ ~F = −1
r
dV
dr
(
x~i+ y~j + z~k
)
= −dV
dr
~r
r
(4)
donde ~r/r = ~ur es el vector unitario en la dirección radial: una fuerza central sólo tiene
componente radial.
Estructura de la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas.
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para esta part́ıcula es:[
− h̄
2
2m
∇2 + V (r)
]
ψ(~r) = Eψ(~r) (5)
Dado que el Hamiltoniano es esféricamente simétrico utilizaremos las coordenadas esféri-
cas introducidas en el Tema anterior. El operador Laplaciana se separa entonces en una
parte radial, ∇2r, y en una parte angular, ∇2Ω:
∇2 = ∇2r −
1
h̄2r2
∇2Ω (6)
∇2r =
1
r
∂2
∂r2
r (7)
∇2Ω = L̂2 = −h̄2
[
1
senθ
∂
∂θ
(
senθ
∂
∂θ
)
+
1
sen2θ
∂2
∂φ2
]
(8)
1 Part́ıcula sometida a un potencial central 3
De forma que la ecuación de Schrödinger en coordenadas polares adopta la forma:[
− h̄
2
2m
1
r
∂2
∂r2
r +
1
2mr2
L̂2 + V (r)
]
ψ(~r) = Eψ(~r) (9)
Por tanto, el Hamiltoniano se divide en una parte radial asociada a la suma de enerǵıa
potencial, V (r) y de enerǵıa cinética radial
− h̄
2
2m
1
r
∂2
∂r2
r =
p̂2r
2m
(10)
p̂r = −ih̄
1
r
∂
∂r
r (11)
y una parte angular donde L̂2/(2mr2) puede identificarse con la enerǵıa cinética rota-
cional originada por la rotación “pura” de la part́ıcula alrededor del origen.
1.2. Autofunciones: producto de parte radial y un armónico esférico
Conjunto completo de operadores que conmutan.
Puesto que L̂ no depende de r conmuta tanto con V (r) y la enerǵıa cinética radial →
conmuta con Ĥ.
Como L̂z conmuta con L̂
2, los tres operadores Ĥ, L̂2 y L̂z conmutan entre śı:[
Ĥ, L̂2
]
=
[
Ĥ, L̂z
]
= 0 (12)
Por tanto Ĥ, L̂2 y L̂z poseen un conjunto de funciones propias simultáneas para el
problema de fuerzas centrales.
Dado que Ĥ es la suma de una parte radial y una parte angular, podemos buscar solu-
ciones que sean productos de una parte radial y una parte angular.
Como, además, la parte angular de Ĥ es proporcional a L̂2, la parte angular de las
autofunciones son armónicos esféricos:
ψ(~r) = ψnlm(r, θ, φ) = Rnl(r)Ylm(θ, φ) (13)
Conclusiones. La función de onda radial Rnl(r) debe ser determinada para cada tipo de potencial
V (r) y, como veremos, en general depende de l y el número cuántico n asociado a la enerǵıa
del sistema:
Ĥψnlm(r, θ, φ) = Enψnlm(r, θ, φ) (14)
L̂2ψnlm(r, θ, φ) = l(l + 1)h̄
2ψnlm(r, θ, φ); l = 0, 1, 2, 3, . . . (15)
L̂zψnlm(r, θ, φ) = mlh̄ψnlm(r, θ, φ); ml = −l,−l + 1, . . . , 0, . . . , l − 1, l (16)
4 Tema 7: El átomo de hidrógeno
1.3. Ecuación radial para un potencial central
Ecuación radial de un potencial central.
Sustituyendo (13) en la ecuación de Schrödinger (9) y teniendo en cuenta que ψnlm(r, θ, φ)
es autofunción de L̂2 según la ecuación (15) llegamos a:
−h̄2
2m
d2
dr2
(
rRnl(r)
)
+
[
V (r) +
l(l + 1)h̄2
2mr2
](
rRnl(r)
)
= En(rRnl(r)
)
(17)
Es importante resaltar que la estructura de la ecuación anterior es la de una ecuación
unidimensional en r
−h̄2
2m
d2Unl(r)
dr2
+ Vef (r)Unl(r) = EnUnl(r) (18)
denominada ecuación radial de un potencial central.
Cuyas soluciones proporcionan los niveles de enerǵıa del sistema y cuyas autofunciones
se relacionan con Rnl(r) mediante
Unl(r) = rRnl(r) (19)
El potencial
Vef (r) = V (r) +
l(l + 1)h̄2
2mr2
(20)
se denomina potencial efectivo o centŕıfugo, donde
V (r) es el potencial central
l(l + 1)h̄2/2mr2 es un potencial repulsivo centŕıfugo asociado con el momento angular
orbital que tiende a repeler la part́ıcula del origen
Para que la ecuación radial describa estados ligados V (r) debe ser atractivo (negativo)
La Figura 1 muestra que, a medida que l aumenta la profundidad de Vef (r) disminuye y
su ḿınimo se aleja del origen → al aumentar el módulo del momento angular la part́ıcula
está cada vez menos ligada.
Autovalores de la ecuación radial.
Los autovalores de dicha ecuación proporcionan la enerǵıa total del sistema.
Como la ecuación no depende del número cuántico m se deduce que los autovalo-
res están (2l + 1)-degenerados: para un l dado hay (2l + 1) autofunciones distintas:
ψn,l,−l, ψn,l,−l+1, . . . , ψn,l,l−1, ψn,l,l con el mismo valor de la autoenerǵıa En.
La degeneración anterior es t́ıpica de los potenciales centrales.
1 Part́ıcula sometida a un potencial central 5
E
r
l(l+1)h2/4π2mr2
V(r)
Vef(r), l=1
Vef(r), l=2
Vef(r), l=3
Figura 1: Potencial efectivo Vef (r) = V (r)+h̄
2l(l+1)/(2mr2) para distintos valores de l = 0, 1, 2, 3.
6 Tema 7: El átomo de hidrógeno
Autofunciones de la ecuación radial.
Las autofunciones de la ecuación radial proporcionan la función radial, que depende de
l al aparecer éste en dicha ecuación.
Su forma expĺıcita es función de la expresión matemática del potencial central.
