Topologia Algebraica e Grafos

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Topoloǵıa Algebraica – Edición 2005
Ejercicios adicionales
Morfismos Celulares
Definición: Sean (X, A) e (Y, B) CW-relativos. Una función f : (X,A) → (Y, B) es celular si f(XnA) ⊆ Y nB
para todo n ≥ −1.
1. Probar que toda función de pares f : (X, A) → (Y, B) entre CW-relativos es homotópica, relativo
a A, a un morfismo celular.
(Sugerencia: Usando que (Y, Y nB ) es un par n-conexo y que X
n
A tiene dimensión menor o igual a
n, construir por inducción una sucesión de homotoṕıas Hr : X × I → Y tales que H0(x, 0) =
f(x), Hr(x, 0) = Hr−1(x, 1), Hr sea constante en Xr−1A y H
r(x, 1) ∈ Y rB si x ∈ XrA. Definir a
partir de esta familia, una homotoṕıa H entre f y un morfismo celular.)
2. Aplicar el ejercicio anterior a un CW-complejo conveniente para probar el siguiente resultado: Sean
f, g : (X, A) → (Y, B) celulares y homotópicas relativo a A, entonces existe una homotoṕıa celular
entre ambas, relativo a A (una homotoṕıa celular es un morfismo celular H : (X × I, A × I) →
(Y, B)).
3. Probar que, si f : X → Y es celular, entonces su cono Cf = Y ∪f CX es un CW-complejo.
Grafos y Árboles
Definición: Un grafo es un CW-complejo arcoconexo de dimensión 1. Un árbol es un grafo que no
contiene subcomplejos homeomorfos a S1.
1. Probar que todo árbol es contráctil.
2. Probar que todo grafo contiene un árbol maximal.
3. Probar que, si X es un grafo y T ⊂ X es un árbol maximal, entonces el grupo fundamental de X
es el grupo libre generado por todas las 1-celdas que no están en T .