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1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? 1 Introducción. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? ¿Por qué es útil conocer sus ideas? ¿Qué tipo de problemas permite resolver? El cálculo infinitesimal, o cálculo diferencial e integral como también suele llamarse, se desarrolló a lo largo de la historia de una manera similar al desarrollo de otras ramas de las matemáticas. No fue la mente de una única persona quien lo desarrolló ni se construyó en forma progresiva y ordenada; más bien, se desarrolló sobre la base de numerosos trabajos, ensayos y problemas estudiados a lo largo de mucho tiempo. Sus inicios pueden encontrarse en la Antigua Grecia con los trabajos de Euclides, Arquímedes y Apolonio. Luego, durante la Edad Oscura y la expansión territorial europea fueron los árabes e hindúes quienes resguardaron y enriquecieron esos conocimientos griegos; hasta que en el Renacimiento Occidental se renovó y profundizó la investigación científica como metodología para conocer e intentar explicar los fenónemos de la naturaleza. En esta etapa, la historia del cálculo infinitesimal puede describirse en tres grandes períodos: anticipación, el desarrollo y la formalización (ver Figura 1). Figura 1: Línea de tiempo correspondiente a los tres períodos que comprenden el desarrollo del cálculo. Durante el período de anticipación fue cuando se comenzó a utilizar procesos infinitos para encontrar el valor de áreas y encontrar máximos y mínimos de cantidades. En la etapa de desarrollo, Issac Newton (1643 - 1727) y Gottfried Leibniz (1646 - 1716) reunieron todas estas técnicas bajo los conceptos de derivada e integral. La última etapa, ya a partir del siglo XIX, corresponde a la formalización del cálculo infinitesimal reformulando los desarrollos en términos de límite de funciones numéricas y sucesiones. Las técnicas y procedimientos del cálculo tuvieron mucho éxito y resultaron muy útiles para explicar fenómenos concretos de otras ciencias como la física, ingeniería o la astronomía. Sus desarrollos estuvieron íntimamente ligados al desarrollo de las teorías sobre la mecánica, el electromagnetismo, la dinámica de fluidos, la acústica, la óptica, termodinámica, etc. El reduccionismo es un término de la sociología que se utiliza para de- nominar el proceso mediante el cual se quieren explicar los fenómenos de una ciencia con los términos y pro- cedimientos de otra. Se dice que una ciencia es reducida a otra ciencia más general. En las ciencias químicas o las ciencias biológicas la relación con el cálculo diferencial e integral se establace quizás de manera indirecta, o en términos reduccionistas, a través de la física y los conocimientos generados en los estudios del movimiento de partículas, la composición de la materia, la termodinámica, la cinética de gases, transporte de energía, etc. Por ejemplo, es común que en los procesos biológicos aparezcan términos como: circulación de la sangre, bombas, presión, conexiones nerviosas, redes neuronales, dinámica poblacional, etc. O en el caso de sistemas químicos, se considere la intervención de una gran cantidad de moléculas que, desde el punto de vista mecánico, se mueven y colisionan en forma aleatoria. 2 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? Otras áreas de la matemática apare- cen en las ciencias naturales apor- tando sus estructuras en otro tipo de modelos, tales como los mode- los geométricos en la estructura del ADN o en la conformación de na- notubos, la teoría de grafos en las redes neuronales, la teoría de sime- trías en la estructura de los cristales, la estadística, etc. Pero la relación más profunda entre la matemática y las ciencias naturales se establece a través de la noción demodelo. En particular, losmodelos matemáticos basados en el cálculo diferencial e integral porque involucran el estudio de cómo cambian o cómo varían los sistemas. Se trata del estudio de funciones, sus cambios y cómo son esos cambios. La posición de un automóvil cambia en función del tiempo transcurrido, la cantidad de glucosa en la sangre cambia según aumenta la cantidad de insulina, la velocidad a la que se realiza una reacción química varía según la temperatura. Presentaremos una versión resumida de la noción de modelo en la construcción del conoci- miento científico. Los interesados en profundizar sobre el tema pueden consultar: La noción de modelo en Ciencias. Olimpia Lombardi. Educación en Ciencias. Vol. II. Nro. 4. https://drive.google.com/file/d/17BpXOp_984iknJ3X2P2m4BqLlkzpRiHw 2 Modelos matemáticos. La relación entre la matemática y las ciencias naturales no se realiza de forma azarosa o descontrolada; se enmarca en lo que se denomina modelos. Construimos modelos para representar de alguna manera, alguna parte de la naturaleza, algún fenómeno o sistema real que es de nuestro interés. C La palabra modelo tiene múltiples interpretaciones que van desde la moda, cosmética y belleza (las modelos de pasarela), la política (profundización del modelo, modelo de desarrollo) hasta la connotación normativa como sinómimo de ejemplaridad (el niño modelo). También existe en las matemáticas una concepción formalista de modelo asociado a los sistemas axiomáticos. Por eso es necesario determinar con alguna precisión a qué llamaremos modelo matemático y de esa manera evitar confusiones. Sistema Real Modelo 1 Modelo 2 ... Modelo n No existe el modelo del sistema. Figura 2: Esquema orientativo so- bre diferentes modelos que pueden representar a un mismo sistema. Comenzamos diciendo que no existe el modelo de un sistema real dado, sino una multiplicidad de modelos según los factores que se eligen, los postulados, las estructuras, etc. La elección del modelo a utilizar depende del interés de cada caso particular (ver Figura 2). Un sistema real es un sistema complejo, que involucra una gran cantidad de factores, por lo que se vuelve complicado – y a veces imposible - tener en cuenta todas y cada una de las múltiples características de sus elementos. Por este motivo se prefiere trabajar con sistemas simplificados e idealizados, abstrayendo y reduciendo el problema bajo estudio sólo a las variables que se consideran relevantes. Esta reducción es lo que en ciencias experimentales (biología, química, física, etc.) se denomina modelo. Todos los modelos tienen un conjunto de definiciones y enunciados que le dan forma. Son las hipótesis teóricas que se hacen sobre el sistema. En muchas ocasiones (vale aclarar que no siempre ocurre, ni necesariamente tiene que ser así), estos enunciados se escriben en términos matemáticos. Cuando nos referimos amodelo matemático nos referimos entonces a la utilización de las herramientas matemáticas (funciones, geometría, etc.) y su propio lenguaje matemático para modelar una situación correspondiente a un sistema real. Las herramientas matemáticas podrían variar según las necesidades abarcando uno o varias disciplinas internas de la matemática como el cálculo infinitesimal, la matemática discreta, la teoría de probabilidades, la teoría de grafos, etc. C En particular, en el marco del cálculo infinitesimal el planteo del modelo se realiza en términos de las interacciones o las fuerzas que actuan en él y que producen cambios. El cálculo es, en esencia, el estudio del cambio, ¿cómo cambian las cosas? Y el concepto matemático fundamental son las funciones como forma de relacionar dos o más cantidades numéricas. A partir de las hipótesis y enunciados de partida es posible deducir consecuencias sobre el modelo y el supuesto comportamiento del sistema. La utilidad y la validez del modelo propuesto se testea mediante las consecuencias que sean observables en el sistema real, de manera aproximada, dentro de un margen de error considerado aceptable. Los datos experimentales https://drive.google.com/file/d/17BpXOp_984iknJ3X2P2m4BqLlkzpRiHw 3 Modelos empíricos y modelos deterministas. 3 (datos empíricos) y las predicciones teóricas deben contrastarse para determinar el grado de validez delmodelo construido y funcionar como sistemade retroalimentación. En algunos casos se requiere hacer algunos ajustes; pero en otros casos corresponde abandonar completamente el modelo. En la Figura 3 se representa en forma esquemática la situación descripta anteriormente. Sistema real (físico, químico, biológico, etc.) Modelo matemático. Ecuaciones, definiciones, fórmulas. Generalizaciones, simplificaciones. Teoría, hipótesis, marco teórico. Resultados experimentales Predicciones teóricas Comparación. Confrontación. Se construye. Se aplica sobre el modelo. Figura 3: Relación esquemática entre el modelo, el sistema real y la teoría. Debemos distinguir los dos grandes niveles en la construcción de un modelo en las ciencias experimentales: • el sistema real, y • el modelo construido. Entre ambos, sistema real y modelo, se establece una relación compleja. En general sucede que hay elementos del sistema que se descartan y por lo tanto no aparecen en el modelo que se está considerando. También puede darse el caso inverso, pueden existir elementos del modelo construido que no tienen su correspondiente en el sistema real. 3 Modelos empíricos y modelos deterministas. Lo detallado en la Sección 2 corresponde formalmente a lo que se denomina modelo determinista y se refiere al que construye un sistema de causas y consecuencias entre los acontecimientos. De tal manera que conociendo los valores de ciertas magnitudes sería posible determinar el sistema en su todo completo. Se establecen leyes o fórmulas que permiten interrelacionar las magnitudes del sistema en forma exacta. Claro está que, al ser los modelos una simplificación, la relación causa-efecto está supeditada a las simplificaciones que se realizaron previamente. También se debe considerar que los datos observables nunca son accesibles con 100% de precisión por lo que las comparaciones y deducciones se analizan en términos probabilísticos. Existen otros modelos matemáticos, denominadosmodelos empíricos omodelos estadísticos, que se construyen sólo a través de los datos experimentales observados sin que se pretenda que los datos recolectados sigan una relación de causa-efecto asociada a alguna ley propia del sistema. En estos modelos estadísticos las predicciones se realizan al ajustar algún modelo determinista a los datos experimentales que sea lo más sencillo posible sin dejar de ser representativo de la situación. Las descripciones se realizan en términos estadísticos. 