Prática de Derivadas: Exercícios e Estudos

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Análisis I (2018) Práctica 3: Derivadas 1
Práctica 3: Derivadas
Comentario general: Leer atentamente los enunciados y justificar debidamente todas las
respuestas.
Ejercicios Iniciales
1. Hallar las derivadas de las siguientes funciones, derivando por definición:
a) f(x) = 7x2
b) f(x) = 5x3 − 2x+ 1
c) g(x) =
√
x
d) y(x) = cos (x)
e) f(x) = ax2 + bx+ c
2. Aplicar las reglas de derivación para hallar las derivadas de las siguientes
funciones:
a) y = 3x3 + 2x5 − 3
b) y = x
2−3x3
2x+1
c) y = e
x
cos (x6−x3)
d) y = ex sin (x)
e) y = sin (−2x3 + x7)
f ) y = ln (sin (−x4 + 2x3))
g) y = ecos (5x
4+3x6)
h) y = xe3x sin (5x6)
i) y = arcsin (3x2)
j ) y = x arctan (3x− 3)
3. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a las siguientes
curvas en los puntos indicados:
a) f(x) = −4x2 + 3x+ 3 x = 1
b) f(x) = 2x3 − x+ 1 x = 2
c) f(x) = e−x
2
x = 0,5
d) f(x) = xx−1 x = −2
4. Hallar y′ por derivación impĺıcita:
a) x2 + y2 = 1
b) x2y3 + ln (xy5) = x+ y + xy
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c) xy3 + 3x2y + 2 sin (x)− 3 = 0
d) sin (xy) + 2xexy = 2x5y3
5. Hallar las derivadas de las funciones inversas f−1 en los puntos indicados:
a) f(x) = x2 sin (x) calcular
(
f−1
)′ (π2
4
)
b) f(x) = 2x3 − x+ 1 calcular
(
f−1
)′
(0)
c) f(x) = tan (x) calcular
(
f−1
)′
(x)
6. Hallar las derivadas sucesivas y′, y′′, y′′′ y y(IV ) de las siguientes funciones:
a) f(x) = 3x3 − 2x2 + 7x− 11
b) f(x) = sin (x)
c) f(x) = cos (x)
d) f(x) = ex sin (x)
e) f(x) = ln (x)
f ) f(x) = x5ex
7. Si ~P (t) representa el vector posición de un móvil a tiempo t: Describir
cualitativamente las caracteŕıticas de cada uno de los movimientos. Hallar
los vectores velocidad ~V (t) y aceleración ~A(t) en cada caso.
a) ~P (t) = (−5t, 3t,−5t2)
b) ~P (t) = (3, 3t, 5 sin (4t))
c) ~P (t) = (3 sin (t), 3 cos (t), 0)
d) ~P (t) = (−2 sin (t), 2 cos (t), 4t)
8. Hallar los extremos absolutos de cada una de las siguientes funciones en
los intervalos indicados:
a) f(x) = −4x3 + 3x+ 5 en [0, 3]
b) f(x) = x+ 5 sin (x) en [0, 3π]
c) f(x) = 2e−5(x−5)
2
en [0, 15]
d) f(x) = x2 cos (4x) en [1, 10π]
9. Realizar el estudio completo cada una de las siguientes funciones:
Nota: Para verificar si el estudio realizado para cada función fué correcto,
se sugiere que, una vez realizado el mismo, se lo compare con el gráfico
de la función obtenido mediante un graficador de funciones por compu-
tadora (graficador 2D, siendo que se trata de curvas en el plano). Existe
un gran número de tales graficadores: por ejemplo, xmgrace y gnuplot se
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Análisis I (2018) Práctica 3: Derivadas 3
pueden insatalar tanto en linux como en windows. Asimismo existen mu-
chos graficadores online, tales como fooplot (www.fooplot.com), webmath
(www.webmath.com) y muchos otros...
a) f(x) = −3x2 + 5x− 1
b) f(x) = −x3 + 2x2 + 5x− 1
c) f(x) = sin (x)
d) f(x) = x ln (x)
e) f(x) = x+ 5 sin (2x)
f ) f(x) = x2 sin (x)
g) f(x) = x3ex
h) f(x) = e−3x
2
i) f(x) = 49−x2
j ) f(x) = xx2+x−2
k) f(x) = 11+x2
l) f(x) = |(x− 3)(x+ 2)|
10. Hallar el (los) valor(es) de c de los que habla el Teorema del Valor Medio
en los siguientes casos:
a) f(x) = 2x3 + 5x− 1 en [−1, 2]
b) f(x) = −3x4 + 5x2 + 6 en [−1, 1]
11. La función f(x) = |x| es tal que f(−2) = f(2), sin embargo, en los valores
en los que es derivable, su derivada no se anula. Contradice esto el Teorema
de Rolle?
