activ-III-29

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Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 1
Actividad III.29 – Variación de la resistencia con 
la temperatura 
 
 
Objetivo 
 
Estudio del efecto de la temperatura sobre la conducción eléctrica de medios 
materiales (conductor puro, aleación, semiconductor) y en algunos dispositivos 
electrónicos comunes (resistencias de carbón, termistores). Interpretación de los 
resultados sobre la base de modelos microscópicos de los mecanismos de conducción en 
cada caso. 
 
Introducción 
 
 Para que un medio material pueda conducir la corriente eléctrica debe de existir 
en su interior cargas móviles (portadores) capaces de conducir la electricidad. En los 
metales, las cargas móviles son los electrones; en las soluciones electrolíticas, las cargas 
móviles son los iones, etc. 
 
 Consideremos una muestra cilíndrica de sección transversal A y longitud l de un 
material cualquiera por el que se hace circular una corriente eléctrica i. Es posible 
relacionar esta corriente de modo muy general con la carga ν.e que transporta cada 
portador móvil (e es la carga elemental y ν el número de cargas elementales por cada 
portador de carga), la velocidad media de las cargas móviles, vm, y el número de cargas 
libres por unidad de volumen, n:[1,2] 
 
ν⋅⋅⋅⋅= evAni m (29.1) 
 
 Si el material en cuestión obedece la ley de Ohm, la dependencia del voltaje V 
con la corriente i es lineal (i = V / R). La resistencia eléctrica R de la muestra cilíndrica 
en consideración está dada por: 
 
R lA= ⋅ρ (29.2) 
 
donde ρ es la resistividad del material. Si suponemos que el campo eléctrico E = V / l a 
lo largo del cilindro es uniforme, entonces de (29.1) y (29.2) tenemos: 
 
νν
ρ
⋅⋅
⋅





=
⋅⋅⋅
=⋅=⋅=
env
E
evn
E
l
A
i
V
l
AR
mm
1
 (29.3) 
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 2
 
 Para que el material obedezca ley de Ohm, ρ debe ser independiente del campo 
(o voltaje) aplicado y de la velocidad de los iones vm. Esto significa que para que se 
cumpla la ley de Ohm, dentro del material debe existir algún mecanismo de fricción o 
choques de modo que vm sea proporcional a E. Esto puede lograrse, por ejemplo, si las 
cargas se mueven en un medio que les oponga una “fuerza viscosa”. En un sólido esto 
podría lograrse si los electrones (o portadores de carga) chocaran constantemente contra 
los iones de la red cristalina que lo forman. En cierto sentido, podríamos comparar el 
movimiento de los electrones en un sólido con el de una canica que cae por una 
escalera: si bien el movimiento entre dos escalones es acelerado, la canica cae con una 
velocidad promedio constante igual a la mitad de la velocidad final al llegar al escalón 
siguiente. Si llamamos τ el tiempo medio entre choque y choque, podemos escribir: 
 
τν ⋅⋅⋅⋅=⋅=
m
EeVv fm 2
1
2
1
 (29.4) 
 
donde m es la masa de los portadores de carga. También es razonable suponer que τ 
será inversamente proporcional al tamaño de estos iones. Se define la sección eficaz 
σef de choque de los electrones contra los iones, que es una medida de la probabilidad 
que tienen los portadores de carga de chocar contra dichos iones. Combinando (29.3) y 
(29.4) podemos escribir: 
 
nne
m efσ
τν
ρ ∝
⋅
⋅
⋅
⋅
=
1
)(
2
2 , (29.5) 
 
que indica que la resistividad es proporcional a la sección eficaz de choque de los 
portadores de carga e inversamente proporcional al número de portadores por unidad de 
volumen. Así se comprende que, en un material metálico (n = constante), al aumentar la 
temperatura, los iones que forman el cristal vibran más alrededor de sus posiciones de 
equilibrio (pareciendo más “gordos”), lo que trae como consecuencia un incremento de 
σ y un consecuente cambio (aumento) de la resistividad con la temperatura. Por otro 
lado, en el caso de los semiconductores, un aumento la temperatura tiene como efecto 
un aumento del número de portadores de carga n capaces de conducir. Por lo tanto, 
vemos que es de esperar efectos interesantes en la resistividad de un material cuando se 
varía la temperatura. Esto es precisamente lo que queremos estudiar en este 
experimento. 
 
