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Resolución de problemas 1
Página 11
1. OTRA VEZ LA CABRA
En el ejercicio de más arriba, supongamos que la casa es rectangular, de 
10 m Ò 20 m, y que la cuerda con la que se ata la cabra mide30 m. Halla la su-
perficie en la que puede pastar.
Hacemos un dibujo:
Área = π · 302 + π · 202 + π · 102 =
= 800 π › 2513 m2
2. LA CLASE
En una clase hay 30 alumnos y alumnas, de los cuales 22 estudian inglés y 15
estudian informática. Si todos estudian inglés o informática, ¿cuántos estudian
solo inglés? ¿Y solo informática? ¿Cuántos estudian las dos cosas?
Hallamos el número de alumnos que estudian las dos cosas:
22 + 15 = 37
37 – 30 = 7 alumnos estudian las dos cosas
Por tanto:
22 – 7 = 15 estudian solo inglés
15 – 7 = 8 estudian solo informática
En un diagrama sería así:
Inglés
Total: 30
Informática
15 7 8
10 m
20 m
10 m 20 m 30 m
CASA
1
4
1
4
3
4
RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS
Página 12
3. TRANSPORTANDO PANES
Una comitiva de doce personas acarrea 12 panes: cada hombre lleva dos pa-
nes; cada mujer, medio pan, y cada niño, un cuarto de pan. ¿Cuántos hombres,
mujeres y niños componen la comitiva?
☛ Sean x hombres, y mujeres y z niños. Se tiene: 2x + + = 12
Prueba las distintas posibilidades teniendo en cuenta que x, y, z han de ser números
enteros y positivos.
Sean x hombres, y mujeres, z niños, tales que: x + y + z = 12.
Se tiene: 
Puesto que x, y, z son números enteros positivos, x no puede valer más de 5.
Si x = 5 8
Si x = 4 8 no puede ser z = 0
Si x < 4 o si x > 5, la y o la z salen negativas, cosa que es imposible. Así pues,
solo hay una solución:
x = 5, y = 1, z = 6
4. LOS NÚMEROS OCULTOS
Se han tomado dos fichas de cartón y se ha escrito un número en cada una de
las cuatro caras.
Tirándolas al aire y sumando los números que quedan a la vista, pueden obte-
nerse los siguientes resultados: 36, 41, 50, 55. Observa la figura y averigua
los números que quedan ocultos.
25 30
°
¢
£
y = 8
z = 0
°
¢
£
2y + z = 16
y + z = 8
°
§
¢
§
£
y z
— + — = 4
2 4
y + z = 8
y = 1
z = 6
°
¢
£
2y + z = 8
y + z = 7
°
§
¢
§
£
y z
— + — = 2
2 4
y + z = 7
y z
2x + — + — = 12
2 4
x + y + z = 12
°
§
¢
§
£
z
4
y
2
Resolución de problemas2
Llamamos a al número que va en la cara opuesta al 25 y b al de la cara opuesta al
30; los resultados posibles serían:
a + 30 36
b + 25 41
a + b 50
25 + 30 8 55
Descartado el 55, que corresponde a 25 + 30, ahora debemos asociar las tres sumas
restantes a los número 36, 41 y 50. 
Hagamos un cuadro:
El problema tiene, por tanto, dos soluciones:
o bien: 
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5. EL CUENTO
María tiene que acabar de leer un cuento. El lunes leyó la mitad del cuento. El
martes, la tercera parte de lo que le faltaba. El miércoles, la cuarta parte del
resto. El jueves, la quinta parte de lo que le quedaba. Hoy, viernes, ha decidido
acabarlo y ha observado que le quedan menos de 15 páginas. 
Si todos los días ha leído un número entero de páginas, ¿cuántas páginas tiene
el cuento?
Llamamos n al número de páginas del cuento y construimos una tabla para organizar
la información:
LUNES
PÁGINAS LEÍDAS
n
—
2
MARTES
1 n n
— · — = —
3 2 6
MIÉRCOLES
1 n n
— · — = —
4 3 12
JUEVES
1 n n
— · — = —
5 4 20
VIERNES
n
— < 15
5
PÁGINAS QUE
LE FALTAN
n
—
2
n n n
— – — = —
2 6 3
n n n
— – — = —
3 12 4
n n n
— – — = —
4 20 5
0
1.a ficha: 25 y 20
2.a ficha: 30 y 16
°
¢
£
°
¢
£
1.a ficha: 25 y 11
2.a ficha: 30 y 25
a + 30 = 36
b + 25 = 41
a + 30 = 36
b + 25 = 50
a + 30 = 41
b + 25 = 36
a + 30 = 41
b + 25 = 50
a + 30 = 50
b + 25 = 36
a + 30 = 50
b + 25 = 41
a = 6
b = 16
Imposible
Debería ser
a + b = 50
a = 6
b = 25
Imposible
Debería ser
a + b = 41
a = 11
b = 11
Imposible
Debería ser
a + b = 50
a = 11
b = 25
a + b = 36
Primera 
solución
a = 20
b = 11
Imposible
Debería ser
a + b = 41
a = 20
b = 16
a + b = 36
Segunda 
solución
Resolución de problemas 3
0UNIDAD
El viernes tiene que leer páginas. Pero como todos los días ha leído una canti-
dad entera de páginas, el número n debe ser múltiplo de los denominadores 2, 6, 12
y 20; es decir, múltiplo de 60. 
Como, además, < 15, ha de ser n = 60. 
Por tanto, el cuento tiene 60 páginas (el lunes leyó 30, el martes 10, el miércoles 5, el
jueves 3 y el viernes las que faltan, 12 < 15).
6. UN SISTEMA
Resuelve el sistema: + = 8
– = 3
☛ Llama z = 1/x, t = 1/y.
Si z = y t = , el sistema se transforma en:
8
Luego: z = 2 = ò x = 
t = 3 = ò y = 
Solución: x = , y = 
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7. LAS PUERTAS
El conserje de un hotel cierra y abre las puertas de las habitaciones del si-
guiente modo:
• El primer día cierra todas las puertas.
• El segundo día abre las pares.
• El tercer día cambia (si una puerta estaba abierta, la cierra; y si estaba cerra-
da, la abre) las múltiplos de 3.
• El cuarto día las múltiplos de 4.
• Etcétera.
¿Qué puertas son las que quedarán cerradas al final del proceso?
1
3
1
2
1
3
1
y
1
2
1
x
z = 2
t = 3
°
¢
£
°
¢
£
z + 2t = 8
3z – t = 3
1
y
1
x
1
y
3
x
2
y
1
x
n
5
n
5
Resolución de problemas4
Ø
§
§
∞
§
§
±
Empezamos haciendo un esquema: C indica puerta cerrada, A indica puerta abierta:
Número de puerta: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
Primer día: C C C C C C C C C C …
Segundo día: C A C A C A C A C A …
Tercer día: C A A A C C C A A A …
Cuarto día: C A A C C C C C A A …
Observamos que las puertas que quedan cerradas al final del proceso, son la 1, 4, 9,
16…
Es decir, las que llevan un número que es cuadrado perfecto.
Esto es debido a que son los únicos números que tienen un número impar de diviso-
res y, por tanto, tendrán un número impar de cambios, quedando finalmente cerradas.
Página 15
8. LAS LOSETAS
Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado:
Observando la figura, es muy sencillo comprobar que dentro del rectángulo de
2 000 cm2 hay 8 losetas (4 enteras, 4 medias losetas y otros 4 trozos que conforman
dos losetas, dos a dos). 
Por tanto, cada loseta tiene un área de 250 cm2.
50 cm
4
0
 c
m
50 cm
4
0
 c
m
Resolución de problemas 5
0UNIDAD
9. MÁS LOSETAS
Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado:
Como podemos observar en la siguiente figura, el área del rectángulo es de 50 cm2:
Contando cuidadosamente, obtenemos 4 losetas dentro de este rectángulo. Luego ca-
da loseta tiene un área de 12,5 cm2.
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10. MÁS MONEDAS
Siguiendo con el problema resuelto de la página anterior, ¿cuál es el número
máximo de monedas que podemos tener para que se pueda averiguar cuál es
la moneda falsa con tan solo tres pesadas?
El análisis se hace mucho más sencillo empezando por el final. ¿Cuántas monedas
debemos tener en la última pesada para estar seguros de que identificamos la falsa?
Es fácil ver que la respuesta es 3. Pesamos dos y, o es una de ellas, o es la tercera.
La pregunta ahora sería: ¿Cuántas monedas debemos tener en la penúltima pesada?
Si seguimos con el argumento de los dos bloques de monedas pesados y uno que
sobra, la respuesta es 3 + 3 + 3 = 9.
Por tanto, el número máximo de monedas que podemos tener para asegurar el éxi-
to de nuestra investigación es: 9 + 9 + 9 = 27
10 cm
5 cm
10 cm
Resolución de problemas6
11. NÚMERO PAR DE FICHAS
En un tablero cuadrado de 16 casillas hay dispuestas 10 fichas, como indica
la figura.
Se propone colocarlas, una en cada casilla, de tal manera que en cada fila ho-
rizontal o vertical y en las dos diagonales se ubiquen un número par de fi-
chas.
12. EL PASTOR, SU OVEJA, SU LOBO Y SU COL
Un pastor con una enorme col, una enorme oveja y un enorme lobo llega a
un río en el que hay una diminuta barca en la que no cabe más que el pastor
y una sola de sus pertenencias.
Si deja al lobo y a la oveja solos, el lobo… Y si deja a la oveja y a la col sin vi-
gilancia, no te digo lo que le pasará a la col… Eso sí, el lobo no es vegetaria-
no. Quiere pasar a todos al otro lado del río. ¿Cómo lo hará?
Lo primero que pasa es la oveja, porque en cualquier otro caso habría festín. Más
tardevuelve y se lleva la col. Como no puede dejar a la oveja con la col, se trae de
vuelta a la oveja. Deja a la oveja en su lugar de partida y se lleva al otro lado del río
al lobo, para que haga compañía a la solitaria col. Vuelve, por última vez, a por la
oveja y, en lo que es el tercer viaje para esta, atraviesa definitivamente el río.
● ● ● ●
● ●
● ●
● ●
● ● ● ●
● ● ●
● ●
●
Resolución de problemas 7
0UNIDAD
Página 18
PROBLEMAS PARA PRACTICAR
1. UN RELOJ TARDÓN
Si el reloj de una iglesia tarda treinta segundos en dar las seis, ¿cuánto tiem-
po tardará en dar las doce?
30 : 5 = 6 segundos pasan entre cada 2 campanadas.
Para dar las 12 hay 11 espacios de tiempo entre campanadas; como cada uno de
ellos es de 6 segundos, será:
11 · 6 = 66 segundos tarda en dar las 12
2. DIFÍCIL REPARTO
Un grupo de 17 concursantes ha de repartirse un premio, que consiste en
una bolsa con varias monedas de oro, en número menor que 300. Al inten-
tar repartirlas, se observa que sobra una moneda. Para que no sobre ningu-
na, deciden hacer un juego y el que pierda será eliminado del reparto. Cuan-
do quedan 16 concursantes, al intentar repartir las monedas, vuelve a
sobrar una. Deciden seguir eliminando concursantes hasta que el reparto
pueda ser exacto.
a) ¿Cuántas monedas contiene la bolsa?
b) ¿Cuántos concursantes deberán ser eliminados para que al hacer el re-
parto no sobre ninguna moneda?
a) El número de monedas ha de ser múltiplo de 17 más una y múltiplo de 16 más una.
mín.c.m. (17, 16) = 272
El número de monedas podría ser el siguiente: 272 + 1 = 273, 2 Ò 272 + 1 = 545,
3 Ò 272 + 1 = 717, … Pero como nos dicen que es menor que 300, concluimos
que el número de monedas es 273.
b) Como 273 = 3 · 7 · 13, el reparto será exacto cuando queden 13 concursantes
(que se llevarían cada uno 21 monedas) que es el mayor múltiplo de 273 menor
que 17; en este caso, habrían sido eliminados 4.
3. LOS PENDIENTES
En un remoto poblado de Nueva Guinea hay 1 400 mujeres. El 14% de ellas
lleva un solo pendiente. Del 86% restante, la mitad lleva dos pendientes y la
otra mitad no lleva ninguno. Si los hombres no llevan pendientes, ¿cuántos
pendientes hay en total en el poblado?
Que la mitad lleve dos pendientes y la otra mitad no lleve ninguno, a efectos mate-
máticos, es equivalente a que todas lleven un solo pendiente.
Por tanto, hay 1 400 pendientes.
Resolución de problemas8
4. MEZCLAS
De un balde que contiene 5 litros de agua, se vierte un litro fuera de él y, en su
lugar, se rellena el balde con un litro de zumo de naranja.
Se mezcla bien el zumo con el agua y nuevamente se vierte fuera un litro de la
mezcla, sustituyéndola por un litro de zumo de naranja. Y se hace lo mismo
por tercera vez.
¿Cuánta agua quedará en el balde después del proceso?
Después de la primera operación, queda:
AGUA ZUMO
5 – 1 = 4 1
Un litro de esto es litros de agua.
Después de la segunda operación, queda:
AGUA ZUMO
4 – 1 + 
1 litro de la mezcla es litros de agua.
Después de la tercera operación, queda:
AGUA
4 – – = 2,56 litros de agua
5. VACAS LECHERAS
4 vacas negras y 3 vacas blancas dan la misma cantidad de leche en 5 días
que 3 vacas negras y 5 vacas blancas en 4 días.
¿Qué tipo de vaca es mejor vaca lechera, la blanca o la negra?
