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CIEEM 2020/2021 
Matemática 
Clase del 6 de junio de 2020 
 
 
Múltiplos y divisores. Divisibilidad. Criterios. 
 
DIVISIÓN ENTERA (continuación) 
 
 Julián quiere armar ramos florales para vender. Compró 396 rosas y desea armar arreglos 
florales de 18 rosas cada uno. 
¿Cuál es la mayor cantidad de arreglos florales que podrá hacer Julián? ¿Cuántas rosas le 
sobrarán luego de hacer esos arreglos florales? 
 
Al realizar la división entre 396 y 18, se obtiene: 
 
donde 396 es el dividendo, 18 es el divisor y se obtiene 22 como cociente y 0 como resto. 
Por lo tanto, Julián podrá armar 22 arreglos florales y no le sobrará ninguna rosa. 
Como el resto de la división entera es 0, y según lo visto en la clase anterior, podemos escribir: 
396 = 22 . 18 + 0, o sea, 396 = 22 . 18. 
Entonces 396 es divisible por 18 y también 396 es divisible por 22 ya que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
Como 33=11 . 3 podemos decir que: 
 33 es divisible por 11 y 33 es divisible por 3, 
 11 es divisor de 33 y 3 es divisor de 33, 
 11 divide a 33 y 3 divide a 33, 
 11 es un factor de 33 y 3 es un factor de 33, 
 o bien 33 es múltiplo de 11 y 33 es múltiplo de 3. 
 
396 18 
 0 22 
Si al hacer la división entera de un número a natural o cero 
por otro número natural b, 
el resto es 0, o sea, 
a = b . c, 
se dice que a es divisible por b 
o también que: b es un divisor de a, 
b divide a a, 
b es un factor de a, 
a es múltiplo de b. 
 
 
 
396 22 
 0 18 
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 Julián también compró 30 margaritas y quiere armar ramos utilizándolas todas. ¿Cuántos 
ramos con igual cantidad de margaritas en cada uno podrá armar? 
 
Como a Julián no le debe sobrar ninguna margarita, el número de ramos debe ser un divisor de 
30. Una forma de encontrar todos los divisores de un número natural es buscándolos en forma 
ordenada, de menor a mayor, comenzando por el 1, ya que el 1 es divisor de cualquier número 
natural. 
 
 Entonces: 30 = 1 . 30, luego, 1 y 30 son divisores de 30. 
 
 
 Entonces: 30 = 2 . 15, luego, 2 y 15 son divisores de 30. 
 
 
 Entonces: 30 = 3 . 10, luego, 3 y 10 son divisores de 30. 
 
 
 Por lo tanto: como el resto no es 0, 4 no es divisor de 30. 
 
 
 Entonces: 30 = 6 . 5, luego, 6 y 5 son divisores de 30. 
 
El próximo divisor será el 6 y ya lo hemos obtenido. Lo mismo sucede con 10, 15 y 30 que los 
obtuvimos en las primeras tres divisiones. 
Por lo tanto, todos los divisores de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, y 30. 
 
30 2 
 0 15 
 
30 3 
 0 10 
 
30 5 
 0 6 
 
30 4 
 2 7 
El 1 es divisor de todos los 
números naturales y múltiplo 
solo del 1. 
El 0 es múltiplo de todos los 
números naturales y divisor de 
ninguno. 
 
30 1 
 0 30 
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Entonces utilizando todas las margaritas, Julián podrá armar: 
1 ramo con treinta margaritas, 
2 ramos con quince margaritas cada uno, 
3 ramos con diez margaritas cada uno, 
5 ramos con seis margaritas cada uno, 
6 ramos con cinco margaritas cada uno, 
10 ramos con tres margaritas cada uno, 
15 ramos con dos margaritas cada uno o 
30 ramos con una margarita cada uno. 
 
1. Considerá que 84 = 7 . 12 y escribí, en cada línea de puntos, una de estas palabras: múltiplo, 
divisor, divisible o factor para que la afirmación resulte verdadera. 
 
a) 84 es …………..……… de 12. b) 7 es …………..……… de 84. 
 
c) 84 es …………..…… por 7. d) 12 es ……………..……de 84. 
 