4 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? C La palabra ajustar tiene varios significados en el lenguaje castellano usado coloquial- mente. Por eso es necesario remarcar que en el contexto de los modelos estadísticos se refiere como sinónimo de adecuar. O sea, se propone un modelo determinista que sea adecuado a los datos experimentales recolectados. No hay que confundirse con otros significados de la palabra ajuste, como por ejemplo: un ajuste económico (recorte en la economía), un ajuste de cuentas (saldando alguna deuda como en la mafia), entre otras opciones. A continuación presentamos tres ejemplos de conjuntos de datos recolectados en distintas situaciones. En cada caso, el conjunto de datos se presenta acompañado por una curva en azul que pretende ser un ajuste posible. 383634 3935 40 4237 41 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 Semanas de gestación Pe so al na ce r( en kg ) En los tres gráficos se presentan a) un conjunto de datos experimentales representa- dos por los puntos • que expresan mediciones o recopilación de datos de algún sistema real. b) una curva azul que pretende modelizar el com- portamiento de los datos experimentales dando cuenta de algunas de sus características. Se llama curva de ajuste. (a) Peso al nacer (en kg) vs. la cantidad de semanas de gestación de 32 bebés. 1,800 1,850 1,900 1,950 2,000 0 50 100 150 200 250 Año Po bl ac ió n (e n m ill on es ) (b) Población de EEUU (en millones de personas) extraído de los censos realizados en cada década. 6 8 10 12 14 16 18 20 2 4 6 8 Cantidad de semanas Ri es go ho sp ita la rio (c) Riesgo hospitalario en 112 pacientes vs. la canti- dad de semanas de hospitalización. Enfatizamos lo anteriormente dicho: Los modelos estadísticos no pretenden establecer una relación de causa-efecto entre las magnitudes o variables involucradas. Los modelos estadísticos no pretenden establecer leyes ni explicar el por qué de la situación. No está dentro de sus posibilidades metodológicas. Se consideran de manera descriptiva para capturar algunas de las características principales del sistema. 4 Modelos lineales 5 4 Modelos lineales Como primer acercamiento a los modelos matemáticos, desarrollaremos algunos modelos lineales, en ambas versiones: deterministas y estadísticos. Como repaso respecto a los modelos lineales debemos recordar algunas consideraciones de las ecuaciones lineales y las rectas en el plano. x y (x, y) eje x eje y El punto (x, y) pertence a la recta siempre y cuando se cumpla la ecuación y = mx + b Figura 5:Una recta en el plano como la gráfica de una ecuación lineal. Una recta en el plano (que no es vertical) es la gráfica correspondiente a una ecuación lineal de la forma y = mx + b (1) de tal manera que cada punto P de coordenadas (x, y) de la recta satisface la ecuación 1. El número m en la ecuación 1 se llama pendiente de la recta y permite determinar la inclinación de la recta. Se calcula tomando dos puntos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) m = variación vertical variación horizontal = ∆y ∆x = y2 − y1 x2 − x1 . Las rectas verticales no tienen pendiente. El número b en la ecuación 1, se llama ordenada al origen y representa la segunda coordenada de la intersección de la recta con el eje de coordenadas vertical. x y x1 x2 y1 y2 (x1, y1) (x2, y2) y2 − y1 x2 − x1 (0, b) Figura 6: La pendiente como cociente de la variación vertical con la variación horizontal; y la ordenada al origen como la segunda coordenada del punto de intersección con el eje y. � Ejemplo 4.1 — Ecuación de una recta conociendo la pendiente y la ordenada al origen. La ecuación de la recta con pendiente m = 3 y ordenada al origen b = −1 es y = mx + b =⇒ y = 3x − 1. � � Ejemplo 4.2 — Ecuación de una recta conociendo la pendiente y punto que le pertenece. La ecuación de la recta que pasa por el punto P = (−1, 3) y tiene pendiente m = −2 es y − y0 = m(x − x0) =⇒ y − 3 = −2(x + 1). Simplificando y despejando la variable y obtenemos y = −2x + 1. � 6 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? � Ejemplo 4.3 — Ecuación de una recta conociendo dos puntos que le pertenecen. Para calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos P = (3, 1) y Q = (9, 6) podemos proceder, en un primer paso, calculando la pendiente de la recta m = y2 − y1 x2 − x1 = 6 − 1 9 − 3 = 5 6 y en un segundo paso, determinando la ecuación de la recta procediendo como en el Ejemplo 4.2 usando el valor calculado para m = 56 y el punto P = (3, 1) y − y0 = m(x − x0) =⇒ y − 1 = 5 6 (x − 3). El procedimiento será igualmente válido si consideráramos el otro punto Q = (9, 6). � 4.1 Modelos lineales deterministas En todas las conversiones de mediciones (pesos, temperaturas, longitudes, etc.) se consideran relaciones lineales. En particular, la fórmula que relaciona la temperatura en grados Celsius [◦C] con la temperatura en grados Fahrenheit [◦F] es [◦F] = 9 5 [◦C] + 32 Actividad 1.1 Respondan las siguientes consignas, referidas a la conversión de grados Celsius y grados Fahrenheit. a) Se dice que el punto de congelación del agua pura (H2O) es de 0◦C. ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen? ¿Y respecto al punto de ebullición del agua pura? b) ¿Es cierto que 5◦C es equivalente a 41◦F? ¿Es cierto que 0◦F equivalen a −18◦C? c) En el siguiente sistema de ejes cartesianos, representen la relación lineal de la conversión entre grados Celsius y grados Fahrenheit. 0 10 20 30 40 50 40 60 80 100 120 grados Celsius gr ad os Fa hr en he it Figura 7: Relación lineal de conversión entre grados Celsius y Fahrenheit.� 4 Modelos lineales 7 Actividad 1.2 La presión del aire suministrado por el regulador a un buzo varía linealmente con la profundidad en el agua. Cuando el buzo está a 10 metros, el regulador entrega 2.02 atmósferas, mientras que a 20 metros, el regulador entrega 3.04 atmósferas. Encuentren la presión de aire entregado en la superficie (0 metros de profundidad), a los 15 metros de profundad, y a los 40 metros de profundidad (la profundidad máxima permitida para buceo recreativo). Representen la relación entre la presión del aire y la profundidad en el agua. 0 10 20 30 40 2 4 profundidad del buzo (en metros) pr es ió n de la ire (e n at m ós fe ra s) Figura 8: Relación lineal entre la presión del aire y la profundidad en el agua. � 4.2 Modelos lineales estadísticos Como primer ejemplo de modelo lineal estadístico trabajaremos con un estudio realizado con 32 bebés en el que se consignaron los datos de la cantidad de semanas de gestación al momento de nacer y el peso (en kilogramos) del bebé al momento del nacimiento. Los datos se presentan en la Tabla 1 y en la Figura 9. Semanas de gestación Peso al nacer 36 2.420 38 2.940 38 3.130 34 2.450 39 2.760 35 2.440 40 3.226 42 3.301 37 2.729 40 3.410 36 2.715 39 3.095 39 3.130 39 3.244 35 2.520 39 2.928 41 3.523 42 3.446 38 2.920 39 2.957 42 3.530 38 2.580 37 3.040 42 3.500 41 3.200 39 3.322 40 3.459 42 3.346 35 2.619 41 3.175 38 2.740 36 2.841 Tabla 1: Peso al nacer (en kg) de 32 bebés y la cantidad de semanas de gestación al nacer. 383634 3935 40 4237 41 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 Semanas de gestación Pe so al na ce r( en kg ) Figura 9: Peso al nacer (en kg) vs. la cantidad de semanas de gestación de 32 bebés. Actividad 1.3 Discutan en el grupo y escriban un párrafo que describa los datos tal como se observan en la Figura 9. Por ejemplo, es interesante intentar responder las preguntas ¿los datos están alineados? ¿tienen una forma específica? ¿alguna característica que se pueda destacar? � 8 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? Los datos recopilados se encuentran dispersos de manera tal que la elección de algún modelo determinista simple representa un problema no sencillo de resolver. Sin embargo, por la disposición de los puntos en el sistema de ejes cartesianos y también por un criterio de simplicidad, se propone comenzar con modelos lineales. El problema consiste en elegir una recta que represente al conjunto de datos de lamejor manera posible. Para lo cual tendremos que decidir previamente, qué entendemos por “la mejor manera posible”. Considerando que las rectas están determinadas por la pendiente y la ordenada al origen buscamos una manera de elegir m (la pendiente) y b (la ordenada al origen) para que la recta de ecuación p = ms + b se aproxime lo mejor posible a los datos recopilados. En este caso, hemos decidido tomar a • s como la variable en el eje horizontal asociada a la cantidad de semanas de gestación, • p como la variable en el eje vertical asociada el peso del bebé al nacer (en kilogramos). Hay infinitas rectas posibles para elegir. A continuación presentamos 4 opciones de rectas para ajustar a los datos recolectados. Actividad 1.4 Discutan en grupo, estableciendo algún criterio consensuado, ¿cuál de los siguientes 4 modelos lineales propuestos es el mejor. � 383634 3935 40 4237 41 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 Semanas de gestación Pe so al na ce r( en kg ) (a) Modelo lineal 1: p = 0.15s − 2.76. 383634 3935 40 4237 41 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 Semanas de gestación Pe so al na ce r( en kg ) (b) Modelo lineal 2: p = 0.21s − 5.1. 383634 3935 40 4237 41 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 Semanas de gestación Pe so al na ce r( en kg ) (c) Modelo lineal 3: p = 0.15s − 2.8. 383634 3935 40 4237 41 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 Semanas de gestación Pe so al na ce r( en kg ) (d) Modelo lineal 4: p = 0.1s − 0.73. Figura 10: Cuatro modelos lineales propuestos para ajustar los datos observados de peso y semanas de gestación de la Tabla 1. 