Apunte-Torsion-2005

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1 
 
 
Facultad de Ingeniería 
Universidad Nacional de La Plata 
 
 
ESTRUCTURAS IV 
 
 
TORSION 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autores: 
 Ing. Marcos D. Actis 
 Ing. Alejandro J. Patanella 
 Ing. Jorge Ortalli 
 
 
 
 
2005 
2 
 
NOCIONES BÁSICAS DE TORSIÓN 
 
 
ESTRUCTURAS ESPACIALES. GENERALIDADES. 
 
Analizando el movimiento de un cuerpo en el espacio se puede afirmar que en un caso 
general tendrá una traslación según una dirección dada y una rotación alrededor de un eje 
cualquiera. Para poder describir ambos se adopta una terna de ejes ortogonales X, Y, Z 
quedando entonces definidos dichos movimientos por medio de sus componentes según cada 
uno de los tres ejes. Resulta así que el movimiento de un cuerpo en el espacio queda definido 
cuando se definen seis parámetros que son tres traslaciones y tres rotaciones según los tres ejes 
de referencia. Por esta razón se afirma que un cuerpo en el espacio tiene seis grados de libertad. 
 
De lo expuesto se concluye que para asegurar el equilibrio de un cuerpo en el espacio es 
necesario limitarle las seis posibilidades de movimiento vistas, es decir se necesitan seis 
vínculos adecuadamente ubicados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si en el cuerpo de la fig.la, se colocan en el punto A, tres barras no coplanares queda ese 
punto fijo. Con esto el cuerpo no tendrá posibilidades de traslación pero podrá rotar alrededor de 
cualquier eje que pasa por el punto A. Colocados en B dos vínculos como se indican, queda 
como única posibilidad de movimiento la rotación del cuerpo alrededor del eje AB, es decir que 
el vínculo que resta debe agregarse de forma que impida esta rotación, por lo tanto podrá estar 
ubicado en cualquier parte a condición que su dirección no corte al eje AB. 
 
Si el vínculo en la dirección Z en B hubiese estado en la dirección Y (tal como se muestra 
en la fig.lb) el cuerpo podría tener una rotación alrededor de A en la dirección X (infinitésima 
hasta que la biela en cuestión se apartara de la dirección Y) y una rotación alrededor de AB en la 
dirección Y, o sea que todavía faltarían dos vínculos más para impedir estos movimientos. Esto 
es lo que se quiere remarcar cuando se dice que se necesitan seis vínculos adecuadamente 
puestos. 
 
Otro ejemplo de vínculo mal colocado es el caso de cuatro barras concurrentes a un 
punto, ya que para fijarlo son suficientes solo tres, siendo la cuarta superabundante. 
El problema consiste en no permitir que haya una recta que corte a las seis barras porque 
en ese caso dicha recta sería un eje de rotación del cuerpo. 
A1 
D 
D1 C1
B
C
A 
B1 A1
D
D1 C1 B
C 
A
B1
Fig.1a Fig.1b 
Z 
Y 
X 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el caso de la fig.2a no está impedido el giro alrededor de AD, mientras que en la 
fíg.2b no está impedido el giro alrededor de BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la fig.3 se puede observar que la rotación según Z alrededor de BB1 no está impedida 
porque la recta paralela a Z por B cruza en este punto a las bielas 5 y 6, y a 1, 2, 3 y 4 en el 
infinito. En general se puede afirmar que no más de tres bielas deben ser paralelas. 
 
Vista ya la manera de vincular un cuerpo para asegurar el equilibrio se verá la forma de 
determinar las reacciones de estos vínculos. Evidentemente decir que no hay traslaciones ni 
rotaciones alrededor de cada uno de los tres ejes significa decir que las acciones que dan lugar a 
estos movimientos son nulas: 
 
 ∑Fx = 0 ∑Mx = 0 
 ∑Fy = 0 ∑My = 0 
 ∑Fz = 0 ∑Mz = 0 
Las ecuaciones (1) son las ecuaciones generales de equilibrio de un cuerpo en el espacio, 
en las cuales figurarán como incógnitas las reacciones de los vínculos correspondientes. 
 
Z 
Y 
X 
A1 
D 
D1 C1 B
C
A 
B1 A1
D
D1 C1 B
 C
A
B1
Fig.2a Fig.2b 
A1
D 
D1 C1 B
C
A
B1
Fig.3
(1) 
4 
Ejemplo : 
 
En el cuerpo de la fig.4 calcular las reacciones en las bielas 1 a 6. 
 
Lo primero que se hace es eliminar los vínculos de manera de poner en evidencia las 
reacciones que los mismos ejercen sobre la estructura, suponiendo para ellas un sentido 
determinado, por ejemplo según las direcciones positivas de los ejes de referencia. Se plantean 
luego las ecuaciones de equilibrio (1) de donde se obtienen los valores de dichas reacciones, con 
la salvedad que si el signo es positivo significa que el sentido supuesto es correcto, mientras que 
si el signo es negativo el sentido correcto es contrario al supuesto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el ejemplo se tiene: 
 
∑Fx: S2 + S4 = 0 
∑Fy: S1 - P2 = 0 
∑Fz: S3 + S5 + S6 - P1 = 0 
∑M(DC)y: -Pl·2 + S6·2 = 0 
 ∑M(AD)x: P2·l + S6·2 + S5·2 = 0 
 ∑M(DD1)z: P2·2 -S4·2 = 0 
 
de donde: 
 S1 = 2 
 S2 = -2 
 S3 = 2 
 S4 = 2 
 S5 = -2 
 S6 = 1 
 
Para estudiar los esfuerzos característicos que se transmiten de sección a sección se 
trabaja con una terna de ejes x, y, z que siempre conserva la misma ubicación relativa respecto 
de la sección, es decir que ya no se trata de una terna fija, como la utilizada para calcular las 
reacciones, sino que es móvil de sección a sección. 
 
S1 
A1
D 
D1 C1
B
C
A
B1
Fig.4 
Z 
Y 
X
P1=1
P2=2 
S4 
S2 
S5 
S6 
1m 
2m 
2m 
6 
1 
2 
3 
4 
5 
S3 
5 
Considérese la estructura de la fig.5 empotrada en la sección A, es decir que en A existe 
un vínculo que restringe las seis posibilidades de movimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La fig.6 muestra los esfuerzos que se producen en la sección S1 entre C y B, donde se 
tienen: 
 
-Un esfuerzo de corte Qz = - Pl 
-Un momento flector My = +Pl·dl 
-Un esfuerzo de corte Qy = +P2 
-Un momento flector Mz = +P2·dl 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir que la sección S1 estará sometida a un esfuerzo de flexión en el plano de la 
estructura debido a la carga P2 y a un esfuerzo de flexión en el plano normal a la misma debido a 
la carga P1, en otras palabras la sección S1 estará sometida a flexión oblicua. 
 
La fig.7 muestra los esfuerzos existentes en la sección S2, en donde se tienen: 
 
 -Un esfuerzo axil N = +P2 
 -Un momento flector Mz = +P2·1m 
 -Un esfuerzo de corte Qz = - Pl 
 -Un momento flector My = +Pl·d2 
 -Un momento torsor Mx = +Pl·1m 
 
El diagrama completo de esfuerzos se puede observar en las fig.8a y 8b. 
 
 
 
 
 
1 m 
z
x
y 
z
y x 2 m 
d2 
d1 
A
P1 
C B
Fig.5 
P2 
x 
x
z 
y 
Mz 
My 
P2 
P1 
z
y My 
Mz 
Mx 
P2 
P1 
Fig.6 Fig.7 
A 
P2 + P2 Qy 
B C B 
+ N 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así se puede analizar cualquier estructura; teniendo en cuenta que si actúa una carga P que 
forma un ángulo con el plano de la misma se puede descomponer en una componente normal a 
su plano y otra contenida en su plano, simplificándose de esta manera la determinación de los 
esfuerzos característicos. 
 