 
 
2. Considerá que 42 = 2 . 7 . 3. Decidí si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas 
(F) y marcá con una X en el casillero correspondiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 V F 
42 es múltiplo de 7. X 
3 es divisor de 42. X 
42 es divisible por 14. X 
21 es divisible por 42. X 
42 es divisor de 6. X 
42 es múltiplo de 14. X 
2 no es factor de 42. X 
1 es divisor de 42. X 
múltiplo 
divisible 
divisor o factor 
divisor o factor 
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3. ¿Cuáles son los divisores de 18? ¿Y los de 41? 
 
18 = 1 . 18 
 
 
18 = 2 . 9 
 
 
18 = 3 . 6 
 
 
 
41= 41 . 1 
 
 
Pág. 26 
 
42. Decidí, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa. Justificá tu decisión. 
 
 
a) Como , entonces 26 es múltiplo de 7. 
 
 
Para que 26 sea múltiplo de 7, el cociente tiene que ser un número natural, que en este caso 
se cumple, y el resto debe ser 0, que en este caso no lo es. 
Es una división entera, pero el resto no es 0. 
 
 
b) Como , entonces 9 y 12 son divisores de 108. 
 
 
Es una división entera cuyo resto es cero y podemos expresar 108 = 12 . 9 
108 : 9 = 12 y el resto es cero 
108 : 12 = 9 y el resto es cero. 
 
26 7 
 5 3 
108 9 
 0 12 
18 1 
 0 18 
18 18 
 0 1 
18 2 
 0 9 
18 9 
 0 2 
18 3 
 0 6 
18 6 
 0 3 
Los divisores de 18 son: 
1, 2, 3 , 6, 9 y 18 
 
41 41 
 0 1 
41 1 
 0 41 
Los divisores de 41 son: 1 y 41 
 
Falsa 
 
Verdadera 
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c) Como , entonces 2 y 3,5 son divisores de 7. 
 
 
No es una división entera dado que el cociente (3,5) no es un número natural. 
 
43. Si se sabe que 12 es divisor de un número p, ¿qué otros divisores de p se conocen? 
 
Si 12 es un divisor de p, entonces se puede expresar: 
p = 12 . ….. + 0 
 
Entonces también podemos expresar al número p de las siguientes formas: 
 
p = (1 . 12) . … + 0 1 y 12 son divisores de p. 
p = (2 . 6 ) . ….. + 0 2 y 6 son divisores de p. 
p = (3 . 4 ). ….. + 0 3 y 4 son divisores de p. 
 
Por lo tanto, los divisores del número p, además del 12 son los siguientes números 
naturales: 1, 2 , 3 , 4 , 6 y p. 
 
46. a) Si se considera que 35 es divisible por 5, ¿se puede saber, sin hacerla cuenta, si el triple 
de 35 es divisible por 5? 
b) ¿Es cierto que multiplicando 35 por cualquier número se obtiene un número divisible por 5? 
c) ¿Es verdad que la suma de dos múltiplos de 5 es, también, múltiplo de 5? 
 
a) Sí, ya que 35 = 5. 7 y el triple de 35 es 3. 35 = 3.5.7. 
b) Sí, ya que 35 = 5 . 7 entonces n. 35 = n . 5. 7 siendo n cualquier número natural. 
c) Sí. Los múltiplos de 5 terminan en 0 o 5 por lo tanto al sumar dos múltiplos de 5, el 
resultado de esa suma es un número terminado en 0 o en 5. Por ejemplo: 15 es múltiplo de 
5, 100 es múltiplo de 5, entonces 15 + 100 = 115 es múltiplo de 5. 
 
DIVISIBILIDAD 
 
En una panadería se cocinaron 458 tapitas de maicena para elaborar alfajores. 
 ¿Es posible elaborar alfajores utilizando todas las tapitas cocinadas? ¿Por qué? 
 Para averiguarlo, debemos analizar si 458 es divisible por 2. 
 