Llamamos 
Así, tenemos que:
20y + 15x = 12y + 20x 8 8y = 5x 8 x > y
Por tanto, la mejor lechera es la vaca blanca.
x = cantidad de leche que da una vaca blanca en 1 día.
y = cantidad de leche que da una negra al día.
°
¢
£
44 – —
5
5
4
5
44 – —
5
5
4
5
4
5
4
5
Resolución de problemas 9
0UNIDAD
6. EL NÚMERO OCULTO
Este juego consiste en encontrar un número de cuatro cifras que no empieza
por cero.
Escrito un número en la tabla, en la columna B se indica cuántos de sus dígi-
tos tienen en común con el número buscado y en la misma posición.
En la columna R se indica cuántos dígitos tiene ese número en común con el
buscado, pero en posición incorrecta.
Con los datos de esta tabla, ¿serías capaz de encontrar el
número oculto?
6 157
7. LAS CARTAS
En una mesa hay cinco cartas:
Cada carta tiene, en un lado, un número natural, y en el otro, una letra.
Enrique afirma: “Cualquier carta que tenga en un lado una vocal, tiene un
número par en el otro lado”. 
¿A qué cartas tuvo que dar la vuelta Pedro para convencerse de que Enrique de-
cía la verdad?
Para confirmar las palabras de su amigo, Pedro debió dar la vuelta al 3 y encontrar
una consonante. Desechamos los demás casos:
• Da la vuelta a la R o a la M: es indiferente lo que haya tras ellas, pues el enuncia-
do no dice nada sobre las consonantes.
• Da la vuelta al 4 o al 8: también es indiferente pues, si sale vocal, confirma las pa-
labras de Enrique y, si sale consonante, estamos en el caso anterior.
8. FUERA DE LA LEY
Cuatro hombres, uno de los cuales había cometido un determinado crimen,
hicieron las siguientes afirmaciones al ser interrogados por la policía:
ARTURO: David lo hizo.
DAVID: Antonio lo hizo.
RR MM 44 33 88
B R
0
0
0
2
3 476
3 965
4 269
1 057
2
2
1
1
Resolución de problemas10
GUSTAVO: Yo no lo hice.
ANTONIO: David mintió cuando dijo que lo hice.
Si solo una de estas afirmaciones fuera cierta, ¿quién sería el culpable? Por
otro lado, si solo una de estas afirmaciones fuera falsa, ¿quién sería entonces
el culpable?
Enumeramos las afirmaciones:
① ARTURO: “David lo hizo”.
② DAVID: “Antonio lo hizo”.
③ GUSTAVO: “Yo no lo hice”.
④ ANTONIO: “David mintió cuando dijo que lo hice”.
1.er caso: Si solo una fuera cierta:
– Si ① fuera la cierta ò ③ sería cierta, pero esto no es posible, pues solo hay
una cierta.
– Si ② fuera la cierta ò ③ sería cierta, y esto no es posible.
– Si ③ fuera la cierta ò ② ó ④ serían verdaderas, pero esto no es posible.
– Por tanto, la cierta es la ④. Así, ① sería falsa (luego David no lo hizo), ② se-
ría falsa (luego Antonio no lo hizo) y ③ sería falsa. De aquí deducimos que el
culpable fue Gustavo.
2.° caso: Si solo una fuera falsa:
– Si ① fuera la falsa ò ② ó ④ serían falsas, lo cual es imposible.
– Si ③ ó ④ fueran las falsas ò ① y ② serían verdad, y esto no es posible.
– Por tanto, la falsa es la ②, con lo que el culpable es David.
Página 19
9. EN EL PARQUE DE ATRACCIONES
Cuatro amigas (Alicia, Rocío, Carmen y Mercedes) van al parque de atraccio-
nes con otros cuatro amigos (Pablo, Luis, Carlos y Ramón). 
A lo largo de la jornada, las cuatro chicas han montado en las siguientes
atracciones: montaña rusa, barcas, casa del terror y alfombra mágica. Ade-
más, siempre montan un chico y una chica juntos en cada atracción. A la sa-
lida comentan:
ALICIA: Me lo pasé mejor en la montaña rusa con Pablo que en las barcas con
Luis.
ROCÍO: Cuando monté en la montaña rusa con Carlos, se estropeó y se quedó
un rato parada.
Resolución de problemas 11
0UNIDAD
CARMEN: Ramón me dio un buen susto en la casa del terror.
MERCEDES: Pues yo no vuelvo a entrar en la casa del terror con Pablo.
¿Cómo se formaron las parejas al montar en la alfombra mágica?
Teniendo en cuenta que en la montaña rusa Carmen solo pudo haber ido con Luis o
con Ramón, y que con Ramón fue a la casa del terror, resulta que en la montaña ru-
sa Carmen subió con Luis.
A partir de este dato, ya es muy fácil deducir que las parejas en la alfombra fueron:
Alicia-Ramón, Rocío-Pablo, Carmen-Carlos y Mercedes-Luis.
10. LOS EXPLORADORES Y LOS CANÍBALES
Tres exploradores y tres caníbales deben cruzar un río, pero disponen de
una sola barca y, además:
• En la barca solo pueden viajar una o dos personas.
• Al menos uno debe saber remar.
• Saben remar los tres exploradores y un caníbal.
• En ninguna orilla los caníbales pueden superar en número a los explora-
dores, pues se los comerían.
¿Cómo conseguirán cruzar el río?
☛ Debes distinguir el caníbal que sabe remar de los demás caníbales.
1.°: Cruza un explorador con un caníbal que no sabe remar y vuelve el explorador.
2.°: Cruzan el caníbal remero y el otro caníbal, y vuelve el caníbal remero.3.°: Cruzan dos exploradores y vuelven un explorador y un caníbal.
4.°: Cruzan un explorador y el caníbal remero, y vuelve un explorador con un caní-
bal que no sabe remar.
5.°: Cruzan los dos exploradores y vuelve el caníbal remero.
6.°: Cruzan el caníbal remero y otro caníbal, y vuelve el remero.
7.°: Cruzan el caníbal remero y el otro caníbal que quedaba.
11. EL PROBLEMA DE TARTAGLIA
Este problema consiste en dividir el contenido de una jarra de 24 litros en
tres partes iguales, utilizando solamente la jarra original y otras tres de 5, 11
y 13 litros, respectivamente.
Con la de 24 se llenan la de 5 y la de 11. Quedan 8 en la de 24. Se vacía la de 5 en
la de 13 y con la de 11 se llega a llenar la de 13. Con la de 13 se llena la de 5 y así
quedan 8 en la de 13.
Ya tenemos 8 en la de 24, 8 en la de 13 y 8 en las otras dos.
Resolución de problemas12
12. LAS LÁMPARAS
Sobre una plataforma hay 7 lámparas encendidas y un dispositivo mediante
el que podemos apagar una sola lámpara o dos lámparas contiguas, pudien-
do elegir cualquiera de las dos opciones.
Dos personas juegan: apagan alternativamente lámparas y gana la persona
que apague la última. Si los dos jugadores actúan de forma inteligente,
¿quién crees que ganará, el primero o el segundo?
Apagando la lámpara central se divide la disposición de lámparas en dos grupos
idénticos de tres y tres.
Cada vez que el segundo jugador apague lámparas, el primero debe replicar apa-
gando el mismo número del otro grupo.
De esta forma, el primer jugador se asegura el éxito.
13. UN JUEGO UN TANTO PEDREGOSO
Hay dos montones de piedras, uno con 7 piedras y otro con 6 piedras. Dos
personas juegan de manera alternativa, pudiendo retirar tantas piedras como
deseen, pero solo de uno de los montones. Gana quien retire la última piedra.
¿Quién tiene ventaja, el jugador que comienza o el segundo?
El primer jugador puede ganar siempre si juega igualando el número de piedras de
los dos montones. Es claro que entonces el otro jugador no puede hacer otra cosa
que desigualarlos.
14. AHORRANDO PESADAS
A Carlos, mientras esperaba un día la cola para comprar el pan, se le ocurrió
un problema que proponer al panadero de su pueblo:
CARLOS: Pedro, aquí tienes 1 kg de harina y una pesa de 50 gramos. ¿A que no
eres capaz de obtener 300 gramos de harina con esta balanza de dos
brazos?
PANADERO: Pero eso es muy fácil…
CARLOS: No, no. Solo con tres pesadas.
Tras pensar unos minutos, el panadero le dio a Carlos sus 300 gramos de ha-
rina. ¿Cómo lo hizo?
1.a pesada: En un plato de la balanza colocamos la pesa. En el otro vamos echando
harina. Obtenemos 50 g de harina.
Resolución de problemas 13
0UNIDAD
2.a pesada: En un plato de la balanza colocamos la pesa y los 50 g de harina obte-
nidos antes. En el otro vamos echando harina. Obtenemos 100 g de ha-
rina.
3.a pesada: En un plato de la balanza colocamos toda la harina obtenida hasta ahora
(150 g). En el otro vamos echando harina. Obtenemos 150 g de harina.
Juntando la harina de los dos platos, nos encontramos con la cantidad pedida:
300 g.
15. EL TOSTADOR
Un tostador tuesta por un lado 2 rebanadas de pan juntas. A los 30 segundos
damos la vuelta a las 2 rebanadas y las tostamos por el otro lado. Por tanto,
necesito un minuto para tostar 2 rebanadas. ¿Cuánto tiempo necesito para
tostar 3 rebanadas de pan por los dos lados?
Empezamos tostando un lado de la 1.a rebanada y otro de la 2.a. Después, tostamos
el otro lado de la 1.a con un lado de la 3.a. Por último, tostaríamos el otro lado de
la 2.a con el otro de la 3.a. Así, necesitaríamos un minuto y medio para tostar las tres
rebanadas de pan por los dos lados.
Página 20
16. LOS ESCALONES
Eva sube las escaleras de un edificio de 2 en 2 y las baja de 3 en 3, con lo que
da un total de 100 saltos. ¿Cuántos escalones hay en el edificio?
Llamamos: 
Por tanto: n.° de escalones = 120
17. EL DINERO
En un bolsillo tenemos monedas de tres clases: de 5, de 20 y de 50 céntimos. En to-
tal, 12 monedas con un valor de 2 euros y 85 céntimos (285 céntimos). ¿Cuántas
monedas hay de cada clase?
°
¢
£
x = 60
y = 40
°
¢
£
2x = 3y
x + y = 100
x = n.° de saltos al subir 8 n.° de escalones = 2x
y = n.° de saltos al bajar 8 n.° de escalones = 3y
°
¢
£
Resolución de problemas14
Si x es el número de monedas de 5 eurocéntimos, y el número de monedas de 10
y z el de 50, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
Cuyas soluciones son: 
• Si z < 2, el número de monedas de 5 céntimos sale negativo, luego ha de ser
z Ó 2.
• Si z = 5, el número de monedas de 20 céntimos sale 0 (el enunciado dice que te-
nemos de los tres tipos), luego ha de ser z < 5.
• Además, x, y, z han de ser enteros.
Por tanto, hay tres posibilidades:
• 2 monedas de 50, 1 de 5 y 9 de 20 céntimos.
• 3 monedas de 50, 3 de 5 y 6 de 20 céntimos.
• 4 monedas de 50, 5 de 5 y 3 de 20 céntimos.
18. LA LÍNEA NAVIERA
Se ha establecido una línea regular de barcos entre Cádiz y Santander. Cada
día, a las 12 de la mañana, sale un barco de cada uno de los puertos, emplean-
do en la travesía 5 días.
Si hoy sale un barco de Cádiz, ¿con cuántos barcos de la compañía naviera se
encontrará hasta su llegada a Santander?
Con 6 barcos (incluyendo el que sale cuando llega él).
19. LA IMPRENTA
Una imprenta debe hacer 3 000 tarjetas de 8 cm Ò 8 cm. Para ello dispone de
hojas de dos tamaños, 22 cm Ò 34 cm y 21 cm Ò 28 cm, que deberá cortar.
¿Qué tamaño de hojas es conveniente utilizar para desperdiciar la menor
cantidad posible de papel?
• Hojas de 22 cm Ò 34 cm:
Con cada hoja se pueden hacer 8 panfletos de
8 cm Ò 8 cm y se desperdician:
22 · 2 + 6 · 32 = 236 cm2 en cada hoja
Para conseguir 3 000 panfletos:
3 000 : 8 = 375 hojas necesitaríamos 
y se desperdiciarían:
375 · 236 = 88 500 cm2
x = –3 + 2z
y = 15 – 3z
°
¢
£
5x + 20y + 50z = 285
x + y + z = 12
°
¢
£
Resolución de problemas 15
0UNIDAD
8 8 6
8
8
8
8
2
34 cm
22 cm
• Hojas de 21 cm Ò 28 cm:
Con cada hoja se pueden hacer 6 panfletos y se des-
perdician:
21 · 4 + 5 · 24 = 204 cm2 en cada hoja
Para conseguir 3 000 panfletos:
3 000 : 6 = 500 hojas necesitaríamos
y se desperdiciarían:
500 · 204 = 102 000 cm2
• Por tanto, para desperdiciar la menor cantidad posible de papel, conviene utilizar
los de tamaño 22 cm Ò 34 cm.
20. PLEGANDO UNA HOJA DE PAPEL
Toma hojas de papel rectangular y, mediante pliegues, construye ángulos de
180°; 90°; 45°; 22°30'. Toma otra hoja y haz con ella lo siguiente:
a) ¿Cuánto valen los ángulos
a y b?
b) ¿Podrías construir con la
hoja de papel un triángu-
lo equilátero?
El ángulo a es de 30° y b es de 60°.
