Funciones numéricas: Velocidad en la síntesis de mRNA en E. coli

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3. Funciones numéricas. Segunda parte.
En el Módulo 1 trabajamos principalmente con modelos lineales y en cómo encontrar el
mejor modelo lineal para un conjunto de datos experimentales. En el Módulo 2 desarrollamos
la definición de función con sus elementos principales y sus propiedades de crecimiento,
decrecimiento, máximos y mínimos. Los problemas biológicos o químicos raramente son
lineales y es por eso que en este Módulo comenzaremos con el estudio de otras funciones.
1 Funciones cuadráticas.
1.1 Velocidad en la síntesis de mRNA.
La bacteria Escherichia coli, que abreviaremos E. coli, es capaz de reproducirse muy rápi-
damente. Bajo condiciones ideales de crecimiento, puede dividirse cada 20 minutos. Esta
capacidad de duplicación está acompañada por la velocidad en la que las células logran
sintetizar el mRNA durante la transcripción. Estudiaremos la relación que existe entre la
velocidad con la que se producen los diferentes componentes interiores de cada célula y el
tiempo que tardan en duplicarse.
La bacteria E. coli es uno de los or-
ganismos patógenos más relevantes
en el humano, tanto en la produc-
ción de infecciones gastrointestina-
les como de otros sistemas (urinario,
sanguíneo, nervioso). Fue descrita
por primera vez en 1885 por Theodo-
re von Escherich, bacteriólogo ale-
mán, quien la denominó Bacterium
coli commune. Posteriormente la ta-
xonomía le adjudicó el nombre de
Escherichia coli, en honor a su des-
cubridor.
El ADN brinda el código genético para todas las proteínas que se usan directa o indirectamente
en todos los aspectos del crecimiento, mantenimiento y reproducción de las células. La síntesis
de proteínas se organiza en dos procesos: transcripción y traducción. Ver Figura 1.
Figura 1: Procesos de transcripción y traducción en la síntesis del ADN.
Transcripción:
La transcripción de un gen bacterial está controlada por una secuencia de pasos donde la
proteína RNA polimerasa lee el código genético y produce un mensaje complementario mRNA
a modo de plantilla o molde. Este mRNA es un boceto con una corta vida útil y sirve para
producir una proteína específica de la célula bacteriana.
Traducción:
La traducción del mRNA en una bacteria comienza rápidamente luego de la transcripción. Los
ribosomas leen el mRNA y ensamblan secuencialmente una serie de aminoácidos (basados en
los elementos específicos leídos) para formar un polipéptido. Se cree que ciertas propiedades
físicas en los átomos hacen que estos polipéptidos se pliegen formando estructuras terciarias
que crean proteínas activas; y frecuentemente estas estructuras terciarias se combinan con
otros elementos para producir otras proteínas o enzimas.
u R
0.6 4.3
1 9.1
1.5 13
2 19
2.5 23
Tabla 1: Datos para la cantidad u de dupli-
caciones por hora y la velocidad de síntesis del
mRNA de R×105 nucleótidos/minuto/célula.
Diferentes tiempos de duplicación celular hacen variar la velocidad de producción de los
componentes internos de la célula. En la Tabla 1 se muestran datos que relacionan la
cantidad de duplicaciones que realiza una bacteria en una hora (medido en duplicaciones/hs)
que denominaremos u, y la velocidad de síntesis de mRNA se determina por R × 105
nucleótidos/minuto/célula. En la Figura 2 se muestran los datos correspondientes de la tabla.
2 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
5
10
15
20
25
u (duplicaciones/hora)
R
(n
uc
le
ót
ic
os
/m
in
ut
o/
cé
lu
la
×
10
5 )
Figura 2: Gráfico para la cantidad u de duplicaciones por hora y la velocidad de síntesis del
mRNA de R × 105 nucleótidos/minuto/célula.
Nos proponemos determinar un modelo lineal que ajuste los datos de la Tabla 1 mediante
mínimos cuadrados.