 
 
7 2 
0 3,5 
 
Una manera de hacerlo es dividir 458 
por 2 y observar si el resto es cero. 
Falsa 
 
p 12 
0 … 
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 Por lo tanto, es posible elaborar alfajores utilizando todas las tapitas de maicena cocinadas. 
 
 Lo que hemos hecho es usar uno de los criterios de divisibilidad. Estos criterios permiten saber 
si un número es divisible por otro sin hacer la división. 
 
 En la siguiente tabla, figuran algunos de los criterios de divisibilidad. 
 
Un número 
natural es 
Cuando Por ejemplo: 
 
divisible por 2 
 
termina en 0, 2, 4, 6 u 8. 184 es divisible por 2, porque 184 termina en 4. 
divisible por 3 
la suma de sus cifras es 
múltiplo de 3. 
1284 es divisible por 3, pues 
1 + 2 + 8 + 4 = 15 y 15 es múltiplo de 3. 
divisible por 4 
el número formado por 
sus dos últimas cifras es 
múltiplo de 4. 
7548 es divisible por 4, porque 48 es múltiplo 
de 4. 
5300 es divisible por 4, pues sus dos últimas 
cifras son 0 y 0 es múltiplo de 4. 
 
divisible por 5 
 
termina en 0 o 5. 
12025 es divisible por 5, porque 12025 termina 
en 5. 
divisible por 9 
la suma de sus cifras es 
múltiplo de 9. 
27018 es divisible por 9, pues 
2 + 7 + 0 + 1 + 8 = 18 y 18 es múltiplo de 9. 
 
divisible por 10 
 
termina en 0. 
38570 es divisible por 10, porque 38570 termina 
en 0. 
 
 
Otra forma más sencilla de averiguarlo 
es mirar si la última cifra de 458 es par. Como esa 
última cifra es 8 y 8 es par, entonces 
458 es divisible por 2. 
 
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 Para que lo resuelvas solo… 
 
Pág. 28 
48. ¿92714 es par o impar? ¿Por qué? 
Es par porque su última cifra es 4 y 4 es un número par. Todos los números que terminan 
en cifra par son múltiplos de 2 y por lo tanto, son números pares. 
 
49. En la siguiente tabla, marcá con una X en el casillero que corresponda. 
 
 es múltiplo de 
 2 3 4 5 6 9 10 
444 X X X X 
4444 X X 
128 X X 
144 X X X X X 
405 X X X 
2442 X X X 
4224 X X X X 
6250 X X X 
 
50. Marina afirma que para saber si un número es divisible por 4, primero se lo divide 
por 2 y si el cociente es divisible por 2, entonces el número original es divisible por 4. 
¿Es verdadera la afirmación de Marina? ¿Por qué? 
Sí, la afirmación de Marina es verdadera ya que 4 = 2 . 2. 
Por ejemplo: queremos saber si 132 es divisible por 4. Hacemos primero 132 :2 = 66. Como 
el cociente 66 es divisible por 2, entonces 132 es divisible por 4. 
 
51. ¿Cuál es el criterio de divisibilidad por 100? ¿Y por 1000? ¿Por qué? 
Partiendo del criterio de divisibilidad por 10, podemos decir que un número es divisible 
por 100 si termina en 2 ceros. Así también un número es divisible por 1000 si termina en 3 
ceros. 
 
52. Decidí si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificá tu decisión. 
a) Si un número es divisible por 3 y 4, entonces es divisible por 12. 
La afirmación es verdadera, porque 12 = 3 . 4 y 3 no es divisible por 4 ni 4 es divisible 
por 3. 
b) Si un número es divisible por 3 y 9, también es divisible por 27. 
La afirmación es falsa, pues, por ejemplo, 36 es divisible por 3 y 9, pero no es divisible 
por 27. 
c) Si un número es divisible por 5 y 2, entonces es divisible por 10. 
La afirmación es verdadera porque 10 = 2 . 5 y 2 no es divisible por 5 ni 5 es divisible 
por 2. 
Un número es par si es múltiplo de 2. 
Un número es impar si no es múltiplo de 2. 
 