Con ello, se construye el triángulo equilátero fácilmente.
21. LA SUMA
¿Cuántos números menores que 1 000 tienen la suma de sus dígitos igual a 7?
7 0 0 8 3 posibilidades
6 0 1 8 6 posibilidades
5 1 1 8 3 posibilidades
5 0 2 8 6 posibilidades
4 1 2 8 6 posibilidades
4 0 3 8 6 posibilidades
3 1 3 8 3 posibilidades
3 2 2 8 3 posibilidades
36 posibilidades
Existen 36 números con esa propiedad.
D C
B BA RBA R
T T
M D C
A
M D CM
a
b
Resolución de problemas16
8 8 5
8
8
8
4
28 cm
21 cm
22. LAS VELAS
Dos velas de la misma altura se encienden simultáneamente. Una se consu-
me en 4 horas y la otra en 10 horas. 
¿Cuántas horas deberán arder hasta que la longitud de una de ellas sea el do-
ble que la longitud de la otra?
Tomamos como unidad la longitud de ambas velas antes de ser encendidas.
• La longitud de la 1.a vela en t horas es 1 – t.
• La longitud de la 2.a vela en t horas es 1 – t.
¿Para qué valor de t la primera es la mitad de la 2.a?
1 – t = 1 – t 8 t = 2,5
Han de transcurrir 2 horas y media.
23. LA CAJA
Pedro tiene lagartijas, escarabajos y gusanos. En total tiene 12 animales y 
26 patas. Tiene más gusanos que lagartijas y escarabajos juntos.
¿Cuántos animales tiene de cada clase?
Como las lagartijas tienen 4 patas, los escarabajos 6 y los gusanos ninguna, son
7 gusanos, 3 escarabajos y 2 lagartijas.24. ETAPA DE MONTAÑA
Un ciclista puede recorrer una media de 20 km por hora cuesta arriba y 
60 km por hora cuesta abajo.
¿Cuál será su velocidad media en un recorrido con salida y llegada en el mis-
mo punto?
Llamamos x al espacio que hay hasta llegar a la cima:
Así, tenemos que:
• Espacio total recorrido = 2x
• Tiempo total empleado = + = = 
Por tanto:
Velocidad media recorrido = = 30 km/h2x
x
15
60
 k
m
/h
20
 k
m
/h
x x
15
4x
60
x
60
x
20
)110(1214
1
10
1
4
Resolución de problemas 17
0UNIDAD
25. FILA DE NÚMEROS
Si escribimos los números naturales seguidos, de la siguiente manera:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …
¿qué dígito ocupará el lugar cien mil?
Al colocar en la fila el 9 999, el último 9 ocupa el lugar:
9 + 2 Ò 90 + 3 Ò 900 + 4 Ò 9000 = 38 889
Como 100 000 = 38 889 + 61 111, el problema ahora es:
10 000 10 001 10 002 …
¿Qué dígito ocupa el lugar 61 111?
Al colocar en esta lista el 69 999 hemos colocado 60 000 dígitos.
Por tanto, ahora el problema es:
Empezando así: 
70 000 70 001 70 002 70 003 …
¿Qué dígito ocupa el lugar 1 111?
Como 1 111 = 5 Ò 222 + 1, al colocar el 70 221 se han colocado 5 Ò 222 dígitos. 
Por tanto, el dígito solución del problema inicial es el 7.
26. LOS CEROS
¿En cuántos ceros acaba el número 125!?
☛ Recuerda que:
125! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · … · 123 · 124 · 125
Cuenta el número de veces que aparece el factor 5 (el factor 2 va a aparecer más ve-
ces). 
Es 25 + 5 + 1 = 31. Termina en 31 ceros.
27. ¿ÚLTIMO DÍGITO?
¿Cuál es el último dígito de la expresión 2103 + 3?
Es fácil observar que las terminaciones de las potencias de 2 son siempre 2, 4, 8 y 6
(en ese orden). Por tanto, 2100 termina en 6 y 2103 termina en 8.
Así, 2103 + 3 termina en 1.
28. AVELLANAS MÁGICAS
En un canasto hay avellanas cuyo número se duplica cada minuto. Después
de una hora, el canasto está completamente lleno. 
¿Cuánto tiempo se necesitó para llenarlo hasta la mitad?
59 minutos.
Resolución de problemas18
Página 21
29. MEZCLA DE CROMOS...
Héctor es aficionado a los coches y tiene un gran montón de cromos de ellos. 
Leticia es aficionada a las motos y tiene un gran montón de cromos de motos. 
Un día Héctor, complaciente, le regala un puñado de sus cromos (40) a Leti-
cia. Como son del mismo tamaño, ella los mezcla con los suyos. Más tarde se
pelean y Héctor le pide que le devuelva sus cromos y Leticia, muy digna, cuen-
ta 40 cromos cualesquiera y se los da. Él los mezcla con los suyos. 
¿Hay más cromos de motos entre los coches de Héctor o más cromos de co-
ches entre las motos de Leticia?
El número de cromos que se intercambian es 40 en los dos casos. Luego, después
de los cambios, los dos tienen la misma cantidad de cromos que tenían en un prin-
cipio.
Los cromos de motos que tiene Héctor son los que le faltan a Leticia (y Leticia si-
gue teniendo el mismo número de cromos que tenía en un principio; luego los cro-
mos que le faltan de motos ahora son de coches).
Por tanto, el número de cromos de motos que hay entre los coches de Héctor es el
mismo número de cromos de coches que hay entre las motos de Leticia.
30. ... Y MEZCLA DE LÍQUIDOS
Tienes dos jarras, una con zumo y la otra con agua, y un vaso vacío. 
Llenamos el vaso con zumo de la primera y lo vertemos en la jarra de agua.
Una vez mezclado, se vuelve a llenar el vaso con mezcla de la segunda y se vier-
te en la primera. 
¿Hay más zumo en el agua que agua en el zumo? ¿Es al contrario? ¿Hay, aca-
so, la misma cantidad de zumo en el agua que de agua en el zumo? ¿O depen-
de de las cantidades de cada una que tuviéramos al principio?
Algo semejante a lo dicho en el problema anterior ocurre con el agua y el zumo: al
final del proceso, la cantidad de líquido que hay en las dos jarras es la misma que
había en un principio. Luego la cantidad de agua que hay ahora en la jarra de zu-
mo es la que falta de agua en la jarra de agua (que está sustituida por zumo).
Por tanto, hay la misma cantidad de zumo en el agua que de agua en el zumo.
Resolución de problemas 19
0UNIDAD
31. UN ROBOT MUY MARCIAL
Un robot, al ponerse en marcha, camina de la siguiente forma:
Da un paso. Cambia de dirección y da dos pasos. Cambia de dirección y da tres
pasos... Así, sucesivamente, tras cada cambio de dirección da un paso más que
en el tramo anterior. Y cada nueva dirección es perpendicular a la que traía.
¿Es posible que el robot pase por el punto de partida? ¿Y que cambie de direc-
ción allí? ¿Cuál es el menor número de pasos con que se puede conseguir cada
una de estas dos posibilidades?
El robot se mueve en dos direcciones, que llamaremos N-S y E-O. Supondremos
que empieza dando un paso hacia el este (E). Según esto, los tramos con un nú-
mereo impar de pasos (1, 3, 5, 7, 9, …) los dará hacia el E o hacia el O, y los tra-
mos con un número par de pasos (2, 4, 6, 8, …) los dará hacia el N o hacia el S.
Para conseguir que el robot pase por el punto inicial, I, tendremos en cuenta que 
2 + 4 = 6. Observa cómo:
Los tramos 2 y 4 lo alejan 6 unidades hacia el
S. El tramo 6 lo dirigimos hacia el N. Después
de los seis primeros tramos, el robot está un
paso al O del punto I. El siguiente tramo (7) se
dirige al E y tras el primer paso “pasa” por I.
El número total de pasos es:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1 = 22
Para conseguir que el robot “cambie de dirección en I”, es decir, complete un tra-
mo en I, tendremos en cuenta que 1 + 7 = 3 + 5 y que 2 + 8 = 4 + 6. Observa cómo:
I
1
2
3
4
5
6
7
8
A I
1 2
3
4
5
6
Resolución de problemas20
32. PELADOS Y MELENUDOS
A Eva la invitan a la fiesta que se va a celebrar en el Club de los Pijos el pró-
ximo sábado. Todavía no sabe si irá o no, pero hace indagaciones y averigua
que, entre los pijos, la probabilidad de que uno de ellos sea DIVERTIDO es ma-
yor si tiene melena que si está pelado.
(1) PIJOS: P [DIVER./MELENA] > P [DIVER./PELADO]
Decide que, si va a la fiesta, ligará con un melenudo.
Estando en esas le llaman del Club de los Macarras para invitarle a una fiesta a la
misma hora. Hace indagaciones y llega a conclusiones similares:
(2) MACARRAS: P [DIVER./MELENA] > P [DIVER./PELADO]
Todavía no sabe a cuál de las dos fiestas irá, pero tiene claro que, vaya a la que
vaya, ligará con un melenudo.
Una hora antes de empezar las fiestas recibe una nueva llamada advirtiéndo-
le de que Pijos y Macarras se han puesto de acuerdo y hacen una única fiesta.
Revisando sus notas, Eva descubre con asombro que en el conjunto de todos
ellos las cosas cambian radicalmente.
(3) PIJOS + MACARRAS: P [DIVERTIDO/MELENA] < P [DIVERTIDO/PELADO]
Por tanto, deberá cambiar su estrategia y ligar con un pelado.
¿Cómo es posible que sea así? Para explicarlo, inventa unos números para dos ta-
blas como esta, una para PIJOS y otra para MACARRAS, de modo que en la primera se
cumpla (1), en la segunda (2) y en la que resulta de sumar ambas se cumpla (3):
Empecemos poniendo un ejemplo numérico para entender mejor la situación. Su-
pongamos que tenemos lo siguiente:
10 Pijos
1 melenudo 1 divertido (100%)
9 pelados
8 divertidos (88,9%)
1 no divertido
10 Macarras
8 melenudos
5 divertidos (62,5%)
3 no divertidos
2 pelados
1 divertido (50%)
1 no divertido
MELENA PELADO
DIVERTIDO
ABURRIDO
Resolución de problemas 21
0UNIDAD
Si observamos estos resultados, vemos que la clave está en que hay más divertidos
entre este grupo de pijos que entre este grupo de macarras; y que hay muy pocos
pijos melenudos.
Si hay un pijo melenudo que sea divertido, ya supone un porcentaje alto del total
de pijos melenudos.
Página 22
33. HOJAS DE PAPEL
Los tamaños estándar de papel se denominan A0, A1, A2, A3, A4, A5… Cada
uno de ellos es la mitad del anterior y semejante a él.
I Teniendo esto en cuenta y sabiendo que la su-
perficie de A0 es 1 m2, calcula las dimensiones
de una hoja A4 (es la de uso más frecuente) re-
dondeando hasta los milímetros. Comprueba el
resultado midiendo una hoja A4.
II Demuestra que cualesquiera de las hojas anteriorescumple lo siguiente:
Si le añadimos un cuadrado, el rectángulo que se obtiene, MNPQ, tiene la
peculiaridad de que al suprimirle dos cuadrados da lugar a otro rectángu-
lo, MRSQ, semejante a él (MNPQ semejante a MRSQ).
I)
A1
A0
x
y/2
y
M N
PQ
M R
SQ
A3
A0
A2
A3
A4
A5
A1
Al juntarlos a todos, tendríamos que:
20 Personas
9 melenudos
6 divertidos (66,7%)
3 no divertidos
11 pelados
9 divertidos (81,8%)
2 no divertidos
Resolución de problemas22
La superficie de A0 es 1 m2, es decir:
x y = 1 m2 ò y = 
Por la semejanza entre A0 y A1, tenemos que:
= ò = x2 ò y2 = 2x2
2
= 2x2 ò = 2x2 ò 1 = 2x4 ò = x4
x = 
4
= , y = 
Las dimensiones de A0 son:
largo = m, ancho = m
Las dimensiones de A4 serán:
largo = = 0,297 m = 29,7 cm = 297 mm
ancho = = 0,210 m = 21 cm = 210 mm
II) x
x
xxy – x
Q S P
M R N
y
1
4
4√2
4√2
4
A4
A0
x
x/4
y/4
y
A4 x/4
y/4
1
4√2
4√2
4√214√2√12
1
2
1
x2)1x(
y2
2
x
y/2
y
x
1
x
Resolución de problemas 23
0UNIDAD
La razón entre los lados del rectángulo (A0, A1, …) es: = = ( )2 = 
(es la misma en A0, A1…, pues todos ellos son semejantes).
La razón entre los lados del rectángulo MNPQ es:
= = = + 1
Queremos probar que MRQS es semejante a MNPQ; para ello bastará ver que:
= + 1
Veámoslo:
= = = = = + 1
Como queríamos probar.
34. ALCOHOL A CAZOS
Una vasija contiene una mezcla de alcohol y agua en una proporción de 3 a 7.
En otra vasija la proporción es de 2 a 3. ¿Cuántos cazos hemos de sacar de cada
vasija para obtener 12 cazos de una mezcla en la que la proporción alcohol-
agua sea de 3 a 5?
alcohol alcohol alcohol
La proporción de alcohol es:
x + (12 – x) · = · 12
+ = ; 3x + 48 – 4x = 45; x = 3
Solución: 3 cazos de la primera y 9 de la segunda.
