ejercicios_resueltos_TL

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Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Campus Santiago
1. Sea T : R3 → R2 tal que T (1, 0, 1) = (1,−1) , T (1, 1, 0) = (1, 2) , T (0, 1, 1) = (−1, 2) .
a) Hallar T (x, y, z) .
b) Hallar Ker(T ) y una base del Ker(T ) .
Solución:
(a) Note que el conjunto {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)} es L.I, asi que es una base para R3. Sea
(x, y, z) ∈ R3 un punto cualquiera, entonces:
(x, y, z) = α(1, 0, 1) + β(1, 1, 0) + γ(0, 1, 1)
donde α, β, γ son números reales. Resolviendo el sistema: x = α+ βy = β + γ
z = α+ γ
se tiene,
α =
x− y + z
2
, β =
x+ y − z
2
, γ =
−x+ y + z
2
Usando la linealidad de T se obtiene,
T (x, y, z) =
x− y + z
2
(1,−1) + x+ y − z
2
(1, 2) +
−x+ y + z
2
(−1, 2)
Luego, la transformación buscada es
T (x, y, z) =
1
2
(3x− y − z,−x+ 5y − z)
(b)
Ker(T ) = {(x, y, z) ∈ R3 : T (x, y, z) = (0, 0)}
= {(x, y, z) ∈ R3 : 3x− y − z = 0 ∧ −x+ 5y − z = 0}
= {(x, 23x,
7
3x) : x ∈ R}
Por lo tanto, una base para Ker(T) es {(1, 23 ,
7
3 )}.
2. Considere la función T : P2[x] −→ R3, definida por T (p(x)) = (p(0), p(1), p(2)). Sean B =
{1, x, x2} y D = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
a) Pruebe que T es una T.L.
b) Determine el Ker T y [T ]DB
c) ¿ T es un isomorfismo?
Solución:
(1.a) Sean p(x) ; q(x) ∈ P2[x] y α ∈ R . Entonces
T (αp(x) + q(x)) = (αp(0) + q(0) , αp(1) + q(1) , αp(2) + q(2) )
= α(p(0) , p(1) , p(2)) + (q(0) , q(1) , q(2))
= αT (p(x)) + T (q(x))
Por lo tanto T es lineal.
(1.b) Sea p(x) = ax2 + bx + c tal que p(x) ∈ Ker(T ) , entonces (p(0) , p(1) , p(2)) = (0, 0, 0) , y
esto ocurre si y solo si:
c = 0
a+ b+ c = 0
4a+ 2b+ c = 0
⇒
a = 0
b = 0
c = 0
Por lo tanto Ker(f) = { 0 } , de paso T es inyectiva.
(1.c) Por teorema de la dimensión, se tiene que dim(Im T ) = 3. Por lo tanto T es un isomorfismo.
3. Sea T : R2[x] −→ R3 una transformación lineal definida por
T (ax2 + bx+ c) = (a+ b, a+ c, b− c)
a) Demuestre que T es lineal.
b) Determine una base para KerT y una base para ImT .
c) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases canónicas.
Solución.
a) Sean p(x) = ax2 + bx+ c y q(x) = dx2 + ex+ f . Probemos que:
T (p(x) + q(x)) = T (p(x)) + T (q(x)). En efecto,
T (p(x) + q(x)) = T ((a+ d)x2 + (b+ e)x+ (c+ f))
= (a+ d+ b+ e, a+ d+ c+ f, b+ e− c− f)
= (a+ b, a+ c, b− c) + (d+ e, d+ f, e− f)
= T (p(x)) + T (q(x))
Ahora, probemos que T (αp(x)) = αT (p(x)), con α ∈ R. En efecto,
T (αp(x)) = T (αax2 + αbx+ αc)
= (αa+ αb, αa+ αc, αb− αc)
= α(a+ b, a+ c, b− c)
= αT (p(x))
b)
Ker(T ) = {ax2 + bx+ c : (a+ b, a+ c, b− c) = (0, 0, 0)}
= {ax2 + bx+ c : a+ b = 0, a+ c = 0, b− c = 0}
= {ax2 + bx+ c : b = −a, c = −a, b = c}
= < {ax2 − ax− a : a ∈ R} >
Por lo tanto, una base para el Ker(T ) es {x2 − x− 1}
Ahora, como
T (x2) = (1, 1, 0), T (x) = (1, 0, 1), T (1) = (0, 1,−1)
una base para la imagen de T es {(1, 0, 1), (0, 1,−1)}. Note que (1, 1, 0) es L.D con estos 2 vectores.
c)
T (x2) = (1, 1, 0) = 1(1, 1, 0) + 1(0, 1, 0) + 0(0, 0, 1)
T (x) = (1, 0, 1) = 1(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1)
T (1) = (0, 1,−1) = 0(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0)− (0, 0, 1)
Por lo tanto,
[T ]B2B1 =
 1 1 01 0 1
0 1 −1