R = mu + b (1)
Actividad 3.1
a) ¿Están los datos alineados? En caso afirmativo, determinen la ecuación de la recta
correspodiente. En caso negativo, justifiquen analíticamente.
b) De manera similar a la que trabajaron en el Módulo 1, utilicen el Desmos para
realizar el ajuste lineal mediante el método de mínimos cuadrados.
c) Dibujen, en la Figura 2, el modelo lineal encontrado en el item anterior marcando la
ordenada al origen del modelo encontrado.
d) ¿Qué valor de R corresponde a u = 0 duplicaciones por hora? ¿Cuál debería ser el
valor razonable esperable para R en este caso?
�
Según el modelo de ajuste lineal por mínimos cuadrados la
ordenada al origen encontrada resulta ser b ≈ −1.28. Lo que
equivale a −1.28×105 nucleótidos por minuto por célula. Que
no es acorde al sistema real dado que es un número negativo
(la síntesis de mRNA se produce en el proceso de división
celular y debe ser un número positivo porque representa una
cantidad).
Realizaremos entonces un ajuste lineal conmínimos cuadrados
pero imponiendo la condición de b = 0 en modelo (como
se ve en la Figura 3, todas las rectas propuestas pasan por el
origen)
R = mu
lo que hace que sólo necesitemos encontrar el valor de la
pendiente m.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
5
10
15
20
25
probando
Figura 3: Modelos R = mu para ajustar los datos de
la Tabla 1.
1 Funciones cuadráticas. 3
El procedimiento es similar al realizado en el Módulo 1 pero en el Paso 3 debemos
escribir el nuevo modelo propuesto.
Mediante Desmos obtenemos m = 9.13997 como valor de la pendiente para determi-
nar el mejor modelo (según el criterio del error cuadrático medio) lineal que pasa por
el origen por lo que debe ser
R = 0.13997u
Lo que nos proponemos a continuación es desarrollar el procedimiento por el cual podremos
calcular el valor de m mediante procedimientos algebraicos y analíticos sin necesidad de
utilizar software. Esto se debe a que la condición b = 0 transforma el problema reduce el
problema a un único parámetro para calcular: la pendiente m.
R = m u
¿Cómo encontrar "m"para
que el modelo tenga el menor ECM posible?
Escribiremos una expresión para calcular el error cuadrático medio ECM asociado al modelo
anterior y a los datos de la Tabla 1 organizando la información en la siguiente tabla:
u R mu Residuo Residuo2
0.6 4.3 m × 0.6 4.3 − 0.6m (4.3 − 0.6m)2
1 9.1 m × 1 9.1 − m (9.1 − m)2
1.5 13 m × 1.5 13 − 1.5m (13 − 1.5m)2
2 19 m × 2 19 − 2m (19 − 2m)2
2.5 23 m × 2.5 23 − 2.5m (23 − 2.5m)2
Tabla 2: Cálculo de los residuos y los residuos al cuadrado para el modelo R = mu y los datos
de la Tabla 1.
El ECM(m) se calcula como el promedio de los 5 residuos al cuadrado de la Tabla 2
ECM(m) =
(4.3 − 0.6m)2 + (9.1 − m)2 + (13 − 1.5m)2 + (19 − 2m)2 + (23 − 2.5m)2
5
La expresión anterior puede simplificarse desarrollando los binomios al cuadrado como a
continuación:
4 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
(4.3 − 0.6m)2 = (4.3)2 − 2 × 4.3 × 0.6m + (0.6m)2 = 18.49 − 5.16m + 0.36m2
(9.1 − m)2 = (9.1)2 − 2 × 9.1 × 1m + m2 = 82.81 − 18.2m + m2
(13 − 1.5m)2 = (13)2 − 2 × 13 × 1.5m + (1.5m)2 = 169 − 39m + 2.25m2
(19 − 2m)2 = (19)2 − 2 × 19 × 2m + (2m)2 = 361 − 76m + 4m2
(23 − 2.5m)2 = (23)2 − 2 × 23 × 2.5m + (2.5m)2 = 529 − 115m + 6, 25m2
Por lo que
ECM(m) =
18.49 − 5.16m + 0.36m2 + 82.81 − 18.2m + m2 + 169 − 39m + 2.25m2 + 361 − 76m + 4m2 + 529 − 115m + 6, 25m2
5
=
1160.3 − 253.36m + 13.86m2
5
= 232.06 − 50.672m + 2.772m2
Luego de los cálculos anteriores hemos encontrado una fórmula que nos permite calcular el
error cuadrático medio, de manera explícita y directa, de la forma
ECM(m) = 232.06 − 50.672m + 2.772m2 (2)
Actividad 3.2 Considerando los datos de la Tabla 1 y el modelo R = mu
a) Calculen el ECM para valores de m = 8, m = 9, m = 10.
