Clase 1_NºNaturales y Enteros

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Recopilación para CPI/ CTFP-PJ – Lic. Lilian Pedrozo 1 
 
ARITMETICA 
Es la parte de la Matemática que tiene por objeto el estudio de los números, considerando su 
clasificación, las operaciones que se pueden realizar con los mismos y sus aplicaciones a la 
resolución de problemas. 
 
1. CONJUNTOS NUMERICOS 
Números Naturales: ℕ = {0,1,2,3, … . } 
Números Enteros: ℤ = {… − 3, −2, −1,0,1,2,3, … . } 
Números Racionales: ℚ = {𝑥|𝑥 =
𝑎
𝑏
, 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ ℤ , 𝑏 ≠ 0}. Los 
números racionales pueden escribirse en notación 
fraccionaria o decimal. 
El conjunto de los números enteros está incluido en el conjunto de los números 
racionales ℤ ⊂ ℚ 
Números Irracionales: ℚ` (𝑄 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎): está formado por todos los números que 
no pueden expresarse como fracción 
𝜋 = 3,141592; √2 = 1,4142; √3 = 1,73205 
Números Reales: ℝ = ℚ ∪ ℚ` : comprende la unión de los números 
racionales e irracionales 
Números imaginarios: 𝐼 corresponden a todos los resultados de la ecuación de 
la forma 𝑥2 + 𝑎 = 0 
√−𝟗 = ±𝟑𝒊; √−𝟏𝟔 = ±𝟒𝒊 
Números Complejos.ℂ = ℝ ∪ 𝐼 corresponden a la unión de los números reales y 
los imaginarios ℂ = {𝑥|𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, √−1 = 𝑖} 
 
NÚMEROS NATURALES. 
Los números naturales se representan  ,.......4,3,2,1,0N , 
donde el primer elemento es 0(cero) y cada número consecutivo 
se obtiene agregando una unidad al anterior. No tiene último elemento. 
 
 
 
 
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Consecutivo de un nº 1nesn 
 ,.......4,3,2,1,0N 
 Los números naturales pueden ser: 
 - pares: 0, 2, 4, 6, 8,10,………… 
- impares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,…….. 
 Divisibilidad, múltiplos y divisores 
-Criterios de divisibilidad: son señales características de los números que permiten conocer 
cuáles son sus divisores. 
a) Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando termina en cifra par o cero. 
Ejemplos: 4, 12, 40, 158, 1152 
b) Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos 
de sus cifras es múltiplo de 3. 
Ejemplos: 168, porque 1+6+8=15 y 15 es múltiplo de 3. 
 999, porque 9 +9 +9= 27 y 27 es múltiplo de 3 
c) Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 cuando termina en 5 o en 0. 
Ejemplos: 765 , 1.210, 32.985, 124.770 
-Número primo: es el número mayor que 1, que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad. 
Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19,23, 
El conjunto de los números primos es infinito. 
-Número compuesto: es aquel que además de ser divisible por sí mismo y por la unidad, lo es 
por otro factor. 
Ejemplos: 4,6,9,10,12….. El conjunto de los números compuestos es infinito. 
-Múltiplo de un número: es el número que contiene a éste una cantidad exacta de veces. Un 
número natural tiene infinitos múltiplos. 
Ejemplos: - múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40,……. 
- múltiplos de 7 : 7, 14, 21, 28, 35,42,……… 
-Submúltiplo, factor o divisor de un número: es el número que está contenido en el primero 
una cantidad exacta de veces. Un número tiene una cantidad finita de divisores. 
Ejemplo: - divisores de 36: 1, 2, 3,4, 6, 9, 12, 18, 36. 
 -divisores de 45: 1, 3, 5, 15, 45 
 
 
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El conjunto de los divisores es finito. 
- Criba de Eratóstenes 
 
-Regla para conocer si un número es primo o no: Se divide el número por todos los números 
primos menores que él, y si se llega a obtener cociente exacto el número es compuesto. Si la 
división es inexacta y el cociente en menor o igual al divisor, entonces el número dado es 
primo. 
primonúmeroes
restocociente
restocociente
restocociente
restocociente
restocociente
restocociente
179
10,1313179
3,1611179
4,257179
4,355179
2,593179
1,892179)2