 
 
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53. Encontrá todos los valores de j y k para que el número de cinco cifras j371k sea 
 divisible por 4 y 9. 
 
 Para que el número de cinco cifras j371k sea divisible por 4, el número formado por sus 
dos últimas cifras debe ser múltiplo de 4, o sea que: 
 
 j371k 
 
 
 
 
Luego, para que 1k sea múltiplo de 4, el valor de k puede ser: 2 o 6 (k = 2 o 
k = 6), porque 12 y 16 son múltiplos de 4. 
Entonces, de acuerdo con los valores anteriores de k, existen dos posibilidades para el 
número de cinco cifras: j3712 o j3716. 
 
Para que los números de cinco cifras j3712 y j3716 sean divisibles por 9, la suma de las 
cifras de cada uno debe ser múltiplo de 9, es decir que: 
 
 j3712 j3716 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego: 
 si en j + 13 el valor de j es 5 (j = 5), entonces 5 + 13 = 18 y 18 es múltiplo de 9. 
 si en j + 17 el valor de j es 1 (j = 1), entonces 1 + 17 = 18 y 18 es múltiplo de 9. 
 
Por lo tanto, para que el número de cinco cifras j371k sea divisible por 4 y 9, los valores 
de j y k son los siguientes: j = 5 y k = 2, o j = 1 y k = 6. 
 
 
54. Sin realizar la división hallá el resto de dividir 7326 por cada uno de los siguientes números. 
a) 10 b) 5 c) 4 d) 3 
 
a) Como 7326 = 7320 + 6 y 7320 es múltiplo de 10 (o sea que 7320 es divisible por 10), 
entonces el resto de dividir 7326 por 10 es 6. 
 
b) Como 7326 = 7325 + 1 y 7325 es múltiplo de 5 (o sea que 7325 es divisible por 5), 
entonces el resto de dividir 7326 por 5 es 1. 
 
el número de dos cifras 1k 
tiene que ser múltiplo de 4. 
el resultado de j + 3 + 7 + 1 + 2, 
o sea de j + 13, tiene que ser 
múltiplo de 9 
el resultado de j + 3 + 7 + 1 + 6, 
o sea de j + 17, tiene que ser 
múltiplo de 9 
 
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c) Como 7326 = 7324 + 2 y 7324 es múltiplo de 4 (es decir que 7324 es divisible por 4), 
entonces el resto de dividir 7326 por 4 es 2. 
 
d) Como 7326 es múltiplo de 3, porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3, entonces 
7326 es divisible por 3, con lo cual el resto de dividir 7326 por 3 es 0. 
 
55. Al sumar los números de tres cifras 6c3 y 2d5, el resultado es un número divisible por 9. 
a) ¿Cuál es el menor valor posible de c + d? 
b) ¿Cuál es el mayor valor posible de c + d? 
 
Como el resultado de 6c3 + 2d5 debe ser un número divisiblepor 9, entonces la suma de sus 
cifras debe ser un múltiplo de 9. 
 
 
 
 
 
Luego, 8 + (c + d) + 8 = (c + d) + 16 tiene que ser un múltiplo de 9. Luego, el valor 
posible de c + d puede ser: 2 u 11, porque: 
 
 2 + 16 = 18 
11 + 16 = 27 
 
 
En los números 6c3 y 2d5, c y d son cifras, con lo cual los posibles valores tanto de c como 
de d son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9. 
Luego, el máximo valor de c + d es 18, cuando c = 9 y d = 9, pero (c + d) + 16 = 18 + 16 = 34 
y 34 no es múltiplo de 9. 
El valor de (c + d) no puede ser, por ejemplo, 20 a pesar de que 20 + 16 = 36, y 36 es un 
múltiplo de 9. 
 
Por lo tanto: 
a) el menor valor posible de c + d es 2. 
b) el mayor valor posible de c + d es 11. 
 
 
6 c 3 
2 d 5 
 
8 + (c + d) + 8 
+ 
 ya que 18 y 27 son múltiplos de 9. 
 
	Múltiplos y divisores. Divisibilidad. Criterios.