Razonamiento Matemático - El postulante

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COLECCIÓN EL POSTULANTE
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
CO LECCIÓ N EL POSTULANTE
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
E d i to r ia l
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - COLECCIÓN E l POSTULANTE 
Salvador Timoteo
© Salvador Timoteo
Diseño de portada: Óscar Farro 
Composición de interiores: Lidia Ramírez 
Responsable de edición: Alex Cubas
© Editorial San Marcos E. I. R. L.; editor 
Jr. Dávalos Lissón 135, Lima 
Telefax: 331-1522 
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E-mail: informes@editorialsanmarcos.com
Primera edición: 2007 
Segunda edición 2013 
Tiraje: 1000 ejemplares
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú 
Registro N.° 2012-11993 
ISBN 978-612-302-914-2
Registro de Proyecto Editorial N.” 31501001200780
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, 
sin previa autorización escrita dei autor y del editor.
Impreso en el Perú / Printed ¡n Perú
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INDICE
Planteo de ecuaciones.......................................................................................................................................... 9
Edades.................................................................................................................................................................. 17
Móviles...................................... 22
Operadores matemáticos....................................................................................................................................26
Relojes...................................................................................................................................................................30
Inducción y deducción......................................................................................................................................... 35
Sucesiones y series............................................................................................................................................. 41
Conteo de figuras.................................................................................................................................................46
Razonamiento lógico........................................................................................................................................... 51
Comparación de magnitudes.............................................................................................................................. 60
Porcentajes........................................................................................................................................................... 66
Fracciones.............................................................................................................................................................72
Análisis combinatorio...................................................................................................................................... 80
Razonamiento geométrico................................ 87
Regiones sombreadas......................................................................................................................................... 93
Cripto aritmética.................................................................................................................................................101
PRESENTACIÓN
Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando 
en las necesidades académicas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades, 
institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional.
La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son 
desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado 
de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para 
enfrentar no solo los diversos exámenes de admisión, sino afianzar los saberes de su formación escolar 
y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria 
exitosa.
Finalmente, deseamos hacer un reconocimiento al staffde docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe­
dro de Castro, Jorge Solari y Nathali Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores academias 
de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de 
los contenidos.
-E L EDITOR-
PLANTEO DE ECUACIONES
ECUACIÓN
Igualdad entre cantidades del mismo valor donde 
uno o más valores desconocidos están represen­
tados por variables.
Para realizar un correcto planteo de ecuaciones es 
necesario comprender correctamente e Interpretar 
el enunciado para luego simbolizarlo, es decir, pa­
sarlo al lenguaje algebraico.
PLANTEO DE ECUACIONES
Enunciado
Lenguaje
matemático
ENUNCIADO
EXPRESIÓN
MATEMÁTICA
a es dos veces b: x = 2y
x es dos veces más que y: x = 3y
El doble, de x más 4: 2(x + 4)
El triple de x, más 7: 3x + 7
El número de manzanas 
excede al número de na­
ranjas en 8:
M - N = 8
La suma de tres números 
impares consecutivos: (x)+(x + 2)+(x + 4)
El número de varones 
es al número de damas 
como 5 es a 9:
V 5 
D 9
El cubo del doble de x : (2x)3
El doble del cuadrado de x: 2(x2)
Dos menos tres veces un 
número:
2 - 3x
Dos menos de tres veces 
un número: 3x - 2
El triple de un número, au­
mentado en 12: 3x + 12
El triple, de un número au­
mentado en 12: 3(x + 12)
La suma de tres números 
consecutivos: (x—1) + x + (x+ 1)
La edad de Luis es dos 
veces la edad de Kike:
Luis: 2x 
Kike: x
ENUNCIADO
EXPRESIÓN
MATEMÁTICA
La edad de Ana es dos veces Ana: 3x
más que la edad de Bety: Bety: x
El exceso de A sobre B es 40: A-B = 40
A 2
A es a B como 2 a 3: B 3
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Anita tiene entre conejos y gallinas treinta ani­
males. Si el número de patas en total que ella 
observa es 100, ¿cuántos conejos tiene?
Resolución:
Como Inicio a la resolución del problema ve­
mos que el número de conejos y el de gallinas 
es desconocido, es por ello que le damos a 
cada uno una variable.