En la siguiente sección se aborda el caso del potencial Coulombiano presente en el átomo
de Hidrógeno.
2. Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoi-
de
2.1. Descripción del problema: forma del potencial
El átomo de hidrógeno consiste en un electrón y un protón. Por simplicidad ignoraremos el
esṕın (ver §4).
Por tanto la función de onda depende de 6 coordenadas: tres del protón y tres del electrón:
~re = xe~i+ ye~j + ze~k (21)
~rp = xp~i+ yp~j + zp~k (22)
De acuerdo con la interpretación probabiĺıstica de la función de onda, la cantidad
|Ψ(~re, ~rp, t)|2d3red3rp (23)
representa la probabilidad de que la medida simultánea de la posición del electrón y el protón en
el instante t resulte en que el primero se encuentreen el elemento de volumen d3re, localizado
en ~re, y el segundo en elemento de volumen d
3rp, localizado en ~rp.
La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es:[
− h̄
2
2mp
∇2p −
h̄2
2me
∇2e + V (r)
]
Ψ(~re, ~rp, t) = ih̄
∂
∂t
Ψ(~re, ~rp, t) (24)
donde ∇2p y ∇2e representan los operadores Laplaciana respecto a las coordenadas de posición
de protón y electrón, respectivamente:
∇2p =
∂2
∂x2p
+
∂2
∂y2p
+
∂2
∂z2p
(25)
∇2e =
∂2
∂x2e
+
∂2
∂y2e
+
∂2
∂z2e
(26)
2 Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide 7
El potencial V (r) es un potencial central pues representa la enerǵıa de atracción electrostática
entre el protón y el electrón:1
V (r) = −e
2
r
= − e
2
‖ ~re − ~rp ‖
(27)
Como V (r) no depende del tiempo las soluciones de (24) son estacionarias:
Ψ(~re, ~rp, t) = χ(~re, ~rp)e
−iEt/h̄ (28)
donde E es la enerǵıa total del sistema. Sustituyendo ésta en (24) se llega a la correspondiente
ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:[
− h̄
2
2mp
∇2p −
h̄2
2me
∇2e −
e2
‖ ~re − ~rp ‖
]
χ(~re, ~rp) = Eχ(~re, ~rp) (29)
cuya resolución abordamos en las dos secciones siguientes.
2.2. Separación del movimiento relativo y del centro de masas
Cambio de coordenadas.
Como V sólo depende de la distancia entre protón y electrón es conveniente hacer el
cambio de variables de forma que, en lugar de ~rp y ~re usemos la coordenada del centro
de masas, ~R y la coordenada relativa r, definidas como:
~R = X~i+ Y~j + Z~k =
me~re +mp~rp
me +mp
(30)
~r = x~i+ y~j + z~k = ~re − ~rp (31)
De tal manera que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en el nuevo
sistema de coordenadas queda aśı:[
− h̄
2
2M
∇2R −
h̄2
2µ
∇2r −
e2
r
]
ΨE(~R,~r) = EΨE(~R,~r) (32)
Y donde
ΨE(~R,~r) = χ(~re, ~rp) (33)
∇2R =
∂2
∂X2
+
∂2
∂Y 2
+
∂2
∂Z2
Laplaciana del centro de masas (34)
∇2r =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
Laplaciana del movimiento relativo (35)
M = me +mp Masa total (36)
µ =
memp
me +mp
Masa reducida (37)
1En el sistema cgs la fuerza de atracción electrostática entre dos cargas Q1 y Q2 separadas una distancia r
en el vaćıo es F = Q1Q2/r
2, donde las cargas vienen en statcoulombios (statC), mientras que en el SI es F =
Q′1Q
′
2/4πε0r
2, con Q′1 y Q
′
2 en Columbios (C). Para simplificar las expresiones asumiremos que estamos trabajando
en el sistema cgs hasta que introduzcamos un nuevo sistema de unidades “atómicas” en la sección §5.
8 Tema 7: El átomo de hidrógeno
El Hamiltoniano en el nuevo sistema de coordenadas es separable.
Tal y como se puede comprobar el Hamiltoniano en este nuevo sistema de coordenadas
es separable, por lo que podemos buscar soluciones del tipo:
ΨE(~R,~r) = Φ(~R)ψ(~r) (38)
donde Φ(~R) y ψ(~r) son funciones de onda para el movimiento del centro de y relativo,
respectivamente.
Sustituyendo (38) en (32) y dividiendo por Φ(~R)ψ(~r) se tiene que:[
− h̄
2
2M
1
Φ(~R)
∇2RΦ(~R)
]
+
[
− h̄
2
2µ
1
ψ(~r)
∇2rψ(~r) + V (r)
]
= E (39)
Como el primer término sólo depende de vecR y el segundo sólo de ~r, siendo ambas
variables independientes, cada una de ellos debe ser igual a una constante; de forma que:
− h̄
2
2M
∇2RΦ(~R) = ERΦ(~R) (40)
− h̄
2
2µ
∇2rψ(~r) + V (r)ψ(~r) = Erψ(~r) (41)
ER + Er = E (42)
Interpretación f́ısica: separación del movimiento.
Interpretación matemática: hemos reducido la ecuación de Schrödinger (32), que depende
de dos variables, ~R y ~r, a dos ecuaciones, (40) y (41), cada una de las cuales depende
de una sola variable.
La primera ecuación describe el movimiento del centro de masas, y se corresponde con
el de una part́ıcula libre de masa M , cuya solución conduce a:
Φ(~R) = (2π)−3/2ei
~k ~R (43)
ER =
h̄2k2
2M
(44)
donde ~k y ER representan, respectivamente, el vector de onda y la enerǵıa cinética del
centro de masas.
La segunda ecuación, (41), representa la ecuación de Schrödinger de una part́ıcula “fic-
ticia” de masa µ moviéndose en el potencial central −e2/r.
Interpretación f́ısica: la ecuación (32) es separable en sendas ecuaciones correspondientes
al movimiento del centro de masas como una part́ıcula libre y al movimiento relativo de
electrón y núcleo respecto al centro de masas.
Es importante resaltar que la función de onda total ΨE(~R,~r) = Φ(~R)ψ(~r) se usa ra-
ramente. Cuando se menciona el problema del átomo de hidrógeno se hace referencia
impĺıcita a ψ(~r) y Er, que se toman como la función de onda y la enerǵıa del átomo de
hidrógeno.