4 Modelos lineales 9 4.3 Error cuadrático medio (ECM) Tomaremos el primer ejemplo de los 4 presentados anteriormente para definir una idea de error en el ajuste. Se observa en la Figura 11 que la recta propuesta no pasa por todos los puntos. Hay puntos alejados de la recta; algunos de ellos se encuentran por debajo de la recta y otros se encuentran por arriba de ella. Los valores observados (valores experimentales de la Tabla 1) y los valores correspondientes a la recta son diferentes. � Definición 4.1 — Residuo. En un contexto de estudio de un conjunto de datos experi- mentales y una curva de ajuste, se llama residuo asociado a cada dato experimental a la diferencia vertical que existe entre el valor observado y el valor correspondiente a la recta. Por ejemplo, el primer dato de la Tabla 1 indica un bebé de 36 semanas de gestación con un peso al nacer de 2.42 kg. Semanas de gestación Peso al nacer 36 2.420 El modelo propuesto p = 0.15s − 2.76 indica que para s = 36, p = 0.15 × 36 − 2.76 = 2.64 El residuo asociado a esta observación es 2.42 − 2.64 = −0.22 En general, algunos residuos pueden ser positivos y otros residuos son negativos dependiendo si los valores observados son mayores o menos que los valores correspondientes al modelo propuesto. El residuo es una medida del error que se comete en cada ob- servación. Sumando todos los residuos tendríamos una medida del error total que se comete en todo el conjunto de observacio- nes pero allí tendríamos un inconveniente porque los residuos positivos y negativos (ver Figura 12) podrían cancelarse y dar como resultado cero aunque haya varios puntos que no estén sobre la recta. De modo que sólo sumar los residuos puede no ser determinante para analizar la justeza de un modelo lineal. En la bibliografía tradicional para determinar el error del ajuste se elevan al cuadrado los residuos y luego se calcula el promedio de todos los residuos al cuadrado. El valor que se obtiene se llama error cuadrático medio (ECM) y es el que tradicionalmente se utiliza para analizar qué tan buena es la recta elegida. El criterio que utilizaremos para decidir si una recta es mejor que otra será estudiando los errores cuadráticos medios asociados a cada una eligiendo la que tenga el menor ECM. 34 36 38 40 42 2.5 3 3.5 Semanas de gestación Pe so al na ce r( en kg ) Figura 11: Modelo lineal p = 0.15s − 2.76. 34 36 38 40 42 2.5 3 3.5 Semanas de gestación Pe so al na ce r( en kg ) Figura 12: Los segementos verticales representan los re- siduos asociados a cada valor observado en relación al modelo lineal propuesto. Los residuos positivos corres- ponden a valores observados arriba de la recta de ajuste; los residuos negativos corresponden a valores observados debajo de la recta de ajuste. 10 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? � Definición 4.2 — Error cuadrático medio ECM. Se denomina error cuadrático medio (ECM) al promedio de los residuos elevados al cuadrado. El error cuadrático medio nos da una medida del error que se comete con la recta elegida: a) El ECM siempre es un número mayor o igual a 0. b) La única opción para que el ECM sea igual a 0 es cuando la recta elegida pasa exactamente por todos los puntos experimentales. c) Si el ECM es un valor cercano a 0 quiere decir que la recta elegida está muy próxima de los puntos experimentales. A continuación calcularemos el ECM para el modelo p = 0.15s − 2.76 asociado a los datos del peso y las semanas de gestiación de los 32 bebés. Semanas de gestación Peso al nacer Modelo p = 0.15s − 2.76 Residuos al cuadrado 36 2.420 0.15(36) − 2.76 = 2.64 (2.42 − 2.64)2 = 0.0484 38 2.940 0.15(38) − 2.76 = 2.94 (2.94 − 2.94)2 = 0 38 3.130 0.15(38) − 2.76 = 2.94 (2.92 − 3.13)2 = 0.0361 34 2.45 2.34 0.0121 39 2.76 3.09 0.1089 35 2.44 2.49 0.0025 40 3.23 3.24 0.0002 42 3.30 3.54 0.0571 37 2.73 2.79 0.0037 40 3.41 3.24 0.0289 36 2.71 2.64 0.0056 39 3.10 3.09 0.0000 39 3.13 3.09 0.0016 39 3.24 3.09 0.0237 35 2.52 2.490.0009 39 2.93 3.09 0.0262 41 3.52 3.39 0.0177 42 3.45 3.54 0.0088 38 2.92 2.94 0.0004 39 2.96 3.09 0.0177 42 3.53 3.54 0.0001 38 2.58 2.94 0.1296 37 3.04 2.79 0.0625 42 3.50 3.54 0.0016 41 3.20 3.39 0.0361 39 3.32 3.09 0.0538 40 3.46 3.24 0.0480 42 3.35 3.54 0.0376 35 2.62 2.49 0.0166 41 3.18 3.39 0.0462 38 2.74 2.94 0.0400 36 2.84 2.64 0.0404 ECM: 0.0285 Tabla 2: Determinación del EMC para el modelo p = 0.15s − 2.76 asociado a los datos de la Tabla 1. Se ha calculado que el ECM del modelo p = 0.15s − 2.76 es: 0.0285. De la misma manera, calculamos los ECM para los otros 3 modelos propuestos en la Figura 10. 4 Modelos lineales 11 Semanas de gestación Ecuación ECM Modelo 1 p = 0.15s − 2.76 0.0285 Modelo 2 p = 0.21s − 5.1 0.0594 Modelo 3 p = 0.15s − 2.8 0.0287 Modleo 4 p = 0.1s − 0.73 0.0447 Tabla 3: Determinación de los EMCs para cuatro modelos de la Figura 10. Se observa que el menor ECM encontrado corresponde, precisamente, al modelo 1. Actividad 1.5 Hemos calculado el ECM de cuatro modelos elegidos como ejemplo. No está muy claro por qué elegimos esos cuatro y no otros. a) ¿Hay otros modelos lineales que se puedan utilizar? Propongan dos distintos a los utilizados previamente. b) ¿Es posible que los modelos propuestos en el inciso anterior tengan un ECM menor al encontrado 0.0285? C Para poder calcular el ECM de los nuevos modelos tendríamos que utilizar alguna planilla de cálculo o software de manera de agilizar los cálculos. No lo haremos en esta oportunidad. Los interesados pueden obtener una copia de los datos para cargar en la planilla de cálculo en el siguiente link: https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r0wE_VwdQNZAw-YyUmc6qe2UxyJ2xkIa90_ WpeCGTwE/edit?usp=sharing � En la siguiente sección estudiaremos un método que permite determinar el modelo lineal que posee el menor ECM posible de manera que, desde este punto de vista, determinaremos el modelo lineal que mejor se ajusta a los datos experimentales. El método de mínimos cuadrados es, desde su creación por el astrónomo y matemático francés Lagrange en el siglo XVII, el más usado de los mé- todos estadísticos. El motivo de su popularidad es principalmente su fá- cil aplicación y que siempre permite una respuesta explícita. 