Proyecto 1− Variación de la resistencia con la temperatura 
 
Equipamiento básico recomendado: Alambre de cobre, y manganina de diámetro 
≈0.05 a 0.1 mm. Un termistor de < 1 kΩ a temperatura ambiente. Un multímetro que 
pueda medir resistencia eléctrica en el rango 1−104 Ω. Un termómetro. 
 
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 3
 
 Una posible disposición experimental para estudiar la variación de la resistencia 
eléctrica, R, con la temperatura, T, se muestra esquemáticamente en la Fig. 29.1. 
Consiste en colocar la resistencia en un medio líquido poco o no conductor (por ejemplo 
aceite de transformador o agua destilada, la idea es que la resistencia a medir sea 
mucho menor que la resistencia del medio líquido) que puede calentarse usando un 
calefactor y disponer de algún dispositivo para medir la temperatura (un termómetro, 
termocupla, etc.). El baño líquido sirve para uniformizar la temperatura y dar más 
inercia térmica al sistema. Un modo simple de medir R consiste en usar un óhmetro. 
 
 
Figura 29.1 Dispositivo experimental para medir la variación de la 
resistencia con la temperatura. El baño térmico consiste en un recipiente 
con un líquido de poca conductividad eléctrica. Se requiere de un 
termómetro y un multímetro (en modo óhmetro) para medir la resistencia 
R como función de la temperatura. 
 
Estudie experimentalmente la variación de R con T para uno de los dos elementos 
siguientes: 
a) Metal puro: Realice este estudio para algún metal puro, por ejemplo: cobre. 
Para ello construya un arrollamiento de unos 5 a 10 m de alambre esmaltado 
de diámetro entre 0.05 mm y 0.1 mm. Si usa otro metal estime la longitud 
del alambre para tener resistencias entre 10 Ω y 100 Ω a temperatura 
ambiente. La razón de usar alambra fino y largo de cobre, es lograr que la 
muestra tenga una resistencia tal, que pueda ser medida con multimotros 
comerciales. Estos, típicamente pueden medir con un error aceptable (≈1%) 
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 4
resistencias mayores que 10 Ω. Si lo prefiere puede usar un RTD 
(Resistance Temperature Detector), que son resistencias encapsuladas de Pt 
y cuyo coeficiente de variación de la resistencia con la temperatura está muy 
bien definido y está dado por el fabricante. Para rangos no muy grande de 
temperatura la variación de R con T es lineal: 
))(1()( 00 TTRTR −⋅−⋅= α (29.5) 
Para este experimento se puede usar un óhmetro para medir la resistencia y 
un termómetro convencional, bien calibrado, para medir la temperatura. 
 Represente gráficamente la resistencia del alambre (o RDT) como 
función de la temperatura. 
 Obtenga el coeficiente de variación de R con la temperatura, α, y 
compare su valor con los de tabla. 
a) Aleación: Un alambre que suele usarse como alambre de conexión es la 
manganina, que es una aleación especial de Cu y Ni. Por las mismas razones 
que comentamos más arriba, es conveniente que la resistecia de la muestra 
sea mayor que unos 10 Ω. Descubra sus propiedades eléctricas midiendo 
R(T), tratando de variar la temperatura entre 0 ºC y 100 ºC. ¿Qué encuentra? 
De ser posible sumerja la muestra de alambre en un baño de Nitrógeno 
líquido para ampliar el margen de variación de temperatura y compare el 
valor de la resistencia a esa temperatura (punto de ebullición del Nitrógeno 
líquido, TN2 ≈ 77 K) y compare con los valores a temperaturas cercanas a la 
temperatura ambiente (Tamb ≈ 300 K). ¿Qué puede decir de la variación de la 
resistencia de esta aleación con la temperatura? 
b) Termistor: Estos dispositivos semiconductores son muy usados para medir 
temperatura por su bajo costo y sensibilidad. La propiedad termométrica de 
los mismos es la resistencia eléctrica, por lo que es importante conocer con 
precisión la variación de R con T. Sin embargo, la dependencia conla 
temperatura no es simple. Una expresión que describe bien a alguno de 
estos componentes es: 
 









 −⋅⋅=








 −⋅⋅=
0
0
0
0
11exp11exp)()(
TTk
E
R
TT
TRTR gβ (29.6) 
 
donde T y T0 son las temperaturas absolutas, R(T0)=R0 la resistencia a T0, β 
y Eg son constantes a determinar y k la constante de Boltzmann. 
 