b) Calculen el ECM para los siguientes modelos
R = 9u R = 9.2u R = 9.4u
c) ¿Es posible calcular m para conseguir el valor mínimo absoluto del ECM?
�
La función 2 es una función cuadrática; tiene la forma de polinomio de segundo grado.
Estudiaremos ahora las funciones cuadráticas cuya representación gráfica es una parábola.
m (pendiente del modelo lineal R = mu)
EC
M
(e
rr
or
cu
ad
rá
tic
o
m
ed
io
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 Funciones cuadráticas. 5
1.2 Funciones cuadráticas.
El dominio de las funciones cuadráticas son todoslos números reales. Su forma general es
f : R→ R f (x) = ax2 + bx + c (3)
donde los valores a, b y c se denominan coeficientes. El coeficiente a, denominado coeficiente
principal debe ser distinto de cero (puede ser negativo o positivo).
La gráfica de una función cuadrática es una parábola con forma de ∪ o con forma de ∩ según
sea el signo del coeficiente principal a.
a = 1
a = 12a = 1.5
(a) Con coeficiente a > 0.
a = −1
a = − 12
a = −1.5
(b) Con coeficiente a < 0.
Figura 4: Ejemplos de gráficas de funciones cuadráticas f (x) = ax2 + bx + c según el signo del coeficiente principal.
Nos interesa determinar algunos de sus elementos principales: su vértice y sus intersecciones
con los ejes coordenados. Conociendo estos tres puntos será posible realizar la gráfica de la
parábola con bastante precisión. El vértice se corresponde con el máximo absoluto (en el caso
que a < 0) o mínimo absoluto (en el caso que a > 0). Sus coordenadas pueden encontrarse
completando cuadrados en la expresión 3
f (x) = ax2 + bx + c = a
(
x2 +
b
a
x +
c
a
)
=
= a
[
x2 +
b
a
x +
(
b
2a
)2
−
(
b
2a
)2
+
c
a
]
= a
[(
x +
b
2a
)2
−
b2
4a2
+
c
a
]
= a
(
x +
b
2a
)2
+
4ac − b2
4a
Las coordenadas del vértice serán V =
(
−
b
2a
,
4ac − b2
4a
)
.
Intersección con el eje x:
Calculamos las intersecciones con el eje x resolviendo la ecuación
f (x) = 0 ⇐⇒ ax2 + bx + c = 0
Esta ecuación tendrá 0, 1 o 2 soluciones reales según el signo del discriminante b2 − 4ac.
6 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
• Si b2 − 4ac < 0: no hay soluciones reales. Por lo tanto la gráfica de la función f no
intersecta al eje x.
• Si b2 − 4ac = 0: hay una única solución real dada por
x1 =
−b
2a
La intersección es el punto (x1, 0).
• Si b2 − 4ac > 0: hay dos soluciones reales distintas dadas por
x1 =
−b +
√
b2 − 4ac
2a
x2 =
−b −
√
b2 − 4ac
2a
.
Las intersecciones son los puntos (x1, 0) y (x2, 0).
Los valores x1 y x2 se denominan
raíces de la función f .
Intersección con el eje y:
Lo que usualmente se denomina ordenada al origen. La calculamos evaluando
f (0) = a02 + b0 + c = c.
La intersección con el eje y está dada por el punto (0, c).
−4 −3 −2 −1 1 2
−4
−2
2
4
6
0
Vértice
Figura 5: Gráfica de f (x) = x2 + 2x − 3 y
sus elementos principales.