4.4 Método de mínimos cuadrados. ¿Cómo encontrar la recta o modelo lineal con el ECM más cercano a cero posible para garantizar que hemos encontrado la mejor recta según este criterio? La respuesta a esta pregunta está en el método de mínimos cuadrados. Es el método que permite encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta que estamos buscando. Este método se desarrolla en el curso de Análisis de datos y ahora lo utilizaremos con el software Desmos disponible en forma gratuita y libre para smartphones, iphones, tablets, notebook, netbook y computadoras. Hemos decidido no utilizar en esta oportunidad el software Geogebra porque su versión para celular no es amigable con los entornos de tablas y determinación de ajustes de datos experimentales. Online: https://www.desmos.com/calculator Para smartphones, tablets o iphones: https://play.google.com/store/apps/developer?id=Desmos+Inc&hl=es_419 https://itunes.apple.com/ar/app/desmos-graphing-calculator/id653517540?mt=8 Tutorial de Desmos: https://www.youtube.com/watch?v=Y2UpNqof9do El símbolo∼ delPaso 3 se encuentra en la última fila del teclado. https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r0wE_VwdQNZAw-YyUmc6qe2UxyJ2xkIa90_WpeCGTwE/edit?usp=sharing https://docs.google.com/spreadsheets/d/1r0wE_VwdQNZAw-YyUmc6qe2UxyJ2xkIa90_WpeCGTwE/edit?usp=sharing https://www.desmos.com/calculator https://play.google.com/store/apps/developer?id=Desmos+Inc&hl=es_419 https://itunes.apple.com/ar/app/desmos-graphing-calculator/id653517540?mt=8 https://www.youtube.com/watch?v=Y2UpNqof9do 12 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? Determinaremos la recta correspondiente al método de mínimos cuadrados utili- zando Desmos en un smartphone. Paso 1: Al iniciar Desmos aparece la pantalla principal. Paso 2: Cargar los datos experimentales mediante la opción de Tabla. Cambiar los encabezados de las columnas por s (para la columna de las semanas) y p para la columna de los pesos. Paso 3: Una vez cargados todos los datos. En la siguiente casilla de instrucción escribir la forma del modelo propuesto de la siguiente manera. Paso 4: Inmediatamente luego de escribir la fórmula, elDesmos responde con el ajuste 4 Modelos lineales 13 lineal correspondiente al método de mínimos cuadrados. Se obtuvo m = 0.131093 y b = −2.04726. Analizando las unidades de las cantidades involucradas tenemos que: • El peso p de los datos tiene unidad de medida kg por lo tanto, tanto m.s como b deben estar en kg. • Dado que s está dada en cantidad de semanas, entonces la pendiente m tendrá como unidad kg/[cantidad de semanas]. Por lo tanto, • Pendiente m = 0.131093 kg/[cantidad de semanas] • Ordenada al origen b = −2.04726 semanas. El modelo lineal correspondiente al método de mínimos cuadrados es p = 0.131093s − 2.04726 Paso 5: Los residuos están representados en el Desmos por la variable e1. Si queremos conocer el ECM del modelo lineal podemos escribir el comando: Se obtuvo: ECM = 0.0260436795937. Paso 6: Desmos también realiza la gráfica de los valores cargados y del modelo lineal encontrado. Moviendo la pantalla y ajustando el zoom. Ver Figura 13. Recordar que el ECM se calcula ha- ciendo el promedio (mean, en inglés) de los residuos al cuadrado. Figura 13: Captura de pantalla de datos y ajuste lineal elaborada en el Paso 6. 34 36 38 40 42 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 Semanas de gestación Pe so al na ce r( en kg ) Figura 14: Modelo lineal p = 0.131093s − 2.04726. El modelo lineal p = 0.131093s − 2.04726 es elmejor modelo lineal que se ajusta a los datos observados de peso y semanas de gestación de los bebés al nacer según el criterio de error cuadrático medio. 