Álgebra Lineal: Transformações Lineares e Representações Matriciais

Vista previa del material en texto

Álgebra Lineal 2017
Práctica 2: Transformaciones lineales.
1. Determinar cuáles de las siguientes funciones son transformaciones lineales:
(a) f : R3 → R3, f(x1, x2, x3) = (2x1 − 7x3, 0, 3x2 + 2x3).
(b) f : R2 → R3, f(x1, x2) = (x1 − x2, 2x2, 1 + x1).
(c) T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (sen(x), y).
(d) f : C → C, f(z) = z (considerando a C como R-espacio vectorial y como C-espacio
vectorial).
(e) f : R2x2 → R, f(A) = a11.a22 − a12.a21.
(f) f : R2x2 → R2x3,
f(A) =
(
a22 0 a12 + a21
0 a11 a22 − a11
)
(g) f : R[X]→ R3, f(p) = (p(0), p′(0), p′′(0)).
2. Interpretar geométricamente las siguientes aplicaciones lineales f : R2 → R2.
(a) f(x, y) = (x, 0).
(b) f(x, y) = (0, y).
(c) f(x, y) = (x,−y).
(d) f(x, y) = (12(x+ y), 12(x+ y)).
(e) f(x, y) = (xcost− ysent, xsent+ ycost) con t ∈ R fijo.
3. Probar que las siguientes funciones son transformaciones lineales:
(a) tr : Knxn → K.
(b) t : Knxm → Kmxn, t(A) = AT .
(c) f : Knxm → Krxm, f(A) = B.A donde B ∈ Krxn.
(d) D : C2(R)→ C1(R), D(f) = f ′.
(e) I : C([0, 1])→ C([0, 1]), I(f)(x) =
∫ 1
0 f(t)dt.
(f) Ev : K[X]→ K, Ev(f) = f(v) donde v ∈ K.
4. (a) Probar que existe una única transformación lineal f : R2 → R2 tal que f(1, 1) = (−5, 3)
y f(−1, 1) = (5, 2). Para dicha f , determinar f(5, 3) y f(−1, 2).
(b) Existirá una transformación lineal f : R2 → R2 tal que f(1, 1) = (2, 6); f(−1, 1) = (2, 1)
y f(2, 7) = (5, 3)?
5. T : V → V una transformación lineal.
(a) Sean {v1, v2, v3} vectores de V linealmente dependientes. Explique porqué el conjunto
{T (v1), T (v2), T (v3)} es linealmente dependiente.
(b) Muestre que si T mapea 2 vectores linealmente independientes sobre un conjunto lineal-
mente dependiente entonces la ecuación T (x) = 0 tiene una solución no trivial.
6. Sean V,W espacios vectoriales sobre K, {w1, .., wn} vectores linealmente independientes de
W ; v1, ..., vn ∈ V y T la transformación lineal definida por T (vi) = wi para i ∈ {1, .., n}.
Probar que {v1, .., vn} es linealmente independiente.
7. Sea V un K-espacio vectorial. Mostrar que la función identidad idV : V → V es K-lineal y
que la composición de funciones lineales es K-lineal.
8. En cada uno de los siguientes casos definir una transformación lineal f : R3 → R3 que verifique
lo pedido.
(a) (1, 1, 0) ∈ Nu(f) y dim(Im(f)) = 1.
(b) Nu(f) ∩ Im(f) = {(1, 1, 2)}.
(c) Nu(f) ⊆ Im(f).
(d) f 6= 0 y f ◦ f = 0.
(e) f 6= Id y f ◦ f = Id.
(f) Nu(f) 6= 0, Im(f) 6= 0 y Nu(f) ∩ Im(f) = 0.
9. (a) Calcular el núcleo y la imagen de cada una de las tranformaciones lineales de los Ejercicios
1 y 2. Decidir, en cada caso, si f es epimorfismo, monomorfismo o isomorfismo. En el
caso que sea isomorfismo, calcular f−1.
(b) Clasificar las transformaciones lineales tr, t y Ev del Ejercicio 3 en epimorfismos, monomor-
fismos e isomorfismos.
10. Sean f : R3 → R4, f(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x1 + x3, 0, 0) y g : R4 → R2, g(x1, x2, x3, x4) =
(x1−x2, 2x1−x2). Calcular el núcleo y la imagen de f , g y g◦f . Decidir si son monomorfismos,
epimorfismos o isomorfismos.
11. Sean g : V → V ′ y f : V ′ → V ′′ transformaciones lineales. Probar:
(a) Nu(g) ⊂ Nu(f ◦ g).
(b) Si Nu(f) ∩ Im(g) = {0}, entonces Nu(g) = Nu(f ◦ g).
(c) Im(f ◦ g) ⊂ Im(f).
(d) Si Im(g) = V ′, entonces Im(f ◦ g) = Im(f).
12. (a) ¿Existirá algún epimorfismo f : R2 → R3?
(b) Sean v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (1, 1, 1, 0) y v3 = (1, 1, 1, 1). ¿Existirá alguna transformación
lineal f : R2 → R4 tal que {v1, v2, v3} ⊂ Im(f)?
(c) ¿Existirá algún monomorfismo f : R3 → R2?
(d) Sean S, T ⊂ R4 los subespacios definidos por S = {(x1, x2, x3, x4)/x1 + x2 + x3 = 0} y
T = {(x1, x2, x3, x4)/2x1+x4 = 0, x2−x3 = 0}.¿ Existirá algún isomorfismo f : R4 → R4
tal que f(S) = T?
(e) Determinar si existe (y en caso afirmativo hallar) una transformación lineal f : R3 → R4
que verifique Im(f) = S y Nu(f) = T en los siguientes casos:
i. S = {(x1, x2, x3, x4)/x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0}, T = {(1, 2, 1)}.
ii. S = {(x1, x2, x3, x4)/x1 + x2 = 0, x3 + x4 = 0}, T = {(1,−2, 1)}.
13. (a) Sea T la transformación lineal de V en V , siendo V un espacio de dimensión finita y
donde se usa la misma base ordenada para V como dominio y codominio de T . Encontrar
la representación matricial de T en cada uno de los siguientes casos:
i. T (v) = v siendo V = R2.
ii. T (p) = p′ siendo V = R2[x].
(b) Sean V = R2[x], W = R1[x]. Se define F (p) = (p−p(0))/x. Sea B = {1+x, x+x2, x2+1}
base de V y C = {1 + x, 1− x} base de W. Encontrar la representación matricial de F
en las bases dadas.
(c) Sea M =
(
1 2
3 4
)
y T la tranformación lineal T : R2×2 → R2×2 definida por T (A) =
MA. Hallar la representación de T en la base canónica de R2×2.
(d) Sea A =
(
2 5 −3
1 −4 7
)
, L(v) = Av. Encontrar la representación matricial de L rela-
tiva a las bases de R3 y R2 dadas por B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}, C = {(1, 3), (2, 5)}
respectivamente.
14. Sean T (a, b) = (4a− b, b+ 2a), B = {(1, 0), (0, 1)} y C = {(1, 3), (2, 5)}.
(a) Hallar la matriz camio de base de B a C, la matriz cambio de base de C a B, comprobar
que una es la inversa de la otra.
(b) Hallar la matriz que representa T en la base B y la matriz que representa T en la base
C. Compruebe el teorema de cambio de base.
15. Sea T : C2 → C2 la transformación lineal definida por T (x, y) = (y, 0), B la base usual de C2
como C-espacio vectorial y B′ = {(1, i), (−i, 2)}.
(a) Hallar la matriz de T respecto de las bases B,B′.
(b) Hallar la matriz de T respecto de las bases B′, B.
(c) Hallar la matriz de T en la base B′.
(d) Hallar la matriz de T respecto de la base {(−i, 2), (1, i)}.
(e) Calcular el determinante de la matriz hallada en a).
(f) ¿Puede decir cuánto vale el determinante de las matrices del inciso b) al d) sin hacer las
cuentas? Si no puede, calcule y concluya. Justifique su conclusión.
16. Sea V un K-espacio vectorial, B = {b1, ..., bn} una base ordenada de V y T : V → V una
transformación lineal.
(a) ¿Cuál es la matriz de T en la base B si T (bj) = bj+1 para j = 1, ..., n− 1; y T (bn) = 0?
(b) Demostrar que Tn = 0 y Tn−1 6= 0.
(c) Sea f cualquier operador lineal sobre V tal que fn = 0 y fn−1 6= 0. Demostrar que
existe una base ordenada B1 de V tal que la matriz [f ]B1 coincide con la matriz hallada
en (a).
(d) Demostrar que si M y N son matrices de Kn×n tales que Mn = Nn = 0, con Mn−1 6= 0
y Nn−1 6= 0, entonces son semejantes.
17. Sea Eij ∈ Kn×n tal que la entrada (i, j) de la matriz vale 1 y el resto de las entradas son
nulas. Verificar que, si asociamos dicha matriz a una transformación lineal de la forma usual,
entonces:
(a) Eii es idempotente (es decir, E
2
ii = Eii) para i = 1, ..., n.
(b) EiiEjj = 0 si i 6= j.
(c)
∑n
i=1Eii = I.
18. Sea V un K-espacio vectorial y S un subconjunto finito de V ; supongamos que S = {x1, . . . , xn};
(a) Probar que la aplicación FS : K
n → V , definida por FS(k1, . . . , kn) = k1x1 + . . .+ knxn
es una transformación lineal.
(b) Verificar que FS es inyectiva ⇐⇒ S es linealmente independiente.
(c) Verificar que FS es suryectiva ⇐⇒ S genera a V.
(d) Si S es una base de V ¿qué puede decir sobre FS?. En este caso probar que:
i. {w1, ..., ws} es linealmente independiente en V si y sólo si {F−1S (w1), ..., F
−1
S (ws)}
es linealmente independiente en Kn.
ii. {w1, ..., wr} es un sistema de generadores de V si y sólo si {F−1S (w1), ..., F
−1
S (ws)}
es un sistema de generadores de Kn.
Observar que si S es base de V , teniendo en cuenta que la aplicación F−1S es tomar
coordenadas en la base S, esto nos permite trabajar con coordenadas en una base en el
siguiente sentido, por ejemplo, para decidir si {x2 − x+ 1, x2 − 3x+ 5, 2x2 + 2x− 3} es
una base de R2[x], bastará ver si {(1,−1, 1), (1,−3, 5), (2, 2,−3)} es una base de R3.
19. Sean B = {v1, v2, v3} una base de R3 y B0 = {w1, w2, w3, w4} una base de R4. Sea f : R3 → R4
la transformación lineal tal que
[f ]B0B =