9
2
24 – 2x
5
3x
10
3
8
2
5
3
10
3
8
2
5
3
10
3 alcohol
7 agua
x cazos
V1
2 alcohol
3 agua
(12 – x) cazos
V2
3 alcohol
5 agua
12 cazos
√2√2 + 1
2 – 1
√2 + 1
(√2 – 1) (√—2 + 1)
1
√2 – 1
x/x
y/x – x/x
x
y – x
√2
—
MQ
—
MR
√2√2 + 1
1
y/x + x/x
x/x
y + x
x
√24√2
4√2
1/
4√2
y
x
Resolución de problemas24
35. ALIGERANDO EL PASO
Un viajero que va a tomar su tren ha cubierto 3,5 km en 1 hora y se da cuen-
ta de que, a ese paso, llegará 1 hora tarde.
Acelera el paso y recorre el resto del camino a una velocidad de 5 km/h, lle-
gando media hora antes de que salga el tren.
¿Qué distancia tenía que recorrer?
t = tiempo que tarda en recorrer x a 3,5 km/h
Si va a 5 km/h tarda t – 1,5 (1 hora y media menos)
Por tanto:
3,5t = 5t – 7,5; t = 5 horas
x = 17,5 km
Tenía que recorrer 17,5 km (21 km si contamos los 3,5 km del principio).
36. SELLOS
Se ordenan 31 sellos de izquierda a derecha en orden creciente de precios. El pre-
cio de cada sello difiere en 2 € de sus dos adyacentes.
Por el precio del último sello podríamos comprar el sello central y uno de los que
tiene el lado.
¿Cuál de ellos?
Si llamamos pi al precio del sello que ocupa la posición i-ésima, tenemos una pro-
gresión aritmética de diferencia d = 2. Así:
p
31
= p
1
+ 60. El sello central es el 16.°
p
16
= p
1
+ 30
p
15
= p
1
+ 28
p
17
= p
1
+ 32
Por tanto, el sello que buscamos es el anterior al central (el que está en la posición
15.a).
°
¢
£
x = 3,5t
x = 5 (t – 1,5)
1 h
tren
x3,5 km
Resolución de problemas 25
0UNIDAD
Si fuera p
31
= p
16
+ p
15
:
2p
1
+ 58 = p
1
+ 60 ò p
1
= 2
°
¢
£
Si fuera p
31
= p
16
+ p
17
:
2p
1
+ 62 = p
1
+ 60 ò p
1
= –2 (imposible)
Son el 15.° y el 16.°
°
¢
£
°
§
¢
§
£
°
§
§
§
¢
§
§
§
£
**
**
37. LIBROS
Un librero compró dos manuscritos antiguos por 2 250 € y después los vendió
obteniendo un beneficio del 40%.
El primer manuscrito le dejó un beneficio del 25% y el segundo un beneficio
del 50%, ¿cuánto pagó por cada manuscrito?
y = 2 250 – x
1,25x + 3 375 – 1,5x = 3 150; 225 = 0,25x
x = 900 €; y = 1 350 €
Por el primero pagó 900 € y por el segundo, 1 350 €.
38. ÁNGULOS SOBRE CUADRÍCULA
Demuestra que, en esta figura, a = b + g. 
Intenta utilizar una cuadrícula como esta para demostrarlo.
a = . Basta observar que se trata de uno de los ángulos agudos del triángulo
rectángulo que se forma con la diagonal de un cuadrado.
b = , por ser el ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo cuyos catetos
miden cuatro y dos unidades; igual (por semejanza) al formado por catetos de dos y
una unidad.
g = , pues, tomando las diagonales de los cuadrados pequeños por unidades,
se trata del ángulo menor del triángulo rectángulo de catetos 3 y 1 unidades (OA y
AC, respectivamente).
Así, podemos observar fácilmente en el dibujo que a = b + g, pues:
= = + 
ì
COD
ì
AOC
ì
AOD
ì
BOD
ì
AOC
ì
COD
A
B
C
DO
ì
BOD
g b a
°
¢
£
1.° 8 x x + y = 2 250
2.° 8 y 1,25x + 1,5y = 2 250 · 1,4
Resolución de problemas26
39. ¡CON CALCULADORA!
a) Tu calculadora tiene la tecla $. Utilízala para calcular . Fácil,
¿no?
b) Se llama n! al producto
n · (n –1) · (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1
Averigua el valor de n para el cual
= 110 355 024
☛ Es más fácil de lo que parece: interpreta lo que se te pide, piensa un poco y utili-
za la calculadora.
a) $ 6765201 = {∫∫∫“\≠‘} $ = {∫∫∫∫∞‘}
b) = =
= n (n – 1)(n – 2)(n – 3)
Por tanto, hemos de averiguar el valor de n para el cual
n (n – 1)(n – 2)(n – 3) = 110 355 024
El producto de cuatro números consecutivos es un número muy grande. La 
raíz cuarta de este número será un número que esté “entre ellos”. Seguramente,
estará entre los dos de en medio. Probemos:
$ 110 355 024 = {‘≠∞≠¢…££££∞“¢} $ = {‘≠“…¢£«£≠“≠“∞}
Seguramente n – 2 = 102 y n – 1 = 103. Veamos:
104 · 103 · 102 · 101 = 110 355 024, efectivamente
Por tanto, n = 104.
40. PESOS, PESAS Y PESADAS
a) Con este juego de pesas:
1g 2 g 4 g 8 g 16 g 32 g 64 g
puedes realizar cualquier pesada comprendida entre 1 g y 123 g. Comprué-
balo “pesando” 23 g, 89 g y 111 g.
Añade dos pesas más a dicho juego. ¿Hasta qué peso puedes llegar ahora?
b) Con este otro juego de pesas:
1 g 3 g 9 g 27 g 81 g
también puedes realizar muchas pesadas. ¿Cuál es la pesada máxima? ¿Có-
mo pesarías 60 g? ¿Y 100 g? Añade otra pesa y consigue pesar 314 g.
☛ Prueba a poner pesas en los dos platillos.
n (n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5) … 3 · 2 · 1
(n – 4)(n – 5) … 3 · 2 · 1
n!
(n – 4)!
n!
(n – 4)!
4√6 765 201
Resolución de problemas 27
0UNIDAD
a) 23 = 16 + 4 + 2 + 1
89 = 64 + 16 + 8 + 1
111 = 64 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1
Si se añaden las pesas 128 g y 256 g se pueden realizar, con las nueve, pesadas
que van de 1 g a 511 g.
b) La pesada máxima es 81 + 27 + 9 + 3 + 1 = 121 g.
Es decir, que con esas 5 pesas se puede realizar cualquier pesada entre 1 g y 121 g.
60 = 81 – 27 + 9 – 3
100 = 81 + 27 – 9 + 1
Estas cinco pesas son 1, 3, 32, 33, 34. Añadimos otra de 35 = 243 g:
314 = 243 + 81 – 9 – 1
314 g 243 g
81 g
1 9
81 g100 g
19
27
60
g
81 g
3 9
27
Resolución de problemas28
Unidad 1. Números reales 1
Página 27
REFLEXIONA Y RESUELVE
El paso de Z a Q
■ Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles es
necesario el conjunto de los números racionales, Q.
a) –5x = 60 b)–7x = 22 c) 2x + 1 = 15
d)6x – 2 = 10 e) –3x – 3 = 1 f) –x + 7 = 6
Se pueden resolver en Z a), c), d) y f).
Hay que recurrir a Q para resolver b) y e).
El paso de Q a Á
■ Resuelve, ahora, las siguientes ecuaciones:
a) x2 – 9 = 0 b)5x2 – 15 = 0 c) x2 – 3x – 4 = 0
d)2x2 – 5x + 1 = 0 e) 7x2 – 7x = 0 f) 2x2 + 3x = 0
a) x2 – 9 = 0 8 x = ±3
b) 5x2 – 15 = 0 8 x2 = 3 8 x = ±
c) x2 – 3x – 4 = 0 8 x = = = 
d) 2x2 – 5x + 1 = 0 8 x = = = 
e) 7x2 – 7x = 0 8 x2 – x = 0 8 x = 0, x = 1
f) 2x2 + 3x = 0 8 x (2x + 3) = 0 8 x = 0, x = –
3
2
5 + √
—
17
—
4
5 – √
—
17
—
4
5 ± √
—
17
4
5 ± √25 – 8
4
4
–1
3 ± 5
2
3 ± √9 + 16
2
√3
NÚMEROS REALES1
Números irracionales
■ Demuestra que es irracional. Para ello, supón que no lo es: = . Eleva
al cuadrado y llega a una contradicción.
Supongamos que no es irracional. Entonces, se podría poner en formade fracción:
= 8 2 = 8 p2 = 2q2
En p2, el factor 2 está un número par de veces (es decir, en la descomposición de
factores primos de p2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q2. Por tan-
to, en 2q2 el exponente de 2 es un número impar. De ser así, no se podría cumplir
la igualdad.
Suponiendo que = llegamos a una contradicción:
“p2 = 2q2, pero p2 no puede ser igual a 2q2”.
Por tanto, no puede ponerse en forma de fracción. No es racional.
■ Obtén el valor de F teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones 
F : 1 es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado.
= 8 F(F – 1) = 1 8 F2 – F – 1 = 0
F = = 
Como F ha de ser positivo, la única solución válida es F = .
√5 + 1
2
1 + √
—
5
—
2
1 – √
—
5
—(negativo)
2
1 ± √1 + 4
2
1
F – 1
F
1
F – 1
F
1
√2
p
q
√2
p2
q2
p
q
√2
√2
p
q
√2√2
Unidad 1. Números reales2
Página 28
1. Sitúa los siguientes números en el diagrama:
; 5; –2; 4,5; 7,
)
3; – ; ; ; 
2. Sitúa los números del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada nú-
mero puede estar en más de una casilla.
Añade un número más (de tu cosecha) en cada casilla.
NATURALES, N 5; √
—
64
ENTEROS, Z 5; –2; √
—
64;
3√
—
–27
RACIONALES, Q 5; –2; 4,5; 7,
)
3; 
3√
—
–27; √
—
64
REALES, Á √
—
3; 5; –2; 4,5; 7,
)
3; –
3√
—
6; √
—
64; 
3√
—
–27
NO REALES √
—
–8
NATURALES, N
ENTEROS, Z
RACIONALES, Q
REALES, Á
NO REALES
Á Q
Z N
4,5
–2
5
7,
)
3√
—
3
√
—
–8 √
—
64 = 8
–
3√
—
6
3√
—
–27 = –3
Á Q
Z N
√–83√–27√643√6√3
Unidad 1. Números reales 3
1UNIDAD
Página 29
3. Representa los siguientes conjuntos:
a) (–3, –1) b) [4, +@) c) (3, 9] d) (–@, 0)
4. Representa los siguientes conjuntos:
a) {x / –2 Ì x < 5} b) [–2, 5) « (5, 7]
c) (–@, 0) « (3, +@) d) (–@, 1) « (1, +@)
Página 30
1. Halla los siguientes valores absolutos:
a) |–11| b) |π| c) |– |
d) |0| e) |3 – π| f) |3 – |
g) |1 – | h) | – | i) |7 – |
a) 11 b) π c) 
d) 0 e) |3 – π| = π – 3
f) |3 – | = 3 – g) |1 – | = – 1
h) | – | = – i) |7 – | = – 7
2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones:
a) |x| = 5 b) |x| Ì 5 c) |x – 4| = 2
d) |x – 4| Ì 2 e) |x – 4| > 2 f ) |x + 4| > 5
a) 5 y –5 b) – 5 Ì x Ì 5; [–5, 5]
c) 6 y 2 d) 2 Ì x Ì 6; [2, 6]
e) x < 2 o x > 6; (–@, 2) « (6, +@) f) x < – 9 o x > 1; (–@, –9) « (1, +@)
√50√50√2√3√3√2
√2√2√2√2
√5
√50√3√2√2
√2
√5
a)
c)
b)
d)
0 1
0 5–2 –2 0 5 7
0 3
a)
c)
b)
d)
–3
3
–1 0
0 96
0
0
4
Unidad 1. Números reales4
Página 31
1. Simplifica:
a) b) c) 
d) e) f) 
a) = b) = 
c) = y2 d) = = 
e) = = = f ) = = 
2. ¿Cuál es mayor, o ?
Reducimos a índice común:
= ; = 
Por tanto, es mayor .