Para estudiar el comportamiento de la estructura, es decir calcular las tensiones y las 
deformaciones de las diferentes secciones de la misma, se debe conocer el comportamiento de 
éstas bajo los efectos de cada uno de los esfuerzos que la solicitan. El propósito de este apunte 
es brindar las nociones básicas que permiten el estudio de una sección sometida a los efectos de 
un momento que tiende a provocar un giro alrededor de un eje normal al plano de la misma, que 
es lo que se denomina esfuerzo de torsión o momento torsor. 
 
 
7 
TORSIÓN. 
 
Introducción. 
 
Sea una sección cualquiera como la indicada en la fig.9 sometida a la acción de un 
momento torsor Mt actuante en su baricentro. En el caso más general, en la sección 
considerada, se generará un estado de tensiones compuesto por una tensión normal y dos 
tensiones tangenciales según cada uno de los dos ejes "z" e "y" que contienen a la sección y que 
dan como resultante una reacción igual y contraria al momento torsor exterior solicitante, de 
manera de asegurarel estado de equilibrio. En otras palabras el estado de tensiones interno debe 
ser tal que equilibre a la acción exterior solicitante: 
 
 
 
 
 
 
Acción exterior = Reacción interior 
 
 
 
 
 
 
Escribiendo la igualdad anterior para cada uno de las esfuerzos característicos se obtiene el 
grupo de ecuaciones siguiente: 
 
∫ =⋅ 0dAσ (N = 0) 
∫ =⋅⋅ 0dAzσ (My = 0) 
∫ =⋅⋅ 0dAyσ (Mz = 0) 
0xz dAτ ⋅ =∫ (Qz = 0) 
0xy dAτ ⋅ =∫ (Qy = 0) 
( ) ( )xz xy ty dA z dA Mτ τ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =∫ ∫ (Mx = Mt) 
 
Se observa que existen infinitas soluciones posibles para las distribuciones de las tensiones 
normales σ y tangenciales τ que cumplen con las condiciones de equilibrio, es decir que se está 
ante un problema con un alto grado de hiperestaticidad, y por lo tanto las ecuaciones de 
equilibrio por si solas no bastan para resolver el problema. Es necesario, entonces, formular 
hipótesis respecto del comportamiento de la sección tal como se ha hecho para los demás casos 
de solicitación. 
 
Sin embargo, en el caso de la torsión, como se verá en las discusiones siguientes, no se 
puede formular una hipótesis de validez general, sino que el comportamiento de la sección frente 
a la solicitación de torsión está íntimamente ligado con la forma de aquella. De lo expuesto 
surge la necesidad de continuar el estudio de la torsión para diferentes formas de sección por 
separado. 
x 
z
Mt 
y 
σ 
τxz 
τxy 
Fig.9 
8 
Secciones circulares (Llenas y huecas) 
 
a- Tensiones. 
 
Para el estudio de secciones de este tipo se formulan las dos hipótesis de comportamiento 
siguientes: 
 
-Las secciones se mantienen planas después de la deformación, es decir que se cumple la 
hipótesis de Bernoulli-Navier. 
 
-Los radios originalmente rectos se mantienen rectos después de producida la 
deformación. En otras palabras no se producen distorsiones en el plano de la sección. 
 
Definido así el comportamiento de la sección y teniendo en consideración que el material 
es elástico, es decir que la relación entre tensiones y deformaciones es lineal (Ley de Hooke) se 
verá a continuación como se vinculan las tensiones y las deformaciones con la solicitación 
exterior. 
 
Sea la barra de la fíg.10a sometida a la acción de un momento torsor Mt y considérese un 
elemento de longitud dx. La fig.10b muestra como se deforma ese elemento, teniendo en cuenta 
las hipótesis formuladas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se observa que la sección 2 ha girado un ángulo dф respecto de la sección 1, es decir que 
dф mide la rotación relativa de una sección respecto de la otra. 
 
La distorsión vendrá dada por: 
γ = ds/dx 
 
Además se cumple que: 
γ · dx = r · dф 
 
Entonces: 
dф/dx = γ / r = θ 
 
La relación θ es el giro relativo de dos secciones que están separadas la unidad de 
longitud. A esta magnitud se la llama ángulo específico de torsión. 
Mt 
dx 
Mt 
Fig.10a 
Mt 
Mt 
Fig.10b 
dx 
dф 
ds 
γ
1
2
9 
Teniendo en cuenta como se deforma la sección, se observa en la fig.ll que un punto A de 
la sección sufre un corrimiento normal a su radio y proporcional al mismo, resultando que por la 
ley de proporcionalidad entre tensiones y deformaciones las tensiones tendrán la misma forma 
de variación. 
 
 
 
 G G rτ γ θ= ⋅ = ⋅ ⋅ (2) 
 
 
 
 
 
 
Por la condición de equilibrio de la sección se cumple que: 
 
t
A
r dA Mτ ⋅ ⋅ =∫ 
 
Teniendo en cuenta la ecuación (2) y reemplazando, se obtiene: 
 
2 2
t
A A
G r dA G r dA Mθ θ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =∫ ∫ 
 
La integral no es otra cosa que el momento de inercia polar de la sección Jp, por lo que la 
relación existente entre el ángulo específico de torsión y la solicitación exterior Mt será: 
 
t
p
M
G J
θ =
⋅
 (3) 
 
Esta expresión está indicando que el giro relativo por unidad de longitud (ángulo 
específico de torsión) es directamente proporcional al momento torsor aplicado 
(proporcionalidad directa entre cargas y deformaciones, ley de Hooke) e inversamente 
proporcional al producto G·Jp. Este producto es un indicador de la, oposición de la sección a 
deformarse bajo la acción de un momento torsor Mt dado. Cuanto mayor sea el producto G*Jp 
menor será la deformación para un dado Mt. Se lo denomina rigidez torsional de la sección. Se 
ve así que la deformación está condicionada por las características del material (G) y por la 
geometría de la sección (Jp). 
 
En cuanto a las tensiones, teniendo en cuenta las ecuaciones (2) y (3) se tiene que: 
 
t
p
M r
J
τ = ⋅ (4) 
 
De acuerdo a las hipótesis de comportamiento formuladas, y observando las tres primeras 
de las ecuaciones de equilibrio, es fácilmente demostrable que las tensiones normales σ resultan 
nulas. En cuanto a las tensiones de corte, las mismas se relacionan con el momento torsor 
exterior aplicado, por medio de la ecuación (4). 
τmáx. 
G 
A 
r 
Г 
R 
Fig.11
10 
 
En la fig.12 se ha graficado el estado tensional de una sección circular sometida a la 
acción de un momento torsor Mt. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se observa que: 
 
-Para r = cte es τ =cte, es decir que para un valor dado del radio, la tensión 
tangencial es cte y en cada punto es normal al radio, dado que al girar la sección alrededor 
de su baricentro los corrimientos, y por lo tanto las tensiones, son normales al radio. Las 
tensiones τxy y τxz a que hacen referencia las ecuaciones generales de equilibrio, resultan 
de descomponer la tensión tangencial resultante según las direcciones "y" y "z" de los ejes 
solidarios a la sección. 
 
-Las tensiones tangenciales máximas se producen en el contorno siendo su valor: 
 
 max t
p
M R
J
τ = ⋅ (5) 
 
Teniendo en cuenta que Jp = π·D4/32 y R = D/2 se obtiene para la tensión máxima: 
 
 max 3
16 tM
D
τ
π
⋅
=
⋅
 
 
Observando la distribución de tensiones tangenciales, surge que en las proximidades del 
baricentro de la sección, las mismas toman valores pequeños (ver ecuación (4) y fig.12). Por lo 
tanto el material que se encuentra en dicha zona estará trabajando muy por debajo de sus valores 
admisibles lo que significa un desaprovechamiento del mismo. Para mejorar este aspecto se 
recurre a la utilización de secciones huecas pues, con la misma cantidad de material, se logra 
disponer la mayor parte del mismo en la zona de las máximas tensiones, obteniendo un 
rendimiento de uso significativamente mayor. 
 