1 −2 1
−1 1 −1
2 1 4
3 −2 5

(a) Hallar f(3v1 + 2v2 − v3). ¿Cuáles son sus coordenadas en la base B0?
(b) Hallar una base de Nu(f) y una basede Im(f).
(c) Describir el conjunto f−1(w1 − 3w3 − w4).
20. Sea A es la matriz de f en la base B. Sin hallar f determinar la dimensión de la imagen para
cada uno de los siguientes casos y hallar una base para el núcleo:
(a)
A =
 0 0 00 1 0
0 0 0

(b)
A =
 1 0 00 1 0
0 0 0

(c)
A =
 1 0 20 0 3
0 0 4

21. En cada uno de los siguientes casos, hallar una matriz A ∈ R3×3 que verifique:
(a) A 6= I y A3 = I.
(b) A 6= 0, A 6= I y A2 = A.
22. Sea f : R3 → R3 definida por f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 − x3, 2x1 − 3x2 + 2x3,−x1 − x2 + x3).
(a) Determinar bases B y B0 de R3 tales que
[f ]BB0 =
 1 0 00 1 0
0 0 0

(b) Si A es la matriz de f en la base canónica, encontrar matrices inversibles C y D tales
que
C.A.D =
 1 0 00 1 0
0 0 0

23. Sean V un K − espacio vectorial y T : V → V una transformación lineal. Probar que son
equivalentes
(a) ImT ∩NuT = {0}.
(b) T (T (x)) = 0→ T (x) = 0.
24. (a) ρ ∈ EndK(V ) se dice idempotente si ρ◦ρ = ρ. Mostrar que si ρ es idempotente, entonces
ρ|Imρ = idImρ. ρ se denomina una proyección de V sobre Imρ.
(b) ϕ ∈ EndK(V ) se dice nilpotente de orden 2 si ϕ ◦ ϕ = 0. La composición de dos
endomorfismos nilpotentes no es necesariamente nilpotente. Hallar ϕ y ψ ∈ EndR(R2)
ambos nilpotentes de orden tales que ϕ ◦ ψ sea idempotente.
25. Mostrar que toda sucesión exácta corta se parte.
26. Sea S un subespacio de V
(a) Mostrar que si dimK(V ) = n y dimK(S) = m ≤ n, entonces dimK(V/S) = n−m
(b) Mostrar que la aplicación al cociente η : V → V/S dada por η(v) = v/S es un K-
epimorfismo.
27. Sea S un subespacio de V con V de dimensión finita sobre K. Mostrar que hay un subespacio
T de V tal que V ∼= S
⊕
T . (Ayuda considerar la sucesión exácta corta 0 → S → V →
V/S → 0)