14 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? Los datos de la Tabla 1 fueron clasificados según se tratase de madre fumadoras o madre no fumadora como se presenta a continuación. Semana de gestación Peso al nacer Madre fumadora Semana de gestación Peso al nacer Madre fumadora 38 3.130 No 38 2.940 Sí 34 2.450 No 36 2.420 Sí 40 3.226 No 39 2.760 Sí 37 2.729 No 35 2.440 Sí 40 3.410 No 42 3.301 Sí 39 3.095 No 36 2.715 Sí 39 3.244 No 39 3.130 Sí 35 2.520 No 39 2.928 Sí 41 3.523 No 42 3.446 Sí 38 2.920 No 39 2.957 Sí 42 3.530 No 38 2.580 Sí 37 3.040 No 42 3.500 Sí 39 3.322 No 41 3.200 Sí 40 3.459 No 42 3.346 Sí 35 2.619 No 41 3.175 Sí 36 2.841 No 38 2.740 Sí Tabla 4: Clasificación de los datos observados según si la madre es fumadora o no. Los datos se presentan a continuación 34 36 38 40 42 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 Semanas de gestación Pe so al na ce r( en kg ) Madres fumadoras Madres no fumadoras Actividad 1.6 Considerando los datos clasificados en la Tabla 4: a) Determinen el modelo lineal que ajusta los datos de madres fumadoras con menor ECM posible. Tendrán que hacer una secuencia similar a la realizada anteriormente usando Desmos pero sólo considerando los datos de las madres fumadoras. b) Determinen el modelo lineal que ajusta los datos de madres no fumadoras con menor ECM posible. Tendrán que hacer una secuencia similar a la realizada anteriormente usando Desmos pero sólo considerando los datos de las madres no fumadoras. c) Grafiquen los modelos lineales encontrados y, discutiendo en el grupo, expliquen las diferencias y coincidencias entre los modelos encontrados. � 5 ¿Por qué cantan más los grillos en verano? 15 5 ¿Por qué cantan más los grillos en verano? En verano, durante las tardes o las noches, el canto de los grillos no pasa desapercibido; es difícil evitar escuchar ese “cri-cri” que emiten los grillos machos (los únicos que cantan) cuando intentan atraer a las hembras. ¿Cómo influye la temperatura ambiente en el “chirrido” de los grillos? Chirridos por minuto Temperatura (°C) 176 26.944 185.6 25.833 174.4 25.556 140 23.056 130.4 20.000115.6 18.889 110.8 18.333 102 16.389 81.5 13.889 50 12.778 144.8 22.500 140 22.222 132.4 21.667 126 20.556 115.2 19.167 85.2 15.556 151.2 23.889 148 22.917 94.64 16.111 74 11.111 110.8 18.333 104 17.222 86.8 15.000 Tabla 5: Chirridos por minuto y tem- peratura de una especie de grillos en Nebraska. Actividad 1.7 Un método casero bastante popular en las provincias del norte dice que se puede conocer la temperatura ambiente escuchando el cantar de los grillos. Hay que contar la cantidad de chirridos por minuto que se escuchan, dividiendo por 7 y luego sumando 4. Se considera en este caso que la temperatura está medida en grados Celsius. Determinen una expresión algebraica que relacione la temperatura ambiente y la cantidad de chirridos descripta por el método casero. Detallen las variables utilizadas y sus unidades. � La Tabla 5, construida en base a los datos experimentales de un estudio realizado en Colorado (Estados Unidos) en el año 2007, relaciona el promedio de la cantidad de chirridos de una especie de grillos emitidos durante un minuto con la temperatura ambiente en grados Celsius. Actividad 1.8 Utilicen Desmos para realizar las actividades: a) Representen gráficamente los datos de la tabla mediante un gráfico de puntos. En el eje horizontal ubicar la cantidad de chirridos y en el eje vertical la temperatura. Incorpore al gráfico la recta asociada al método casero. b) Realicen un ajuste lineal mediante el método de mínimos cuadrados. Incorporen al gráfico anterior la recta obtenida. c) Describan la diferencia entre las rectas encontradas. ¿Cuál considera que aproxima mejor los datos? d) ¿Qué limitaciones aparecen desde el punto de vista biológico para utilizar estos modelos? e) ¿En qué rango de temperaturas son válidos? f) ¿Cómo puedemejorarse la precisión delmodelo determinado pormínimos cuadrados? g) ¿Por qué cantan más los grillos en verano? � Las respuestas que pudieron desarrollar dan cuenta de la complejidad de la relación entre el problema biológico y el modelo matemático. Es muy probable que las respuestas no hayan sido completas pero seguramente permiten apreciar cómo se aproximan el modelo matemático y el problema biológico y en parte, algunas de las limitaciones y modos de utilización. La pregunta d) es de naturaleza biológica, y la matemática juega un papel pobre allí. Podríamos preguntarnos sobre las cuestiones biológicas que se estudian. Desde un punto de vista práctico, este termómetro biológico tiene usos limitados. Los grillos generalmente cantan sólo algunos meses en el año y durante la noche cuando la temperatura es superior a los 10° C. Las preguntas e) y f) resultan importantes por el vínculo entre el proceso de modelado matemático y el problema biológico que se estudia. El rango de validez en cuanto a las temperaturas determinan el dominio en el cual corresponderá usar el modelo. Generalmente, los límites para usar el modelo matemático están dados por los puntos entre los cuales se han recolectado los datos (o posiblemente ligeramente un poco más allá de los datos recolectados). En nuestro caso, los datos disponibles se encuentran entre los 11°C y los 27°C. Que es apropiada para las noches en Colorado durante agosto y septiembre. El método casero, aunque alejado un poco de los datos recopilados, es mucho más sencillo de utilizar en una noche de verano con amigos. La última pregunta g) puede ponerse también en términos de limitaciones del modelo. El modelo no puede responder a la pregunta de causalidad entre las dos variables. No hay una explicación del fenómeno que permita deducir cómo influye la temperatura ambiente en la frecuencia con la que los grillos frotan sus patas traseras para generar el chirrido; sólo una correlación estadística de las observaciones. Será necesario conocer más sobre el metabolismo y la morfología del insecto para plantear alguna hipótesis de respuesta a la pregunta. Luego vendrán otras tantas como: ¿Por qué es tan difícil ubicar al grillo que canta cuando estamos en una habitación? ¿Por qué cantan al unísono todos los grillos del campo? 