� Ejemplo 1.1
La función cuadrátrica f (x) = x2 + 2x − 3 tiene una gráfica parabólica cuyo vértice se
encuentra en el punto
V =
(
−
b
2a
,
4ac − b2
4a
)
=
(
−
2
2
,
4(−3) − 4
4
)
= (−1,−4)
Corresponde a un mínimo absoluto porque a = 1 es positivo.
Dado que el discriminante b2 − 4ac = 4 − 4(−3) = 16 es positivo se tienen dos
intersecciones con el eje x. Las raíces son
x1,2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=
−2 ±
√
16
2
⇒ x1 = 1 x2 = −3
Las intersecciones con el eje x son (−3, 0) y (1, 0). Por otro lado, la intersección con el
eje y es (0,−3). La gráfica de la función se presenta en la Figura 5.
�
Actividad 3.3 Determinen los elementos de las siguientes funciones cuadráticas y realicen
sus gráficas.
a) f (x) = −x2 + x + 2 b) g(x) = x2 + 23 c) h(x) = 2x
2 − 12x + 18
�
Actividad 3.4 Determinen el valor de m para el valor mínimo absoluto del ECM(m) en el
estudio de síntesis de mRNA. ¿Cuál es el modelo lineal resultante en este caso que ajusta
los datos de la Tabla 1 mediante mínimos cuadrados?
�
Día Longitud (en mm)
6 67
7 75
8 85
Tabla 3: Longitud de la hoja de roble
según el día del mes de mayo.
Actividad 3.5 Se midió la longitud de una hoja de roble en días sucesivos del mes de mayo.
En la Tabla 3 se presenta el registro de 3 días.
a) Tomando D como el día del mes de mayo y L como la longitud de la hoja (en
milímetros) se proponen los modelos
Modelo 1: L = 10.D Modela 2: L = 11.D
2 Funciones polinomiales. 7
Según el criterio del error cuadrático medio, ¿cuál de los dos modelos es el más
adecuado?
b) Determine el modelo lineal de la forma
L = m.D
que mejor ajusta los datos según el criterio del error cuadrático medio.
�
Cantidad de
derrames X
Cantidad de
petróleo Y
1973 36 84.5
1976 29 204.2
1977 49 213.1
1979 65 723.5
Tabla 4: Cantidad de petróleo Y en
4 años distintos en los que se produ-
jeron X cantidad de derrames.
Actividad 3.6 En la Tabla 4 se presentan los datos de la cantidad (X) de derrames accidentales
de petróleo y la cantidad (Y ) de petróleo derramado (en millones de metros cúbicos) en 4
años distintos de la década del 70.
a) Escriban la fórmula de la función E MC(m) que mide el error cuadrático medio
asociado a un modelo lineal de la forma
Y = mX
para los datos recopilados en la tabla.
b) Determinen, utilizando lo anterior, el modelo lineal de la forma
Y = mX
que mejor ajusta los datos.
c) Según el modelo encontrado, estimen la cantidad de petróleo derramado en el año
1980 en el que se produjeron 32 accidentes de derrames.
�
2 Funciones polinomiales.
En el desarrollo del estudio de la velocidad en la síntesis de mRNA hemos recurrido a las
funciones cuadráticas porque buscamos encontrar el mínimo absoluto de la función ECM(m)
al intentar hacer un ajuste lineal por mínimos cuadrados de la forma R = mu.
Las funciones cuadráticas y las funciones lineales son casos particulares de las funciones
polinomiales: aquellas que tiene su forma algebraica como un polinomio respecto a la variable
independiente.
� Definición 2.1 — Funciones polinomiales.
Para n un entero positivo o cero, una función polinomial de grado n es una función definida
por una ecuación de la forma
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn,
donde los números ai son números constantes llamados coeficientes de P. El coeficiente
principal an debe ser distinto de 0.
Se dice que el polinomio nulo P(x) = 0 no tiene grado.
El dominio de una función polinomial es todo R.
Las funciones polinomiales permitirán construir modelos para situaciones reales donde los
modelos lineales no sean adecuados.
8 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
� Ejemplo 2.1 — Funciones polinomiales de grado 0 - Funciones constantes.