2 Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide 9
2.3. Resolución de la ecuación radial
Ĺımites asintóticos y solución general.
La ecuación de Schrödinger (41) correspondiente al movimiento relativo tiene la forma
de una ecuación para un potencial central.
Tal y como hemos visto en §1 la solución general es de la forma:
ψ(~r) = R(r)Ylm(θ, φ) (45)
donde Ylm es un armónico esférico y la parte radial, R(r), puede obtenerse al resolver la
ecuación radial:
− h̄
2
2µ
d2U(r)
dr2
+
[
l(l + 1)h̄2
2µr2
− e
2
r
]
U(r) = EU(r) (46)
donde
U(r) = rR(r) (47)
Comenzamos la resolución de la ecuación anterior considerando sus soluciones asintóticas:
r → 0 : 0 = d
2U(r)
dr2
+
l(l + 1)
r2
U(r) (48)
↪→ Solución general: U(r) = Arl+1 +Br−l (49)
↪→ U(r)no diverge en 0: ⇔ B = 0 (50)
r → ∞ 0 = −d
2U(r)
dr2
+
2µE
h̄2
U(r) (51)
↪→ Solución gral. estados ligados (E < 0) U(r) ∼ exp±
√
2µ(−E)r/h̄ (52)
↪→ U(r)no diverge cuando r → ∞ ⇔ U(r) ∼ exp
(
−
√
2µ(−E)r/h̄
)
(53)
En resumen, para los estados ligados del átomo de hidrógeno
U(r) −→ rl+1 si r → 0 (54)
U(r) −→ exp
(
−
√
2µ(−E)r/h̄
)
si r → ∞ (55)
De manera que la solución general puede escribirse como
U(r) = rl+1f(r) exp
(
−
√
2µ(−E)r/h̄
)
(56)
siendo f(r) un polinomio en r:
f(r) =
∑
k=0
bkr
k (57)
10 Tema 7: El átomo de hidrógeno
Cuantización y condiciones de contorno.
Insertando la expresión general
U(r) = rl+1f(r)e−λr
con λ definido como
λ =
√
2µ(−E)/h̄ (58)
en la ecuación radial (46) se llega a una ecuación diferencial para el polinomio f(r):
d2f
dr2
+ 2
(
l + 1
r
− λ
)
df
dr
+ 2
[
−λ(l + 1) + µe2/h̄2
r
]
f(r) = 0 (59)
A partir de la cual se obtiene la siguiente relación de recurrencia para los coeficientes del
polinomio f(r):
k(k + 2l + 1)bk = 2
[
λ(k + l)− µe
2
h̄2
]
bk−1 (60)
Al igual que hemos visto con el oscilador armónico y los armónicos esféricos, para que la
función sea aceptable no puede diverger cuando r → ∞, por lo que el polinomio f(r)
debe truncarse a un cierto orden N :
f(r) =
N∑
k=0
bkr
k (61)
de forma que los coeficientes bN+1, bN+2, . . . deben ser cero. En particular, cuando
bN+1 = 0 la fórmula (60) conduce a:
λ(N + l + 1)− µe
2
h̄2
= 0 (62)
Teniendo en cuenta (58) y definiendo el número cuántico n como
n ≡ N + l + 1 (63)
se tiene que los autovalores de la enerǵıa Er están cuantizados:
En = −
µe4
2h̄2
1
n2
= − e
2
2a0
1
n2
(64)
donde se ha introducido el radio de Bohr
a0 =
h̄2
µe2
(65)
en función del cual puede escribirse λ:
λ =
√
−2 µ
h̄2
En =
√
2
1
e2a0
e2
2a0n2
=
1
na0
(66)
2 Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide 11
Puesto que N = 0, 1, 2, 3, . . . los valores permitidos de n son l + 1, l + 2, l + 3, . . . En
otras palabras:
n = 1, 2, 3, . . . (67)
l = 0, 1, 2, . . . , n− 1 (68)
Obsérvese cómo los valores de En coinciden con los deducidos en el modelo de Bohr.
Por otro lado, el tratamiento realizado hasta el momento es igualmente válido para
cualquier ión hidrogenoide (por ejemplo, He+, Li2+, etc.) pues V (r) = −Ze2/r, con lo
que:
En = −
µe4
2h̄2
Z2
n2
(69)
Polinomios asociados de Laguerre.
Los polinomios que obedecen la ecuación diferencial (59) y la correspondiente ley de
recurrencia (60) están relacionados con los polinomios asociados de Laguerre, LNk (x),
(ver tabla 1).
Tabla 1: Algunos polinomios asociados de Lague-
rre.
k N LNk (x)
1 1 −1
2 1 −4 + 2x
2 2 2
3 1 −18 + 18x− 3x2
3 2 18− 6x
3 3 −6
4 1 −96 + 144x− 48x2 + 4x34 2 144− 96x+ 12x2
4 3 −96 + 24x
4 4 24
5 1 −600 + 1200x− 600x2 + 100x3 − 5x4
5 2 1200− 1200x+ 300x2 − 20x3
5 3 −1200 + 600x− 60x2
5 4 600− 120x
5 5 −120
En este caso en particular las soluciones de (59) son los polinomios asociados de Laguerre
L2l+1n+l (2λr).
12 Tema 7: El átomo de hidrógeno
Con lo que las funciones radiales R(r) para el átomo de hidrógeno están dadas por la
expresión:
Rnl(r) = Nnl
(
2r
na0
)l
e−r/na0L2l+1n+l
( 2r
na0
)
(70)
siendo Nnl el correspondiente factor de normalización:
Nnl = −
(
2
na0
)3/2√
(n− l − 1)!
2n
[
(n+ l)!
]3 (71)
En la Tabla 2 se recogen las expresiones matemáticas de algunas funciones radiales.
En ella, además de la expresión anaĺıtica, se incluye la notación habitual de estas funciones
que consiste en el número cuántico principal, n, más una letra, s, p, d, . . ., dependiendo
del valor del número cuántico angular l, como ya vimos en el tema anterior.
Tabla 2: Funciones de onda radiales Rnl de átomos hidrogenoides.
