Relacion_grafica_entre_variables (1)

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Relación gráfica entre variables
Pablo Hernández
Alexander Viracucha
Abstract
The following work is based on experimentation cinematic movements such as MRU and MRUV are known in the world of classical physics. We will make an analysis of the different parts of the movement function of time , aided by laboratory items such as, air rails , sliders and gravity. Programs that will facilitate our study , are Measure , which will give us the measurements and graphs with time data movement , displacement, velocity and acceleration. Excel , this will help to optimize the time when making such calculations for equations.
Keywords : MRU, MRUV , acceleration, speed, time , distance
Resumen 
El siguiente trabajo se basa en la experimentación sobre los movimientos de cinemática como son el MRU y MRUV conocidos en el mundo de la física clásica. 
Vamos a hacer un análisis de las diferentes partes del movimiento en función del tiempo, ayudado de elementos de laboratorio como son, los carriles de aire, deslizadores y la gravedad.
Los programas que facilitarán nuestro estudio, son Measure, la cual nos va a dar las medidas y gráficas del movimiento con datos de tiempo, desplazamiento, velocidad y aceleración. Excel, esto será de gran ayuda para optimizar el tiempo al momento de realizar los cálculos respectivos para las ecuaciones.
Palabras Claves: MRU, MRUV, aceleración, velocidad, tiempo, distancia,
OBJETIVOS
· Analizar la representación gráfica de las principales formas de dependencia funcional entre variables. Examinar las diferentes formas de encontrar las leyes físicas de las leyes físicas de las dependencias funcionales.
· Identificar el tipo de relación entre posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo en un movimiento rectilíneo uniforme variado.
FUNDAMENTO TEÓRICO
Las técnicas de regresión permiten hacer predicciones sobre los valores de cierta variable Y (dependiente), a partir de los de otra X (independiente), entre las que se intuye que existe una relación. Para ilustrarlo retomemos los ejemplos mencionados al principio del tema anterior. Si sobre un grupo de personas observamos los valores que toman las variables.
X = Altura medida en cm
Y = Altura medida en metros
En el Sistema de Información hay una serie de variables que pueden ser analizadas estadísticamente para llegar al establecimiento de ese tipo de relaciones y conclusiones, que son importantes para el planificador; un ejemplo de ello se presenta en este Anexo, al analizarse la relación entre el precio de arrendamiento de la tierra y sus determinantes. Hay que anotar que al establecerse ese tipo de análisis es posible hacer proyecciones de las posibles situaciones futuras, extrapolando la continuidad de esas relaciones, característica ésta que convierte al proceso de análisis en un valioso instrumento de planificación.
El caso más elemental en el análisis de las relaciones económicas es el supuesto de una relación simple entre dos variables, que se postula
Y = f(X)
y que indica que Y es una función o variable dependiente de la variable X.
El segundo paso es la especificación de la forma como esas dos variables se relacionan, en su manera funcional precisa. La más simple de esas es una relación lineal, donde
Y = a + bX
donde a y b son coeficientes que determinan la intercepción y la pendiente de la función. Otro tipo de relaciones, no necesariamente lineales, pueden ser del tipo
Y = aebX
Y = aXb
y = a + b 1/x
Métodos Gráficos y Analíticos para encontrar las dependencias funcionales entre variables
Relación lineal 
Decimos que la dependencia de Y con X es lineal, si los datos observados se pueden describir adecuadamente con: 
Figura1. Ejemplo de Relación gráfica lineal 
Fuente: Internet
El parámetro a es la pendiente de la recta y b la ordenada del origen o la ordenada de intersección de la recta con el eje vertical y una relación lineal entre dos variables es fácil de identificar a simple vista. Sin embargo, no es tan fácil, a simple vista, saber si las variables presentan una relación potencial, exponencial o de otro tipo. 
Relación potencial 
 Las variables X e Y presentan una dependencia potencial si: 
Y = aXb
Donde a y b son constantes distintas de cero. Esta forma potencial es muy común en las ciencias naturales, economía y muchas otras aplicaciones.
Para facilitar la tarea de encontrar tanto el exponente de escala b como la constante a, es conveniente representar log (Y) en función de log(X). Para comprender porque hacemos esto, tomemos el logaritmo a ambos miembros de la ecuación:
Log (Y) = log (aX^b) = log(a) + blog(X)
Si Y ≡ log (Y) y X ≡ log(X) tenemos que:
Y =log(a)+bX
Si representamos gráficamente Y como función de X, obtendremos una recta con pendiente b y ordenada al origen log(a).
