UAM _Universidad Autónoma de Madrid_ _ Grado en Matemáticas _ ÁLGEBRA LINEAL _ Hoja6_2019

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Universidad Autónoma de Madrid Álgebra Lineal. Curso 2019-2020
Matemáticas Hoja 6: aplicaciones lineales, cambio de base, espacio cociente.
1. Sea E un espacio vectorial y V,W ⊂ E dos subespacios vectoriales. Comprueba que la aplicación
V ×W −→ E , (v, w) 7−→ v + w ,
Es lineal. Deduce la fórmula de Grassmann como un caso particular de la fórmula para rango + nulidad.
2. Sean K un cuerpo y V,W espacios vectoriales sobre K. Si V
f
−→−→
g
W son lineales, demuestra que:
(a) ker f ∩ ker g ⊂ ker(f + g).
(b) Si Im f ∩ Im g = {0}, entonces ker f ∩ ker g = ker(f + g).
3. En R3 se consideran las bases
B1 = { (1, 0, 1) , (−1, 1, 1) , (1,−1, 0) } , B2 = { (2, 1, 1) , (1, 1, 1) , (1,−1, 1) } .
(a) Calcula la matriz de cambio de base de B1 a B2 (es decir, la matriz de idR3 usando B1 en salida
y B2 en llegada).
(b) Calcula las coordenadas en la base B2 del vector cuyas coordenadas en la base B1 son (3,−2, 1).
4. Sea f : R3 → R3 dada por f(x) =
 0 2 21 0 −1
3 1 1
x.
a) Determina la matriz A de f usando la base estándar en salida y en llegada.
b) Determina la matriz M de f usando la base B = { (1, 1, 0) , (2, 3,−1) , (0, 0, 1) } en salida y en llegada.
c) Encuentra la matriz anterior transformando la igualdad AP = PM en un sistema lineal simultáneo cuyos
coeficientes son las entradas de M
5. Sean V1, V2 ⊂ V dos subespacios vectoriales de V que son complementarios mutuos: V = V1 ⊕ V2.
Definimos una aplicación T : V → V de la manera siguiente:
Dado u ∈ V , hay v1 ∈ V1 y v2 ∈ V2 únicos tales que u = v1 + v2, entonces hacemos T (u)
def
= v1.
Llamamos a T la proyección de V sobre V1 en la dirección de V2.
(a) Demuestra que T es lineal. Halla su imagen y su núcleo. Demuestra que T ◦ T = T .
(b) Halla la matriz de T en una base {w1, . . . , wn+r}, resultado de tomar una base {w1, . . . , wn} de V1 y
poner a continuación una base {wn+1, . . . , wn+r} de V2.
(c) Sean V = R2 y u = (2, 1). Proyecta u sobre el eje 〈e1〉 de abscisas en la dirección del eje 〈e2〉 de
ordenadas. Proyecta u sobre el eje de abscisas en la dirección de la recta 〈(1, 3)〉. Haz un dibujo.
6. Sea f : R2 → R2 dada por f(x) = Ax, con A =
[
0 1
−10 7
]
.
a) Halla, si es posible, una base B de R2 tal que la matriz de f respecto de B en salida y llegada sea
M =
[
5 0
0 2
]
. Misma pregunta con M =
[
5 0
0 1
]
y con M =
[
5 0
0 5
]
.
b) Determina una igualdad A = P
[
5 0
0 2
]
Q, con P y Q inversas mutuas. Usa esta igualdad para hallar
una ráız cuadrada de A, es decir una matriz R tal que RR = A.
7. Utiliza el método de Gauss para discutir los siguientes sistemas. Para los que sean compatibles, describe
el conjunto de las soluciones como un subespacio af́ın; es decir, da la solución general como
1
(solución particular) + (elemento general del núcleo).
 1 2 34 5 6
7 8 9
 x1x2
x3
 =
 12
3
 ,
 1 2 34 5 6
7 8 9
 x1x2
x3
 =
 11
1
 ,
 1 2 34 5 6
7 8 9
 x1x2
x3
 =
 410
16
 , i 1 −1−1 2i 2i
−1 0 0
 x1x2
x3
 =
 0i
−i
 ,
 i 1 −1−1 2i 2i
−1 0 0
 x1x2
x3
 =
 i1
1
 ,
 −1 2 1 23 −6 −1 −6
3 −6 1 −6