Para las secciones de este tipo, como la que se muestra en la fig.13, vale todo lo dicho para 
las llenas, en lo que se refiere al cálculo de las deformaciones y las tensiones: 
 
 tM
G Jp
θ =
⋅
 con Jp = π·(De4-Di4)/32 
 
τmáx. 
Fig.12
τmáx. 
11 
 max
t
e
p
M R
J
τ = ⋅ min t i
p
M R
J
τ = ⋅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: 
 
Comparar el máximo momento torsor que admite una sección circular llena de radio R y 
una sección hueca de radio interior Ri = R/2 y de igual sección que la primera. 
 
1) En el caso de la sección llena: (fig.14) 
 
 
max
t
p
M R
J
τ = ⋅ 
 
4
32p
DJ π ⋅= 
 
3
max 16t adm
DM π τ⋅= ⋅ 
 
2) En el caso de la sección hueca: (fig.15) 
 
 
Ri = R/2 
A = π·R2 
A(sección hueca) = π·(Re2 – Ri2) 
Re = 1.118·R 
Jp = π·(De4 – Di4)/32 
 
 
 
 1.118t tadm e
p p
M MR R
J J
τ = ⋅ = ⋅ ⋅ 
 
τmáx. 
Fig.13 
τmín. 
G 
Re 
Ri 
Fig.14 
R 
Fig.15 
Re 
Ri 
12 
1.118
2
t
adm
p
M D
J
τ ⋅ ⋅=
⋅
 
 
max
2
1.118
p
t adm
J
M
D
τ
⋅
= ⋅
⋅
 
 
Reemplazando se obtiene: 
 
3
max 1.34516t adm
DM π τ⋅= ⋅ ⋅ 
 
Como se observa,a igual sección (igual consumo de material ) se obtiene para la sección 
hueca un momento torsor máximo 34.5% mayor que para la llena. 
 
 
b-Deformaciones. 
 
Para el cálculo de las deformaciones de las sucesivas secciones de una barra sometida a 
torsión se recurre a la expresión del ángulo específico de torsión: 
 
t
p
Md
dx G J
φθ = =
⋅
 
 
Entonces el giro relativo entre dos secciones separadas una distancia dx será: 
 
t
p
Md dx
G J
φ = ⋅
⋅
 
 
y el giro relativo entre dos secciones A y B será: 
 
0
l
t
BA
p
M dx
G J
φ = ⋅
⋅∫ (6) 
 
que debe leerse como el giro de la sección B respecto de la A. 
 
Ejemplo 1: 
 
Sea la barra de la fig.16 empotrada en el extremo A y sometida a la acción de un momento 
torsor en el extremo B. Calcular el giro de la sección B. 
 
 
 
 
 
 
- 
B A 
Fig.16 
Mt 
x l 
13 
0
l
t t
BA
p p
M M ldx
G J G J
φ ⋅= ⋅ =
⋅ ⋅∫ 
 
 
En este caso el giro relativo de B respecto de A coincide con el giro absoluto de B pues el 
giro de A es cero por estar la barra empotrada en ese extremo. 
 
Ejemplo 2: 
 
Si a la barra del ejemplo anterior se la somete además a la acción de un momento torsor 
Mt2 a una distancia "a" del extremo A, actuante en el mismo sentido que el momento Mtl 
aplicado en B (ver fig.17); calcular el giro en B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )1 21
0
l a
t tt
BA
p pa
M MM dx dx
G J G J
φ
+
= ⋅ + ⋅
⋅ ⋅∫ ∫ 
 
( )1 21 t tt
BA
p p
M M aM b
G J G J
φ
+ ⋅⋅
= +
⋅ ⋅
 
 
Ejemplo 3: 
 
En el caso que Mtl y Mt2 tengan sentido opuesto y además el tramo "a" tenga una rigidez 
G·Jpa y el tramo "b" una rigidez G·Jpb tal como se indica en la fig.18, calcular la expresión del 
giro en B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 
B A 
Fig.17 
Mt1 
x a 
Mt2 
b 
Mt1+Mt2 Mt1 
B A 
Fig.18 
Mt1 
x a, Jpa 
Mt2 
b, Jpb 
Mt1 
- 
+ 
Mt2 
14 
El efecto del Mtl será: 
 
( ) 1 11
b a0
l a
t t
BA
p pa
M Mdx dx
G J G J
φ = ⋅ + ⋅
⋅ ⋅∫ ∫ 
 
( ) 1 11 t tBA
p p
M b M a
G J b G J a
φ ⋅ ⋅= +
⋅ ⋅
 
 
El efecto de Mt2 será: 
 
( ) 22
a0
a
t
BA
p
M dx
G J
φ −= ⋅
⋅∫ 
 
( ) 22
a
t
BA
p
M a
G J
φ ⋅= −
⋅
 
 
El giro total del punto B vale: 
 
1 2
b a a
BA t t
p p p
b a aM M
G J G J G J
φ
⎛ ⎞
= ⋅ + − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠
 
 
Suponiendo ahora que dado el momento torsor Mt2 se desee hallar el valor de Mtl que 
anula el giro en B. Igualando a cero la ecuación anterior y despejando el valor de Mtl se tiene: 
 
a
1 2
b a
p
t t
p p
a
G J
M M
b a
G J G J
⋅
= ⋅
⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠
 
 
Este valor de Mtl es el que anula el giro en B, es decir que la estructura se comporta -como 
si en B hubiese un vinculo que impide el giro de la sección, en otras palabras es como sí la barra 
original hubiese estado sometida a la acción de un momento torsor Mt2 y tuviese ambos 
extremos empotrados tal como se indica en la Fig.19. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 4: 
 
Considérese el caso de un momento torsor uniformemente distribuido en toda la longitud 
de la barra tal como se indica en la Fig.20. 
Fig.19 
a, Jpa 
Mt2 
b, Jpb 
B A 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un elemento dx ubicado a una distancia x del extremo A estará sometido a un momento 
torsor m·x y el giro relativo de las dos caras del elemento será: 
 
( )
p
m x
d dx
G J
φ
⋅
= ⋅
⋅
 
 
Por lo tanto el giro relativo entre la sección A y la sección B se obtiene integrando la 
ecuación anterior: 
 
( )
0
l
AB
p
m x
dx
G J
φ
⋅
= ⋅
⋅∫ 
 
2
2AB p
m l
G J
φ ⋅=
⋅ ⋅
 
 
Si en el punto A actuase el total del momento torsor aplicado M = m· l, el giro en A sería: 
 
2
AB
p p
M l m l
G J G J
φ ⋅ ⋅= =
⋅ ⋅
 
 
Es. decir que el giro provocado por el momento uniformemente distribuido es igual a la 
mitad del producido por un momento tersar concentrado en la sección en cuestión y de un valor 
equivalente al resultante total del anterior. 
 
Ejemplo 5: 
 
Calcular el momento torsor máximo que es capaz de soportar la barra de la Fig.21a 
teniendo en cuenta que la sección transversal estará constituida por dos secciones anulares 
rígidamente vinculadas cuyos materiales tienen módulos de elasticidad transversales Gext y Gint 
respectivamente tal como se indica en la Fig.21b. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.20 x 
m 
dx
B A 
M·x 
A 
Fig.21a 
B 
l 
Mt 
Fig.21b 
G 
Re 
Ri 
Gint. 
Gext. 
Rm 
16 
Cada uno de los anillos absorberá una fracción del momento torsor total de forma que: 
 
Mt = Mte + Mti 
 
Hay infinitos valores de Mte y Mti que cumplen con esta condición, es decir que se está 
frente a un problema hiperestático para cuya resolución se debe plantear una ecuación de 
compatibilidad de deformaciones. Es decir, que de las infinitas soluciones posibles de la 
condición de equilibrio, la solución real será aquella para la que las deformaciones sean 
compatibles con la configuración de la estructura. 
 