Figura 2. Ejemplo relación potencial.
Fuente: Internet.
Relación eponencial
Otro caso particular de mucho interés es el de una relación exponencial entre dos variables. Para fijar ideas supongamos que estamos considerando dos variables, Y1 e Y2, como función de t. Si las relaciones entre estas variables son:
Y1(t)=Ae-kt
Y2(t)=A(1-e-kt)
Es fácil notar que, que la primera de estas relaciones (Y1) se “linealiza” en escala semilogarítmica pero la segunda (Y2) no.
Figura 3. Ejemplo relacion exponencial
Fuente: Internet.
Método de mínimos cuadrados para encontrar las dependencias funcionales:
Al medir directamente una misma Variable, evitando en lo posible los errores sistemáticos se han obtenido los valores X1, X2, X3,…, Xn, muy próximos entre sí. Ya se ha demostrado que el valor más representativo de esas mediciones o el que se aproxima más hacia el valor verdadero es la media aritmética .
La suma de los cuadrados de los errores aparentes o desvíos es:
La medida más adecuada será aquella que hace que la suma de los cuadrados de los errores aparentes o desvíos sean mínimas, en consecuencia:
Se confirma entonces que la media más adecuada que representa a un conjunto de mediciones de una misma variable es la media aritmética.
Características del movimiento rectilíneo uniforme variado y deducción de sus ecuaciones utilizando calculo diferencial e integral: 
Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante.
En mecánica clásica el MRUV presenta tres características fundamentales:
1.-La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.
2.-La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.
3.-La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.
Figura 4. Gráficas s-t, v-t, a-t del MRUV.
Fuente: Internet.
La clave del movimiento rectilíneo uniformemente variado o acelerado es que, la aceleración es constante, y por lo tanto la aceleración promedio es igual a la aceleración instantánea. Es decir:
Por lo tanto, la velocidad de una partícula para un momento dado puede obtenerse del siguiente modo.
Si y sabemos que , reemplazamos y despejamos la velocidad final tomando en cuenta que ( y que el tiempo inicial es 0. Dando como resultado:
La ecuación de la posición.
Tomando en cuenta que la velocidad varía de manera linear, es posible encontrar la velocidad la velocidad promedio de la partícula haciendo, un promedio de dos puntos de la recta.
Ahora vamos a ver las ecuaciones del MRUV de forma general
· 
· ;Donde 
· 
· 
EQUIPOS Y MATERIALES
· Carril de aire.- Soplador
· Aerodeslizador
· Arrancador mecánico
· Tope
· Barrera fotoeléctrica contadora
· Pesas
· Material de montaje
Herramientas
· Interfase – Computadora- Software Measure
Procedimiento
1. Disponga horizontalmente el carril de aire perfectamente nivelado y coloque sobre él, en el un extremo el arrancador mecánico, luego el aerodeslizador, en la mitad del carril de tope y al final la barrera fotoeléctrica contadora, esta deber estar conectada a la interface y esta a su vez a la computadora con el programa Measure.
2. El aerodeslizador se acoplara a una pesa a través de un hilo, el cual deberá pasar por la polea de la barrera
fotoeléctrica. En consecuencia, el móvil deberá moverse a partir del reposo, arrastrado por la pesa que desciende. 
3. La barrera fotoeléctrica medirá el movimiento del aerodeslizador, a través del número de vueltas de la polea. Estos datos pasan por la interface a la computadora. 
4. Dispuesto el aerodeslizador junto al arrancador mecánico, active la señal de medida en el computador al mismo tiempo que el aire dentro del carril. Suelte el arrancador al mismo tiempo que el aire dentro del carril. Suelte el arrancador y el aerodeslizador se moverá. Este movimiento es registrado por la computadora. Los datos seleccionados, excluyendo los iniciales y los finales, le serán proporcionados para desarrollar su informe (exporte los datos a Excel.
5. Registrar datos dados por el software measure de posición, velocidad y aceleración en los tiempos proporcionales en la hoja técnica de datos.