Ejercicios Complementarios
12. Hallar las derivadas de las llamadas funciones hiperbólicas, definidas por
sinh (x) = e
x−e−x
2 , cosh (x) =
ex+e−x
2 y tanh (x) =
sinh (x)
cosh (x) .
13. Mostrar que de todos los rectangulos de peŕımetro fijo, el cuadrado es el
de área máxima.
14. Mostrar que de todos los rectangulos de área fija, el cuadrado es el de
peŕımetro mı́nimo.
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15. Se quiere construir un corral rectangular con alambre, usando un muro
preexistente (ver gráfico). Si se cuentan con 100 metros de alambre, cua-
les deben ser las dimensiones del corral para que su área sea la máxima
posible?
Corral
16. Con una hojalata cuadrada de lado a es preciso hacer un cajón abierto
por arriba que tenga el volumen máximo. Se recortan cuadrados en los
ángulos de la hojalata y se dobla ésta para cerrar el cajón. Cual debe ser
la longitud del lado de los cuadrados cortados?
17. Demostrar que de todos los rectángulos que pueden inscribirse en una
dada circunferencia, el cuadrado tiene el área máxima. Demostrar que el
cuadrado también tendrá el peŕımetro máximo.
18. Hace falta fabricar un cilindro abierto por arriba, cuyas paredes y el fondo
tengan un espesor dado. Cuales deben ser las dimensiones del cilindro para
que, dada la capacidad, sea mı́nima la cantidad de material utilizado.
19. Una persona debe llegar desde el punto A hasta el punto B, para lo cual
debe hacer un tramo caminando por tierra y otro nadando para cruzar un
ŕıo (ver figura). Sabiendo que la persona camina a 8 Km/Hora y nada a
5 Km/Hora: Que camino debe seguir para llegar a destino lo más pronto
posible?
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Ŕıou
B
Tierra
u
A
5 Km
3 Km
7 Km
20. En que punto(s) la recta tangente a la curva determinada por f(x) =
2x3 − 5 resulta perpendicular a la recta 2x+ y + 3 = 0?
21. Justificar la siguiente afirmación: si un automovil recorre 300 Km a una
velocidad promedio de 93 Km/Hora, entonces necesariamente en algún
momento su velocidad instantánea fué de exactamente 93 Km/Hora.
22. Sea f una función derivable en el punto (x0, f(x0)). Demostrar que toda
recta r(x) que pase por (x0, f(x0)) cumple que
ĺım
x→x0
f(x)− r(x) = 0 .
Mostrar que, sin embargo, solo la recta tangente t(x) cumple que
ĺım
x→x0
f(x)− t(x)
x− x0
= 0 .
En este resultado se basa la aproximación lineal de funciones.
23. Mostrar que la aproximación lineal se puede escribir de manera compacta
por la aproximación del incremento de una función ∆f por su diferencial
df , es decir, haciendo la aproximación
∆f ' df
24. Calcular el cambio de área que sufre un cuadrado al cambiar la longitud
de sus lados desde 20 a 21 unidades. Comparar el resultado exacto con el
obtenido empleando la aproximación lineal. Interpretar geométricamente
el error cometido al reemplazar ∆f por df .
25. Mediante desarrollos en polinomios de Taylor apropiados obtener valores
aproximados de los siguientes números y con las precisiones requeridas.
Comparar mediante la calculadora con los resultados exactos:
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Análisis I (2018) Práctica 3: Derivadas 6
a) e0,1 (error < 0,01)
b) sin (61◦) (error < 0,001)
26. Plantear desarrollos en polinomios de Taylor apropiados para obtener va-
lores aproximados de los siguientes números (no es necesario hacer las
cuentas, solo discutir cuantos terminos es necesario incluir para obtener
las precisiones requeridas).
a)
√
401 (error < 0,0001)
b) e (error < 0,000001)
c) ln (2) (error < 0,001)
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