Designación n l Rnl(r)
a
1s 1 0 (Z/a0)
3/2 2 exp(−ρ/2)
2s 2 0 (Z/a0)
3/2 8−1/2(2− ρ) exp(−ρ/2)
2p 2 1 (Z/a0)
3/2 24−1/2ρ exp(−ρ/2)
3s 3 0 (Z/a0)
3/2 243−1/2(6− 6ρ+ ρ2) exp(−ρ/2)
3p 3 1 (Z/a0)
3/2 486−1/2(4− ρ)ρ exp(−ρ/2)
3d 3 2 (Z/a0)
3/2 2430−1/2ρ2 exp(−ρ/2)
4s 4 0 (Z/a0)
3/2 96−1(24− 36ρ+ 12ρ2 − ρ3) exp(−ρ/2)
4p 4 1 (Z/a0)
3/2 15360−1/2(20− 10ρ+ ρ2)ρ exp(−ρ/2)
4d 4 2 (Z/a0)
3/2 46080−1/2(6− ρ)ρ2 exp(−ρ/2)
4f 4 3 (Z/a0)
3/2 322560−1/2ρ3 exp(−ρ/2)
a ρ = 2Zr/(na0).
Representación gráfica y caracterización. En la figura 2 se representan gráficamente funciones
radiales con n = 1, 2, 3.
2 Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide 13
 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8
 1
 1.2
 1.4
 1.6
 1.8
 2
 0 5 10 15 20
R
10
r/a0
1s
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
 0.1
 0.12
 0.14
 0.16
 0 5 10 15 20
R
21
r/a0
2p
-0.1
 0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0 5 10 15 20
R
20
r/a0
2s
-0.04
-0.02
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
 0.1
 0 5 10 15 20
R
31
r/a0
3p
-0.1
-0.05
 0
 0.05
 0.1
 0.15
 0.2
 0.25
 0.3
 0.35
 0.4
 0 5 10 15 20
R
30
r/a0
3s
 0
 0.005
 0.01
 0.015
 0.02
 0.025
 0.03
 0.035
 0.04
 0.045
 0 5 10 15 20
R
32
r/a0
3d
Figura 2: Representación de la función radial para los primeros estados del átomo de hidrógeno.
Comportamiento asintótico cuando r → ∞: todas las funciones radiales tienden a cero
pues en ese ĺımite domina el término exponencial: ecuaciones (51)-(53).
Comportamiento asintótico cuando r → 0: debido al término en rl de la ecuación (70)
existen dos situaciones
1. l = 0 7−→ Rn0(0) 6= 0 debido a la ausencia del término repulsivo centŕıfugo en
Vef (r): ver ecuación (20) y la Figura 1.
2. l 6= 0 7−→ Rnl(0) = 0 pues el término repulsivo centŕıfugo es proporcional a r−2,
mientras que el término atractivo es proporcional a r−1.
Las funciones Rnl(r) poseen n − l − 1 nodos radiales pues L2l+1n+l es un polinomio de
orden n− l − 1.
De las representaciones de la figura 2 podŕıa pensarse que cuando l = 0 la probabilidad de
presencia del electrón es máxima sobre el núcleo, pero ello no es aśı pues falta considerar
la dependencia angular, como veremos en la siguiente sección.
14 Tema 7: El átomo de hidrógeno
2.4. Funciones de onda: orbitales hidrogenoides
Expresión matemática. En definitiva, la expresión matemática de las funciones de onda de los
estados ligados de un átomo o ión hidrogenoide, denominadas orbitales hidrogenoides es la
siguiente:
ψnlm(r, θ, φ) = Rnl(r)Ylm(θ, φ);

n = 1, 2, 3,. . .
l = 0, 1, 2,. . .n− 1
m = −l,−l + 1, . . . , l − 1, l
(72)
Rnl(r) = −
(
2
na0
)3/2√
(n− l − 1)!
2n
[
(n+ l)!
]3
(
2r
na0
)l
e−r/na0L2l+1n+l
( 2r
na0
)
(73)
Yl,m(θ, φ) = (−1)m
(
(2l + 1)(l − |m|)!
4π(l + |m|)!
)1/2
P
|m|
l (cos θ)e
imφ (74)
Estados y números cuánticos
Los orbitales hidrogenoides están definidos a partir de los números cuánticos:
n: determina la enerǵıa → número cuántico principal.
l: determina el módulo del momento angular → número cuántico angular.
m: determina la proyección del momento angular en el eje z → número cuántico azimutal
ó magnético.
Los correspondientes estados están, pues, caracterizados por dichos números cuánticos,
por lo que se suelen designar con la notación |nlm〉.
Otra notación muy empleada consiste en designar al orbital con el número n seguido de
la notación introducida para el armónico esférico. Por ejemplo:
|100〉 1s
|200〉 2s
|210〉 2p0
|21− 1〉 2p−1
|211〉 2p1
|300〉 3s
|310〉 3p0
· · · · · ·
En la Tabla 3 se recogen las expresiones para las funciones de onda hidrogenoides reales,
construidas a partir de Rnl y los armónicos esféricos reales introducidos en el tema
anterior.
2 Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide 15
Tabla 3: Funciones de onda hidrogenoides reales.
1s = 1
π1/2
(
Z
a0
)3/2
e−Zr/a0
2s = 1
4(2π)1/2
(
Z
a0
)3/2(
2− Zra0
)
e−Zr/2a0
2pz =
1
4(2π)1/2
(
Z
a0
)5/2
re−Zr/2a0 cos θ
2px =
1
4(2π)1/2
(
Z
a0
)5/2
re−Zr/2a0sen θ cosφ
2py =
1
4(2π)1/2
(
Z
a0
)5/2
re−Zr/2a0sen θsenφ
3s = 1
81(3π)1/2
(
Z
a0
)3/2(
27− 18Zra0 + 2
Z2r2
a20
)
e−Zr/3a0
3pz =
21/2
81π1/2
(
Z
a0
)5/2(
6− Zra0
)
re−Zr/3a0 cos θ
3px =
21/2
81π1/2
(
Z
a0
)5/2(
6− Zra0
)
re−Zr/3a0sen θ cosφ
3py =
21/2
81π1/2
(
Z
a0
)5/2(
6− Zra0
)
re−Zr/3a0sen θsenφ
3dz2 =
1
81(6π)1/2
(
Z
a0
)7/2
r2e−Zr/3a0
(
3 cos2 θ − 1
)