Por estar ambos anillos rígidamente unidos en cada sección, el ángulo específico de 
torsión será el mismo para ambos, de donde: 
 
e iθ θ= 
 
e i
ext int int
t t
ext p p
M M
G J G J
=
⋅ ⋅
 
ext
e i
int int
ext p
t t
p
G J
M M
G J
⋅
= ⋅
⋅
 
 
Teniendo en cuenta la ecuación de equilibrio: 
 
ext
i
int int
1ext pt t
p
G J
M M
G J
⎛ ⎞⋅
= ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
 
 
Finalmente: 
 
int int
i
int int ext
p
t t
p ext p
G J
M M
G J G J
⋅
= ⋅
⋅ + ⋅
 
ext
e
int int ext
ext p
t t
p ext p
G J
M M
G J G J
⋅
= ⋅
⋅ + ⋅
 
 
Se puede observar que el momento torsor total se reparte proporcionalmente a cada una 
de las rigideces torsionales. 
 
Para calcular el Mtmax que es capaz de soportar la barra, teniendo en cuenta que la tensión 
admisible del anillo exterior es τeadm y la del interior es τiadm, se plantean los Mtimax y Mtemax por 
separado: 
 
adm ext
max
e p
te
e
J
M
R
τ ⋅
= 
adm int
max
i p
ti
m
J
M
R
τ ⋅
= 
17 
Luego con cada uno de estos valores se obtiene un valor de Mtmax de las ecuaciones antes 
halladas, siendo el Mtmax definitivo el que resulte menor de ambos. Con este valor se puede 
calcular el estado tensional de la sección que será como el indicado en la Fig.22. 
 
int
ti
i i
p
M R
J
τ = ⋅ 
 
int
ti
im m
p
M R
J
τ = ⋅ 
 
ext
te
em m
p
M R
J
τ = ⋅ 
 
ext
te
e e
p
M R
J
τ = ⋅ 
 
Secciones de cualquier forma. 
 
a-Introducción. 
 
Las hipótesis formuladas para el estudio de las secciones circulares no son válidas en el 
caso de secciones de forma cualquiera. Comprobaciones experimentales permiten observar que 
la sección ya no se mantiene plana sino que se alabea, es decir que se producen desplazamientos 
longitudinales que desplazan a la sección. Como además este alabeo es distinto para cada tipo de 
sección y dentro de cada tipo, es distinto para diferentes relaciones entre las dimensiones de la 
sección, resulta muy dificultosa establecer una hipótesis de comportamiento como se hiciera en 
el caso de la sección circular. Para estudiar este tipo de problemas la teoría de la elasticidad 
recurre a analizar lo que sucede en un elemento diferencial extraído de la totalidad del sólido en 
equilibrio. 
 
Sobre las caras de ese elemento actuarán las acciones que el resto le transmite para que no 
se altere la condición de equilibrio. Por lo tanto sobre cada cara del sólido habrá aplicada una 
fuerza por unidad de superficie (tensión) en una dirección cualquiera, la que para facilitar el 
análisis se descompone en una tensión normal y dos tensiones tangenciales según cada uno de 
los ejes, tal como se observa en la Fig.23. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Re 
 Rm 
Ri 
Fig.22 
τi 
τim 
τe 
τem 
dy 
x 
y 
yσ 
yz
yz dyy
τ
τ
∂
+ ⋅
∂
 
y
y dyy
σ
σ
∂
+ ⋅
∂
 
yx
yx dyy
τ
τ
∂
+ ⋅
∂
 
zx
zx dzz
ττ ∂+ ⋅
∂
zy
zy dzz
τ
τ
∂
+ ⋅
∂
z
z dzz
σσ ∂+ ⋅
∂
xz
xz dxx
ττ ∂+ ⋅
∂
xy
xy dxx
τ
τ
∂
+ ⋅
∂
x
x dxx
σσ ∂+ ⋅
∂
xzτ
xyτ x
σ
zσ
yxτ
yzτ
zyτ
zxτ
dz 
dx 
z 
B 
O 
A 
Fig. 23 
18 
Si se analiza el equilibrio en la dirección x: 
 
0yxzx xx yx zx zx yx xdy dz dx dz dx dy dz dx dy dy dx dz dx dy dzz y x
ττ σσ τ τ τ τ σ
∂⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
Planteando de igual forma el equilibrio en las direcciones ‘y’ y ‘z’ se obtiene el siguiente 
grupo de ecuaciones: 
 
0yxx zx
x y z
τσ τ∂∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
 
 
0xy y zy
x y z
τ σ τ∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
 
 
0yzxz z
x y z
ττ σ∂∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
 
 
Del equilibrio de momentos se deduce que: 
 
xz zxτ τ= ; yx xyτ τ= ; yz zyτ τ= 
 
Dado que se tienen así tres ecuaciones, con seis incógnitas, se está frente a un problema 
hiperestático, por lo tanto se debe recurrir al planteo de ecuaciones de deformación. 
 
Considerando nuevamente un sólido elemental como el de la Fig.23, y asumiendo que el 
punto O tiene un desplazamiento en el espacio dado por las tres componentes u, v, w según los 
ejes x, y, z respectivamente, un punto adyacente tal como el A tendrá un desplazamiento según x 
dado por u+(∂u/∂x)·dx, y así según ‘y’ y ‘z’. 
 
Entonces el elemento OA sufre una deformación unitaria según x dada por: 
 
 x
u
x
ε ∂=
∂
 
 
Análogamente se tienen las deformaciones unitarias según los ejes ‘y’ y ‘z’ dadas por: 
 
 y
v
y
ε ∂=
∂
 
(7a) 
 z
w
z
ε ∂=
∂
 
 
Para evaluar las distorsiones, considérese por ejemplo la variación del ángulo entre OA y 
OB indicada en la Fig.25, de la misma surge: 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xy
u v
y x
τ ∂ ∂= +
∂ ∂
 
y análogamente las otras distorsiones serán: 
 
xz
u w
z x
τ ∂ ∂= +
∂ ∂
 (7b) 
 
yz
v w
z y
τ ∂ ∂= +
∂ ∂
 
 
Así se tienen seis ecuaciones que relacionan los corrimientos con las deformaciones del 
sólido, de las que se concluye que las deformaciones εx, εy, εz, τxy, τxz, τyz no pueden tomar 
valores independientes unos de otros, porque son funciones de los corrimientos u, v, w. Las 
relaciones que vinculan a las deformaciones entre sí, y que se deducen de las (7a) y .(7b) son las 
denominadas ecuaciones de compatibilidad. 
 
Teniendo en cuenta que se trata de un material elástico, las tensiones y las deformaciones 
están vinculadas por la Ley de Hooke, 
 
( )1x x y zEε σ μ σ σ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ +⎣ ⎦ 
 
( )1y y x zEε σ μ σ σ
⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ +⎣ ⎦ 
 
( )1z z x yEε σ μ σ σ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ +⎣ ⎦ (8) 
 
xy
xy G
τ
γ = 
 
xz
xz G
τγ = 
 
yz
yz G
τ
γ = 
 
B 
A’ 
B’ 
A 
O 
u 
v O’ 
dx
x
uu ⋅
∂
∂
+
x 
y 
dy
y
uu ⋅
∂
∂
+ 
dx
x
vv ⋅
∂
∂
+
dy
y
vv ⋅
∂
∂
+
Fig.25 
20 
Con las ecuaciones de equilibrio (6), con las ecuaciones de compatibilidad que se deducen 
de las (7a) y (7b), y con las ecuaciones de comportamiento (8), se resuelven los diferentes 
problemas; llegando a determinar ecuaciones diferenciales que vinculan las deformaciones con 
las solicitaciones exteriores, que se resuelven para cada caso en particular, teniendo en 
consideración las condiciones de borde del problema abordado. 
 
b. Torsión de Saint Venant 
 
Se estudiará el caso de una barra prismática sometida a torsión mediante dos pares 
torsores aplicados en sus extremos, estando éstos libres para alabearse. Esto es lo que se 
denomina torsión uniforme, torsión libre o torsión de SAINT VENANT. Bajo estas condiciones 
la deformación de la barra torsionada consiste en una rotación de la sección transversal y un 
alabeo de la misma en la dirección del eje longitudinal, siendo este alabeo el mismo para todas 
las secciones de la pieza. 
 
Para el estudio de este caso en particular, y a los efectos de que la rotación utilizada sea 
coincidente con la mayoría de la bibliografía existente sobre el tema, se supondrá a la terna de 
ejes solidaria a la sección orientada de la forma indicada en la Fig.26. 
 