 
 
-Descomposición de un número en sus factores primos 
Descomponer un número en factores primos es expresar dicho número como un producto, 
donde todos sus factores son números primos. 
Máximo común divisor y Mínimo Común Múltiplo 
-Máximo común divisor(mcm): es el mayor número que está contenido una cantidad exacta de 
veces en cada uno de los números dados. 
Por tanto: El mcd de varios números es el mayor de los divisores comunes de esos números. 
Regla práctica: se multiplican entre si los factores primos comunes con su menor exponente. 
Procedimiento para hallar el mcd 
 36 2 60 2 
18 2 30 2 
22 3236  y 53260
2  
  123260,36 2 mcd 
Se colocan los números del 1 al 
100, luego se tachan el 1 y todos 
los múltiplos del 2, 3, 5 ,7 ,11,13,.. 
Los números que quedan sin 
tachar son los números primos 
comprendidos entre 1 y 100. 
Los números primos entre 1 y 100 
son:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, 
37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,
83,89,91,97 
 
 
 
 Ejemplos: 
1,61:2123)1  restocociente
compuestoes
restocociente
123
0,41:3123 
 
 
 
 
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9 3 15 3 
3 3 5 5 
1 1 
 
125 5 64 2 
 25 5 32 2 
5 5 16 2 
1 8 2 
 4 2 
 2 2 
 1 
 
-Mínimo común múltiplo (mcm): es el menor número que contiene una cantidad exacta de 
veces a cada uno de los números dados. 
Por tanto: El mcm de varios números es el menor múltiplo común de esos números. Si no hay un 
divisor común entre los números, el mcd de los mismos es 1. 
-Regla práctica: se multiplican entre si los factores primos comunes y no comunes con su mayor 
exponente. 
 
 
 
 
 
 
Resolución de problemas sobre mcd y mcm 
1. Una persona tiene tres paquetes de billetes de banco. En una tiene $240, en otro $720 y en 
el tercero $360. Si los billetes son de la misma denominación y de mayor valor posible. 
¿Cuál es el valor de cada billete? 
Se descompone cada valor en sus factores primos y luego se halla el mcd. 
120532)360,720,240(
532360
532720
532240
3
23
24
4




mcd
 
Respuesta: El valor de cada billete es de $120. 
 
56 2 72 2 124 2 
28 2 36 2 62 2 
14 2 18 2 31 31 
7 7 9 3 1 
1 3 3 
 1 
7256 3  ; 
23 3272  ; 312124
2  
  624.1531732124,72,56 23 mcm 
1)mcd(125,64 el
comunes, divisores tienen no Como
264
5125
6
3



 
 
 
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2. ¿Cuál es la menor longitud que debe tener una varilla para que pueda dividir en trozos de 
24cm, 27cm ó 45cm de longitud sin que sobre ni falte nada? ¿Cuántos trozos de cada 
longitud se podrían obtener de la varilla? 
 
Se descompone cada valor en sus factores primos y luego se halla el mcm. 
 
080.1532)45,27,24(
5345
327
3224
33
2
3
3




mcm
 
La menor longitud de la varilla debe ser de 1.080m. Se podrá cortar 45 trozos de 24cm, 40 de 
27cm y 24 de 45cm 
3. Tres aviones salen de una misma ciudad con una periodicidad de 4 días, 5días y 10 días, 
respectivamente. Si la última vez que salieron juntos fue el 14 de julio, ¿cuál será la fecha 
próxima en que volverán a salir juntos? 
 Se descomponen en sus factores primos: 4, 5 y 10 y se halla el mcm. 
2052)10,5,4(
5210
55
24
2
2




mcm
 
Cada 20 días coincidirán los tres aviones. 
El mes de julio tiene 31 días →31-14= 17 días +3 días de agosto alcanzan 20 días. 
 
Respuesta: la fecha más próxima en que volverán a encontrarse los tres aviones es el 
3 de agosto. 
 