3dxz =
21/2
81π1/2
(
Z
a0
)7/2
r2e−Zr/3a0 cos θsen θ cosφ
3dyz =
21/2
81π1/2
(
Z
a0
)7/2
r2e−Zr/3a0 cos θsen θsenφ
3dx2−y2 =
1
81(2π)1/2
(
Z
a0
)7/2
r2e−Zr/3a0sen2 θ cos 2φ
3dxy =
1
81(2π)1/2
(
Z
a0
)7/2
r2e−Zr/3a0sen2 θsen 2φ
16 Tema 7: El átomo de hidrógeno
3. Análisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides
3.1. Niveles energéticos. Degeneración.
Recordemos que los autovalores de la enerǵıa en el átomo de hidrógeno y en iones hidrogenoides
son independientes de m y de l. Lo primero es consecuencia de tener un potencial central y
lo segundo es caracteŕıstico del potencial Coulombiano.
Como consecuencia de lo anterior los niveles energéticos en dichos sistemas tienen cierto nivel
de degeneración. Tal y como puede comprobarse en la Tabla 4 para cada valor de n hay n− 1
posibles valores de l, y para cada uno de estos 2l + 1 posibles valores de m, con lo que la
degeneración de cada nivel es:
gn =
n−1∑
l=0
(2l + 1) = n2 (75)
Tabla 4: Niveles de enerǵıa y sus degeneraciones en el átomo de
hidrógeno (sin tener en cuenta el esṕın).
n l Tipo de orbital m gn En
1 0 s 0 1 −e2/(2a0)
2 0 s 0 4 −e2/(8a0)
2 1 p -1,0,1
3 0 s 0 9 −e2/(18a0)
3 1 p -1,0,1
3 2 d -2,-1,0,1,2
4 0 s 0 16 −e2/(32a0)
4 1 p -1,0,1
4 2 d -2,-1,0,1,2
4 3 f -3,-2,-1,0,1,2,3
5 0 s 0 25 −e2/(50a0)
5 1 p -1,0,1
5 2 d -2,-1,0,1,2
5 3 f -3,-2,-1,0,1,2,3
5 4 g -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
3 Análisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides 17
En la Figura 3 se presenta el diagrama de niveles energéticos del átomo de hidrógeno, del cual
se desprende que:
• Todos los niveles tienen enerǵıa negativa: estados ligados.
• A medida que n aumenta la separación entre niveles disminuye.
-1
-0,25
-0,1111
-0,0625
0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=∞
E
/h
cR
H
Figura 3: Diagrama de niveles energéticos para el átomo de hidrógeno
El valor de enerǵıa cero corresponde al ĺımite de la ionización del átomo:
↪→ Electrón y protón no están ligados
↪→ la enerǵıa de un nivel cambiada de signo = potencial de ionización para ese nivel
↪→ 13,6 eV para el estado fundamental.
El valor de enerǵıa cero corresponde, pues, a la transición entre los estados ligados y no ligados.
↪→ En los estados ligados la enerǵıa está cuantizada → espectro discreto.
↪→ En los estados no ligados la enerǵıa no está cuantizada → espectro continuo.
3.2. Caracterización y representaciones gráficas de orbitales hidrogenoi-
des
Caracteŕısticas de los orbitales hidrogenoides: densidad de distribución radial.
Densidad de distribución radial: proporciona la densidad de probabilidadde encontrar al
electrón a una distancia r, por lo que se obtiene al integrar |ψnlm(r, θ, φ)|2 respecto a
los ángulos θ y φ:
Dnl(r) ≡
∫ 2π
φ=0
∫ π
θ=0
ψ∗nlm(r, θ, φ)ψnlm(r, θ, φ)r
2sen θdθdφ = R2nl(r)r
2 (76)
donde se ha tenido en cuenta que los armónicos esféricos están normalizados.
18 Tema 7: El átomo de hidrógeno
Por tanto, la cantidad Dnl(r)dr = R
2
nl(r)r
2dr proporciona la probabilidad de encontrar
un electrón en una cáscara esférica de anchura dr situada a una distancia r.
En la figura 4 se representa D(r) para distintos orbitales con n = 1, 2, 3, de las que se
deduce que:
1. Dnl(0) = 0 debido al término en r
2: la densidad de probabilidad de encontrar el
electrón en el núcleo es nula.
2. Dnl(r → ∞) = 0 pues domina el término exponencial de Rnl(r).
3. Dnl(r) se hace máxima para ciertos valores de r. En particular, es posible demostrar
que
rmax(Dn,l=n−1) = n
2a0 (77)
de manera que los radios de Bohr dan la posición del máximo para la densidad de
probabilidad radial para el orbital con l = lmax = n− 1.
 0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0 5 10 15 20
r2
R
2 1
0
r/a0
1s
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
 0.1
 0.12
 0.14
 0.16
 0.18
 0.2
 0 5 10 15 20
r2
R
2 2
1
r/a0
2p
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
 0.1
 0.12
 0.14
 0.16
 0.18
 0.2
 0 5 10 15 20
r2
R
2 2
0
r/a0
2s
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
 0.1
 0.12
 0 5 10 15 20
r2
R
2 3
1
r/a0
3p
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
 0.1
 0.12
 0 5 10 15 20
r2
R
2 3
0
r/a0
3s
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
 0.1
 0.12
 0 5 10 15 20
r2
R
2 3
2
r/a0
3d
Figura 4: Representación de la función de distribución radial para los primeros estados del H.