 
 
De acuerdo a la hipótesis de Saint-Venant el giro de una sección cualquiera se efectúa 
alrededor de un punto que puede o no coincidir con el baricentro de la sección llamado centro de 
torsión. 
 
Si consideramos el eje ‘z’ coincidente con el baricentro de la sección (suponemos todos 
los centros de torsión coincidentes con una recta) tenemos: 
 
 
 
u = -r·z·θ·senψ 
 
v = r·z·θ·cosψ 
 
u = -θ·z·y 
 
v = θ·z·x 
x y 
z Fig.26 
A 
A’ 
v 
u u = -r·φ·senψ 
 
v = r·φ·cosψ 
 
Como: φ = z·θ 
φ 
21 
 
El alabeo de la sección es una función de la forma: 
w = θ·A(x,y) 
siendo A(x,y) la función de alabeo. 
 
Con estos corrimientos así definidos, las deformaciones serán : 
 
 0x y z xyε ε ε τ= = = = 
 
xz
w u A y
x z x
τ θ∂ ∂ ⎡ ∂ ⎤⎛ ⎞= + = ⋅ −⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
yz
w v A x
y z y
τ θ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂
= + = ⋅ +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
 
 
Teniendo en cuenta que se trata de un material elástico, es decir que se cumple la ley de 
Hooke, se puede escribir: 
0x y z xyσ σ σ τ= = = = 
 
xz
AG y
x
τ θ ∂⎡ ⎤= ⋅ ⋅ −⎢ ⎥∂⎣ ⎦
 
 
yz
AG x
y
τ θ
⎡ ⎤∂
= ⋅ ⋅ +⎢ ⎥∂⎣ ⎦
 
 
Resulta así que cuando se cumplen las hipótesis formuladas por Saint Venant, no hay 
tensiones normales actuando en la sección transversal, y tampoco se producen distorsiones en 
el plano de la misma (τxy = 0). 
 
De las ecuaciones de equilibrio (6), y en función de los resultados obtenidos, 
reemplazando se obtiene: 
0xz
z
τ∂
=
∂
 
 
0yz
z
τ∂
=
∂
 
 
0yzxz
x y
ττ ∂∂
+ =
∂ ∂
 
 
 
Se define una función F(x,y), llamada función de tensión tal que: 
 
xz
F
y
τ ∂=
∂
 ; yz
F
x
τ ∂= −
∂
 
22 
o sea que: 
F AG y
y x
θ∂ ∂⎡ ⎤= ⋅ ⋅ −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
 
 
F AG x
x y
θ
⎡ ⎤∂ ∂
− = ⋅ ⋅ +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
 
 
Derivando estas dos expresiones respecto de ‘y’ y ‘x’ y restando una de otra se obtiene la 
ecuación general de la torsión de Saint Venant: 
 
2 2
2 2 2
F F G
x y
θ∂ ∂+ = − ⋅ ⋅
∂ ∂
 (9) 
 
La expresión (9) es la ecuación diferencial general de la torsión. Para resolverla es 
necesario establecer las condiciones de borde del problema, así se obtiene la función de tensión 
F(x,y) y con ella las tensiones en cada punto de la sección. 
 
A los efectos de evaluar las condiciones de borde mencionadas considérese un elemento 
sometido a tensiones de corte como se indica en la Fig.27: 
 
Para que se verifique el equilibrio del elemento es condición necesaria que si sobre una 
arista concurre una tensión τxz, sobre esa misma arista debe concurrir una tensión τzx del mismo 
valor actuando sobre la cara normal. 
 
En particular, en una sección cualquiera sometida a la acción de un momento torsor Mt las 
tensiones de corte en correspondencia de los bordes deben ser necesariamente tangentes a los 
mismos, porque de lo contrario, por las razones expuestas, deberían existir sobre la superficie 
libre una tensión tangencial que evidentemente no existe. Lo dicho se visualiza en la Fig.28. 
τzx 
τxz 
τzx 
τxz 
z 
x 
Fig.27 
23 
 
 
Esta es la condición de borde que permite resolver la ecuación diferencial de la torsión 
mostrada anteriormente. 
 
Condiciones de borde. 
 
Dado que no existen fuerzas exteriores en la superficie lateral de la barra, no puede existir 
componente de tensión perpendicular al contorno, por lo tanto la tensión en el borde será 
siempre tangencial al mismo. Considerando un elemento a, b, c: 
 
 
 
 
dS
dx
−=βcos ; 
dS
dy
=αcos 
 
cos cos 0xz yzτ α τ β⋅ + ⋅ = 
 
0=⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
dS
dx
x
F
dS
dy
y
F 
 
0=
∂
∂
S
F 
 
Esto indica que la función F debe ser constante a lo largo del borde. Esta constante puede 
elegirse arbitrariamente; en nuestro caso la consideraremos nula. 
 
τt 
τ=0 
τn=0 
Fig.28
τyz 
τxz 
α 
β 
24 
La condición establecida de que la tensión resultante en el borde debe ser tangente al 
mismo, nos da: 
 
 
 
Esta es la condición de Saint-Venant, que relaciona la forma de la sección con el alabeo de 
la misma. 
 
Veamos ahora que la distribución de tensiones tiene como resultante el momento torsor 
actuante. 
 
( )t yz xz F FM x y dx dy x dx dy y dxdyx yτ τ
∂ ∂
= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
∂ ∂∫∫ ∫∫ ∫∫ 
 
 
Las integrales del segundo miembro puede resolverse por ‘partes’: 
 
( ) 2
1
x
x
y x
F x dx dy dy F x F dx F dx dy
x
⎡ ⎤∂
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦
∫∫ ∫ ∫ ∫∫ 
 
El resultado anterior se debe a que ‘F’ es constante en el borde ⇒ F1 = F2. 
 
Análogamente resulta: 
 ∫∫∫∫ ⋅⋅−=⋅⋅⋅∂
∂ dydxFdydxy
y
F 
 
Por lo tanto: 
 2tM F dx dy= ⋅ ⋅ ⋅∫∫ 
 
 
 
yz
xz
dytg
dx
τ
ϕ
τ
= = 
 
Por lo anteriormente desarrollado 
sabemos que: 
 
y
x
w
x
y
w
dx
dy
⋅−
∂
∂
⋅+
∂
∂
=
θ
θ
 (a) 
Γ
Γ
τxz 
τyz
τ 
τxz
τyz
25 
Caso 1: Sección circular. 
 
Si se supone que ‘w = 0’ la ecuación (a) da: 
x
y
dx
dy
−= ⇒ y · dy + x · dx = 
0 
Integrando se obtiene la ecuación de un círculo: 
 y2 + x2 = c 
 
Con esto queda demostrado que la sección circular no alabea por torsión. 
 
De las ecuaciones de las tensiones tenemos que: 
xz
wG y G y
x
τ θ θ∂⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅⎢ ⎥∂⎣ ⎦
 
yz
wG x G x
y
τ θ θ
⎡ ⎤∂
= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅⎢ ⎥∂⎣ ⎦
 
2 2
xz yzτ τ τ= + 
2 2G x y G rτ θ θ= ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ 
 
( ) ( )2 2 2t yz xz pM x y dx dy G x G y dx dy G r dx dy G Jτ τ θ θ θ θ= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫
 
De donde: 
 t
p
M
G J
θ =
⋅
 ; t
p
M r
J
τ = ⋅ 
 
 
 
 
Caso 2: Sección elíptica. 
 
τyz τ 
Γ cos cosxz G y y
G r r
τ θβ
τ θ
− ⋅ ⋅
= = = =
⋅ ⋅
 
 
Con esto queda demostrado 
que ‘τ’ está en cuadratura con ‘r’. 
 
a 
Supongamos que: 
 W = k · x · y 
Con k = cte. 
 
 
De (a) tenemos: 
 
yyk
xxk
dx
dy
⋅−⋅
⋅+⋅
=
θ
θ 
τxz 
26 
de donde: (k - θ)·y·dy = (k + θ)·x·dx 
 
 (k - θ)·y2 - (k + θ)·x2 = c 
 
 (k + θ)·x2 + (θ - k)·y2 = c 
 
que como se ve es la ecuación de la elipse. 
 