Las funciones polinomiales de grado 0 tienen la forma general
P(x) = a0 donde a0 es un número constante
Por lo tanto su gráfica, ver Figura 6, es una recta con pendiente 0 (recta horizontal) y
ordenada al origen a0.
Ejemplos
f (x) = 3 g(x) = −1 h(x) = π
�
a0
Figura 6: Gráfica de P(x) = a0 (fun-
ción constante).
� Ejemplo 2.2 — Funciones polinomiales lineales y cuadráticas.
Las funciones lineales se corresponden con funciones polinómicas de grado 1. Las
funciones cuadráticas se corresponden con funciones polinómicas de grado 2. �
� Ejemplo 2.3 — Monomios.
Para estudiar en forma general las funciones polinómicas de cualquier grado se toma
como punto de partida el estudio de funciones polinomiales con un único término (el
asociado al coeficiente principal). Son las funciones de la forma
P(x) = xn
que se clasificarán en 2 grupos: las que corresponde a grado n par y las que corresponden
a grado n impar. En las Figuras 7 y 8 se presentan varios ejemplos.
�
1−1
1
(a) Con grado n = 2.
1−1
1
(b) Con grado n = 4.
1−1
1
(c) Con grado n = 6.
1−1
1
(d) Con grado n = 8.
Figura 7: Funciones polinómicas de la forma f (x) = xn con grado n un número par.
Actividad 3.7 Determinen la imagen de las funciones f (x) = xn según sea grado n par o
impar. �
Las funciones polinómicas se usan para construir modelos sencillos porque sólo requieren
operar con sumas y productos. Igual que para los modelos lineales, existen rutinas o algoritmos
que permiten ajustar un modelo polinomial a un conjunto de datos por medio de mínimos
cuadrados. Sin embargo, aparecen dificultades algebraicas porque, por ejemplo, no es sencillo
determinar las raíces de una función polinómica de grados mayor a 2.
3 Funciones racionales. 9
1
1
(a) Con grado n = 1.
1
1
(b) Con grado n = 3.
1
1
(c) Con grado n = 5.
1
1
(d) Con grado n = 7.
Figura 8: Funciones polinómicas de la forma f (x) = xn con grado n un número impar.
Actividad 3.8 Determinen las raíces de las siguientes funciones polinomiales:
a) f (x) = x3 − 3x2 − 10x b) g(x) = x6 − 64c) h(x) = x4 − 5x2 + 4
�
3 Funciones racionales.
El siguiente paso para ampliar el conjunto de funciones con las que trabajaremos es definir las
funciones racionales:
� Definición 3.1 — Función racional.
Una función racional f es el cociente entre dos polinomios. La forma general es
f (x) =
P(x)
Q(x)
donde P(x) y Q(x) son dos polinomios.
El dominio de f está determinado por aquellos números reales x para los cuales Q(x) , 0
Dom( f ) = {x ∈ R : Q(x) , 0} .
3.1 Funciones f (x) = x−n (tomando n un número entero positivo)
Como casos particulares sencillos se tienen las funciones racionales de la forma
f (x) =
1
xn
siendo n algún número natural. Por ejemplo, las funciones
f (x) =
1
x
g(x) =
1
x2
h(x) =
1
x3
r(x) =
1
x4
La gráfica de la función f (x) =
1
x
forma una curva en el plano denomi-
nada hipérbola.
En todos los casos, el dominio natural de estas funciones es (−∞, 0) ∪ (0,+∞).
Las funciones se clasificarán en 2 grupos: el grupo correspondiente a n par y el grupo
correspondiente a n impar. Ver las Figuras 9a y 9b donde se presentan los ejemplos f (x) =
1
x
y g(x) =
1
x2
.
10 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
y =
1
x
(a) Con n = 1.
y =
1
x2
(b) Con n = 2.
Figura 9: Funciones f (x) = x−1 y g(x) = x−2.
Como se observa en las gráficas, estas funciones tienen dos comportamientos asintóticos.
Cuando desarrollemos las ideas de
límite de una función volveremos so-
bre estos asuntos de comportamien-
to asintótico. Por ahora presentamos
las funciones con sus gráficas para
poder identificarlas.