3 Análisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides 19
Obviamente, de la condición de normalización de ψn,l,m(r, θ, φ) se cumple que:∫ ∞
r=0
Dnl(r)dr = 1 (78)
Caracteŕısticas de los orbitales hidrogenoides: valores esperados. A continuación especifica-
mos el valor esperado de diversas potencias de r y componentes de la enerǵıa:
Dado que ψnlm(r, θ, φ) = Rnl(r)Ylm(θ, φ) se comprueba que el valor esperado de r
k es
independiente del número cuántico azimutal m:
〈rk〉 = 〈nlm|rk|nlm〉
=
∫
rk|ψnlm(r, θ, φ)|2r2sen θdrdθdφ
=
∫ ∞
0
rk+2|Rnl(r)|2dr
∫ π
0
sen θdθ
∫ 2π
0
Y ∗lm(θ, φ)Ylm(θ, φ)dφ (79)
=
∫ ∞
0
rk+2|Rnl(r)|2dr (80)
Empleando la ecuación anterior junto con las propiedades de los polinomios de Laguerre
es posible demostrar que:
〈r〉 = 1
2
[
3n2 − l(l + 1)
]
a0 (81)
〈r2〉 = 1
2
n2
[
5n2 + 1− 3l(l + 1)
]
a20 (82)
〈r−1〉 = 1
n2a0
(83)
〈r−2〉 = 2
n3(2l + 1)a20
(84)
Obsérvese que 1/〈r〉 6= 〈1/r〉, pero son del mismo orden de magnitud, pues:
〈r〉 ∼ n2a0 (85)
La razón por la cual rmax 6= 〈r〉 (por ejemplo rmax(1s) = a0 6= 〈1s|r|1s〉 = 3a0/2) es
que la función de distribución radial no es simétrica respecto a su máximo: ver Figura 4.
Empleando la ecuación (83) para 〈r−1〉 se puede determinar el valor esperado de la
enerǵıa potencial Coulombiana:
〈V (r)〉 = −e2
〈1
r
〉
= −e
2
a0
1
n2
(86)
que resulta ser el doble de la enerǵıa total:
En =
1
2
〈V (r)〉 = − e
2
2a0
1
n2
(87)
20 Tema 7: El átomo de hidrógeno
El resultado anterior es consecuencia del denominado teorema del virial, según el cual si
V (αr) = αnV (r) entonces
〈T 〉 = n
2
〈V 〉 (88)
Por ejemplo, para un potencial Coulombiano V (αr) = α−1V (r) ⇒ 〈T 〉 = −〈V 〉/2 ⇒
E = −〈V 〉/2 + 〈V 〉 = 〈V 〉/2.
Representación gráfica. Como los orbitales hidrogenoides son funciones de tres variables su repre-
sentación gráfica requeriŕıa el uso de cuatro dimensiones. Debido a este hecho dichos orbitales
se pueden visualizar de varias formas que enumeramos a continuación:
1. Representar por separado la parte radial y angular (ver figuras correspondientes en este
tema y el anterior).
2. Seleccionar un plano y representar la función en dicho plano: al restringir el valor de una
coordenada se puede representar en función de las otras dos: ver figura 5.
3. Representar figuras envolventes: superficie de isodensidad tridimensional en el interior de
la cual la probabilidad de presencia del electrón tiene un valor determinado; por ejemplo
95%: ver figura 6.
4. Esṕın
4.1. Evidencia experimental del momento angular intŕınseco o esṕın
Estructura fina del espectro de emisión del hidrógeno.
El tratamiento mecano-cuántico realizado en las secciones anteriores es incompleto.
Debido a diversos términos adicionales no incluidos en el Hamiltoniano se produce el
desdoblamiento de las correspondientes ĺıneas del espectro conformando su estructura
fina (ver Tema 9).
Experimento de Stern y Gerlach. En 1922 estos dos cient́ıficos observaron que, al hacer pasar
un haz de átomos de plata o alcalinos a través de un campo magnético no uniforme, se
separaba en dos haces simétricos en la dirección del campo.
Dicho experimento no pod́ıa ser explicado a partir de la Mecánica Clásica → el desdo-
blamiento deb́ıa ser continuo y simétrico respecto a la dirección original del haz.
Tampoco pod́ıa ser explicado mediante la Mecánica Cuántica desarrollada hasta el mo-
mento pues seŕıa necesario que el momento angular fuese distinto de cero, cosa que no
suced́ıa para los átomos en cuestión (ver Tema 9).
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1943/stern-bio.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Walther_Gerlach
4 Esṕın 21
 0
 0.05
 0.1
 0.15
 0.2
 0.25
 0.3
 0.35
 0.4
 0.451s
x
y
-0.04
-0.02
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
 0.1
 0.12
 0.14
 0.16
2s
x
y
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
2py
x
y
-0.03
-0.02
-0.01
 0
 0.01
 0.02
 0.03
3py
x
y
-0.015
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0.01
 0.015
 0.02
 0.025
 0.03
3dz2
x
z
-0.015
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0.01
 0.015
3dx2-y2
x
y
Figura 5: Representación de algunos orbitales hidrogenoides en un plano que contiene al núcleo.
22 Tema 7: El átomo de hidrógeno
Figura 6: Arriba: superficies de isodensidad dentro de las cuales la probabilidad de encontrar al
electrón es del 95% para algunos estados del átomo de hidrógeno; de izquierda a derecha: 1s, 2pz,
3dz2 , 3dyz. Abajo: idem para el orbital 3dyz al 99% de probabilidad. El signo de cada orbital en cada
región del espacio se indica mediante color: blanco=positivo, azul=negativo.
4.2. Introducción del esṕın en Mecánica Cuántica
Momento angular de esṕın. Para justificar los resultados experimentales anteriores Uhlenbeck y
Goudsmit propusieron en 1925 que, además de su momento angular orbital:
El electrón tiene un momento angular intŕınseco denominado momento angular de
esṕın o, simplemente, esṕın.
En ocasiones se justifica el esṕın considerando que el electrón es una esfera cargada que
rota (en inglés “spin”) alrededor de su eje.
Sin embargo la imagen anterior es errónea pues el momento angular de esṕın no depende
de los grados de libertad espaciales.
El esṕın es un grado de libertad intŕınseco de toda part́ıcula microscópica que no tiene
análogo clásico, siendo un concepto puramente mecano-cuántico.
Surge de forma natural del tratamiento mecano-cuántico relativista desarrollado por Dirac
en 1928.
La complejidad de dicho tratamiento obliga a introducir el esṕın en Mecánica Cuántica
no relativista mediante una serie de postulados adicionales a los del Tema 4.
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Uhlenbeck.html
http://www.lorentz.leidenuniv.nl/history/spin/goudsmit.html
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1933/dirac-bio.html
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Dirac.html
4 Esṕın 23
Tratamiento teórico del esṕın.