Determinaremos ahora el valor de ‘k’: 
 
Para x = 0 ; y = b, con lo que la ecuación anterior da: (θ - k)·b2 = c 
 
Para y = 0 ; x = a, con lo que la ecuación anterior da: (k + θ)·a2 = c 
 
de donde: 
θ·(b2 – a2) = k·(a2 + b2) 
 
( )
22
22
ba
abk
+
−⋅
=
θ 
por lo tanto: 
( ) yx
ba
abw ⋅⋅
+
−⋅
= 22
22θ 
 
Si calculamos la expresión de las tensiones: 
 
[ ] ( )xz
wG y G k y y k G y
x
τ θ θ θ∂⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅⎢ ⎥∂⎣ ⎦
 
 (b) 
[ ] ( )yz
wG x G k x x k G x
y
τ θ θ θ
⎡ ⎤∂
= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅⎢ ⎥∂⎣ ⎦
 
 
( ) ( )2 2( )t yz xzM x y dx dy G k x k y dx dyτ τ θ θ⎡ ⎤= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦∫∫ ∫∫ 
 
siendo: 
3
2
4x A
a bJ y dA π ⋅= ⋅ = ⋅∫ ; 
3
2
4y A
a bJ x dA π ⋅= ⋅ = ⋅∫ 
 
( ) ( )2 2 2 23 3
2 2 2 24t
b a b aGM a b a b
a b a b
θ θπ θ θ
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − ⋅ −⋅ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅⎨ ⎬+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭
 
 
3 3
2 2t
a bM G
a b
π θ⋅= ⋅ ⋅ ⋅
+
 ; 3 3
2 2
t t
T
M M
a b CG
a b
θ
π
= =
⋅
⋅ ⋅
+
 (c) 
 
Siendo ‘CT’ la rigidez torsional de la sección. 
27 
Si reemplazamos (c) en las (b) obtenemos: 
3
2
xz tM ya b
τ
π
= − ⋅ ⋅
⋅ ⋅
 
 
3
2
yz tM xa b
τ
π
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅
 
 
La relación entre ambas tensiones es proporcional a ‘y/x’, es decir constante a lo largo de 
cada radio y por tanto ‘τ’ resultante tiene dirección constante a lo largo de cada radio; con la 
diferencia que no está en cuadratura con el mismo (salvo en los ejes) como es el caso de la 
sección circular. 
 
 
 
El valor de ‘τmáx’ se obtiene en el punto ‘±B’, donde ‘x = 0’ e ‘y = ±b’: 
 
τyz = 0 ; ( )3
2
xz t máxM ba b
τ τ
π
= − ⋅ ⋅ ± =
⋅ ⋅
 
 
La forma del alabeo puede verse estableciendo diferentes valores a ‘w’, con lo que se 
obtiene una familia de hipérbolas con sus ejes coincidentes con los de la sección: 
 
w = k·x·y 
 
La superficie deformada es un paraboloide hiperbólico. 
 
 
 
 
 
28 
ANALOGÍA DE LA MEMBRANA 
 
Planteo 
 
Si se considera una membrana homogénea de material elástico sometida a una presión ‘p’ 
uniforme y normal a su plano, y a una tensión ‘S’ uniforme en todo su perímetro, tal como se 
indica en la Fig.29a; extrayendo un elemento diferencial y analizando el equilibrio del mismo en 
la dirección vertical (en la Fig.29b se muestran las fuerzas actuantes en la vista), se puede 
escribir: 
 
2 2
2 2 0
w w w w w wp dx dy S dy S dy dx S dx S dx dy
x x x y y y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦
 
 
2 2
2 2 0
w wp dx dy S dx dy S dx dy
x y
∂ ∂
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ =
∂ ∂
 
 
2 2
2 2
w w p
x y S
∂ ∂
+ = −
∂ ∂
 (10) 
 
 
 
 
w 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅⋅ dx
x
w
x
wdyS 2
2
dx
x
w
xx
w
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
x
wdyS
∂
∂
⋅⋅
x
w
∂
∂
dyS ⋅
dyS ⋅
Fig.29b 
Fig.29a 
29 
Comparando la expresión (10) con la ecuación general de la torsión se ve que son 
matemáticamente equivalentes, es decir que las soluciones de ambas tendrán la misma 
formulación matemática. Esto es lo que se denomina una analogía matemática: son dos 
fenómenos que físicamente no tienen nada que ver una con el otro, pero que las ecuaciones que 
los describen son formalmente equivalentes. 
 
Por lo tanto, si se tienen en cuenta adecuadas condiciones de borde, las soluciones que se 
hallen para la deformada ‘w’ de la membrana serán de aplicación para la función de tensión 
F(x,y). Así se puede estudiar el comportamiento de una sección sometida a torsión estudiando la 
deformada de esa membrana. Las condiciones a cumplir por esa membrana para que las 
soluciones que se encuentren sean congruentes con la sección sometida a torsión son: 
 
- El contorno de la membrana debe ser el mismo que el de la sección a estudiar. 
 
- Se debe cumplir que p/s = 2·G·θ a fin de que las constantes a que están igualadas las 
dos ecuaciones matemáticas sean iguales. 
 
Cumpliéndose estas dos condiciones, del estudio de la membrana deformada se pueden 
obtener tres conclusiones: 
 
1.- La tensión de corte resultante en cada punto tendrá la dirección de la tangente a 
la línea de nivel que pasa por el punto análogo de la membrana deformada. 
 
2.- La magnitud de la tensión de corte en dicho punto está dada por el valor de la 
tangente de la línea de máxima pendiente que pasa por el punto análogo en la 
membrana deformada. 
 
3.- El momento torsor aplicado en la sección en estudio es igual al doble del 
volumen comprendido entre la membrana deformada y el plano original de la 
misma. 
 
APLICACIONES DE LA ANALOGÍA DE LA MEMBRANA. 
 
Caso 1: Sección rectangular delgada (b>>a) 
 
Sea la sección de la Fig.30 la que se desea estudiar su comportamiento a torsión aplicando 
la analogía de la membrana. 
 
30 
 
 
Como primer paso se elige una membrana que tenga el. contorno de la sección dada. 
Como ésta es suficientemente delgada se puede suponer sin cometer demasiado error que la 
deformada de esta membrana será una superficie cilíndrica salvo en las zonas aledañas a los 
lados menores. La directriz de esta superficie cilíndrica será un parábola, de donde la flecha 
vendrá dada por: 
S
apf
⋅
⋅
=
8
2
 
 
La tangente de la línea de máxima pendiente será: 
 
2
2
a
ftg ⋅=φ 
es decir: 
S
aptg
⋅
⋅
=
2
φ 
 
Dado que se debe cumplir que p/S = 2·G·θ. 
 
Por la conclusión 2.- se tiene que la tensión de corte máxima es: 
 
 τmax = a·G·θ 
 
El volumen entre la membrana deformada y el plano original es: 
 
V = 2/3·f·a·b 
 
S
bapV
⋅
⋅⋅
=
12
3
 
 
Otra vez teniendo en cuenta que p/S = 2·G·θ y que de acuerdo a la conclusión 3.- 
es Mt = 2·V. 
 
Mt = 1/3·G·θ·a3·b 
Fig.30 
31 
 
Esdecir que el ángulo específico de torsión y la tensión tangencial máxima vendrán dados 
por: 
( ) 31 3
tM
b a G
θ =
⋅ ⋅ ⋅
 
 
max 21
3
tM
b a
τ =
⋅ ⋅
 
 
A medida que ‘b’ disminuye respecto de ‘a’, estas expresiones pierden validez porque la 
hipótesis hecha respecto a la deformada de la membrana (despreciar la doble curvatura en las 
proximidades de los lados) se aleja de la realidad. Se puede afirmar que no se comete error 
apreciable cuando b>10·a. 
 
