Otra guia de Transf Lineales

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Universidad Técnica
Federico Santa Maŕıa
Departamento de Matemática
Matemática III
Gúıa No1
Primer Semestre 2015
Transformaciones Lineales
Problemas Propuestos
1. Sea T : R2[x] −→ R3 una transformación lineal definida por
T (ax2 + bx+ c) = (a+ b, a+ c, b− c)
(a) Demuestre que T es lineal.
(b) Determine una base para Ker(T ) y una base para Im(T ).
(c) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases canónicas.
2. Sea T : R4 → R4 definida por
T (a, b, c, d) = (a, a+ b, a+ b+ c, a+ b+ c+ d)
Considere
B1 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
y
B2 = {(1, 1, 1, 1), (0, 2, 2, 2), (0, 0, 3, 3), (0, 0, 0, 4)}
dos bases de R4. Encuentre [T ]B2B1 y [T
−1]B1B2 en caso de que exista la inversa.
3. Sea C la base canónica de R3. Sean T, L : R3→ R3 transformaciones lineales tales que T (1, 1, 1) = (1,−3, 3),
T (1, 1, 0) = (2,−3, 2), T (1, 0, 0) = (−1,−1, 2) y
[L]
C
C =
 −2 −3 −21 1 1
4 6 5

(a) Determine T expĺıcitamente.
(b) Determine [T ◦ L]CC
(c) ¿Qué relación existe entre T y L?
(d) Determinar Ker(T ) e Im(L).
4. Sea A : R2[x]→ R2[x] una aplicación lineal definida por:
A(p(x)) = p(x)− p(x)− p(0)
x
.
(a) Calcule la matriz de esta aplicación lineal , desde la base V = {1, 1 + x, 1 + x + x2} a la base W =
{1, 1− x, 1 + 2x+ x2}.
(b) Calcule la matriz de la aplicación A, desde la base W a la base V .
5. Sean B =
(
1 −1
−4 4
)
y T : M2×2 →M2×2 tal que T (A) = BA. Determine dim Im(T ). Obtenga T ◦ T .
6. Sea T : R3 → R3 la transformación lineal definida por
T (x, y, z) = (x+ z, y + 3z, x+ y + αz)
con α ∈ R:
(a) Determine el valor de la constante α para que dim Ker(T ) = 1 y en este caso Calcule Ker(T ).
(b) Para el valor anterior de α calcule Im(T ).
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7. Considere la aplicación T : R2[x]→ R3[x] definida por
T (p(x)) = p(x− 1) + kp′ (1)x3 − 1
2
p′′ (1)x2
Determine ker(T ) para k ∈ R.
8. Considere las aplicaciones T, S : R2 → R2 definidas por
T (x, y) = (y − x, x+ y) y S(x, y) = (xy, x− xy)
(a) Determine si son transformaciones lineales.
(b) Sea D ⊂ R2 un triángulo de vértices (0, 0), (2, 0) y (0, 2). Dibuje T (D). ( Es decir, la imagen del triángulo
D por la transformación T .)
(c) Sea R la región del plano limitada por las siguientes curvas:
xy = 1, xy = 3, x− xy = 1, x− xy = 3.
Dibuje S(R).
9. Sea T : V → W una transformación lineal, B = {v1, v2, v3} base de V y C = {w1, w2, w3, w4} base de W . Si
se cumple que
T (v1 − v3) = w1 + w2, T (v1 − v2 − v3) = w1 + w3, T (v1 − v2 − 2v3) = w1 + w4
¿T es inyectiva?, ¿ T es epiyectiva?. Justifique.
10. Sea T : R3[x]→M2×2(R) tal que
T (1) =
(
2 −3
−1 −3
)
, T (x+ 3) =
(
0 1
1 1
)
, T (x2) =
(
1 0
1 0
)
y T (x3 − x) =
(
1 0
0 0
)
(a) Encontrar bases para Im(T ) y ker(T ).
(b) ¿Es la aplicación T inyectiva?
11. Sean U y V los subespacios vectoriales de R3 y R4 generados, respectivamente, por:
B =
{
(−1, 2, 1); (1, 0,−1)
}
y: D =
{
(1, 0, 1, 0); (1, 1, 0, 0)
}
Considere la transformación lineal T : U → V tal que:[
T
]D
B =
(
−1 2
2 −4
)
Calcule el núcleo y la imagen de T .
Problemas Resueltos
1. Sean B =
(
0 1
1 0
)
y T : M2×2 →M2×2 tal que T (A) = BA−AB.
i) ¿Es T una transformación lineal?
ii) Si (i) es verdadero. ¿Cuál es la dimensión de Im(T )?
Solución.
i) Sean α, β ∈ R y A,C ∈M2×2(R), entonces basta probar que
T (αA+ βC) = B(αA+ βC)− (αA+ βC)B
= αBA+ βBC − αAB − βCB
= α(BA−AB) + β(BC − CB) = αT (A) + βT (C),
y luego la transformación es lineal.
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ii) Usamos el teorema de la dimensión y primero determinamos ker(T ). Es decir, buscamos las matrices
A ∈ M2×2 tales que T (A) = 0M2×2 o bien, dada la definición, las matrices que conmutan con B. Sea
A =
(
a b
c d
)
, entonces
AB = BA(
a b
c d
)(
0 1
1 0
)
=
(
0 1
1 0
)(
a b
c d
)
(
b a
d c
)
=
(
c d
a b
)
,
que son iguales si a = d, b = c. Por lo tanto
ker(T ) =
〈(
1 0
0 1
)
,
(
0 1
1 0
)〉
,
que tiene dimensión 2. Por el teorema de la dimensión sigue que dimR Im(T ) = 2.
2. Sea T : R2(x)→ R3, dada por T (p(x)) = (p′(1), p′′(x)− p′(0), p(0) + p′′(0)). Considere bases
B1 = {1, x− 1, x2 + x} y B2 = {(0, 0, 1), (1,−1, 0), (1, 1, 1)} de R2 y R3, respectivamente
(a) Determine la dimensión de ImT .
(b) Si T es invertible. Determine la matriz asociada a la inversa de T desde la base B2 a la base B1.
Solución. Sea p(x) = ax2 + bx + c, entonces p′(x) = 2ax + b y p′′(x) = 2a. De esta forma se tiene que
T (p(x)) = (2a+ b, 2a− b, 2a+ c).
(a) Calculamos kerT = {p(x) ∈ R2|T (p) = (0, 0, 0)}. Es claro que
2a+ b = 0
2a− b = 0
2a+ c = 0.
De donde a = b = c = 0 y luego la dimensión del kernel de T es cero. Por el Teorema de la dimensión
entonces se tiene que dim ImT = 3.
(b) Calculamos [T ]B2B1 .
T (1) = (0, 0, 1)
T (x− 1) = T (x)− T (1) = −1(0, 0, 1) + (1,−1, 0)
T (x2 + x) = T (x2) + T (x) = 1(1,−1, 0) + 2(1, 1, 1).
Y entonces la matriz asociada es
[T ]B2B1 =
 1 −1 00 1 1
0 0 2
 ,
que es diagonal superior. Se tiene entonces que [T−1]B1B2 posee la estructura
[T−1]B1B2 =
 1 u v0 1 w
0 0 1/2
 .
Puesto que [T ]B2B1 · [T
−1]B2B1 = I, sigue que u = 1, v = w = −1/2.
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