Álgebra Linear: Espaços Vetoriais, Subespaços, Bases e Dimensão

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ÁLGEBRA LINEAL (Observatorio) – Año 2016
TRABAJO PRÁCTICO N
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1
Espacios Vectoriales
1. Analizar si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales sobre R:
(a) El conjunto de puntos V = {(x, y) : y = 2x+ 1} ⊆ R2.
(b) V = C[a, b] el conjunto de las funciones continuas (a valores reales) definidas en el
intervalo [a, b], con las operaciones: dadas f, g ∈ V y α ∈ R,
(f + g)(x) := f(x) + g(x) y (αf)(x) := α[f(x)].
(c) El conjunto de las funciones f : R → C tales que, para todo t ∈ R,
f(−t) = f(t).
(con las mismas operaciones que en el inciso anterior).
(d) GL3(R) el conjunto de matrices invertibles de 3× 3 con entradas reales, con la suma
definida de la siguiente manera: dadas A,B ∈ GL3(R), la “suma” de matrices está
definida por A+B := AB (y el producto por escalares definido de la forma usual).
(e) El conjunto de matrices antisimétricas de n×n sobre R. Recordemos que una matriz
A ∈ Rn×n es antisimétrica si At = −A, donde At es la matriz traspuesta de A.
2. Sea F un cuerpo. Sea V el conjunto de los pares (x, y) de elementos de F . Se define
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
c(x, y) = (cx, y)
siendo c ∈ F . ¿Es V , con estas operaciones, un espacio vectorial sobre el cuerpo F?
Subespacios de un espacio vectorial
1. Sea V el R-espacio vectorial de funciones f : R → R. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos
de V son subespacios vectoriales de V ?
(a) {f ∈ V : f(x2) = f(x)2}.
(b) {f ∈ V : f(0) = f(1)}.
(c) {f ∈ V : f(3) = 1 + f(2)}.
(d) {f ∈ V : f(−2) = 0}.
(e) {f ∈ V : f es continua}.
2. Sea K un cuerpo. Dados V1 y V2 dos subespacios de un K-espacio vectorial V , probar
que:
(a) V1 ∩ V2 es un subespacio de V .
1
(b) V1 + V2 := {v1 + v2 : vi ∈ Vi} es un subespacio de V .
En general, ¿V1 ∪ V2 es un subespacio vectorial de V ? Si la respuesta es negativa, dar un
ejemplo.
3. Sea K un cuerpo y n ∈ N. Sea Mn(K) el K-espacio vectorial de las matrices de n × n
sobre K. ¿Cúales de los siguientes conjuntos de matrices son subespacios de Mn(K)?
(a) GLn(K) = {A ∈ Mn(K) : A es inversible}.
(b) V = {A ∈ Mn(K) : A no es inversible}.
(c) Fijada B ∈ Mn(K), V = {A ∈ Mn(K) : AB = BA}.
(d) Q = {A ∈ Mn(K) : A
2 = A}.
4. Sea V el espacio vectorial de las funciones de R en R. Sea Vpar el subconjunto de las
funciones pares (f(−x) = f(x)) y Vimp el conjunto de las funciones impares (f(−x) =
−f(x)). Probar que:
(a) Vpar y Vimp son subespacios de V .
(b) Vpar + Vimp = V .
(c) Vpar ∩ Vimp = {0}.
5. Sean W1 y W2 subespacios de un espacio vectorial V tales que
V = W1 +W2 y W1 ∩W2 = {0}.
Probar que, para todo vector v ∈ V , existen únicos vectores w1 ∈ W1, w2 ∈ W2 tales que
v = w1 + w2.
Bases y dimensión
1. Determine el subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores dado, en el espacio
vectorial correspondiente:
(a) En R3: A = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.
(b) En R3: A = {(2, 0, 1), (3, 1, 2), (1, 1, 1), (7, 3, 5)}.
(c) En M2(R): A =
{ (
2 1
0 0
)
,
(
0 0
2 1
)
,
(
3 −1
0 0
)}
.
(d) En P2(R), el R-espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales de grado menor
o igual a 2: A = {1− x, 3− x2, x+ x2}.
2. Probar que dos polinomios no son suficientes para generar P2(R).
(Ayuda: ¿Cuál es la dimensión de P2(R)?)
3. Sean v1, . . . , vk vectores distintos de un espacio vectorial V de dimensión n (k < n). Sea
〈v1, . . . , vk〉 el subespacio vectorial de V generado por {v1, . . . , vk}, es decir,
x ∈ 〈v1, . . . , vk〉 ⇔ existen α1, . . . , αk ∈ F tales que x = α1v1 + . . . αkvk.
Probar que, si W es un subespacio de V que contiene a v1, . . . , vk, entonces 〈v1, . . . , vk〉 es
subespacio de W . Es decir, 〈v1, . . . , vk〉 es el menor subespacio que contiene a v1, . . . , vk.
2
4. Escribir el espacio de soluciones en R4 del sistema lineal homogéneo



2x+ 4y − w = 0
x− 2y + 3z = 0
8y − 6z − w = 0
en términos de la base B = {(1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)} de R4. ¿Conoce
otra base en la que resulte más natural expresar las soluciones?
5. Probar que, si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita V ,
entonces
dimW1 + dimW2 = dim(W1 ∩W2) + dim(W1 +W2).
6. Sea M2(C) el C-espacio vectorial de matrices de 2× 2. Sea W1 el conjunto de las matrices
de la forma
(
x −x
y z
)
y sea W el conjunto de las matrices de la forma
(
a b
−a c
)
.
(a) Demostrar que W1 y W2 son subespacios de V .
(b) Hallar la dimensión de W1, W2, W1 +W2 y W1 ∩W2.
7. Sea V un espacio vectorial sobre C. Supongamos que u, v y w son vectores linealmente
independientes de V . Demostrar que u+ v, v+w y w+u son linealmente independientes.
8. Sea M2(C) el conjunto de las matrices de 2 × 2 con entradas complejas. Encontrar una
base de este espacio como C-espacio vectorial, y otra como R-espacio vectorial.
9. Sea Mn(R) el R-espacio vectorial formado por las matrices de n × n con entradas reales.
Sean M simn (R) = {A ∈ Mn(R) : A
t = A} y Mantn (R) = {A ∈ Mn(R) : A
t = −A} los subes-
pacios de matrices simétricas y antisimétricas, respectivamente. Calcular la dimensión de
éstos.
10. Sea S = {v1, . . . , vk} un conjunto finito de vectores en un K-espacio vectorial V de di-
mensión n (n > k). Sea A ∈ GLn(K) una matriz inversible de n× n con entradas en K y
T = {Av1, . . . , Avk}. Probar que:
(a) S es linealmente independiente si y sólo si T es linealmente independiente.
(b) Si W es el K-subespacio generado por S y W ′ es el K-subespacio generado por T ,
entonces W ′ = A(W ).
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