Las fórmulas deducidas en los párrafos anteriores son de aplicación al caso de perfiles 
laminados abiertos como los que se muestran en la Fig.31. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las expresiones del ángulo específico de torsión y la tensión de corte máxima son las 
siguientes: 
 
31
3
t
m
M
b t G
θ =
⋅ ⋅ ⋅
 (11) 
 
max 21
3
t
m
k M
b t
τ ⋅=
⋅ ⋅
 (12) 
 
En las cuales ‘bm’ es la longitud media desarrollada de la sección y ‘k’ es un coeficiente 
que depende de la forma de la sección y tiene en cuenta la concentración de tensiones que se 
produce en correspondencia de las angulosidades tal como se visualiza en la Fig.32, donde se ha 
dibujado la membrana deformada y las curvas de nivel correspondientes. El efecto de 
concentración de tensiones se evidencia a través del acercamiento que se produce entre las 
curvas de nivel. 
Fig.31 
32 
 
 
 
El coeficiente k = 1, 74*(t/r)1/3 donde ‘t’ es el espesor y ‘r’ el radio de acuerdo de la 
angulosidad. 
 
En el caso que se tengan distintos espesores como en la Fig. 33: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31
3 i i
Mt
G b a
θ =
⋅ ⋅ ⋅∑
 (14) 
 
max
max 31
3
t
i i
M a
b a
τ ⋅=
⋅ ⋅∑
 (15) 
 
Se observa así que en el caso de secciones de espesor delgado abiertas, la distribución de 
tensiones de corte se puede asumir aproximadamente lineal anulándose en la línea medía de la 
sección transversal (ver Fíg.34), lo que hace que el momento torsor equilibrante tenga que 
r 
t 
Fig.32 
t1
b1
b2t2
Fig.33 
33 
desarrollarse en el espesor de la sección. Esto pone en evidencia que las secciones de tipo 
abierta tienen una muy baja eficiencia trabajando a la torsión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2: Secciones huecas cerradas de espesor delgado. 
 
Para el estudio de la torsión de secciones de este tipo se formulan, además de las ya 
enunciadas, las siguientes dos hipótesis: 
 
-La tensión de corte es constante en todo el espesor. 
-El producto de la tensión de corte por el espesor es constante para toda la sección. 
 
Analizando el equilibrio de un elemento como el que se muestra en la Fig.35 ,se puede 
escribir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1 2 2t h t hτ τ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 
 
1 1 2 2t tτ τ⋅ = ⋅ 
 
Se considera una membrana con el contorno de la sección en estudio tal como se visualiza 
en la Fig.36 
t
t
Fig.34 
Fig.35 
x 
y 
z Mt 
h 
τ1 
τ2
h
t2 
t1 
34 
 
 
 
 
 
Como se ve, decir que τ = cte. en todo el espesor, es despreciar la curvatura de la 
membrana deformada, y asumir que tiene pendiente cte. En el caso de espesores suficientemente 
delgados esta simplificación no conlleva errores significativos. 
 
De la aplicación de la analogía se desprende que: 
 
τ = h/t 
 
Se deduce entonces, que la tensión tangencial máxima se produce en correspondencia del 
mínimo espesor. 
 
El momento torsor será: Mt = 2·Am·h 
 
de donde se deduce que: 
2
t
m
M
A t
τ =
⋅ ⋅
 (16) 
 
El ángulo específico de torsión se puede calcular teniendo en cuenta que si el cuerpo es 
elástico, y las cargas se aplican estáticamente, es decir en forma suficientemente lenta, el trabajo 
de las fuerza exteriores durante la deformación se transforma íntegramente en energía potencial 
elástica, la que se puede medir por el trabajo realizado por los esfuerzos interiores. 
 
El trabajo de las fuerzas exteriores por unidad de longitud en el caso de la torsión vale: 
 
L = ½ · Mt · θ 
 
La energía interna acumulada durante la deformación por unidad de longitud viene dada 
por: 
dS
G
U
S
⋅
⋅
⋅Γ
= ∫
0
2
2
δ 
 
Igualando ambas expresiones y teniendo en cuenta la expresión de la tensión de corte en 
función del momento torsor Mt y del espesor: 
Fig.36 
Am
h
t
ds
35 
24
Mt dS
Am G t
θ = ⋅
⋅ ⋅ ∫ 
 
( )
24
t
m
M
A G
dS t
θ =
⋅ ⋅
∫
 (17) 
 
El denominador de la expresión (17), no es otra cosa que la rigidez torsional de la sección. 
En el caso de espesores constantes de a tramos, la integral se transforma en sumatoria. 
 
( )
24
t
m
i i
M
A G
S t
θ =
⋅ ⋅
∑
 
Ejemplo 1: 
 
Sea la sección de la Fig.37 de diámetro interior ‘Di’ y exterior ‘De’. Calcular la tensión de 
corte y el ángulo específico de torsión para un dado valor del momento torsor solicitante Mt. 
 
Aplicando las fórmulas deducidas de la analogía de la membrana: 
 
22
t
m
M
R t
τ
π
=
⋅ ⋅ ⋅
 
 
32
t
m
M
R t G
θ
π
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 
Aplicando la teoría exacta: 
 
( )4 4
16 t
e
e i
M D
D D
ς
π
⋅
= ⋅
⋅ −
 
 
( )4 4
32 t
e i
M
G D D
θ
π
⋅
=
⋅ ⋅ −
 
 
En el caso que: De = 10 cm 
 Di = 8 cm 
 t = 1 cm 
t 
De Di 
Fig.37 
36 
 
Por la analogía: 
τ = 7.86·10-3 Mt (kgcm) 
 
 θ = 1.75·10-3 Mt (kgcm)/G 
 
Por la teoría exacta: 
τ = 8.62·10-3 Mt (kgcm) 
 
 θ = 1.75·10-3 Mt (kgcm)/G 
 
Se obtiene una diferencia del 9% entre las tensiones de corte calculadas de una y otra 
forma. 
 
En el caso que: De = 10 cm 
 Di = 9 cm 
 t = 0.5 cm 
 
Por la analogía se obtiene: 
 
τ = 0.0141 Mt (kgcm) 
Por la teoría exacta 
 
τ = 0.0148 Mt (kgcm) 
 
En este caso el error es del 5%. 
 
Se observa que a medida que disminuye el espesor en relación al diámetro, disminuye el 
error que se comete aplicando la analogía de la membrana, es decir, considerar una distribución 
cte. de las tensiones de corte en el espesor de la sección. 
 
 
Ejemplo 2: 
 
Calcular para la sección de la Fig.38 el momento torsor máximo y el giro de la sección en 
el punto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0.1 
0.2 
0.2 
0.1 
20cm 
10cm 
Fig.38 
l 
Mt Mt A B 
37 
max
min2
t
adm
m
M
A t
τ =
⋅ ⋅
 
 
Mt max = τadm·2·Am·tmín 
 
Am = 200 cm2; τadm = 1000 kg/cm2; tmín = 0.1 cm; G = 800000 kg/cm2 
 
Mt max = 40000 kg cm 
 
( )24
t
i i
m
M S t
A G
θ = ⋅
⋅ ⋅ ∑ 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +++⋅
⋅⋅
=
2.0
20
2.0
10
1.0
20
1.0
10
8000002004
40000
2θ 
 
θ = 0.00014 l/cm 
 
φB = θ·l 
 
Ejemplo 3: 
 
Comparar la rigidez torsional entre dos secciones circulares de espesor t y diámetro 
exterior ‘De’, una de las cuales tiene una ranura practicada en todo su espesor (figuras 39a y 
39b). 
 
 
 
 
En el caso de la sección cerrada, la rigidez torsional viene dada por: 
 
CTc = 4·Am2·G·(t/S) 
 
Donde: Am = (π·De2)/4 
 
S = π·De 
 
Entonces CTc = (π·De3·G·δ)/4 
 
Fig.39 
t t 
De 
38 
En el caso de la sección con la ranura se deben aplicar las fórmulas deducidas para el caso 
de las secciones abiertas: 
CTa = 1/3 · bm·t3·G 
siendo 
bm = π·De 
 
Entonces CTa = 1/3 · t3·π·De·G 
 
Comparando luego el valor de CTc con CTa se observa: 
 
CTc / CTa = 0.75 (De/t)2 
Si De = 10 cm y t = 0.4 cm 
CTc / CTa = 468 
 
Se aprecia la conveniencia de las secciones cerradas frente a las abiertas para absorber 
los esfuerzos de torsión, debiéndose efectuar un severo control de fabricación de tales piezas por 
la sensible pérdida de rigidez que puede producirse por una eventual falla en un cordón de 
soldadura. 
 