x1
x2
x3
x4
 =
 2−6
−6
 ,
 −1 2 1 23 −6 −1 −6
3 −6 1 −6


x1
x2
x3
x4
 =
 −11
1
 ,

1 1 1
−1 0 −2
−1 6 −6
1 0 3

 x1x2
x3
 =

4
−4
−2
5
 ,

1 1 1
−1 0 −2
−1 6 −6
1 0 3

 x1x2
x3
 =

−3
2
−2
−1
 ,

1 1 1
−1 0 −2
−1 6 −6
1 0 3

 x1x2
x3
 =

−1
1
−1
1
 , [ 1 −1 0 22 −4 6 −2
]
x1
x2
x3
x4
 = [ −10
]
,

1 2 3
−1 2 3
1 6 9
−1 −2 0

 x1x2
x3
 =

2
−4
0
5
 ,

1 2 3
−1 2 3
1 6 9
−1 −2 0

 x1x2
x3
 =

1
1
−1
0
 .
8. Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y F ⊆ V un subespacio vectorial. Decimos que los
vectores v1, v2, ..., vk ∈ V son linealmente independientes módulo F si cumplen lo siguiente:
para cualesquiera x1, . . . , xk ∈ K , x1 v1 + x2 v2 + · · ·+ xk vk ∈ F =⇒ x1 = x2 = · · · = xk = 0 .
a) Sea F = 〈(1, 2,−1)〉 ⊂ R3. ¿Son (1, 1, 0) y (0, 1, 1) linealmente independientes módulo F? Misma
pregunta para (3, 7,−1) y (1, 4, 3).
b) Demuestra que las condiciones siguientes son equivalentes:
(i) v1, v2, . . . , vk son linealmente independientes módulo F .
(ii) v1 + F , v2 + F , . . . , vk + F son vectores de V/F linealmente independientes.
(iii) v1, v2, . . . , vk son linealmente independientes y además F ∩ 〈 v1 , . . . , vk〉 = {0}.
c) En el caso V = R2 y F = 〈(1, 2)〉, da un ejemplo de dos vectores v1,v2 ∈ V que sean linealmente
independientes mientras que v1 + F , v2 + F ∈ V/F son linealmente dependientes.
d) Dados v1, . . . , vk ∈ V cualesquiera, demuestra que:
V/F =
〈
v1 + F , v2 + F , . . . , vk + F
〉
⇐⇒ V = F + 〈 v1 , . . . , vk〉 .
e) Concluye lo siguiente:
{v1 + F , v2 + F , . . . , vk + F } es una base de V/F si y sólo si
{v1, . . . , vk} es base de algún complementario de F en V
f) Explica por qué todos los complementarios de F en V tienen dimensión igual a la de V/F . Este número
se llama codimensión de F en V.
2
9. Sea W = 〈 (1, 0, 1, 1) , (0, 2,−1, 0) 〉 ⊂ R4. Utiliza el método de Gauss para hallar el rango de la siguiente
lista de vectores de R4/W :
(2, 1, 1, 0) + W , (1, 1, 1, 3) + W , (0, 0, 1, 4) + W .
10. Sea F el subespacio de E = R4 definido por
F =
{
(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y = 0
z + t = 0
}
.
(i) Encuentra una base de F , complétala para obtener una de E y utiliza esta última para calcular una
base de E/F .
(ii) Encuentra las cordenadas de los vectores [(2,−2, 0, 0)], [(3, 4, 0, 0)] ∈ E/F en la base de E/F hallada
en el apartado anterior.
11. Consideramos la aplicación lineal f : R6 → R3 dada por f(x) = Ax, siendo
A =
 2 1 0 −2 1 22 1 −1 0 2 3
−4 −2 1 5 0 −2
 .
a) Utiliza el método de Gauss para hallar una base de Im f y una de ker f .
b) Extiende la base de ker f a una de R6, añadiendo vectores de la base estándar.
c) Utiliza el resultado para dar una base del espacio cociente R6/ ker f .
12. Sean V,W , espacios vectoriales, F ⊆ V un subespacio vectorial y f : V → W una función lineal.
Demuestra que si F ⊆ ker f entonces la fórmula g(v + F ) = f(v) define correctamente una aplicación
g : V/F →W y que esta g aśı definida es lineal.
13. Sea F2 = {0, 1} el cuerpo de dos elementos. Considera el espacio vectorial numérico V = F42.
a) Halla el cardinal de V , es decir, el número de elementos que tiene V .
b) Halla el número de pares ordenados (v,w) de vectores de V linealmente independientes.
c) Da la lista completa de las matrices invertibles 2× 2 con entradas en F2. Utiliza este resultado y el del
apartado anterior para hallar el número de subespacios vectoriales bidimensionales que hay en V .
d) Si W es un subespacio bidimensional de V ¿cuántos subespacios afines paralelos a W hay en V ?
(Indicación: considera V/W ) ¿Cuántos subespacios afines bidimensionales tiene V en total?
e) Explica por qué cada subespacio af́ın bidimensional de V tiene cuatro elementos ¿Cuántos subconjuntos
de cuatro elementos tiene V ? ¿Son especiales los subespacios afines? ¿Y los subespacios vectoriales?
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