 Elija un termistor de baja resistencia (R(T0) < 1 kΩ), de modo que al 
sumergirlo en agua su medición no esté afectada por la resistencia la misma. 
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 5
Si puede, adopte como medida de precaución aislar las terminales del 
termistor que estarán sumergidas en el agua. Un pegamento convencional 
que resista unos 100 ºC puede ser adecuado para esto. 
 Represente gráficamente la resistencia del termistor como función de 
la temperatura y el cociente R(T)/R0 en función de 1/T en escala 
semilogarítmica. 
 Obtenga el coeficiente de variación de R con la temperatura, β, e 
indique si la expresión (29.6) da cuenta adecuadamente de sus 
resultados experimentales. 
 (Opcional) Un resultado importante de la mecánica estadística,6 es que 
si tenemos un conjunto de N partículas a una temperatura T, que 
pueden estar en dos niveles de energía, uno inferior E1 y otro superior 
E2 (con ∆E=E2-E1), la distribución de las mimas entre estos dos 
niveles viene dado por la estadística de Boltzmann: 
)/(
Een páticulas de Número
Een particulas de Número
1
2
1
2 kTEExp
n
n
∆−== , (29.7) 
con n1+n2=N. Combinado este resultado, con el modelo de 
conducción discutido más arriba, Ec(29.5), elabore una discusión que 
le permita justificar la expresión (29-6). ¿Qué puede concluir 
respecto a la naturaleza cuántica del comportamiento de los electrones 
en un sólido a partir de este estudio? 
 
Proyecto 2 − Medición de la resistividad de una alambre por el método 
de las cuatro puntas 
 
Equipamiento básico recomendado: Alambre de cobre, aluminio, hierro Dos 
multímetros para medir corrientes y tensión (milivoltios). Una fuente de tensión DC o 
AC de unos 12V@2 A. 
 
Para este proyecto se requieren muestras de algunos metales puros (≈ 99% de pureza) 
de modo de comparar fácilmente los valores medidos con los tabulados para el mismo 
material. Construya un circuito similar al indicado en la figura 29.2, para utilizar el 
método de las cuatro puntas o método de Kelvin para medir resistencias, ver apéndice 1. 
 
 Seleccione un conjunto de muestras puras de materiales conocidos, por 
ejemplo Cu, Al, etc. Es importante de que la geometría de la muestra se pueda 
caracterizar bien, por ello se puede usar alambre de más de 2 mm de diámetro y 
una longitud de aproximadamente 1 m, de modos de posibilitar realizar 
mediciones de su diámetro (φ) y su longitud (L) con precisiones mejores que el 
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 6
1%. Es importante recordar que la distancia entre los conectores del voltímetro 
determinan el valor de L. Los conectores de corriente deben unirse (soldarse) a 
estos mismos punto o también puede conectarse a puntos más afuera del 
intervalo que determina L: Discuta y justifique este procedimiento de conexión 
de los conectores de tensión y corriente. 
 En cada extremo del cable (muestra) conecte dos alambres de cobre, uno de 
ellos, por el que circulará la mayor corriente, debe tener un espesor tal que 
pueda soportar la maxima corriente ( unos pocos amperes) sin calentarse 
excesivamente. El alambre que se conecta al voltímetro puede ser más delgado 
ya que por él prácticamente no circulará corriente. 
 Use una fuente de DC con una resistencia limitadora de corriente (Rext ) en 
serie, de unos 10 a 50 W y capaz de soportar algunos amperes de corriente. Si 
la corriente que pasa por el circuito es de 1 A, para una resistencia de la 
muestra de algunos mΩ, esperamos medir tensiones del orden de los mV. Para 
su caso particular, estime el valor esperado de tensiones y elija el rango 
apropiado en su multímetro para medir estas tensiones. 
 Varíe el sentido de la corriente e investigue si la tensión medida cambie 
significativamente. 
 Realice varias mediciones de tensiones, para diferentes valores de corriente. 
Usando la expresión (26.13). Obtenga el mejor valor de R y su correspondiente 
error. 
 Conociendo el valor del diámetro y la longitud del alambre L (distancia entre 
los puntos de contacto con los conectores del (mili) voltímetro, determine el 
valor de la resistividad del material y estime sus errores. 
 Discuta el grado de acuerdo encontrado con los valores de tablas 
correspondientes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 29.2 Determinación de la resistencia de una muestra (R ) usando el método de las 
cuatro puntas. Nótese que como los voltímetros en general tiene alta resistencia (Rvoltímetro >10 
MΩ) prácticamente toda la corriente circula por el circuito exterior (pasa solo por R) y no hay 
caída de tensión en los cables. Aquí Rext es una resistencia limitadora, de unos 10 a 50 Ω y capaz 
de soportar algunos amperes de corriente. 
I
I
V Voltímetro R
Amperímetro
AA
I
Rext
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 7
Proyecto 3 − Variación de la resistencia con la temperatura de un 
alambre metálico por el método de las cuatro puntas 
 
Equipamiento básico recomendado: Alambre de cobre, aluminio, hierro Dos 
multímetros para medir corrientes y tensión (milivoltios). Una fuente de tensión DC o 
AC de unos 12V@2 A. Un termómetro. 
 