Caso 3: Secciones cerradas con tabiques. 
 
Cuando una sección tiene dos o mas contornos cerrados y posee paredes delgadas; se 
puede aplicar la analogía de la membrana. Cada contornodeberá estar sobre un plano horizontal 
distinto ya que la función de torsión deberá ser constante en cada uno de ellos, aunque no igual a 
todos. 
 
 
 
Despreciando nuevamente la curvatura de membrana en la dirección normal a los bordes 
(se considera que las líneas AC, DE y BF son rectas) lo que equivale a admitir nuevamente que 
las tensiones no varían a través del espesor: 
 
h1 h2
t1 
t3 
t2 
39 
1
1
1
h
t
τ = ; 22
2
h
t
τ = ; 1 2 1 1 2 23
3 3
h h t t
t t
τ ττ − ⋅ − ⋅= = 
 
La magnitud del momento torsor está dado por el volumen ACDEFB: 
 
( )1 1 2 2 1 1 1 2 2 22 2 2tM A h A h A t A tτ τ= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ (18) 
 
donde A1 y A2 son las áreas limitadas con punteado. 
 
De la (16) y (17) tenemos: 
 
 
2 2
2 1
4 4 2
t m
m m m
M AdS t dS dS
A G t A G t A G
τθ τ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ 
 
 
2 mdS A Gτ θ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅∫ 
 
Suponiendo que los espesores t1, t2 y t3 son constantes y llamando S1, S2 y S3 a las 
longitudes de las correspondientes curvas punteadas; aplicamos la ecuación anterior a los 
contornos cerrados (nlmn) y (mqnm) respectivamente: 
 
2·A1·G·θ = τ1·S1+τ3·S3 
 
2·A2·G·θ = τ2·S2-τ3·S3 
 
La porción (mn) cambia de signo debido a que se recorre, la primera vez, de arriba hacia 
abajo y , la segunda vez, a la inversa. 
 
Si dividimos ambas ecuaciones anteriores tenemos: 
 
1 1 2 2
1 1 3
31
2 1 1 2 2
2 2 3
3
t tS S
tA
A t tS S
t
τ ττ
τ ττ
⎛ ⎞⋅ − ⋅
⋅ + ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠=
⎛ ⎞⋅ − ⋅
⋅ − ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
ya que el ángulo de torsión ‘θ’ en cada contorno, es el mismo que el de la sección total. 
 
De la ecuación (18) y la anterior obtenemos: 
 
3 2 1 2 3
1 2t
t S A t S AM
R
τ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅
⋅
 
 
3 1 2 1 3
2 2t
t S A t S AM
R
τ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅
⋅
 
 
40 
1 2 1 2 1 2
3 2t
t S A t S AM
R
τ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅= ⋅
⋅
 
 
donde: 
 
A=A1 + A2 ; 2 2 21 3 2 1 2 3 1 2 1 2 3R t t S A t t S A t t S A= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ 
 
Como puede observarse de las ecuaciones anteriores, si la sección es simétrica: S1 = S2 ; 
t1 = t2 y A1 = A2 ; τ3 será igual a cero, o sea que la torsión será resistida por las paredes 
exteriores, permaneciendo el tabique descargado. 
 
Problema: 
 
 
 
 
R = t2·(6·a·4·a4 + 4·a·16·a4 + 2·a·36·a4)=160·t2·a5 
 
( )2 2
1 2 5 2
6 2 2 6 6 1
2 160 80t t
t a a a a
M M
t a t a
τ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 
 
( )2 2
2 2 5 2
4 4 2 6 7 1
2 160 80t t
t a a a a
M M
t a t a
τ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 
 
( )2 2
3 2 5 2
6 2 4 4 1 1
2 160 80t t
t a a a a
M M
t a t a
τ
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = − ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 
 
 
b = 2·a 
 
h = 2·a 
 
 
S1 = 4·a A1 = 2·a2 
 
S2 = 6·a A2 = 4·a2 
 
S3 = 2·a A = 6·a2 
τ3 τ2 τ1 
S3 
S2 
S1 
t 
tt 
t 
t 
41 
 
El signo de ‘τ3’ nos indica que su sentido es contrario al supuesto durante el planteo de las 
ecuaciones. 
 
Como se ve ‘τ2’ es la máxima tensión, por lo tanto τ2 = τadm. 
 
2 280 11.43
7tadm adm adm
M t a t aτ τ= ⋅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅ ⋅ ⋅ 
 
Si el cajón no tuviese tabique: 
 
Mt = 2·Am·t·τadm = 2·6·a2·t·τadm = 12·a2·t·τadm 
 
Como puede apreciarse, la presencia de un tabique colocado fuera del eje de simetría 
disminuye la resistencia respecto de la sección con tabique en el eje o sin tabique (que es lo 
mismo para el caso de una sección simétrica, ya que ‘τ3 = 0’). 
 
SECCIÓN RECTANGULAR 
 
En el caso de secciones rectangulares que no cumplen con la relación b>>a, el estudio por 
aplicación de la analogía de la membrana es complicado, entonces se recurre a la ecuación 
diferencial de la torsión, adoptando para la función de tensiones ‘F’ un desarrollo en serie. 
 
No obstante observando la membrana deformada se pueden hacer los siguientes 
comentarios cualitativos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Según las curvas de nivel se ve que la máxima tensión de corte se produce en el lado 
mayor ‘b’. 
 
- En el centro la tensión de corte es nula (pendiente nula). 
 
- Teniendo en cuenta que por razones de equilibrio, las tensiones de corte deben ser 
tangentes al borde, se concluye que en las esquinas deben ser, necesariamente nulas. 
 
En suma la distribución de tensiones en la sección tiene la forma de la Fig.41, donde se 
nota que la máxima tensión de corte se da en los bordes más cercanos al centro a diferencia de lo 
que ocurre con las secciones circulares. 
a 
b 
f 
f 
Fig.40 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La tensión de corte máxima y el ángulo específico de torsión se expresan para distintas 
relaciones de ‘b/a’ en función de coeficientes dados: 
 
3
1
tM
k a b G
θ =
⋅ ⋅ ⋅
 max 2
2
tM
k a b
τ =
⋅ ⋅
 
 
 
τmax = k3·G·θ·a 
 
b/a 1.0 1.12 1.5 2.0 3.0 5.0 10.0 ∞ 
k1 0.141 0.166 0.196 0.229 0.263 0.291 0.312 0.333 
k2 0.208 0.219 0.231 0.246 0.267 0.291 0.312 0.333 
k3 0.676 0.759 0.847 0.930 0.985 0.999 1.000 1.000 
 
Se observa que para relaciones ‘b/a’>10 no hay prácticamente diferencia con los 
resultados encontrados aplicando la analogía de la membrana para secciones delgadas. 
 
 
BIBLIOGRAFÍA. 
 
 
− S. TIMOSHENKO, ‘Resistencia de Materiales’, Tomos I y II, Espasa Calpe, 13a edición, 
Año 1976. 
− S. TIMOSHENKO, N.GOODIER, "Theory of Elasticity", Mac Graw-Hill, 2da edición, Año 
1951. 
− O. BELLUZZI, ‘Ciencia de la Construcción’, AGUILAR, 1971. 
− El Acero en la Construcción, Reverté, 1971. 
− Siderurgia del Orinoco (SIDOR), ‘Manual de Estructuras de Acero’, 2da edición, 1982. 
− GONZALEZ SALEME - GUZMAN, ‘Elasticidad y Plasticidad’, 1ra. edición, CEILP 1970. 
− Instituto Nacional de Tecnología Industrial (INTI), ‘Reglamento CIRSOC 301’, Buenos 
Aires, 1984. 
− Apuntes de clase del ing. Gerardo Ventura entre los años 1976 y 1981.