Ejercicios y problemas para resolver 
1. Halla el mcd por descomposición en sus factores primos 
a. 210, 360 y 548. 
 
210 2 360 2 548 2
105 3 180 2 274 2
35 5 90 2 137 137
7 7 45 3 1
1 15 3
5 5
1
 
 
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exponente)menor su con común divisor el(2)548,360,210(
1372548
532360
7532210
2
23




mcd
 
 
b. 58, 85 y 154. 
c. 1.155, 245 y 343. 
d. 91, 845 y 1.690. 
R: 1, 7, 13 
2. Halla el mcm por descomposición en sus factores primos 
Al descomponer por el método abreviado ( de una vez todos los números), se tiene 
 
  192.319732114,56,38,14 3 mcm 
a. 32 y 80. 
b. 18,24 y 40. 
c. 14, 28, 30 y 120. 
R: 160, 360, 840 
3. Para comprar un número exacto de docenas de naranjas de $80 la docena o un número 
exacto de docenas de bananas de $60 la docena, ¿cuál es la menor suma de dinero 
necesaria? R:$240. 
 
4. Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de 
minutos por cualquiera de las tres canillas que vierten: la 1ª , 12 litros por minuto; la 2º ,18 
litros por minuto y la 3º , 20 litros por minuto. R:180 litros. 
 
5. Dos cintas de 12 metros y de 16 metros de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y 
de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo? R:4metros. 
 
 
6. Luis tiene 90$. ¿Podrá comprar un número exacto de lápices de 9$, o de 15$ o de 18$ cada 
uno? ¿Cuántos podrá comprar de cada precio? R:10 lápices de 9$; 6de 15$ y 5 de 18$. 
 
 
 
 
 
14 38 56 114 2
7 19 28 57 2
14 2
7 19 3
1 1 7
1 1 19
 
 
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OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES 
Las operaciones con números naturales son siete: suma, resta, multiplicación, división, 
potenciación, radicación y logaritmación. 
Las operaciones aritméticas se clasifican en operaciones de composición o directas y 
operaciones de descomposición o inversas. La suma, multiplicación y potenciación son 
operaciones directas y la resta, división, radicación y logaritmación son operaciones inversas. 
 
I. SUMA : cba  ; donde a y b se llaman sumando y el resultado c recibe el 
nombre de suma. 
II. RESTA: cba  ; donde a se llama minuendo, b sustraendo y c es la resta, 
exceso o diferencia 
III. MULTIPLICACION: cba  ;donde a multiplicando y b multiplicador ( a y b
son llamados factores) y el resultado c se llama producto. 
IV. DIVISION: 
1. Exacta : (resto igual a cero) cdD  ; donde D es el dividendo, d divisor 
y c el cociente. 
2. Inexacta: cuando queda un resto distinto a cero. rcdD  
Problemas resueltos 
1) Un comerciante compró un lote de relojes por G. 1.800.000. Vendió todos los relojes 
por G. 2.182.500, ganando G.8.500 en cada uno. ¿A cuántos guaraníes vendió cada 
reloj? 
 
500.48
45
500.182.2
 :unidadpor Venta de Precio
45
500.8
500.382
:lote del relojes de Cantidad
500.8. :artículopor ganancia o Utilidad
500.382000.800.1500.182.2:otal)Ganancia(t o Utilidad
500.182.2. :Venta de Precio
000.800.1. :Compra de Precio






U
U
T
PV
relojesC
GU
PCPVU
GPV
GPC
 
 
2) Un hacendado lleva al banco tres bolsas que contienen dinero. El duplo de los que 
contienen la 1º y la 2º bolsa es $14.000; el triplo de los que contienen la 1º y la 3º bolsa 
es $24.000 y la mitad de lo que contiene la 2º y la 3º es $4.500.¿Cuánto contiene cada 
bolsa? 
 