Se postula que el momento angular de esṕın tiene asociado los correspondientes
operadores Ŝ2, Ŝx, Ŝy, Ŝz que están relacionados según
Ŝ2 = Ŝ2x + Ŝ
2
y + Ŝ
2
z (89)
y obedecen las siguientes reglas de conmutación:[
Ŝx, Ŝy
]
= ih̄Ŝz (90)[
Ŝy, Ŝz
]
= ih̄Ŝx (91)[
Ŝz, Ŝx
]
= ih̄Ŝy (92)[
Ŝ2, Ŝx] = 0 (93)[
Ŝ2, Ŝy] = 0 (94)[
Ŝ2, Ŝz] = 0 (95)
de manera que el electrón poseeun momento magnético intŕınseco dado por
~µS = −ge
e
2mec
~S (96)
donde ge = 2, 0023 es el denominado factor de Landé o ratio girodinámico del
electrón.
De las reglas de conmutación (90)-(95) se deduce que las autofunciones comunes de Ŝ2
y Ŝz cumplen las siguientes ecuaciones de autovalores:
Ŝ2|s,ms〉 = s(s+ 1)h̄2|s,ms〉 ; s = 0,
1
2
, 1,
3
2
, . . . (97)
Ŝz|s,ms〉 = msh̄|s,ms〉 ; ms = −s,−s+ 1, . . . , s− 1, s (98)
es decir el módulo y la componente z del momento angular de esṕın están cuantizados.
Toda part́ıcula fundamental posee un esṕın espećıfico, denominándose bosones a aquéllas
con esṕın entero: s = 0, 1, 2, . . . y fermiones a aquéllas con esṕın semi-entero s =
1/2, 3/2, . . ..
Ejemplos de bosones: piones (s = 0) y fotones (s = 1).
Ejemplos de fermiones: electrones , protones y neutrones; todos con s = 1/2. En este
caso, de las relaciones (97)-(98) se tiene que, para el electrón:
Ŝ2|1/2,ms〉 =
3
4
h̄2|1/2,ms〉 (99)
Ŝz|1/2,ms〉 = msh̄|1/2,ms〉 ;ms = ±
1
2
(100)
24 Tema 7: El átomo de hidrógeno
donde las autofunciones |1/2, 1/2〉 y |1/2,−1/2〉 forman una base completa ortonormal
para el grado de libertad del esṕın:〈
1
2
,
1
2
∣∣∣∣∣12 , 12
〉
= 1 (101)〈
1
2
,−1
2
∣∣∣∣∣12 ,−12
〉
= 1 (102)〈
1
2
,−1
2
∣∣∣∣∣12 , 12
〉
= 0 =
〈
1
2
,
1
2
∣∣∣∣∣12 ,−12
〉
(103)
La existencia del momento magnético de esṕın del electrón ~µS y la cuantización anterior
permiten explicar correctamente la estructura fina de los espectros (ver Tema 9) y la
interacción con campos magnéticos, como en el experimento de Stern y Gerlach.
Funciones α y β.
Es común representar las autofunciones de Ŝ2 y Ŝz mediante la siguiente notación:
|α〉 ≡ |1/2, 1/2〉 (104)
|β〉 ≡ |1/2,−1/2〉 (105)
de forma que las ecuaciones (99)-(103) pueden escribirse de la siguiente forma:
Ŝ2|α〉 = 3
4
h̄2|α〉 (106)
Ŝ2|β〉 = 3
4
h̄2|β〉 (107)
Ŝz|α〉 = +
1
2
h̄|α〉 (108)
Ŝz|β〉 = −
1
2
h̄|β〉 (109)
〈α|α〉 = 〈β|β〉 = 1 (110)
〈α|β〉 = 〈β|α〉 = 0 (111)
¿Cuáles son las variables de las funciones propias de esṕın α y β?
↪→ A menudo se habla de una coordenada de esṕın ω sin especificar qué es.
↪→ Es muy habitual tomar el número cuántico ms como la variable de la que dependen
las funciones propias de esṕın, de manera que:
|α〉 7−→ α(ms) = δms,1/2 (112)
|β〉 7−→ β(ms) = δms,−1/2 (113)
donde las igualdades se han introducido para que se cumplan las condiciones de ortonor-
malidad; dado que ms vaŕıa de forma discreta, éstas pueden escribirse formalmente de
4 Esṕın 25
la siguiente manera:
+1/2∑
ms=−1/2
|α(ms)|2 = 1 (114)
+1/2∑
ms=−1/2
|β(ms)|2 = 1 (115)
+1/2∑
ms=−1/2
α∗(ms)β(ms) = 0 (116)
4.3. Esṕın-orbitales.
La función de onda que especifica el estado de un electrón depende, pues, de las tres coorde-
nadas de posición x, y, z, y también del estado del esṕın del electrón.
↪→ ¿Qué efecto tiene en las funciones de onda y valores de la enerǵıa?
En el tratamiento aproximado no relativista el esṕın se introduce expresando el vector de
estado del electrón como el producto
|χnlmlms〉 = |ψnlml〉|gms〉 (117)
donde |ψnlml〉 representa los orbitales hidrogenoides de la sección §2.4 y |gms〉 = |α〉, |β〉 en
función del valor que tome ms.
De manera que la correspondiente función de onda, denominada esṕın-orbital, adopta la forma:
χnlml(~r;ms) = ψnlml(~r)g(ms) (118)
donde se usa el número cuántico ms como variable de esṕın.
Debido a las condiciones de ortonormalidad de los orbitales hidrogenoides y de las funciones
de esṕın se cumple que:
〈χnlmlms |χn′l′m′lm′s〉 = δnn′δll′δmlm′lδmsm′s (119)
Despreciando la interacción entre el momento angular de esṕın y el momento angular orbital
del electrón (ver Tema 9) el operador Hamiltoniano del átomo de hidrógeno es independiente
del esṕın, de forma que:
Ĥ[χnlml(~r;ms)] = g(ms)Ĥψnlml(~r) = E[χnlml(~r;ms)] (120)
de forma que obtenemos las mismas enerǵıas deducidas sin considerar el esṕın.