16 Capítulo 1. ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? Actividad 1.9 En las actividades previas ubicamos en el eje horizontal los valores corres- pondientes a los chirridos por minuto de los grillos y en el eje vertical a la temperatura ambiente. Sin embargo, es más natural que la variable independiente sea la temperatura dado que por algún mecanismo que desconocemos afecta al grillo haciendo que produzca más chirridos por minuto. Encuentren, a partir de la ecuación obtenida en la Actividad 1.8 item b) la ecuación lineal que represente la cantidad de chirridos en función de la temperatura. Estime la cantidad de chirridos por minuto cuando la temperatura es de 21◦C. � 6 Ejercitación Ejercicio 1.1 En cada caso, hallen la ecuación de la recta que satisface las condiciones mencionadas: a) pasa por el punto (2,−3) y tiene pendiente − 1 3 b) pasa por el punto (7, 5) y tiene pendiente 0 c) pasa por los puntos (3,−1) y (2,−1) d) pasa por los puntos (−1, 3) y (5,−3) e) corta al eje y en 2 y pasa por el punto (−2, 3) f) paralela a la recta 3x − 6y = 1 y pasa por el punto (1, 0) g) perpendicular a la recta 4x − 3y + 2 = 0 y pasa por el punto (3, 2). � Ejercicio 1.2 Escriban la ecuación de una recta para cada una de las siguientes gráficas � Ejercicio 1.3 Encuentren las ecuaciones de las rectas que pasan por el origen que son perpendiculares y paralelas a la recta y = 3 − 2x. � Ejercicio 1.4 Encuentren la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−1, 2) y (2, 0). ¿Cuál es la pendiente y la ordenada al origen para esta recta? Grafiquen la recta. � Temperatura (◦C) Actividad (U) 0 38 0 43 0 34 10 32 10 26 10 33 20 19 20 27 20 23 30 14 30 19 30 21 Tabla 6: Actividad de los antibióticos. Ejercicio 1.5 En un experimento para observar el efecto de la temperatura de almacenamiento en la actividad de un antibiótico se almacenaron tres porciones de 1 gramo del antibiótico durante tiempos iguales a cada una de las siguientes temperaturas: 0◦C, 10◦C, 20◦C y 30◦C. Las lecturas de actividad observadas al final del período experimental son las que se muestran en la Tabla 6. La actividadU de los antibióticos es una medida relativa; se calcula comparando la inhibición del antibiótico analizado en microorganismos sensibles y específicos por concentraciones conocidas y una sustancia de referencia. Bajo ciertas condiciones (concentraciones y sustancia de referencia), en esa comparación, se establece una unidad de referencia de 1 U. 6 Ejercitación 17 a) Determinen, a partir de los datos presentados, el ajuste lineal correspondiente. b) ¿Qué unidades corresponden para la pendiente y la ordenada al origen del modelo encontrado? c) Según el modelo lineal encontrado, ¿cuál es la potencia esperada de un gramo de antibiótico almacenado a una temperatura de 25◦ C? d) Se observa la potencia de un gramo de antibiótico y resulta 18. ¿Cuál es la temperatura de almacenamiento que se estima según el modelo lineal encontrado? � Figura 15: Amplitud entre párpados. ASO (cm2) Amplitud (cm) 0.4 1.02 0.48 0.88 0.57 1.52 0.7 1.5 0.75 1.8 0.78 1.63 0.84 2 0.99 2.48 1.12 3.05 1.15 3.18 1.25 3.68 1.25 3.82 1.3 4.27 1.34 3.12 1.4 3.75 1.43 4.1 1.49 3.77 1.58 4.21 1.6 4.92 Tabla 7: ASO vs. amplitud de los párpados. Ejercicio 1.6 Los problemas visuales y muscoesqueléticos relacionados con el uso de monitores se han vuelto bastantes recientes. Se estudia la relación entre el área de superficie del ojo (ASO, en cm2) y la amplitud entre los párpados (en cm) de 19 individuos y se presentan los resultados en la Tabla 7. a) Determinen el ajuste lineal de mínimos cuadrados correspondiente. b) ¿Qué unidades corresponden a la pendiente y a la ordenada al origen del modelo encontrado? c) Según el modelo lineal encontrado, ¿qué amplitud entre párpados se espera para un individuo cuya superficie ocular es de 1 cm2? � Ejercicio 1.7 Para un gas que se mantiene a volumen constante, la presión P depende linealmente de la temperturaT . Luego, podemos escribir la ecuación P = kT + b, para algunas constantes k y b. a) Supongamos que se corre un experimento y se encuentra que cuando T = 0◦C,la presión P = 760 mm de Hg. Y que cuando T = 100◦C, la presión P = 1040 mm de Hg. Encuentren las constantes k y b para la ecuación anterior (indicando sus unidades). b) El cero absoluto puede aproximarse encontrando dónde la presión es P = 0. Encuentren la temperatura en ◦C para el cero absoluto a partir del item anterior. � 1 ¿Qué es el cálculo diferencial e integral? 1 Introducción. 2 Modelos matemáticos. 3 Modelos empíricos y modelos deterministas. 4 Modelos lineales 4.1 Modelos lineales deterministas 4.2 Modelos lineales estadísticos 4.3 Error cuadrático medio (ECM) 4.4 Método de mínimos cuadrados. 5 ¿Por qué cantan más los grillos en verano? 6 Ejercitación
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