V. Tabulación de Datos
Tabule los resultados obtenidos en el siguiente recuadro:
	Tiempo
	S(t)
	V(t)
	a(t)
	t(s)
	s(m)
	V(m/s)
	a(m/s)
	0,550
	0,051
	0,188
	0,419
	0,600
	0,061
	0,220
	0,471
	0,650
	0,073
	0,251
	0,471
	0,700
	0,086
	0,251
	0,419
	0,750
	0,099
	0,283
	0,367
	0,800
	0,113
	0,298
	0,419
	0,850
	0,129
	0,330
	0,471
	0,900
	0,146
	0,346
	0,471
	0,950
	0,164
	0,377
	0,471
	1,000
	0,183
	0,393
	0,419
	1,050
	0,203
	0,408
	0,367
	1,100
	0,224
	0,424
	0,367
	1,150
	0,246
	0,456
	0,419
	1,200
	0,269
	0,471
	0,471
	1,250
	0,294
	0,503
	0,471
	1,300
	0,319
	0,518
	0,419
	1,350
	0,346
	0,534
	0,419
	1,400
	0,373
	0,565
	0,471
	1,450
	0,402
	0,597
	0,471
Tabla 1. Datos recogidos, tiempo, desplazamiento, velocidad, aceleración 
Figura 5. Gráfica-relación tiempo-posición-velocidad-aceleración 
Fuente: Autores
Preguntas
A. Realice un gráfico: Posición-Tiempo y analice.
 Análisis: (de variables matemático, unidades, ley física)
Figura 6. Gráfica Posición vs tiempo
Fuente: Autores
1.- Relación de Variables 
La posición es directamente proporcional a la variable del 
tiempo elevado a una potencia.
 X=A 
2.- Análisis matemático 
𝐶 = 𝑇𝑎𝑛 (𝛼) = = = 
x – o𝑡 = 𝑪
 3.- Análisis de unidades
 [𝐴] = [ ] = [𝐿 ] 
4.- Ley Física 
x = 0.18t2.18
 B.-Linealice la curva: Posición-Tiempo utilizando papel logarítmico.
Figura 7. Gráfica linealizada Posición vs tiempo
Fuente: Autores
C.- Determine la ecuación de esta curva ajustando por mínimos cuadrados y dibuje la misma en el gráfico anterior.
Figura 8. Gráfica Ajustada Posición vs tiempo 
Fuente: Autores
Figura 9. Linealización de la gráfica
Fuente: Autores
	Log t
	Log x
	
	Log t Log x
	-0,259
	-1,292
	0,067
	0,334
	-0,221
	-1,214
	0,048
	0,268
	-0,187
	-1,136
	0,034
	0,212
	-0,154
	-1,065
	0,023
	0,164
	-0,124
	-1,004
	0,015
	0,124
	-0,096
	-0,946
	0,0092
	0,090
	-0,070
	-0,889
	0,0049
	0,062
	-0,045
	-0,835
	0,0020
	0,037
	-0,022
	-0,785
	0,0005
	0,017
	0
	-0,737
	0
	0
	0,021
	-0,692
	0,0004
	-0,014
	0,041
	-0,649
	0,0016
	-0,026
	0,060
	-0,609
	0,0036
	-0,036
	0,079
	-0,570
	0,0062
	-0,045
	0,096
	-0,531
	0,0092
	-0,050
	0,113
	-0,496
	0,0127
	-0,056
	0,130
	-0,460
	0,016
	-0,059
	0,146
	-0,428
	0,021
	-0,062
	0,161
	-0,395
	0,025
	-0,063
	-0,331
	 -14,733
	 0,299
	 0,897
Tabla 2. Datos para mínimos cuadrados 
MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS 
Ecuaciones normales:
 (1) ∑logT = nloga + b∑logD 
(2) ∑logDlogT = loga∑logD + b∑logD 
Ecuación ajustada:
y= 0.18x2.18
D.- Grafique: Velocidad-Tiempo y examine. Además, con el ajuste de datos por mínimos cuadrados grafique nuevamente esta recta ajustada y proceda a estudiar los mismo.
Figura 10. Gráfica velocidad vs tiempo
Fuente: Autores
Análisis de la Gráfica: Velocidad – Tiempo
 1.- Relación de Variables
 La velocidad es directamente proporcional al Tiempo.