Asíntota vertical:
La gráfica de la función es asintótica a la recta vertical x = 0. Tanto del lado de los valores de
x cercanos a cero y positivos, como los valores de x cercanos a cero y negativos.
Asíntota horizontal:
La gráfica de la función es asintótica a la recta horizontal y = 0. Tanto para valores grandes
de x y positivos como para valores grandes de x y negativos.
3.2 Función homográfica.
Otros ejemplos particulares e importantes de funciones racionales son las funciones denomina-
das funciones homográficas.
� Definición 3.2
Una función homográfica f es el cociente de dos funciones lineales. La forma general es
f (x) =
ax + b
cx + d
donde c y d no pueden ser 0 a la vez, y debe ser ad − bc , 0.
Si c = 0 entonces su dominio natural es todo R.
Si c , 0 entonces su dominio natural es el conjunto
{
x ∈ R : x , − dc
}
.
Si fuera el caso que ad − bc = 0
la función se reduce a una función
constante.
Para c = 0, se trata de una función lineal por lo que su gráfica será una recta.
Para c , 0 la gráfica será una hipérbola similar a la gráfica de la función g(x) = 1x
• Tendrá a la recta vertical x = −
d
c
como asíntota vertical.
• Tendrá a la recta horizontal en y =
a
c
como asíntota horizontal.
• Una vez determinados los elementos anteriores falta averiguar cómo será la orientación
de las ramas de la hipérbola. Ver Figuras 10. Una manera de averiguar cuál de las dos
opciones corresponde puede ser evaluando la función en algún valor cualquiera x del
dominio.
4 Funciones radicales. 11
Figura 10: Las dos opciones posibles de orientación de las ramas de la hipérbola.
x = 12
y = 1
−1
Figura 11: Función f (x) = 2x + 1
2x − 1
.
� Ejemplo 3.1
La función f (x) =
2x + 1
2x − 1
es una función homográfica.
Su dominio natural es R −
{ 1
2
}
.
La recta y = 1 es la asíntota horizontal y la recta x = 12 es la asíntota vertical. Por
último, evaluamos f (0) = −1
�
Actividad 3.9 Realicen las gráficas de las siguientes funciones identificando sus elementos
principales (asíntotas y orientación de las ramas de la hipérbola).
a) f (x) =
−x + 2
x − 3
b) g(x) =
10x
2 + x
�
Actividad 3.10 Determinen una función homográfica que tenga asíntota vertical en la recta
x = 0 y asíntota horizontal en la recta y = 2. �
4 Funciones radicales.
Por último, consideraremos las funciones radicales que son aquellas de la forma
f (x) =
√
x g(x) = 3
√
x h(x) = 8
√
x
f (x) =
√
x
Figura 12: Gráfica de f (x) =
√
x.
f (x) = 3
√
x
Figura 13: Gráfica de g(x) = 3
√
x.
� Definición 4.1 — Funciones radicales.
La forma general de las funciones radicales es
f (x) = n
√
x = x1/n Para n un número entero positivo.
El dominio natural correspondiente depende del valor de n.
• Si n es par entonces el dominio natural es [0,+∞).
• Si n es impar entonces el dominio natural es todo R.
Considerando que y = x1/n es equivalente a yn = x (para valores de x ≥ 0) podemos utilizar
los desarrollos del Ejemplo 2.3 para proponer las gráficas de estas nuevas funciones. Ver los
Ejemplos f (x) =
√
x y g(x) = 3
√
x en las Figuras 12 y 13.
12 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
5 Composición de funciones.
Consideraremos ahora una forma muy importante de combinar funciones para obtener una
nueva función. Por ejemplo, si consideramos las funciones f (x) =
√
x y g(x) = x2 + 1, se
puede definir una nueva función h como,
h(x) = f (g(x)) = f
(
x2 + 1
)
=
√
x2 + 1
La función h está compuesta por las funciones f y g de la siguiente manera:
Se forma una cadena que agarra primero el valor x para calcular el valor g(x); y luego, ese
resultado, se usa para calcular el valor f (g(x))
x g(x) f (g(x))
g f
La función h(x) es una función compuesta por las funciones g y f en forma de cadena.
x g(x) f (g(x))
g f
h
� Definición 5.1 — Composición de funciones.