3. Reduce a índice común:
a) y b) y 
a) = ; = b) = ; 
4. Simplifica:
a) ( )8 b) c) 
a) ( )8 = k b) = c) = x
Página 32
5. Reduce:
a) · b) · c) · · d) · 
a) · = 
b) · = 
c) · · = 
d) · = = = 2
12√2512√21712√(23)3 · (22)412√4412√83
8√278√28√228√24
6√356√36√34
15√2815√2315√25
3√44√88√24√2√26√33√95√23√2
6√x63√x2
15√x108√k
3√(√—x )65√3√—x10√√
—
√
—
k
9
√132650
9
√132651
3
√51
36
√a14
18
√a7
36
√a15
12
√a5
9√132 6503√5118√a712√a5
4
√31
12
√28561
3
√13
12
√29791
4
√31
3√134√31
√38√348√813√43√229√269√64
√26√236√8
5
√y10
3√x2
12
√x84√x3
12√x9
8√819√646√8
5√y1012√x812√x9
Unidad 1. Números reales 5
1UNIDAD
6. Simplifica:
a) b) c) d) 
a) = = b) 
6
= 
c) 
6
= 
6
= d) 
4
= 
4
= 
4
7. Reduce:
a) b) c) d
a) = b) 
6
= = 
c) 
10
= = d) 
4
= = 3
8. Suma y simplifica:
a) 5 + 3 + 2
b) + – 
c) + – – 
d) – + + 
e) – 
a) 10
b) 3 + 5 – = 7
c) + – – = + – – =
= 3 + 5 – – 2 = 5
d) – + + = 3 – 5 + 2 + 2 = 5 – 3
e) – = 5 – 3 = 2√2a√2a√2a√2 · 32 · a√2 · 52 · a
√2√3√2√3√2√3√23√22 · 3√2 · 52√33
√2√2√2√2√2
√23√2√2 · 52√2 · 32√8√2√50√18
√2√2√2√2
√x
√18a√50a
√8√12√50√27
√8√2√50√18
√2√25 · 2√9 · 2
√x√x√x
4√34√ 363210√810√23√ 2825
3√326√34√ 36326√3√ 3433
4√729
√3
5√16
√2
√9
3√3
3√32
√3
√ ab c1c√ ab c5√ a3 b5 ca2 b6 c66√a–1√ 1a√ a3a4
6√a b√a3 b3a2 b2√x–2√ 1x2√ x3x5
4√a3 · b5 · c
√a · b3 · c3
6√a3
3√a2
√a · b
3√a · b
5√x
3√x
Unidad 1. Números reales6
Página 33
9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
i ) j ) 
a) = 
b) = = 
c) = = 
d) = = 
e) = = = 
f) = = = = 
g) = = 
h) = = = = 
i) = = = = 
j) = = = = 
3√10
5
2 
3√10
10
2 
3√2 · 5
2 · 5
2
3√22 · 52
2
3√100
3√6
2
3 
3√6
6
3 
3√2 · 3
2 · 3
3
3√22 · 32
3
3√36
3√25
10
3√52
10
1
2
3√5
2
3√23 · 5
1
3√40
2 
3√5
5
2
3√52
2
3√25
2√2
3
4√2
6
4
3√2
4
√2 · 32
4
√18
3√2
10
3
5√2
3
√2 · 52
3
√50
√a
a2
1
a √a
1
√a3
√21
3
√7
√3√73
3 
3√2
2
3
3√22
3
3√4
5√7
7
5
√7
2
3√100
3
3√36
1
3√40
2
3√25
4
√18
3
√50
1
√a3
7√ 3
3
3√4
5
√7
Unidad 1. Números reales 7
1UNIDAD
10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) + + h) + 
a) = = – 1
b) = = 
c) = = + 1
d) = 
e) = = 
f ) = = = 5 + 2
g) + + = + 2 = 
h) = 
Página 36
1. Halla:
a) log2 16 b) log2 0,25 c) log9 1 d) log10 0,1
e) log4 64 f) log7 49 g) ln e
4 h) ln e –1/4
i ) log5 0,04 j ) log6 )1216(
2√
—
x
x – y
√
—
x + √
—
y + √
—
x – √
—
y
x – y
5√
—
3 
2
√2√2
2
√
—
2 – 1
1
√
—
2 + 1
1
√2
2
√630 + 12√
—
6
6
18 + 12 + 12√
—
6
6
(3√
—
2 + 2√
—
3 )2
18 – 12
2√
—
3 + √
—
5
7
2√
—
3 + √
—
5
12 – 5
2√
—
3 + √
—
5
(2√
—
3 – √
—
5 ) (2√
—
3 + √
—
5 )
x + y + 2 √
—
x y
x – y
(√
—
x + √
—
y) (√
—
x + √
—
y)
(√
—
x – √
—
y ) (√
—
x – √
—
y )
√a(a – 1) (√
—
a + 1)
(a – 1)
(a – 1) (√
—
a + 1)
(√
—
a – 1) (√
—
a + 1)
x√
—
x – x√
—
y + y√
—
x – y√
—
y
x – y
(x + y) (√
—
x – √
—
y )
x – y
(x + y) (√
—
x – √
—
y )
(√
—
x + √
—
y ) (√
—
x – √
—
y )
√2√
—
2 – 1
2 – 1
√
—
2 – 1
(√
—
2 + 1) (√
—
2 – 1)
1
√
—
x + √
—
y
1
√
—
x – √
—
y
1
√
—
2 + 1
1
√
—
2 – 1
1
√2
3√
—
2 + 2√
—
3
3√
—
2 – 2√
—
3
1
2√
—
3 – √
—
5
√
—
x + √
—
y
√
—
x – √
—
y
a – 1
√
—
a – 1
x + y
√
—
x + √
—
y
1
√
—
2 + 1
Unidad 1. Números reales8
a) log2 16 = log2 2
4 = 4 b) log2 0,25 = log2 2
–2 = –2
c) log9 1 = 0 d) log10 0,1 = log10 10
–1 = –1
e) log4 64 = log4 4
3 = 3 f) log7 49 = log7 7
2 = 2
g) ln e4 = 4 h) ln e–1/4 = –
i) log5 0,04 = log5 5
–2 = –2 j) log6 = log6 6
–3 = –3
2. Halla la parte entera de:
a) log2 60 b) log5 700 c) log10 43 000
d) log10 0,084 e) log9 60 f) ln e
a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64
5 < log2 60 < 6 8 log2 60 = 5,…
b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125
4 < log5 700 < 5 8 log5 700 = 4,…
c) 104 = 10 000 ; 105 = 100 000 ; 10 000 < 43 000 < 100 000
4 < log10 43 000 < 5 8 log10 43 000 = 4,…
d) 10–2 = 0,01 ; 10–1 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1
–2 < log10 0,084 < –1 8 log10 0,084 = –1,…
e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81
1 < log9 60 < 2 8 log9 60 = 1,…
f) ln e = 1
3. Aplica la propiedad para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la
calculadora:
a) log2 1 500 b) log5 200
c) log100 200 d) log100 40
En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación.
a) = 10,55; 210,55 ≈ 1500 b) = 3,29; 53,29 ≈ 200
c) = 1,15; 1001,15 ≈ 200 d) = 0,80; 1000,80 ≈ 40log 40
log 100
log 200
log 100
log 200
log 5
log 1500
log 2
8
)1216(
1
4
Unidad 1. Números reales 9
1UNIDAD
4. Sabiendo que log5 A = 1,8 y log5 B = 2,4, calcula:
a) log5 b) log5
a) log5
3
= [2 log5 A – log5 25 – log5 B] = [2 · 1,8 – 2 – 2,4] = ≈ –0,27
b) log5 = log5 5 + log5 A – 2 log5 B = 1 + · 1,8 – 2 · 2,4 = 1 + 2,7 – 4,8 = –1,1
5. Averigua la relación que hay entre x e y, sabiendo que se verifica:
ln y = 2x – ln 5
ln y = 2x – ln 5 8 ln y = ln e2x – ln 5
ln y = ln 8 y = 
Página 38
1. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes medi-
ciones:
a) La superficie de esta casa es de 96,4 m2.
b)Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de trabajo.
c) Juana gana 19 000 € al año.
a) |Error absoluto| < 0,05 m2
|Error relativo| < < 0,00052 = 0,052%
b) |Error absoluto| < 0,5 millones de horas = 500 000 horas
|Errorrelativo| < < 0,014 = 1,4%
c) — Si suponemos que los tres ceros finales se han utilizado para poder expresar la
cantidad (es decir, que se trata de 19 mil €, redondeando a los “miles de eu-
ros”), entonces:
|E.A.| < 0,5 miles de € = 500 € |E.R.| < < 0,027 = 2,7%
— Si suponemos que es 19 000 € exactamente:
|E.A.| < 0,5 € |E.R.| < < 0,000027 = 0,0027%
0,5
19 000
0,5
19
0,5
37
0,05
96,4
e2x
5
e2x
5
3
2
3
2
5√A3
B2
– 0,8
3
1
3
1
3√A225B
5√A3
B2
3 A2√25B
Unidad 1. Números reales10
Página 39
2. Calcula en notación científica sin usar la calculadora:
a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012
b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7
a) (800 000 : 0,0002) · 0,5 · 1012 = ((8 · 105) : (2 · 10–4)) · 5 · 1011 =
= (4 · 109) · 5 · 1011 = 20 · 1020 = 2 · 1021
b) 0,486 · 10–5 + 93 · 10–9 – 6 · 10–7 = 48,6 · 10–7 + 0,93 · 10–7 – 6 · 10–7 =
= 43,53 · 10–7 = 4,353 · 10–6
3. Opera con la calculadora: 
a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10–9) : (3,941 · 10–6)
b) 8,93 · 10–10 + 7,64 · 10–10 – 1,42 · 10–9
a) (3,87 · 1015 · 5,96 · 10–9) : (3,941 · 10–6) ≈ 5,85 · 1012
b) 8,93 · 10–10 + 7,64 · 10–10 – 1,42 · 10–9 = 2,37 · 10–10
Página 41
LENGUAJE MATEMÁTICO
1. Da nombre al conjunto sombreado en cada caso:
2. Expresa simbólicamente estas relaciones:
a) 13 es un número natural.
b) – 4 es un número entero.
c) 0,43 es un número racional.
N
M'N – M (M « N) – (M » N)
M – NM » N M « N
N N
N
U
N
M M M
M
M
M
Unidad 1. Números reales 11
1UNIDAD
d) π es un número real.
e) Todos los enteros son racionales.
f ) El intervalo [3, 4] está formado por números reales.
a) 13 é N
b) –4 é Z
c) 0,43 é Q
d) π é Á
e) Z å Q
f) [3, 4] å Á
3. Designa simbólicamente estos conjuntos:
a) Los números enteros mayores que –5 y menores que 7 (utiliza Z y el inter-
valo abierto (–5, 7)).
b) Los números irracionales (utiliza Á y Q).
c) Los números racionales mayores que 2 y menores o iguales que 3.
d) Los números que son múltiplos de 2 o de 3 (el conjunto de los múltiplos de
p se designa p
•
).
a) {x é Z / x é (–5, 7)}
b) Á – Q
c) {x é Q / 2 < x Ì 3}
d) {x / x = 2
•
o x = 3
•
}
4. Traduce:
a) {x éZ /x Ó – 4}
b) {x éN /x > 5}
c) {x éN /1 < x Ì 9}
d) {x éZ /–2 Ì x < 7}
a) Números enteros mayores o iguales que –4.
b) Números naturales mayores que 5.
c) Números naturales mayores que 1 y menores o iguales que 9.
d) Números enteros mayores o iguales que –2 y menores que 7.
5. ¿Cuáles son los números que forman el conjunto (Á – Q) � [0, 1]?
Todos los irracionales comprendidos en el intervalo (0, 1).
Unidad 1. Números reales12
Página 43
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Números racionales e irracionales
1 Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos N, Z,
Q y Á pertenecen:
2; ; 0,6
)
; 127; – ; π; ; –13; 
N: 2; 127
Z: 2; 127; –13
Q: 2; 0,6); 127; – ; ; –13; 
Á: Todos
2 Escribe tres ejemplos de cada uno de los tipos de números que aparecen en
este esquema:
NÚMEROS:
Reales: –3; ; Racionales: –3; ; 1,0
)
7 Irracionales: ; – ; 
Enteros: –3; 5; 128 Fraccionarios: ; – ; 1,
)
48 Naturales: 128; 8; 15
Negativos: –3; –7; –132
3 Busca tres números racionales y uno irracional comprendidos entre y .
= 
= 
Racionales: , , 
Irracional: › 0,7071…
√2
2
23
35
22
35
21
35
25
35
5
7
20
35
4
7
5
7
4
7
1
3
3
5
π
2
√5√213
7
13
7
√2
NATURALES
NEGATIVOS
ENTEROS
FRACCIONARIOS
RACIONALES
IRRACIONALES
REALES
°
¢
£
°
§
¢
§
£
°
§
¢
§
£
43
13√16957
43
13√16957√3
PARA PRACTICAR
Unidad 1. Números reales 13
1UNIDAD
4 Indica cuál, de cada par de números, es mayor:
a) y b) 0,52
)
6 y 0,
)
526
c) 4,
)
89 y 2 d) –2,098 y –2,1
a) b) 0,52
)
6 c) 4,
)
89 d) –2,098
5 Indica si cada uno de los siguientes números es racional o irracional:
–547; ; ; ; ; ; ; 0,342
)
Racionales: –547; ; ; ; 0,342
)
Irracionales: ; ; 
6 Aproxima, por redondeo a las centésimas, los siguientes números:
; ; ; 2π; e ; F
› 1,57 › 0,67 › 0,87
2π › 6,28 e › 2,72 F › 1,62 
Potencias
7 Halla sin calculadora: ( – )–2 ( – )–1 + 4
( )–2 · (– )–1 + 4 = ( )2 · (– ) + 4 = – 4 + 4 = 0
8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:
a) b) 
c) d) 
☛ Mira el problema resuelto número 2.