donde B1 y B2 son las bases canónicas de R2[x] y R3 respectivamente.
4. Sea T : R2[x] −→ R3[x] una aplicación definida por
T (p(x)) = x · p(x)
a) Demuestre que T es una transformación lineal.
b) Determine la dimensión del KerT y de la ImT .
c) Determine la matriz asociada a T respecto a las bases canónicas.
Solución.
a) Sean p(x) = ax2 + bx+c y q(x) = dx2 +ex+f polinomios pertenecientes a R2[x]. Entonces,
T (p(x) + q(x)) = T (ax2 + bx+ c+ dx2 + ex+ f)
= x(ax2 + bx+ c+ dx2 + ex+ f)
= x(ax2 + bx+ c) + x(dx2 + ex+ f)
= T (p(x)) + T (q(x))
Sea α ∈ R, entonces
T (αp(x)) = T (α(ax2 + bx+ c))
= x(α(ax2 + bx+ c))
= αx(ax2 + bx+ c)
= αT (p(x))
b) Determinemos el KerT .
T (ax2 + bx+ c) = x(ax2 + bx+ c) = ax3 + bx2 + cx = 0
Concluimos que si ax2 + bx + c ∈ KerT , entonces a = 0, b = 0, c = 0, es decir, el único
polimonio que está en el KerT es el polinomio nulo. Esto implica que la dimensión del KerT
es cero y la dimensión de la ImT es 3.
c)
T (x2) = x3 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x+ 0 · 1
T (x) = x2 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x+ 0 · 1
T (1) = x = 0 · x3 + 0 · x2 + 1 · x+ 0 · 1
Por lo tanto, la representación matricial de T en las bases canónicas es
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0

5. Sea T : R3[x]→ R3[x] una t.l. definida por T (p(x)) = p′(x)− xp′′(x) y sean
B1 = {1 − x2, 1 + x2, 1 − x3, 2 + x} y B2 = {1, x2 + x3, x3 − x2, 1 − 2x} dos bases de R3[x]
(polinomios de grado menor o igual a 3).
a) Determine Ker(T ), la dimensión de Im(T ) y [T ]B2B1
b) Determine los valores propios de [T ]B2B1 .
Solución. a) Sea p(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ R3[x]. Entonces
Ker(T ) = {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ R3[x] : T (a+ bx+ cx2 + dx3) = 0}
= {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ R3[x] : −3dx2 + b = 0}
= {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ R3[x] : b = 0 ∧ d = 0}
= < {a+ cx2} >
= < {1, x2} >
Por lo tanto, dim Ker(T ) = 2 y por el teorema de la dimensión, obtenemos dim Im(T ) = 2.
Por otro lado,
T (1− x2) = 0 = 0 · 1 + 0 · (x2 + x3) + 0 · (x3 − x2) + 0 · (1− 2x)
T (1 + x2) = 0 = 0 · 1 + 0 · (x2 + x3) + 0 · (x3 − x2) + 0 · (1− 2x)
T (1− x3) = 3x2 = 0 · 1 + (3/2) · (x2 + x3)− (3/2) · (x3 − x2) + 0 · (1− 2x)
T (2 + x) = 1 = 1 · 1 + 0 · (x2 + x3) + 0 · (x3 − x2) + 0 · (1− 2x)
Por lo tanto,
[T ]B2B1 =

0 0 0 1
0 0 3/2 0
0 0 −3/2 0
0 0 0 0

b)
|A− λI| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−λ 0 0 1
0 −λ 3/2 0
0 0 −3/2− λ 0
0 0 0 −λ
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −λ(−3/2− λ) = 0
Luego, los valores propios son λ = 0 y λ = −3/2