Para este proyecto se requieren muestras de algunos metales puros (≈ 99% de pureza) 
de modo de comparar fácilmente los valores medidos con los tabulados para el mismo 
material. Construya un circuito similar al indicado en la figura 29.2, para utilizar el 
método de las cuatro puntas o método de Kelvin para medir resistencias, ver apéndice 1. 
 
 Seleccione la de muestras de materiales conocidos, por ejemplo Cu, Al, etc. 
En este caso la geometría de la muestra no es importante. Por lo tanto puede 
usarse una pequeña bobina de alambre de uno .2 a .4 mm de diámetro y de 
unos 10 o más m de longitud. Los conectores de corriente y tensión se pueden 
unir a los extremos de la bobina. El material del carretel, debe resistir un ciclo 
térmico de 0º a 100ºC sin deteriorarse. 
 Use una fuente de DC (o AC) con una resistencia limitadora de corriente (Rext ) 
en serie, de unos 10 a 50 W y capaz de soportar algunos amperes de corriente. 
 Varíe el sentido de la corriente si usa una fuente DC. 
 Sumerja la muestra (bobina) en un recipiente de agua con un termómetro, de 
modo similar a como se indica en la Fig.29.1. Usando las Ecs. (29.13) o 
(29.14) determine el valor de R pata cada temperatura T. Variando esta última 
entre 0º y 100ºC aproximadamente. 
 Grafique R en función de T e investigue sus dependencia. 
 Si la relación entre R y T es lineal, determine su pendiente y error. A partir de 
este dato, determine el coeficiente de variación de la resistencia con la 
temperatura y su correspondiente error. 
 Compare sus resultados con los valores de tabla para el coeficiente de 
variación de la resistencia con la temperatura. Discútale grado de acuerdo o 
desacuerdo con los valores de tabla. 
 
Ejercicios complementarios 
Discuta alguna de las posibles aplicaciones e implicancias de los experimentos 
anteriores. Por ejemplo: 
a) Si desea fabricar una “resistencia patrón” con la cual comparar otras 
resistencias, ¿qué parámetros son importantes de considerar para una buena 
elección del material a usar? 
b) Si desea usar una resistor como sensor de temperatura, ¿qué criterios usa para 
la elección del material? 
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 8
c) Usando las ideas discutidas en esta actividad, tenga en cuenta el coeficiente de 
variación de la resistencia con la temperatura del tungsteno y estime la 
temperatura de una lamparita incandescente. Dé un esquema de un diseño 
experimental para realizar esteexperimento. 
 
Apéndice 1. Método de las cuatro puntas o método de Kelvin – 
Determinación de resistencias de baja resistencia 
 
 La determinación de la resistividad o conductividad de una muestra es de 
gran utilidad en muchos experimentos. Generalmente estamos interesados en investigar 
como varía la conductividad en función de algún otro parámetro, por ejemplo la 
temperatura, la frecuencia, etc. Para medir una resistencia de valores intermedio (entre 
unas decenas de Ohms (Ω) a unos pocos MΩ, tal vez lo más simple es usar un 
multímetro (Ohmetro) y conectar como se indica en la figura 29.3. 
 
La resistencia de interés es R, pero lo que mide el Ohmetro es la suma de: 
R+R´cable+Rcable≈R solo si R>> R´cable+Rcable. Para resistencias de pequeña magnitud, 
R<1 W, esta condición casi nunca se satisface. En general para medir una resistencia 
pequeña, será necesario tener en cuenta tanto las resistencias de los cables como los 
potenciales de contacto que pueden estar presentes al poner en contacto dos metales 
distintos. Estos potenciales de contactos son comunes en las uniones. Este método de 
medición de resistencia se denomina método a dos puntas. 
 
