Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos

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ANALISIS MATEMATICO II – Grupo Ciencias – 2015
Práctica 1: Geometŕıa Anaĺıtica: Vectores, Rectas y Planos, Superficies en el espacio
Para terminar el 3 de septiembre.
A. Vectores
1. Sean ~v = (0,−1, 2) y ~w = (−1, 2, 4) dos vectores de IR3.
(a) Obtener el coseno del ángulo entre ~v y ~w y entre −~v y ~w.
(b) Obtener los cosenos directores de ~v.
(c) Obtener la componente de ~v en la dirección de ~w y su proyección vectorial.
2. Considerar ~v1 = 2~i + 4~j, ~v2 = 2~i −~j y ~w = 3~i +~j como la figura.
(a) Encontrar las proyecciones vectoriales de ~w sobre ~v1 y sobre ~v2 respectivamente.
(b) Mostrar que ~w = ~v1 + ~v2.
3. Hallar el área del paralelogramo generado por los vectores (2,−2,−1) y (0, 4, 3).
4. (a) Encontrar 2 vectores de IR2 de módulo 4 y perpendiculares al vector ~i− 2~j.
(b) Encontrar 4 vectores de IR3 de módulo 4 y perpendiculares al vector ~i− 2~j.
5. Demostrar las siguientes identidades vectoriales
|~a× ~b|2 + (~a · ~b)2 = |~a|2|~b|2
|~a + ~b|2 + |~a− ~b|2 = 2|~a|2 + 2|~b|2
6. Con relación a la figura de la derecha, demostrar que si
~F1 = −~F2 entonces ~r1 × ~F1 +~r2 × ~F2 = ~0
7. Calcular el volumen del paraleleṕıpedo determinado por ~v1 = (1, 1, 0), ~v2 = (0, 2, 0) y ~v3 = (2, 5, 5).
8. Calcular el producto mixto de los vectores (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c).
9. Sean ~a y ~b vectores. ¿Qué condición debe cumplirse para que ~a + ~b sea perpendicular a ~a− ~b?
10. Mostrar que, en general, el vector ~c = |~a|~b + |~b|~a es un vector que bisecta el ángulo comprendido entre ~a y ~b.
¿En qué casos no sucede?
B. Rectas y Planos
1. Hallar la ecuación paramétrica y las ecuaciones simétricas de la recta en los siguientes casos:
(a) Pasa por P1 = (1,−2, 4) en la dirección de ~v = (2,−2,−1).
(b) Pasa por los puntos P1 = (1, 1, 0) y P2 = (−2, 2, 1).
2. Obtener la ecuación cartesiana y la ecuación paramétrica del plano en los siguientes casos:
(a) Pasa por los puntos P1 = (3, 2,−1), P2 = (0, 1,−2) y P3 = (2,−4, 0).
(b) Pasa por el punto P1 = (1,−5, 2) y es perpendicular al vector ~v = (−1, 1,−4).
(c) Contiene a las rectas ~r1(t) = (1, 1, 0) + t(1,−1, 2) y ~r2(s) = (2, 0, 2) + s(−1, 1, 0).
(d) Es paralelo al plano 4x− 2y + z − 1 = 0 y contiene al punto (2, 6,−1).
3. Verificar si los puntos P1 = (1, 2,−3),P2 = (0, 5,−4) y P3 = (6, 9, 0) se encuentran en el plano determinado por el
vector normal ~N = (1, 2,−3) y el punto P = (8, 7, 0).
4. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto P1 = (4, 0, 7) y es perpendicular al plano
3x− 2y + 8z + 24 = 0.
1
5. Hallar las coordenadas del punto intersección del plano 5x−y+2z−12 = 0
y la recta dada por
x− 2
4
=
y + 3
−2
=
z − 1
7
6. Sean a, b y c números reales no nulos. Demostrar que la ecuación del plano
que intersecta a los ejes coordenados x, y y z en los puntos (a, 0, 0), (0, b, 0)
y (0, 0, c) respectivamente es:
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1.
7. Demostrar que la recta
x− 3
2
=
y + 2
3
=
z + 1
4
está contenida en el plano
x− 2y + z = 6.
8. Calcular la distancia del punto a la recta y la distancia del punto al plano
según las figuras de la derecha.
9. Encontrar la distancia entre la recta del ejercicio B.7 y el punto (1, 2,−3).
10. Determinar si los siguientes planos son perpendiculares entre si.
2x− 3y + 5z = 7 x− y − z = 2 8x + 7y + z = 3
C. Superficies en el espacio
1. Trazar la gráfica de la ecuación x = 3 en IR1, IR2, IR3.
2. Dibujar el conjunto de puntos que cumplen simultáneamente x = 6 e y = 3 en IR2 y IR3.
3. Encontar los valores de k para los cuales las siguientes intersecciones son no vaćıas.
(a)
{
2x2 + 2y2 + z2 = 1
x = k
(b)
{
y2 + x2 + 1 = z2
z = k
(c)
{
x2 + z2 = y2 + 1
y = k
4. Describir todas las trazas de las siguientes superficie:
(a) z = x2 + y2 (b) x2 + y2 − z2 = 1 (c) z = y2 − x2
5. Graficar el conjunto de puntos que satisface x2 + y2 = 1 en IR2 y en IR3.
6. En cada caso trazar la gráfica de las superficies ciĺındricas
(a) x2 + z2 = 4 (b) z = x2 (c) y = 1− x2 (d) z = sin y
7. En cada caso, encontrar el radio de la circunferencia intersección entre las superficies.
(a)
{
x2 + y2 + z2 = 1
y2 + x2 = z2
(b)
{
y2 + z2 = x2
x = 2y2 + 2z2
(c)
{
x2 + y2 = 1− z2
3z − 1 = x2 + y2
C. Algunas Respuestas
Ej A.3: 2
√
26 Ej A.7: 10 Ej B.5: ( 5
3
,− 17
6
, 5
12
) Ej B.8a: 9
10
√
5 Ej B.8b: 5
22
√
11 Ej B.9: 2
√
6
Ej C.3a: |k| ≤
√
2
2
Ej C.3b: |k| ≥ 1 Ej C.3c: k ∈ IR Ej C.7: En los tres casos r =
√
2
2
2