Bajo la aproximación anterior la única diferencia al considerar el esṕın es duplicar el número
de estados posibles con la misma enerǵıa: ψnlml 7−→ ψnlmlα, ψnlmlβ
↪→ La degeneración de los niveles de enerǵıa del átomo de hidrógeno pasa a ser 2n2.
26 Tema 7: El átomo de hidrógeno
5. Unidades atómicas
En la resolución de la ecuación de Schrödinger para átomos y moléculas es necesario arrastrar
toda una serie de constantes.
Para simplificar la expresión de la misma se introduce un nuevo sistema de unidades, denomi-
nadas unidades atómicas (u.a.), en las que:
La unidad de masa es la del electrón 7−→ me = 1.
La unidad de carga es la del protón 7−→ |e| = 1.
La unidad de momento angular es h̄ 7−→ h̄ = 1.
De esta forma, la expresión para el Hamiltoniano del átomo de hidrógeno suponiendo masa
nuclear infinita (µ→ me) se simplificaŕıa de la siguiente manera:
Ĥ = − h̄
2
2me
∇2 − e
2
r
7−→ −1
2
∇2 − 1
r
(en u.a.) (121)
Análogamente el valor numérico de a0 (el radio de Bohr) en unidades atómicas (masa nuclear
infinita) es la unidad, pues:
a0 =
h̄2
mee2
7−→ a0 = 1 (en u.a.) (122)
y se toma como unidad atómica de longitud, denominándose Bohr:
1 Bohr ≡ a0 ≡
h̄2
mee2
= 0, 529177Å (123)
Aśı mismo los autovalores de la enerǵıa del átomo de hidrógeno, asumiendo masa nuclear
infinita, expresados en unidades atómicas quedan aśı:
En = −
mee
4
2h̄2
1
n2
= − e
2
2a0
1
n2
7−→ En = −
1
2n2
(en u.a.) (124)
tomándose como unidad atómica de enerǵıa el denominado Hartree:
1 Hartree ≡ Eh ≡
e2
a0
= 27, 2114 eV = 4, 35974418× 10−18 J (125)
con lo que la enerǵıa del estado fundamental del hidrógeno es −1/2 en unidades atómicas.
Para obtener la unidad atómica de cualquier otra magnitud se combinan h̄, me y e para
producir una cantidad que tenga las dimensiones deseadas. Por ejemplo:
↪→ la unidad atómica de tiempo es h̄/Eh = 2, 41884× 10−17 s
↪→ la unidad atómica de momento dipolar eléctrico es ea0 = 8, 47836× 10−30 C m.
6 Problemas 27
6. Problemas
1:
a) Mostrar que los orbitales 1s y 2s del hidrógeno son ortonormales:
Ψ1s =
(
1
π
) 1
2
a
−3/2
0 e
− r
a0 Ψ2s =
(
1
32π
) 1
2
a
−3/2
0 (2−
r
a0
)e
− r
2a0
b) Comprobar si son ortogonales las funciones de Slater para los orbitales 1s y 2s del carbono,
dadas por:
Φ1s =
(
Z31s
π
) 1
2
e−Z1sr Φ2s =
(
Z52s
96π
) 1
2
re−
Z2sr
2
tal que: Z1s = 6− 0,30 y Z2s = 6− 2(0,85)− 3(0,359)
2: La ecuación radial para un átomo o ión hidrogenoide (en unidades atómicas y considerando
masa nuclear infinita) es :
− 1
2r2
∂
∂r
r2
∂
∂r
R(r) +
[
l(l + 1)
2r2
− Z
r
]
R(r) = ER(r)
a) Transformar esta ecuación considerando el cambio: P (r) = rR(r). b) Representar la función
potencial efectivo que aparece en la ecuación para P (r), frente a r, para los tres primeros valores
de l, suponiendo que Z = 1.
3: Calcular, para la función de onda para el estado fundamental del átomo de hidrógeno:
Ψ1s =
1√
π
a
−3/2
0 e
−r/a0
a) La densidad de probabilidad de encontrar al electrón a una distancia del núcleo igual a 1 a0.
b) La probabilidad de encontrar al electrón en cualquier lugar entre 0,9 a0 y 1,1 a0.
c) La probabilidad de encontrarlo más allá de 2 a0.
d) Calcular el radio de la esfera que encierra un 90% de probabilidad de encontrar el electrón
descrito por este orbital.
e) La distancia más probable del electrón con respecto al núcleo.
f) El valor promedio de r.
28 Tema 7: El átomo de hidrógeno
4: Conocida la expresión del operador ∇2 en coordenadas polares:
∇2 = 1
r2
∂
∂r
(
r2
∂
∂r
)
+
1
r2
1
senθ
∂
∂θ
(
senθ
∂
∂θ
)
+
1
r2
1
sen2θ
∂2
∂ϕ2
Calcule el valor de 〈T 〉, 〈V 〉 y 〈H〉 para la siguiente función, correspondiente al átomo de
hidrógeno Ψ = Ne−r, analizando la relación que existe entre ellos.
5: Dados los siguientes orbitales hidrogenoides:
Ψ2p−1 = Nre
−r/2senθe−iϕ Ψ2px = Nre
−r/2senθ cosϕ
¿Son funciones propias de los operadores L̂z y L̂
2?. Si se puede conocer, ¿cuanto vale el módu-
lo del momento angular asociado a ambas funciones?, ¿y la componente z de dicho momento?.Comentar los resultados.
	Partícula sometida a un potencial central
	Ecuación de Schrödinger para una partícula en un campo central
	Autofunciones: producto de parte radial y un armónico esférico
	Ecuación radial para un potencial central
	Ecuación de Schrödinger para un átomo o ión hidrogenoide
	Descripción del problema: forma del potencial
	Separación del movimiento relativo y del centro de masas
	Resolución de la ecuación radial
	Funciones de onda: orbitales hidrogenoides
	Análisis del espectro y de los orbitales hidrogenoides
	Niveles energéticos. Degeneración.
	Caracterización y representaciones gráficas de orbitales hidrogenoides
	Espín
	Evidencia experimental del momento angular intrínseco o espín
	Introducción del espín en Mecánica Cuántica
	Espín-orbitales.
	Unidades atómicas
	Problemas