 
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 
 
  000.9500.42500.4
2
1
000.8
3
000.24
000.243
000.7
2
000.14
000.142
,:



CBCBCB
CACACA
BABABA
ByCABolsas
 
Sumando miembro a miembro queda 2𝐴 + 2𝐵 + 2𝐶 = 24.000 
Sacando el factor común en el 1ºmiembro 2(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) = 24.000 
 
Transponiendo el factor 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =
24.000
2
 
 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 12.000 (1) 
 
Sustituyendo A+B en (1)→ 7.000 + 𝐶 = 12.000 
 𝐶 = 12.000 − 7.000 
 𝐶 = 5.000 
Sustituyendo B+C en (1) → 𝐴 + 9.000 = 12.000 
 𝐴 = 12.000 − 9.000 
 𝐴 = 3.000 
Sustituyendo A y C en (1) → 3.000 + 𝐵 + 5.000 = 12.000 
𝐵 + 8.000 = 12.000 
 𝐵 = 12.000 − 8.000 
 𝐵 = 4.000 
Problemas de aplicación 
 
1. En un colegio hay tres aulas. La 1º y la 2º junta tiene 85 alumnos; la 2ºy la 3º, 75 alumnos; 
la1ºy la 3º, 80 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada clase? R: 45,40y 35. 
2. Si a un número añado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, 
obtengo 132. ¿Cuál es el número? R: 84 
3. ¿Cuál es el número que sumado con 14, multiplicando esta suma por 11, dividiendo el 
producto que resulta entre 44 y restando 31 de ese cociente, se obtiene 1.474 . 
 R: 6.006 
4. Un estanque cuya capacidad es de 300 litros está vacío y cerrado su desagüe. En cuánto 
tiempo se llenará si se abren al mismo tiempo tres llaves que vierten, la 1º 36 litros en 3 
minutos; la 2º, 48 litros en 6 minutos y la 3º, 15 litros en 3 minutos? R:12min 
 
 
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5. Un comerciante compró un lote de calculadoras a G.35.750 cada una. Vendió 8 
calculadoras, ganando en la operación G.220.000.A cuánto vendió cada calculadora? 
 R: G. 63.250 
NÚMEROS ENTEROS 
El conjunto de los números enteros está formado por los naturales y sus opuestos. 
 ,....3,2,1,0,1,2,3..... Z
 
 
-Valor absoluto de un número: es la distancia (en 
unidades) que lo separa del cero. 
-Números opuestos: son números del mismo valor 
absoluto y signos contrarios. 
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS 
Suma 
A) Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman sus valores absolutos y se 
pone el signo de los sumandos, por ejemplo: 
a) (+3) + (+2) = 5 b) (-4) + (-1) = -5 
B) Para sumar dos números enteros de distintos signos se restan sus valores absolutos y se 
pone el signo del mayor sumando, por ejemplo: 
a) (+5) + (−1) = +4 b)(−11) + (+5) = -6 
 
Resta 
Para restar dos números enteros, al primer número se le suma el opuesto del segundo. 
 Ejemplos: 
a) Para calcular la variación de temperaturas sobre 0 
 5:00h →15ºC y 12:00→28ºC 
La operación es: (+28) - (+15) = +13→13ºC 
Esto es lo mismo que hacer: 28 + (-15) = 13 
Es decir que, en lugar de restar 15, sumamos su opuesto. 
b) Para calcular la variación de temperaturas bajos cero 
 5:00h →5ºC bajo cero y 12:00→18ºC sobre cero 
 
 
 
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(+18) - (-5) = 18 + (+5) = 23 →23ºC sobre cero 
Suma algebraica: es una combinación de sumas y restas. Para resolver una suma 
algebraica se sumarán todos los términos que tengan los mismos signos y se restarán los que 
tengan signos distintos. 
Ejemplos: 
1) 9 + 8 - 7 + 5- 9 - 4 + 30 = 
 (9+8+5+30)+(-7-9-4) = 
 52-20 = 32 
Multiplicación y división 
Al multiplicar o dividir cantidades de igual signo, el resultadoes positivo y si las cantidades 
tienen signos son diferentes el resultado es negativo. 
 