Si f y g son dos funciones numéricas entonces se puede realizar la composición de g con
f formando una nueva función h de la forma
h(x) = f (g(x))
El dominio natural de la función h está determinado por los números x que están en el
dominio de g y tales que g(x) pertenece al dominio de f . Simbólicamente queda
Dom(h) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom( f )}
La composición h se escribe f ◦ g.
Cuando escribimos f ◦ g estamos pensando que primero usamos la función g y luego
usamos la función f .
( f ◦ g)(x) = f ( g(x) ).
Se lee f ◦ g = “g compuesta con f " (se lee al revés de cómo se escribe).
Comenzamos con un x en el dominio de g y calculamos g(x). Si g(x) está en el dominio
de f , entonces calculamos el valor f (g(x)). Por eso decimos que el dominio de f ◦ g es el
conjunto de todos los x en el dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f .
x
Entrada
g
g(x)
f
f (g(x))
Salida
f ◦ g
Figura 14: Composión f ◦ g.
� Ejemplo 5.1
La función h(x) =
√
x4 + 2 es composición de f (x) =
√
x y g(x) = x4 + 2.
Sabiendo que Dom( f ) = [0,+∞) y Dom(g) = R podemos calcular el dominio de h
planteando
Dom(h) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom( f )} =
{
x ∈ R : x4 + 2 ≥ 0
}
= R
�
6 Ejercitación 13
Actividad 3.11 Consideren las mismas funciones que en el Ejemplo 5.1
a) Calculen la composición g ◦ f .
b) Determinen su dominio natural.
c) ¿Obtuvieron los mismos resultados que en el Ejemplo 5.1?
�
La Actividad 3.11 permite concluir
que la composición de funciones no
cumple la ley conmutativa. En ge-
neral se tendrá que f ◦g y g ◦ f
serán dos funciones distintas.
� Ejemplo 5.2
Si consideramos f (x) = x2 y g(x) = x − 4 y calculamos las funciones compuestas
f ◦ g y g ◦ f se obtienen
( f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 4) = (x − 4)2
(g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(x2) = x2 − 4
Dado que los dominios naturales de f y g son todos los reales entonces los dominios
naturales de f ◦ g y g ◦ f también serán todos los reales. �
� Ejemplo 5.3
Si consideramos T(r) =
√
−r + 2 y M(s) =
√
s calcularemos M ◦T y determinaremos
su dominio natural.
(M ◦ T)(r) = M(T(r)) = M
(√
−r + 2
)
=
√
√
−r + 2 = 4
√
−r + 2
Y en cuanto al dominio se tiene Dom(M) = [0,+∞) y Dom(T) = (−∞, 2]; por lo tanto,
Dom(M ◦ T) = {r ∈ Dom(T) : T(r) ∈ Dom(M)}
=
{
r ∈ (−∞, 2] :
√
−r + 2 ∈ [0,+∞)
}
= (−∞, 2]
�
Actividad 3.12 Considerando las funciones M y T del Ejemplo 5.3, calculen
a) T ◦ M b) T ◦ T c) M ◦ M
�
C La composición de funciones puede hacerse con más funciones si fuera necesario.
Pueden tomar tres o más funciones y componerlas. Por ejemplo, la función compuesta
f ◦ g ◦ h está definida como
( f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))).
6 Ejercitación
Ejercicio 3.1 Una pelota selanza verticalmente con una velocidad de 11 m/s desde el nivel
del suelo (altura = 0). La altura h medida en metros de la pelota en cada instante t medido
en segundos está determinada por la función h(t) = 11t − 10t2.
a) Realicen la gráfica de la función h.
b) Encuentren la altura máxima que alcanza la pelota.
c) ¿En qué instante la pelota vuelve a caer al piso?
�
14 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.
Ejercicio 3.2 Realicen las gráficas y marquen las intersecciones encontradas en el Ejercicio
2.8 del Módulo 2. �
A c
0.12 0.05
0.32 0.14
0.5 0.21
0.66 0.3
Tabla 5: Concentración c en miliMo-
lares y absorbancia A de una mues-
tra.