a) = b) = = 
c) = = d) = a
2 c8
b6
c7 a5 c
a3 b4 b2
1
768
1
28 · 3
32 · 52 · 2–3
23 · 33 · 22 · 52
80
27
24 · 5
33
34 · 24 · 3–2
5–1 · 35
5
2
36 · 25 · 52
36 · 26 · 5
a–3 b–4 c7
a–5 b2 c–1
152 · 8–1 
63 · 102
34 · 16 · 9–1
5–1 · 35
36 · 25 · 52
93 · 43 · 5
9
4
4
3
4
9
3
4
7
9
1
3
3
4
3
2
√3
2
2
3
11
7
√3
2
2
3
11
7
π
2
√2
2
√8
5
17
√413
3
5
17
π
2
√4√2
2
13
3
√8
√2
√6
√214099
Unidad 1. Números reales14
1
9 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccio-
nario y simplifica:
a) · b) c) 
a) a2/5 · a1/2 = a9/10 = b) = x1/6 = c) a–3/4 = 
10 Resuelve, sin utilizar la calculadora:
a) b) c) 
d) e) f) 
a) = 2 b) = 7 c) = 5
d) = = 0,5 e) = 24 = 16 f ) = 0,1
11 Expresa como una potencia de base 2:
a) b) (–32)1/5 c) ( )4
a) 2–1/2 b) (–25)1/5 = –2 c) 24/8 = 21/2
12 Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:
a) 4 · · (– )3 b) (– )4 · ( )–1· 
c) d)
a) 22 · · = = b) · · = = 
c) = = = 
d) = – = 
13 Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:
a) b) 161/4 · · 
a) = a–7/4 = 
b) (24)1/4 · (22)–1/3 · (22)–1/6 = 2 · 2–2/3 · 2–1/3 = 20 = 1
1
4√a7
a3/4 · a–1
a · a1/2
1
6√
—
4
3 1√ 4
4√
—
a3 · a–1
a√
—
a
–3
400
3
52 · 24
32 · 52
–2 · 3 · 5 · 23 · 53
18
125
2 · 32
53
53 · 29 · 34
32 · 52 · 28 · 54
(–5)3 · (–23)3 · (–32)2
32 · 52 · (22 · 5)4
9
256
32
28
1
23
32
2
1
24
–9
2
–32
2
(–3)3
23
1
3
(–30)–1 · 152
103
(–5)3 (–8)3 (–9)2
152 · 204
1
8
2
9
1
2
3
2
1
3
8√21
√2
3√0,133√2121
2√ 14
4√543√735√25
3√0,0013√84√0,25
4√6253√3435√32
4√a–36√xx
2/3
x1/2
10√a9
1
4√
—
a3
3√
—
x2
√
—
x
√a5√a2
Unidad 1. Números reales 15
1UNIDAD
14 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto en
las falsas:
a) = 1 b) (3–2)–3 ( )2 = 1
c) = d) ( )–2 – (–3)–2 = 
a) Falsa. = 
b) Verdadera. (3–2)–3 · ( )2 = 36 · ( )2 = 36 · = = 1
c) Verdadera. = = = 
= + = 
d) Verdadera. ( )–2 – (–3)–2 = 32 – = 32 – = 9 – = = 
15 Demuestra, utilizando potencias, que:
a) (0,125)1/3 = 2–1 b) (0,25)–1/2 = 2
a) (0,125)1/3 = ( )1/3 = ( )1/3 = ( )1/3 = = 2–1
b) (0,25)–1/2 = ( )–1/2 = ( )–1/2 = ( )–1/2 = (22)1/2 = 2
Radicales
16 Introduce los factores dentro de cada raíz:
a) 2 b) 4 c) 
d) e) 2 f) 
a) = b) 
3
= = = 
c) = d) 
3
= 
3
e) = = = f ) 
3
= 
3
= 
3√ 325√ 352√ 3 · 553√8√234√264√24 · 22
√ 35√ 33 · 5253 · 32√ 32x√ 22 · 3xx2 · 23
3√163√243√42√ 4343√243√3 · 23
3√151
5
4√4
3 25√ 935
3x√ 82x3 1√ 43√3
1
22
1
4
25
100
1
2
1
23
1
8
125
1 000
80
9
81 – 1
9
1
9
1
32
1
(–3)2
1
3
8
15
1
5
1
3
(1/3 – 1/5) (1/3 + 1/5)
(1/3 – 1/5)
(1/32) – (1/52)
1/3 – 1/5
3–2 – 5–2
3–1 – 5–1
36
36
1
36
1
33
1
27
a4
b4
a2 · b–2
a–2 · b2
80
9
1
3
8
15
3–2 – 5–2
3–1 – 5–1
1
27
a2 · b–2
a–2 · b2
Unidad 1. Números reales16
Página 44
17 Saca de la raíz el factor que puedas:
a) b) 4 c) 
d) e) f) 
g) h) i) 
a) = 2 b) 4 = 4 · 2 = 8 c) = 10
d) = 2a e) = f ) = 
g) h) = 2 i) = 
18 Simplifica:
a) b) c)
a) 
6
= 
6
= 
6
= ( )3/6 = ( )1/2 = 
b) 
8
= 
8
= 
8
= ( )4/8 = ( )1/2 = 
c) 
4
= 
4
= ( )2/4 = ( )1/2 = = 
19 Simplifica los siguientes radicales:
a) b) c) 
d) e) f) :
a) = 2 b) = 33/6 = 31/2 = c) – = –3
d) = = · = · 
e) 
4
= = = 
f ) : = : = 1√5√54√528√54
3√2
4
3
2√2
3
√23√ 3
4
26
4√y√24√y4√224√22 · y12√26 · y3
3√223√33 · 22√36√333√33√23 · 3
4√258√625
4 81√ 6412√64y3
3√–1086√273√24
√5
2
√5
√4
5
4
5
4√ 5242√ 2516
√ 151515√( 2 )410√ 24104√ 1610000
√ 310310310√( 3 )310√ 33103√ 271000
4 9√1 + —168√0,00166√0,027
5√a
12√ 25a16 · 9√a2 + 1√4 (a2 + 1)√ 1a4a
√131
6√ 1336√ 5b5a4√ 53 · a224 · b3√a23√23 · a5
√10√23 · 53√2√2√23
3√23√24
a a√— + —9 16√4a2 + 416√ a3
1 1√— + —4 9125a
2√ 16b3√8a5
√1 000√83√16
Unidad 1. Números reales 17
1UNIDAD
20 Reduce a índice común y ordenade menor a mayor:
a) , , b) ,
c) , d) , ,
a) , , ; = < 
b) , ; < 
c) , ; < 
d) , , ; < < 
21 Realiza la operación y simplifica, si es posible:
a) 4 · 5 b) 2 · c) · 
d) ( )2 e) ( )3 f) : 
a) 20 = 20 = 20 = 180
b) 2 = 2 = 6
c) = = 
d) ( )2 = = 2 = 2
e) ( )3 = = = 22 = 4
f ) : = 2 : = 2
22 Efectúa y simplifica, si es posible:
a) · b) · · c) 
3
d) : 
☛ En b) y c) puedes expresar los radicales como potencias de bases a y 2, res-
pectivamente.
a) = b) · · =
c) ( 6 )3 = ( 6 )3 = 6 = = 
d) : = : = 
6√36√226√22 · 3√ 3√—223√√—22 · 3
1
4
1
22√ 1212√ 124√ 2
5
29
√a√a13√a
3√a6√1086√22 · 33
√3√—43√2√—3)6√
—
32
√
—
8
(√a3 1√ a3√a√33√2
3√33√33√33√23 · 3
√2√2√256√2156√25
3√183√2 · 323√24 · 323√22 · 3
1
2√ 14√ 28
√ 12√ 92√ 4 · 273 · 8
√2√2 · 34√33 · 2 · 3√27 · 6
3√33√246√323√12
1√ 8√227√ 84√ 3√6√27
4√726√1003√912√1000012√6 56112√373 248
5√104√620√1000020√7 776
√63√46√166√216
3√3√24√412√6412√8112√64
6√1003√94√725√104√6
3√4√6√23√34√4
Unidad 1. Números reales18
23 Expresa con una única raíz:
a) b) c) ( · ) : 
a) = 
b) = = 
c) 
20
= = a
24 Racionaliza los denominadores y simplifica:
a) b) c) 
d) e) 
a) = = = 
b) = 
c) = 
d) = = = 
e) = = = 8
25 Calcula y simplifica:
a) 5 + 6 – 7 + b) + 2 – – 
c) + – – d) ( + ) ( – 1)
a) 25 + 18 – 14 + 6 = 35
b) 2 + 2 – 3 – 21 = –20
c) 5 + 3 – 3 – 2 = 2 + 
d) – + – = 2 – + 3 – = + 2 √2√3√3√2√2√3√3√18√2√12
√6√5√6√5√6√5
3√23√23√23√23√2
√5√5√5√5√5
√6√3√2√24√45√54√125
3√25021
5
3√543√23√16√803
2
√20√45√125
8 √8
√8
3√8 + 6√
—
8 – √
—
8 
√8
√23 · 32 + 3√
—
25 – √
—
23
√23
3 – √3
2
3 (3 – √3 ) 
2 · 3
9 – 3√3
6
3 (3 – √3 ) 
9 – 3
2 – √2
2
(√2 – 1) √
—
2
2
3√42 
3√22
2
√6
3
2√6
3 · 2
2√3
3√2
2√3
√2 · 32
√
—
72 + 3√
—
32 – √
—
8
√
—
8
3
3 + √
—
3
√
—
2 – 1
√
—
2
2
3√2
2√3
√18
20√a20√a21√a15 · a16a10
12√12812√2712√24 · 23
6√212√4
√a5√a44√a3
3√24√—84√3√—4
Unidad 1. Números reales 19
1UNIDAD
26 Simplifica al máximo las siguientes expresiones:
a) 3 – 2 + 5 – 4
b) – 4 + 
c) 7 – 2 + 
a) 3 – 2 + 5 – 4 = 6 – 10 + 15 – 4 = 7
b) – 4 + = – + = 
c) 7 – 2 + = 21 – 2a + = ( – 2a)
27 Efectúa y simplifica:
a) ( + )2 – ( – )2 b) ( + )2
c) ( – ) ( + ) d) (2 – 3 )2
e) ( – 1) ( + 1)
a) ( + + – ) · ( + – + ) = 2 · 2 = 4
b) 2 + 2 = 4 + 2
c) 5 – 6 = –1
d) 20 + 18 – 12 = 38 – 12
e) (2 – 1) = 
28 Racionaliza y simplifica:
a) b) c)
d) e) f)
a) = = = =
= = √6 – 1
3
2 (√6 – 1)
3 · 2
2√6 – 2
3 · 2
(2√3 – √—2 ) √—2
3√2 · √
—
2
2√3 – √
—
2
3√2
2√3 – √
—
2
√2 · 32
3√
—
6 + 2√
—
2
3√
—
3 + 2
11
2√
—
5 + 3
3
√
—
5 – 2
1
2(√
—
3 – √
—
5 )
2√
—
3 + √
—
2
√
—
12
2√
—
3 – √
—
2
√
—
18
√3√3
√10√10
√10√3√10√12
√6√2√3√2√3√2√3√2√3√2√3
√3√2√2
√2√5√6√5√6√5
√2√5√6√2√3√2√3
3√3a106
5
3√3a
5
3√3a3√3a
3√3a
5
3√3a43√34 · a
√ 25–5345√ 2529√ 25125√ 25√ 2332 · 513√ 2 · 3253√ 25
3√23√23√23√23√23√23√2 · 333√2 · 533√24
3√
—
3a
5
3√3a43√81a
8√ 451318√1252√ 5
3√23√543√2503√16
Unidad 1. Números reales20
b) = = = = 1 + 
c) = = = –
d) = = 3 ( + 2) = 3 + 6
e) = = = 2 – 3
f ) = = = 
= = = 
29 Efectúa y simplifica:
a) – b) –
a) = = + 5
b) = =
= = –2
Página 45
Notación científica y errores
30 Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas.
Determina también, en cada caso, una cota del error absoluto y otra del
error relativo cometidos.
a) (3,12 · 10
–5 + 7,03 · 10–4) 8,3 · 108
4,32 · 103
√352√
—
7 (–2√—5 )
2
(√—7 – √—5 + √—7 + √—5 ) (√—7 – √—5 – √—7 – √—5 )
7 – 5
(√—7 – √—5 )2 – (√—7 + √—5 )2
(√—7 + √—5 ) (√—7 – √—5 )
√2√33√
—
3 + 3√
—
2 – 2√
—
3 + 2√
—
2 
3 – 2
3 (√—3 + √—2 ) – 2 (√—3 – √—2 )
(√—3 – √—2 ) (√—3 + √—2 )
√
—
7 + √
—
5
√
—
7 – √
—
5
√
—
7 – √
—
5
√
—
7 + √
—
5
2
√
—
3 + √
—
2
3
√
—
3 – √
—
2
√223√2
23
27√
—
2 – 4√
—
2
23
9√
—
2 · 32 – 4√
—
2
23
9√
—
18 – 6√
—
6 + 6√
—
6 – 4√
—
2
27 – 4
(3 √—6 + 2√—2 ) (3 √—3 – 2)
(3√—3 + 2) (3√—3 – 2)
√511
(2√—5 – 3)
11
11 (2√—5 – 3)
20 – 9
11 (2√—5 – 3)
(2√—5 + 3) (2√—5 – 3)
√5√53
(√5 + 2)
5 – 4
3 (√5 + 2)
(√5 – 2) (√—5 + 2)
√3 + √
—
5 
4
√3 + √
—
5 
– 4
√3 + √
—
5 
2 (3 – 5)
(√3 + √—5 )
2 (√3 – √—5 )(√—3 + √—5 )
√6
6
6 + √6
6
(2√3 + √—2 ) √—3
2√3 · √
—
3
2√3 + √
—
2
2√3
2√3 + √
—
2
√22 · 3
Unidad 1. Números reales 21
1UNIDAD
b) 
c) 
a) 1,41 · 102 |Error absoluto| < 0,5; |Error relativo| < 0,0035
b) –1,58 · 105 |Error absoluto| < 500; |Error relativo| < 0,0032
c) –2,65 · 106 |Error absoluto| < 5 000; |Error relativo| < 0,0019
31 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a
notación científica los que no lo estén:
a) 3,27 · 1013; 85,7 · 1012; 453 · 1011
b) 1,19 · 10–9; 0,05 · 10–7; 2 000 · 10–12
a) 8,57 · 1013 > 4,53 · 1013 > 3,27 · 1013
b) 5 · 10–9 > 2 · 10–9 > 1,19 · 10–9
32 Efectúa: 
–7,268 · 10–12
33 Expresa en notación científica y calcula: 
= 150
34 Considera los números: A = 3,2 · 107; B = 5,28 · 104 y C = 2,01 · 105
Calcula . Expresa el resultado con tres cifras significativas y da 
una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos.