Figura 29.3 Determinación de la resistencia de una muestra usando un Ohmetro 
o Multímetro. La resistencia de interés es R sin embargo lo que mide el Ohmetro 
es R+R´cable+Rcable. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ohmetro 
Rcable 
R’cable 
R 
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 9
Figura 29.4 Ilustración de los métodos de medición de resistencia a dos y cuatro puntas 
respectivamente. Nótese que sólo algunos instrumentos especiales poseen un arreglo para medir 
a cuatro puntas directamente (cuadro de la derecha). Sin embargo, siempre es posible diseñar un 
arreglo con instrumentos convencionales, como se ilustra en la figura 29.2, para realizar la 
medición a cuatro puntas. 
 
Método de las cuatro puntas o método de Kelvin 
 Este método, ilustrado esquemáticamente en la figura 29.5, hace uso de dos 
circuitos vinculados. Por un circuito se hace circular la corriente (circuito exterior en la 
figura). Como los voltímetros modernos tienen altas resistencias internas, por el circuito 
de medición de la tensión (circuito interior de la figura) prácticamente no circula 
corriente. La tensión medida será en este caso: 
 
BA RIV εε −⋅+=
++ (29.10) 
 
El superíndice (+) indica que la corriente circula como se indica en la figura (29.4). 
Usamos el superíndice (-) cuando la dirección de la corriente se invierte, invirtiendo la 
fuente, pero sin alterar el resto del circuito. En este caso la tensión medida por el 
voltímetro será: 
BA RIV εε −⋅−=
−− (29.11) 
Restando las ecuaciones (29.1) y (29.2) tenemos: 
 
[ ] RIIVV ⋅+=− −+−+ . (29.12) 
Por lo tanto, invirtiendo el sentido de circulación de la corriente y tomando la diferencia 
de los potenciales medidos, podemos anular el efecto de los potenciales de contacto. 
Más específicamente tenemos: 
−+
−+
+
−
=
II
VVR . (29. 13) 
Método e medición a dos 
puntas 
Método e medición a cuatro 
puntas
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 10
 
Vemos así que el método de las cuatro puntas nos permite eliminar simultáneamente el 
efecto de las resistencias de los cables y contactos como así también los potenciales de 
contacto. Al aplicar la expresión (29.12) a un caso concreto, analice críticamente los 
signos que utiliza para I ± y V±. En el caso de las Ec.(29.10) y (29.11) hemos supuesto 
que el signo de I ± es siempre positivo, de allí el cambio de signo en los término que 
contienen I ± , pero que el valor de V± si cambia en las Ec.(29.10) y (29.11). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 29.5 Determinación de la resistencia de una muestra usando el método 
de las cuatro puntas. Nótese que como los voltímetros en general tiene alta 
resistencia (Rvoltímetro >10 MΩ) prácticamente toda la corriente circula por el 
circuito exterior y no hay caída de tensión en Rcable. 
 
En muchos casos de interés práctico, la fuente de alimentación del circuito (externo) es 
alterna (AC). En este caso es conveniente realizar la medición de tensión usando un 
instrumento que filtre las componentes de continua (DC). Muchos instrumentos poseen 
la opción de activar este modo de medición, por ejemplo los osciloscopios, multímetros, 
Lock-in Amplifiers, etc. Si se mide la tensión en modo AC, la ecuación (29.10) se 
transforma en: 
 
RIV ACAC ⋅= , (29.14) 
ya que en este modo los potenciales de contacto (DC) son filtrados automáticamente por 
el instrumento medidor. Por lo tanto en este caso es posible simplificar el método de 
medición a cuatro puntas. 
 
Muestra unidimensional 
 
En este caso imaginamos un alambre de diámetro φ y área de sección transversal 
A(=π.φ2/4). La diferencia de potencial entre dos puntos separados una distancia L será: 
A
LIRIV ⋅⋅=⋅=∆ ρ , (29.15) 
 
r2
I 
I 
V Voltímetro
Rcable 
R 
R’cable 
Amperímetro
εΑ 
εΒ 
AA
r1I 
Variación de la resistencia con la temperatura - S. Gil 2007 11
empleando Ecs. (26.13) y (26.14) tenemos: 
AC
AC
I
VLA
II
VVLALA ⋅=
−
−
⋅=∆⋅=
−+
−+
)/()/()IV()/(ρ , (29.16) 
según se use una fuente DC o AC respectivamente. En cualquier caso, es importante 
que la geometría del alambre sea bien conocida, es decir que los valores de A y L se 
puedan medir con incertidumbres pequeñas. 
 
Bibliografía 
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4ª ed. (Trad. de Fundamentals of Physics, John Wiley & Sons, Inc. New York, 
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1967; Fondo Educativo Interamericano, 1970).