Ejercicio 3.3 Un espectrofotómetro usa la ley de Lambert-Beer para determinar la concen-
tración de una muestra c basado en su absorbancia A. La ley establece que se satisface una
relación lineal
c = mA
donde m es la pendiente de la recta.
La Tabla 5 recolecta datos para la concentración c (en miliMolar) y la absorbancia A de una
muestra.
a) Determinen una expresión para ECM(m), error cuadrático medio dependiente del
valor de la pendiente m en el modelo lineal propuesto.
b) Realicen el gráfico de ECM(m). Determinen la recta correspondiente al mejor ajuste
lineal.
c) Con el ajuste encontrado determinen la concentración de dos muestras desconocidas
cuyas absorbancias son A = 0.45 y A = 0.62.
�
Para resolver desigualdades de la
forma
(x − 4)2 − 3 > 0
o de la forma
(x + 1)2 < 7
puede ser útil recordar las siguien-
tes equivalencias (para valores de a
positivos):
u2 > a
u ∈ (−∞,−
√
a) ∪ (
√
a,+∞)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
u2 < a
u ∈ (−
√
a,
√
a).
Ejercicio 3.4 Un rectángulo tiene largo l, ancho a y un perímetro de 40 cm.
a) Determinen una expresión del ancho a como función del largo l.
b) Determinen una expresión para el área del rectángulo en función del largo l (únicamente
con esa variable independiente).
c) Realicen el gráfico de la función anterior y determinen qué valor de l produce que el
rectángulo tenga la mayor área posible.
�
Ejercicio 3.5 Determinen el dominio de las siguientes funciones:
a) f (x) =
√
8 − 2x b) h(x) =
√
1 − x2 c) g(x) =
√
8 − 2x − x2
�
Ejercicio 3.6 Encuentren, para cada caso, funciones f (z) y g(x) tales que las siguientes
funciones h(x) puedan escribirse como f (g(x)).
a) h(x) = (1 + x2)3 b) h(x) =
√
x3 + 3 c) h(x) =
1
x2 − 2x + 1
�
Ejercicio 3.7 Calculen las composiciones, f (g(x)), de los siguientes pares de funciones. En
cada caso especifiquen el dominio de la función compuesta. Propongan una gráfica de la
función compuesta (pueden utilizar el Geogebra).
a) f (z) = z − 1 g(x) = 2x + 1 b) f (z) =
1
1 + z
g(x) = x2
c) f (z) =
z
1 + z
g(x) =
x
1 − x
d) f (z) =
1
z
g(x) = 1 + x2
e) f (z) =
z
1 − z
g(x) =
x
1 + x
f) f (z) =
√
z g(x) = x2 − 1
�
6 Ejercitación 15
Ejercicio 3.8 Usen la información de la Tabla 6 para calcular cada expresión
a) f (g(1)) b) g( f (1)) c) f ( f (1)) d) g(g(1))
e) (g ◦ f )(3) f) ( f ◦ g)(6)
�
x 1 2 3 4 5 6
f (x) 3 1 4 2 2 5
g(x) 6 3 2 1 2 3
Tabla 6: Tabla de valores de f y g.
Ejercicio 3.9 Usen las gráficas de f y g, Figura 15, para evaluar cada expresión en los casos
que sea posible (en los casos que no sea posible expliquen por qué).
a) f (g(2)) b) g( f (0)) c) ( f ◦ g)(0)
d) (g ◦ f )(6) e) (g ◦ g)(−2) f) ( f ◦ f )(4)
�
Figura 15: Gráficas de las funciones f y
g.
	3 Funciones numéricas. Segunda parte.
	1 Funciones cuadráticas.
	1.1 Velocidad en la síntesis de mRNA.
	1.2 Funciones cuadráticas.
	2 Funciones polinomiales.
	3 Funciones racionales.
	3.1 Funciones f(x)=x-n (tomando n un número entero positivo)
	3.2 Función homográfica.
	4 Funciones radicales.
	5 Composición de funciones.
	6 Ejercitación