0,00793125 = 7,93 · 10–3
|Error absoluto| < 5 · 10–6; |Error relativo| < 6,31 · 10–4
35 Si A = 3,24 · 106; B = 5,1 · 10–5; C = 3,8 · 1011 y D = 6,2 · 10–6, calcula
( + C ) · D. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cota
del error absoluto y otra del error relativo cometidos.
2 749 882,353 ≈ 2,75 · 106
|Error absoluto| < 5 · 103
|Error relativo| < 1,82 · 10–3
A
B
B + C
A
(6 · 104)3 · (2 · 10–5)4
104 · 7,2 · 107 · (2 · 10–4)5
60 0003 · 0,000024
1002 · 72 000 000 · 0,00025
2 · 10–7 – 3 · 10–5
4 · 106 + 105
5,431 · 103 – 6,51 · 104 + 385 · 102
8,2 · 10–3 – 2 · 10–4
(12,5 · 107 – 8 · 109) (3,5 · 10–5 + 185)
9,2 · 106
Unidad 1. Números reales22
Intervalos y valor absoluto
36 Expresa como desigualdad y como intervalo, y represéntalos:
a) x es menor que –5.
b) 3 es menor o igual que x.
c) x está comprendido entre –5 y 1.
d) x está entre –2 y 0, ambos incluidos.
a) x < –5; (–@, –5)
b) 3 Ì x ; [3, +@)
c) –5 < x < 1; (–5, 1)
d) –2 Ì x Ì 0; [–2, 0]
37 Representa gráficamente y expresa como intervalos estas desigualdades:
a) –3 Ì x Ì 2 b) 5 < x c) x Ó –2
d) –2 Ì x < 3/2 e) 4 < x < 4,1 f) –3 Ì x
a) [–3, 2] b) (5, +@)
c) [–2, +@) d) [–2, )
e) (4; 4,1) f ) [–3, +@)
38 Escribe la desigualdad que verifica todo número x que pertenece a estos in-
tervalos:
a) [–2, 7] b) [13, +@) c) (–@, 0)
d) (–3, 0] e) [3/2, 6) f) (0, +@)
a) –2 Ì x Ì 7 b) x Ó 13 c) x < 0
d) –3 < x Ì 0 e) Ì x < 6 f ) x > 0
39 Expresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos 
(A � B) e (I � J):
a) A = [–3, 2] B = [0, 5]
b) I = [2, +@) J = (0, 10)
a) [0, 2]
b) [2, 10)
3
2
3
2
–5 0
0 3
–5 0 1
–2 0
Unidad 1. Números reales 23
1UNIDAD
–3 20
0
4 4,1 5
–2
–3
5
–2 0
0
3/2
40 Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualda-
des:
a) x < 3 o x Ó 5 b) x > 0 y x < 4
c) x Ì –1 o x > 1 d) x < 3 y x Ó –2
☛ Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), es-
cribe: (–@, 3)� [5, +@)
a) (–@, 3) « [5, @) b) (0, 4)
c) (–@, –1] « (1, @) d) [–2, 3)
41 Expresa, en forma de intervalo, los números que cumplen cada una de es-
tas expresiones:
a) |x| < 7 b) |x| Ó 5 c) |2x| < 8
d) |x – 1| Ì 6 e) |x + 2| > 9 f ) |x – 5| Ó 1
a) |x| < 7 8 –7 < x < 7 8 Intervalo (–7, 7)
b) |x| Ó 5 8 x Ì –5 o x Ó 5 8 (–@, –5] « [5, +@)
c) |2x| < 8 8 |x| < 4 8 –4 < x < 4 8 Intervalo (–4, 4)
d) |x – 1| Ì 6 8 –5 Ì x Ì 7 8 Intervalo [–5, 7]
e) |x + 2| > 9 8 x < –11 o x > 7 8 (–@, –11) « (7, +@)
f) |x – 5| Ó 1 8 x Ì 4 o x Ó 6 8 (–@, 4] « [6, +@)
42 Averigua qué valores de x cumplen:
a) |x – 2| = 5 b) |x – 4| Ì 7 c) |x + 3| Ó 6
a) 7 y –3
b) –3 Ì x Ì 11; [–3, 11]
c) x Ì –9 o x Ó 3; (–@, –9] « [3, @)
43 Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que se
pueda calcular la raíz en cada caso:
a) b) c) 
d) e) f) 
a) x – 4 Ó 0 ò x Ó 4; [4,+@)
b) 2x + 1 Ó 0 ò 2x Ó –1 ò x Ó – ; [– , +@)
c) –x Ó 0 ò x Ì 0; (–@, 0]
1
2
1
2
x√1 + —2√–x – 1√3 – 2x
√–x√2x + 1√x – 4
Unidad 1. Números reales24
d) 3 – 2x Ó 0 ò 2x Ì 3 ò x Ì ; (–@, ]
e) –x – 1 Ó 0 ò x Ì –1; (–@, –1]
f ) 1 + Ó 0 ò Ó –1 ò x Ó –2; [–2, +@)
44 Se llama distancia entre dos números a y b, al valor absoluto de la dife-
rencia entre ellos:
d(a, b) = |a – b|
Halla la distancia entre los siguientes pares de números:
a) 7 y 3 b) 5 y 11
c) –3 y –9 d) –3 y 4
a) |7 – 3| = 4 b) |5 – 11| = 6
c) |–3 + 9| = 6 d) |–3 – 4| = 7
Página 46
45 Expresa como un único intervalo:
a) (1, 6] � [2, 5) b) [–1, 3) � (0, 3]
c) (1, 6] � [2, 7) d) [–1, 3) � (0, 4)
a) (1, 6] � [2, 5) = (1, 6]
b) [–1, 3) � (0, 3] = [–1, 3]
c) (1, 6] � [2, 7) = [2, 6]
d) [–1, 3) � (0, 4) = [0, 3)
Logaritmos
46 Calcula, utilizando la definición de logaritmo:
a) log2 64 + log2 – log3 9 – log2
b) log2 + log3 – log2 1
a) log2 64 + log2 – log3 9 – log2 = 6 – 2 – 2 – = 
b) log2 + log3 – log2 1 = –5 – 3 – 0 = –8
1
27
1
32
3
2
1
2
√21
4
1
27
1
32
√21
4
x
2
x
2
3
2
3
2
Unidad 1. Números reales 25
1UNIDAD
47 Calcula la base de estos logaritmos:
a) logx 125 = 3 b) logx = –2
a) logx 125 = 3 8 x
3 = 125 8 x = 5
b) logx = –2 8 x
–2 = 8 x = 3
48 Calcula el valor de x en estas igualdades:
a) log 3x = 2 b) log x2 = –2 
c) 7x = 115 d) 5–x = 3
a) x = = 4,19 b) 2 log x = –2; x = 
c) x = = 2,438 d) x = – = –0,683
49 Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciación.
a) log b) ln (2,3 · 1011) c) ln (7,2 · 10–5)
d) log3 42,9 e) log5 1,95 f ) log2 0,034
a) 1,085
b) ln (2,3 · 1011) › 26,161 8 e26,161 › 2,3 · 1011
c) ln (7,2 · 10–5) › –9,539 8 e–9,539 › 7,2 · 10–5
d) 3,42
e) 0,41
f) –4,88
50 Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de los
logaritmos:
a) ln x = ln 17 + ln 13 b) log x = log 36 – log 9
c) ln x = 3 ln 5 d) log x = log 12 + log 25 – 2 log 6
e) ln x = 4 ln 2 – ln 25
☛ a) Por logaritmo de un producto: ln x = ln (17 · 13)
a) ln x = ln 17 + ln 13 8 x = 17 · 13 = 221 8 x = 221
b) log x = log 8 x = = 4
c) ln x = 3 ln 5 8 x = 53 = 125 8 x = 125
36
9
36
9
1
2
√148
log 3
log 5
log 115
log 7
1
10
2
log 3
1
9
1
9
1
9
Unidad 1. Números reales26
d) log x = log 8 x = 
e) ln x = 4 ln 2 – ln 25 8 ln x = ln 24 – ln 251/2 8
8 ln x = ln 16 – ln 5 8 ln x = ln 8 x = 
51 Sabiendo que log 3 = 0,477, calcula el logaritmo decimal de 30; 300; 3 000;
0,3; 0,03; 0,003.
log 30 = log (3 · 10) = log 3 + log 10 = 0,477 + 1 = 1,477
log 300 = log (3 · 102) = log 3 + 2 log 10 = 2,477
log 3000 = 0,477 + 3 = 3,477
log 0,3 = log (3 · 10–1) = 0,477 – 1 = –0,523
log 0,03 = log (3 · 10–2) = 0,477 – 2 = –1,523
log 0,003 = 0,477 – 3 = –2,523
52 Sabiendo que log k = 14,4, calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) log b) log 0,1 k2 c) log d) (log k)1/2
a) log k – log 100 = 14,4 – 2 = 12,4
b) log 0,1 + 2 log k = –1 + 2 · 14,4 = 27,8
c) (log 1 – log k) = – · 14,4 = –4,8
d) (14,4)1/2 = = 3,79
53 Calcula la base de cada caso:
a) logx 1/4 = 2 b) logx 2 = 1/2
c) logx 0,04 = –2 d) logx 4 = –1/2
☛ Aplica la definición de logaritmo y las propiedades de las potencias para des-
pejar x.
En c), x –2 = 0,04 ï = .
a) x2 = 8 x = b) x1/2 = 2 8 x = 4
c) = 8 x = 5 d) x–1/2 = 4 8 x = 1
16
4
100
1
x2
1
2
1
4
4
100
1
x2
√14,4
1
3
1
3
3 1√ kk100
16
5
16
5
1
2
25
3
12 · 25
62
Unidad 1. Números reales 27
1UNIDAD
54 Halla el valor de x que verifica estas igualdades:
a) 3x = 0,005 b) 0,8x = 17 c) ex = 18
d) 1,5x = 15 e) 0,5x = 0,004 f ) ex = 0,1
a) x = = –4,82 b) x = = –12,70
c) ex = 18 8 x = ln 18 = 2,89 8 x = 2,89
d) x = = 6,68 e) x = = 7,97
f) ex = 0,1 8 x = ln 0,1 = –2,30 8 x = –2,30
55 Calcula x para que se cumpla:
a) x2,7 = 19 b) log7 3x = 0,5 c) 3
2 + x = 172
a) log x2,7 = log 19 ò 2,7 log x = log 19 ò log x = = 0,47
x = 100,47 = 2,98
b) 70,5 = 3x ò x = = 0,88
c) log 32 + x = log 172 ò (2 + x) log 3 = log 172 ò 2 + x = 
x = – 2 = 2,69
56 Si log k = x, escribe en función de x:
a) log k2 b) log c) log 
a) 2 log k = 2x
b) log k – log 100 = x – 2
c) log 10k = (1 + x)
57 Comprueba que = – (siendo a ≠ 1).
= = –
Ha de ser a ? 1 para que log a ? 0 y podamos simplificar.
1
6
–1/2 log a
3 log a
– log a + 1/2 log a
3 log a
1
6
1log — + log √
—
a
a
log a3
1
2
1
2
√10kk
100
log 172
log 3
log 172
log 3
70,5
3
log 19
2,7
log 0,004
log 0,5
log 15
log 1,5
log 17
log 0,8
log 0,005
log 3
Unidad 1. Números reales28
Problemas aritméticos
58 El depósito de la calefacción de un edificio contiene 25 000 l de gasóleo. Esta
cantidad tarda en consumirse 40 días si la calefacción se enciende 5 horas
diarias.
En el mes de enero ha hecho mucho frío y se ha encendido 6 horas diarias
durante 25 días. ¿Cuántos litros de gasóleo quedan en el depósito?
☛ ¿Cuántos litros se consumen por hora?
40 · 5 = 200 horas
25 000 : 200 = 125 l/h (consumo de gasóleo por hora)
125 · 6 · 25 = 18 750 l consumidos en enero.
25 000 – 18 750 = 6 250 litros quedan en el depósito.
59 En una empresa hay dos fotocopiadoras que, trabajando 6 horas diarias, ha-
cen 3 000 copias cada día.
Se quiere ampliar el negocio comprando otra fotocopiadora, de modo que se
hagan 5 500 copias al día.
¿Cuántas horas al día tiene que trabajar cada una de las tres fotocopiadoras?
3000 : 12 = 250 copias por hora cada fotocopiadora.
5 500 : 250 = 22 horas diarias entre las tres.
22 : 3 = 7,
)
3 = 7 horas 20 minutos es el tiempo que tienen que trabajar las fotoco-
piadoras.
60 En un concurso se reparten 20 000 € entre las tres personas que han tardado
menos tiempo en realizar una prueba.
La primera ha tardado 4 minutos; la segunda, 5 minutos, y la tercera, 8 minu-
tos. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada una?
☛ ¿Cuántos minutos han tardado entre los tres?