 V = ct
 2.- Análisis matemático
 𝑚 = 𝑇𝑎𝑛 (𝛼) = = = = 𝑪 
3.- análisis de unidades 
[𝐶] = [] = [ ] = [𝐿 ] 
4.- Ley Física
v =0.4301t-0.4
 E.- Determine la ecuación de esta curva ajustando por mínimos cuadrados
	t
	v
	
	t.v
	0,550
	0,188
	0,302
	0,103
	0,600
	0,220
	0,360
	0,132
	0,650
	0,251
	0,422
	0,163
	0,700
	0,251
	0,490
	0,175
	0,750
	0,283
	0,562
	0,212
	0,800
	0,298
	0,640
	0,238
	0,850
	0,330
	0,722
	0,280
	0,900
	0,346
	0,810
	0,311
	0,950
	0,377
	0,902
	0,358
	1,000
	0,393
	1,000
	0,393
	1,050
	0,408
	1,102
	0,428
	1,100
	0,424
	1,210
	0,466
	1,150
	0,456
	1,322
	0,524
	1,200
	0,471
	1,440
	0,565
	1,250
	0,503
	1,562
	0,628
	1,300
	0,518
	1,690
	0,673
	1,350
	0,534
	1,822
	0,720
	1,400
	0,565
	1,960
	0,791
	1,450
	0,597
	2,102
	0,865
	19
	7,413
	 20,42
	8,025
Tabla 3. Datos para linealizar por mínimos cuadrados
Ecuación ajustada
y = ¿?
F. - Compare las constantes de proporcionalidad obtenidos en los gráficos B y D 
Ecuación B Ecuación D
 x = 0.18t2.18 v = 0.4301x-0.4
Sus constantes tienen una aproximación a uno
G. - Partiendo del grafico v-t deduzaca las expresiones cinematicas que determinan el movimiento rectilineo uniformemente variado 
MRUV
V=
x= 
Utilizamos la expresión de la aceleración:
a==
Multiplicamos ambos miembros:
a=V-
Sabemos que en un MRUA el espacio se puede definir así:
Entonces, teniendo en cuenta la fórmula anterior, sabemos que:
 V= 
 Introducimos la expresión:
 
 H.- Construya un gráfico: Aceleración-Tiempo y estudie.
Figura 11. Gráfica aceleración vs tiempo
Fuente: Autores
1.- Relación de Variables 
La aceleración en cualquier tiempo es aproximadamente el mismo.
 a =0x + t
 2.- Ley Física
 𝑎 = 0,4226 [
VII. CONCLUSIONES
· Una curva puede ser representada de forma lineal utilizando el método del logaritmo.
· La velocidad del aerodeslizador aumenta conforme pasa el tiempo y sigue su trayecto.
· La aceleración es constante a = k.
VIII. RECOMENDACIONES
· Es recomendable realizar varias mediciones para así lograr aproximarse más y tener un margen de error mínimo.
· Se recomienda al momento de realizar la práctica que el aerodeslizador este sobre el colchón de aire para así reducir el desgaste. 
· La presión del aerodeslizador debe ser alta para que el aire evita en lo minimo el rozamiento del cuerpo con la superficie.
 BIBLIOGRAFIA
· Guía Laboratorio de Física. Ecuador. Sangolquí
· Beer. F y Clausen. W. Mecánica Vectorial para Ingenieros Dinámica. Octava Edición. México. Mc Graw Hill 
· A.A (2011) Relacion entre variables. Recuperado de : http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/EDescrip/tema6.pdf
· A.A (2013) Relación entre variables. Recuperado de : https://www.oas.org/DSD/publications/Unit/oea35s/ch39.htm
· Zuñiga, A(2008) Ajuste de una recta por mínimos cuadrados. Recuperado de: http://www.uv.es/zuniga/08_Ajuste_de_una_recta_por_minimos_cuadrados.pdf
· A.A (20010) Movimiento Rectiñineo. Recuperado de : http://recursostic.educacion.es/newton/web/materiales_didacticos/EDAD_4eso_movimiento_rectilineo/impresos/quincena1.pdf
IX. ANEXOS