  
  
  
   2438
3056
824
1553




 
   
   
   
    525125
21326
8216
4936




 
Potenciación 
Es una operación derivada de la multiplicación que tiene por objeto repetir como factor un 
número llamado base, tantas veces como unidades tiene otro número llamado exponente, 
Ejemplo: 4444
3  
 Si n es un entero positivo y 0a  n
n
a
a
1
 .Ejemplo: 
4
4
5
1
5  
 Si a es un número real y 0a  1
0 a . Ejemplo: 13
0  
PROPIEDADES EJEMPLOS 
Si la base es negativa y el exponente par o 
cero, el valor de la potencia será positivo. 
       8133333 4  ; 
  12 0  
Si la base es negativa y el exponente 
es impar, el valor de la potencia será negativo. 
      82222 3  
La potencia nunca se distribuye con respecto 
a la suma y a la resta. 
  222 4545  /   333 2626  
 
 
2) 24 +8 -20 +5 -8 +22 -15 = 
 (24+8+5+22)+(-20-8-15) = 
 59 – 43 = 16 
 
 
 
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BASES IGUALES 
nmnm aaa  
9432432 22222   
nm
n
m
a
a
a  447
4
7
33
3
3
  
  nmnm aa    84242 333   
DISTRIBUTIVIDAD PARA EL PRODUCTO Y EL COCIENTE 
  nnn baba    555 4343  
n
nn
b
a
b
a






 
4
44
5
3
5
3






 
 
Radicación 
Si ba
n  , entonces la n-ésima raíz de ""b se expresa como abn  , donde es el signo 
radical, ""n es el índice y ""b es la cantidad subradical o radicando. 
La radicación también puede expresarse como potencia con exponente fraccionario 
 
Cuando el radicando es un número negativo: 
 
En general: cuando el índice e par y el radicando un número negativo, el resultado no 
existe en el conjunto de los números enteros. 
PROPIEDADES EJEMPLOS 
Raíz de un producto: La raíz de un 
producto es igual al producto de las 
raíces de los 
factores: 
12431692323 4242  
 
Raíz de un cociente: La raíz de una 
fracción es igual al cociente de la raíz del 
 n
m
bbn m 
 
 
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numerador entre la raíz del 
denominador: 
Raíz de una raíz: Para calcular la raíz de 
una raíz se multiplican los índices de las 
raíces y se conserva el 
radicando: 
279 3 55  
 
Operaciones combinadas: Son aquellas en las que aparecen varias operaciones 
aritméticas para resolver. Se puede presentar sin signos de agrupación y con signos de 
agrupación. 
 Si no tiene signos de agrupación: se aplica el orden de las operaciones: 
- Potencias y raíces. 
- Multiplicaciones y divisiones 
- Sumas y restas 
 
 81244328
124


 
 Si tiene signo de agrupación 
- Si delante de un paréntesis hay un signo positivo, las expresiones que están 
dentro del mismo conservan su signo. 
- Si delante de un paréntesis hay un signo negativo, las expresiones que están 
dentro del mismo cambian de signo. 
  
 
 
 
  305278525392832
5253924



 
Ejercicios y problemas 
1.  2341717585100312 R=104 
2.  361843120341203412043120 R=9 
3.      101055468232539 R=15 
4.      522927525105 R=0 
5.       53325919751815 20 R=38 
6.      250732357625210234 R=109 
7. La edad de Claudio es el cuádruplo de la de Alfredo, y si ambas edades se suman y a 
esta se añade 17 años, el resultado es 42 años. Halla las edades. R: C=20 y A=5 
 
 
Recopilación para CPI/ CTFP-PJ – Lic. Lilian Pedrozo 13 
 
8. En un colegio hay tres aulas. La 1º y la 2º juntas tiene 85 alumnos; la 2ºy la 3º, 75 
alumnos; la1ºy la 3º, 80 alumnos. ¿Cuántos alumnos hay en cada clase? R:35,46,58,72. 
9. Si a un número añado 23, resto 41 de esta suma y la diferencia la multiplico por 2, 
obtengo 132. ¿Cuál es el número? R:84 
10. ¿Cuál es el número que sumado con 14, multiplicando esta suma por 11, dividiendo el 
producto que resulta entre 44 y restando 31 de ese cociente, se obtiene 1.474 . R:6.006