Debemos repartir 20 000 € de forma inversamente proporcional al tiempo emplea-
do:
+ + = + + = tardarían entre los tres
Al primero le corresponde = 8 695,65 €
Al segundo le corresponde = 6 956,52 €
Al tercero le corresponde = 4 347,83 €
20000 · 5
23
20 000 · 8
23
20 000 · 10
23
23
40
5
40
8
40
10
40
1
8
1
5
1
4
Unidad 1. Números reales 29
1UNIDAD
Página 47
61 Un automóvil consume 6,4 l de gasolina por cada 100 km. ¿Cuántos kilóme-
tros podrá recorrer con el depósito lleno en el que caben 52 l ?
52 : 6,4 = 8,125
8,125 · 100 = 812,5 km
62 Varios amigos se reúnen en un bar y toman 15 refrescos pagando 18,75 €
en total. Uno de ellos tomó solo un refresco, otro tomó dos y el resto toma-
ron 3 refrescos cada uno. ¿Cuántos amigos fueron y cuánto tuvo que pagar
cada uno?
18,75 : 15 = 1,25 € por refresco.
1,25 paga el primero; 2,5 paga el segundo 8 3,75 € entre los dos.
Los restantes toman 15 – 3 = 12 refrescos.
12 : 3 = 4 amigos que paga cada uno 3,75 €.
Son 6 en total. Pagan 1,25 €, 2,5 € y 3,75 € los otros cuatro.
63 En una granja hay 75 gallinas que consumen 450 kg de maíz en 30 días. Para
aumentar la producción de huevos, se aumenta el número de gallinas a 200 y
se compran 800 kg de maíz. ¿Cuántos días se podrá dar de comer a las gallinas?
450 : 30 = 15; 15 : 75 = 0,2 kg de maíz es lo que come una gallina en un día.
200 · 0,2 = 40 kg por día para alimentar 200 gallinas.
800 : 40 = 20 días podrán comer las gallinas.
64 Un empleado puede hacer los 2/3 de un trabajo en 7 días trabajando 5 horas
diarias, y otro, los 3/5 del mismo trabajo en 8 días de 8 horas de trabajo.
¿Cuánto tiempo tardarán los dos juntos en hacer el trabajo, dedicando 6 ho-
ras diarias?
Para hacer todo el trabajo el primero tarda: 5 · 7 · = horas
Y el segundo: 8 · 8 · = 
En 1 hora los dos juntos hacen: + = 
Para hacer todo el trabajo tardan: = 35,1832 horas
35,1832 : 6 ≈ 5 días 5 horas 11 minutos.
65 La fórmula u = 145p relaciona, aproximadamente, el número de pasos por
minuto u de una persona y su longitud p en metros. Si doy pasos de 0,70
m, ¿cuál es mi velocidad en km/h?
u = 145 · 0,7 = 101,5 pasosque doy en 1 minuto.
6 720
191
191
6 720
3
320
2
105
320
3
5
3
105
2
3
2
Unidad 1. Números reales30
101,5 · 0,7 = 71,05 m que recorro en un minuto.
71,05 · 60 = 4 263 m que recorro en una hora.
4,263 km/h es mi velocidad.
66 Dos amigas, trabajando juntas, emplearían 3 días para hacer un trabajo. Des-
pués del primer día, una de las dos lo tiene que dejar. Continúa la otra sola y
tarda 6 días en acabar el trabajo. ¿En cuántos días haría el trabajo cada una ais-
ladamente?
Después del primer día quedan por hacer los 2/3 y como la segunda amiga tarda
6 días, para hacer todo el trabajo tardaría = 9 días.
La primera hace por día – = del trabajo.
Por tanto, tardaría en hacer todo el trabajo = 4,5 días.
67 Una parcela de 45 m de ancho y 70 m de largo cuesta 28 350 €. ¿Cuánto cos-
tará otra parcela de terreno de igual calidad de 60 m Ò 50 m?
La parcela inicial mide 45 · 70 = 3 150 m2
El precio del metro cuadrado es de 28 350 : 3 150 = 9 euros.
La otra parcela costará 60 · 50 · 9 = 27 000 euros.
68 Dos poblaciones A y B distan 350 km. A la misma hora sale un autobús de
A hacia B a una velocidad de 80 km/h y un turismo de B hacia A a
120 km/h. ¿Cuándo se cruzarán?
☛ Se aproximan a 80 + 120 = 200 km/h. ¿Cuánto tardarán en recorrer los 350 km
a esa velocidad?
Si se aproximan a 80 + 120 = 200 km/h, en recorrer 350 km tardarán:
t = = 1,75 horas = 1 hora y 45 minutos
69 Un automóvil tarda 3 horas en ir de A a B y otro tarda 5 horas en ir de B
a A. Calcula el tiempo que tardarán en encontrarse si salen simultáneamen-
te cada uno de su ciudad.
☛ ¿Qué fracción de la distancia AB recorre cada uno en una hora? ¿Y entre los dos?
El primero recorre 1/3 del camino en 1 hora.
El segundo recorre 1/5 del camino en 1 hora.
Entre los dos recorren: + = del camino en 1 hora.
Tardarán h = 1h 52' 30" en encontrarse.15
8
8
15
1
5
1
3
350
200
9
2
2
9
1
9
1
3
6 · 3
2
Unidad 1. Números reales 31
1UNIDAD
Página 47
AUTOEVALUACIÓN
1. Dados los números:
– ; ; ; ; ; ; 1,0
)
7
a) Clasifícalos indicando a cuáles de los conjuntos N, Z, Q o Á, pertenecen.
b)Ordena de menor a mayor los reales.
c) ¿Cuáles de ellos pertenecen al intervalo (–2, 11/9]?
a) N: 
Z: ; 
Q: ; ; – ; 1,0)7
Á: ; ; – ; 1,0)7; ; 
b) < – < < 1,0
)
7 < < 
c) – ; ; 1,0
)
7
2. Representa los siguientes conjuntos:
a) {x / –3 Ì x < 1}
b) [4, +@)
c) (–@, 2) « (5, +@)
3. Expresa en forma de intervalo en cada caso:
a) |x| Ó 8
b)|x – 4| < 5
a) (–@, –8] « [8, +@)
b) (–1, 9)
–3 0 1
a)
0 4
b)
50 2
c)
π
3
58
45
51
17
5√23π
3
58
45
3√–8
5√23π
3
58
45
3√–851
17
58
45
3√–851
17
3√–851
17
51
17
5√233√–84√–3π
3
51
17
58
45
Unidad 1. Números reales32
4. Escribe como potencia y simplifica:
( · a–1) : (a )
( · a–1) : (a ) = (a3/4 · a–1) : (a · a1/2) = (a3/4 – 1) : (a1 + 1/2) = (a–1/4) : (a3/2) =
a–1/4 – 3/2 = a–7/4
5. Multiplica y simplifica:
· 
Reducimos los radicales a índice común:
mín.c.m. (3, 6) = 6 8 = 
· = = = = 3a
6. Racionaliza:
a) 
b) 
a) = = = = + 
b) = = = = 1 + 
7. Reduce:
– 2 + 
– 2 + = – 2 + = 3 – 4 + 5 = 4
8. Aplica la definición de logaritmo y obtén x:
a) log3 x = –1
b) log x = 2,5
c) ln x = 2
a) log3 x = –1 8 x = 3
–1 8 x = 
b) log x = 2,5 8 x = 102,5 8 x = 105/2 = = 102
c) ln x = 2 8 x = e2
√10√105
1
3
√7√7√7√7√52 · 7√22 · 7√32 · 7√175√28√63
√175√28√63
√31
3
6 + 2√
—
3
6
6 + 2√
—
3
9 – 3
2(3 + √
—
3 )
(3 – √
—
3 ) (3 + √
—
3 )
2
3 – √
—
3
√21
2
√32
3
4√
—
3 + 3√
—
2
6
4√
—
3 + √
—
18
2 · 3
(4 + √
—
6 ) (√
—
3 )
(2√
—
3 ) (√
—
3 )
4 + √
—
6
2√
—
3
2
3 – √
—
3
4 + √
—
6
2√
—
3
6√2ab46√2 · 36a7b46√2 · 93a7b46√92a4b2 · 18a3b26√18a3b23√9a2b
6√(9a2b)23√9a2b
6√18a3b23√9a2b
√a4√a3
√a4√a3
Unidad 1. Números reales 33
1UNIDAD
9. Calcula x en cada caso.
a) 2,5x = 0,0087
b) 1,0053x = 143
a) x log 2,5 = log 0,0087 8 x = = –5,18
b) 1,0053x = 143
Tomamos logaritmos:
log 1,0053x = log 143 8 3x log 1,005 = log 143 8 x = ≈ 331,68
10. Efectúa la siguiente operación, expresa el resultado con tres cifras significa-
tivas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo:
(5 · 10–18) · (3,52 · 1015) : (–2,18 · 10–7)
(5 · 10–18) · (3,52 · 1015) : (–2,18 · 10–7) = (1,76 · 10–2) : (–2,18 · 10–7) =
= –8,0734 · 104 ≈ –8,07 · 104
|Error absoluto| < 0,005 · 104 = 5 · 101
|Error relativo| < = 6,2 · 10–4
11. Expresa con un solo logaritmo y di el valor de A:
log 5 + 2 log 3 – log 4 = log A
log 5 + 2 log 3 – log 4 = log 5 + log 32 – log 4 = log 8 A = 
45
4)5 · 94(
5 · 101
8,07 · 104
log 143
3 log 1,005
log 0,0087
log 2,5
Unidad 1. Números reales34
Unidad 2. Aritmética mercantil 1
Página 49
REFLEXIONA Y RESUELVE
Aumentos porcentuales
■ ¿En cuánto se transforman 250 € si aumentan el 12%?
250 · 1,12 = 280 €
■ Calcula en cuánto se transforma un capital C si sufre un aumento del: 
a) 10% b) 20% c) 6% d) 6,5% e) 1% f) 0,3%
a) 1,10 C ; b) 1,20 C ; c) 1,06 C
d) 1,065 C ; e) 1,01 C ; f ) 1,003 C
Disminuciones porcentuales
■ ¿En cuánto se transforman 250 € si disminuyen el 12%?
250 · 0,88 = 220 €
■ Calcula en cuánto se transforma un capital C si sufre una disminución del:
a) 10% b) 20% c) 50% d) 6% e) 6,5% f) 0,8%
a) 0,90 C ; b) 0,80 C ; c) 0,50 C
d) 0,94 C ; e) 0,935 C ; f ) 0,992 C
Índice de variación
■ Di cuál es la variación porcentual que corresponde a cada una de las siguientes
transformaciones:
a) C 8 1,15 C b)C 8 1,2 C c) C 8 1,042 C
d)C 8 0,85 C e) C 8 0,8 C f ) C 8 0,958 C
a) Aumento del 15%. b) Aumento del 20%. c) Aumento del 4,2%.
d) Disminución del 15%. e) Disminución del 20%. f) Disminución del 4,2%.
ARITMÉTICA MERCANTIL2
■ Di cuál es la variación porcentual que corresponde a cada una de las siguientes
transformaciones:
a) 8 000 € 8 9 360 €
b) 12 560 € 8 11 932 €
c) 12 000 personas 8 10 320 personas
d) 23 500 personas 8 31 725 personas
a) Ha aumentado un 17%.
b) Ha disminuido un 5%.
c) Ha disminuido un 14%.
d) Ha aumentado un 35%.
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1. Una raqueta de tenis valía, al comienzo de temporada, 28 euros. A lo largo del
año sufrió las siguientes variaciones: subió un 20%, bajó un 25%, subió un 5%,
bajó un 12%. 
a) ¿Cuánto vale al final de temporada?
b) ¿Cuál ha sido su índice de variación total?
c) ¿Qué porcentaje ha de subir para volver a costar 28 €?
Precio final = 28 · 1,2 · 0,75 · 1,05 · 0,88 = 23,28 €
Índice de variación = 1,2 · 0,75 · 1,05 · 0,88 = 0,8316 (baja el precio un 16,84%)
Como el precio final es de 23,28 €, hasta llegar a los 28 € debe subir:
28 – 23,28 = 4,72 € 8 · 100 = 20,27%
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2. Después de subir un 20%, un artículo vale 45,60 euros.
¿Cuánto valía antes de la subida?
1,2x = 45,60 8 x = 38 €
3. Después de rebajarse en un 35%, un artículo vale 81,90 euros.
¿Cuánto valía antes de la rebaja?
0,65x = 81,90 8 x = 126 €
4,72
23,28
Unidad 2. Aritmética mercantil2
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1. ¿En cuánto se transforma un capital de 50 000 €, colocado al 12% anual, en 1, 2, 3,
4 y 5 años?
En 1 año se transforma en 50 000 · 1,12 = 56 000 €.
En 2 años se transforma en 50 000 · 1,122 = 62 720 €.
En 3 años se transforma en 50 000 · 1,123 = 70 246,40 €.
En 4 años se transforma en 50 000 · 1,124 = 78 675,97 €.
En 5 años se transforma en 50 000 · 1,125 = 88 117,08 €.
2. ¿Cuántos años se necesitan para que se dupliquen 50 000 € colocados al 12%
anual?
Hacen falta 7 años para que se duplique, ya que 50 000 · 1,127 > 10 000.
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3. Averigua en cuánto se transforma un capital de 100 000 € al 6% anual durante
4 años si los períodos de capitalización son: a) años, b) meses, c) días, d) tri-
mestres.
a) 100 000 · 1,064 = 126 247,70 € b) 100 000 · 1,00548 = 127 048,92 €
c) 100 000 · (1 + )1460 = 127 122,41 € d) 100 000 · 1,01516 = 126 898,55 €
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1. Un banco nos concede un préstamo de 10 000 € al 12% anual. En el momento
de la formalización nos cobra unos gastos de 500 €. Realizamos un solo