Tiempo	0.55000000000000004	0.6	0.65	0.7	0.75	0.8	0.85	0.9	0.95	1	1.05	1.1000000000000001	1.1499999999999999	1.2	1.25	1.3	1.35	1.4	1.45	Posicion	5.0999999999999997E-2	6.0999999999999999E-2	7.2999999999999995E-2	8.5999999999999993E-2	9.9000000000000005E-2	0.113	0.129	0.14599999999999999	0.16400000000000001	0.183	0.20300000000000001	0.224	0.246	0.26900000000000002	0.29399999999999998	0.31900000000000001	0.34599999999999997	0.373	0.40200000000000002	Velocidad	0.188	0.22	0.251	0.251	0.28299999999999997	0.29799999999999999	0.33	0.34599999999999997	0.377	0.39300000000000002	0.40799999999999997	0.42399999999999999	0.45600000000000002	0.47099999999999997	0.503	0.51800000000000002	0.53400000000000003	0.56499999999999995	0.59699999999999998	Aceleracion	0.41	899999999999998	0.47099999999999997	0.47099999999999997	0.41899999999999998	0.36699999999999999	0.41899999999999998	0.47099999999999997
0.47099999999999997	0.47099999999999997	0.41899999999999998	0.36699999999999999	0.36699999999999999	0.41899999999999998	0.47099999999999997	0.47099999999999997	0.41899999999999998	0.41899999999999998	0.47099999999999997	0.47099999999999997	s(m)	0.55000000000000004	0.6	0.65	0.7	0.75	0.8	0.85	0.9	0.95	1	1.05	1.1000000000000001	1.1499999999999999	1.2	1.25	1.3	1.35	1.4	1.45	5.0999999999999997E-2	6.0999999999999999E-2	7.2999999999999995E-2	8.5999999999999993E-2	9.9000000000000005E-2	0.113	0.129	0.14599999999999999	0.16400000000000001	0.183	0.20300000000000001	0.224	0.246	0.26900000000000002	0.29399999999999998	0.31900000000000001	0.34599999999999997	0.373	0.40200000000000002	Tíempo
Posicion
s(m)	0.55000000000000004	0.6	0.65	0.7	0.75	0.8	0.85	0.9	0.95	1	1.05	1.1000000000000001	1.1499999999999999	1.2	1.25	1.3	1.35	1.4	1.45	5.0999999999999997E-2	6.0999999999999999E-2	7.2999999999999995E-2	8.5999999999999993E-2	9.9000000000000005E-2	0.113	0.129	0.14599999999999999	0.16400000000000001	0.183	0.20300000000000001	0.224	0.246	0.26900000000000002	0.29399999999999998	0.31900000000000001	0.34599999999999997	0.373	0.40200000000000002	Tíempo
Poscicion
Desplazamiento (m)	
0.55000000000000004	0.6	0.65	0.7	0.75	0.8	0.85	0.9	0.95	1	1.05	1.1000000000000001	1.1499999999999999	1.2	1.25	1.3	1.35	1.4	1.45	5.0999999999999997E-2	6.0999999999999999E-2	7.2999999999999995E-2	8.5999999999999993E-2	9.9000000000000005E-2	0.113	0.129	0.14599999999999999	0.16400000000000001	0.183	0.20300000000000001	0.224	0.246	0.26900000000000002	0.29399999999999998	0.31900000000000001	0.34599999999999997	0.373	0.40200000000000002	
0.55000000000000004	0.6	0.65	0.7	0.75	0.8	0.85	0.9	0.95	1	1.05	1.1000000000000001	1.1499999999999999	1.2	1.25	1.3	1.35	1.4	1.45	0.188	0.22	0.251	0.251	0.28299999999999997	0.29799999999999999	0.33	0.34599999999999997	0.377	0.39300000000000002	0.40799999999999997	0.42399999999999999	0.45600000000000002	0.47099999999999997	0.503	0.51800000000000002	0.53400000000000003	0.56499999999999995	0.5969	9999999999998	Tiempo
Velocidad
a vs t
0.55000000000000004	0.6	0.65	0.7	0.75	0.8	0.85	0.9	0.95	1	1.05	1.1000000000000001	1.1499999999999999	1.2	1.25	1.3	1.35	1.4	1.45	0.41899999999999998	0.47099999999999997	0.47099999999999997	0.41899999999999998	0.36699999999999999	0.41899999999999998	0.47099999999999997	0.47099999999999997	0.47099999999999997	0.41899999999999998	0.36699999999999999	0.36699999999999999	0.41899999999999998	0.47099999999999997	0.47099999999999997	0.41899999999999998	0.41899999999999998	0.47099999999999997	0.47099999999999997	Tiempo
Aceleracion