Número de conejos = y 
Número de gallinas = x
Ahora planteamos las ecuaciones según los 
datos, obteniéndose lo siguiente: 
gallinas + conejos = 30 =» x + y = 30 
Con respecto a las patas (conejos: 4 patas; 
gallinas: 2 patas)
4y + 2x = 100 => 2y + 2(y + x) = 100
~ 6( P
2y + 60 = 100 .-.y = 20
2. Me falta S/.100 para poder comprar una ca­
misa y me sobraría S/.50 si decido comprar 
un polo cuyo costo es la mitad de la camisa. 
¿Cuánto dinero tengo?
Resolución:
Como el precio de la camisa es el doble que 
el precio del polo por ello uno es 2x y el otro 
x. SI me falta S/.100 para comprar la camisa, 
mi dinero es el precio de la camisa menos 
S/.100, pero si luego de comprar el polo me 
sobra S/.50, mi dinero es el precio del polo 
más S/.50. Esto lo expresamos con variables 
de acuerdo a lo siguiente:
Precio de la camisa = 2x; Precio del polo = x 
Mi dinero: 2x - 100; Mi dinero: x + 50
1 0 | C o lec ció n El Po s tu la n te
Planteo la ecuación:
2x - 100 = x + 50 => x = 150
Finalmente mi dinero es: x + 50 = 200
3. Dentro de un establo hay caballos negros 
y blancos, el número de caballos negros es 
tres veces el número de caballos blancos. 
SI saco del establo 13 caballos negros y los 
reemplazo por 17 caballos blancos la propor­
ción Inicial entre caballos negros y blancos se 
invierte. Calcular el número total de caballos 
¡nlclalmente.
Resolución:
Al inicio la relación es de 3 : 1, al final será de 
1: 3, lo cual se esquematiza con el siguiente 
cuadro:
Caballos negros Caballosblancos
3x X
3x - 13 x + 17
3(3x - 13) = x + 17 => x = 7 
Total caballos inicialmente: 4x = 28
4. Pepe no sabe si comprar 56 tajadores o por el 
mismo costo 8 lápices y 8 lapiceros. Si deci­
dió comprar el mismo número de artículos de 
cada tipo, ¿cuántos compró en total?
Resolución:
Tajador Lápiz Lapicero
Costo de c/u X y z
Sea n el número de artículos de cada tipo que 
compró.
Luego según enunciado:
56x = 8y + 8z = n(x + y + z)
Resolviendo: n = 7; pero compró en total:
3n = 21 artículos
5. La hierba crece en el prado con igual rapi­
dez y espesura, se sabe que 60 vacas se la 
comerían en 25 días y 40 vacas, en 45 días. 
¿Cuántas vacas se comerían toda la hierba 
en 75 días?
Resolución:
n.° de 
vacas
n.° de 
días
n.° total de 
hierba
60 25 I + 25C
40 45 I+45C
X 75 I + 75C
I: hierba inicial 
C: crecimiento diario
Hierba consumida en 1 día por una vaca:
I + 25C = I + 45C = I + 75C ^ , = 75C 
6 0 x2 5 4 0 x4 5 75x
De donde: x = 30
[ " ejercicios PROPUESTOS 1 |
1. En una fiesta habían 76 personas. Se observó 
que el número de hombres era igual a la raíz 
cuadrada del número de mujeres adultas. Y el 
número de niños era la raíz cúbica del número 
de mujeres adultas. Calcule la diferencia entre 
el número de mujeres y hombres adultos.
a) 4 b) 12 c) 24
d) 56 e) 36
2. Con las tablas que sirven para construir un
área de 40 metros, se desea delimitar un jar­
dín de forma rectangular, donde uno de sus 
lados sea la pared de la casa y que el área 
sea,lo más grande posible. ¿Qué dimensio­
nes debe tener dicho jardín?
a) 24 m; 8 m b) 26 m; 12 m
c) 25 m; 7,5 m d) 20 m; 10 m
e) 22 m; 9 m
3. Se tiene un número de 2 cifras donde uno de 
sus dígitos es k2. Dicho número es igual a la 
suma de sus cifras multiplicada por M, y cuan­
do se invierte el orden de sus cifras, se obtie­
ne un número igual a la suma de sus cifras 
multiplicada por:
a) k + M b) M - k c) 11 - M
d) k - M e) k2 + M + 1
El señor Lolo da a uno de sus colaboradores 
90 entradas para el circo, a otro le da 96 entra­
das y a otro 78 entradas, para repartirlo entre
Ra z o n a m ie n t o M a te m á t ic o | 11
los trabajadores de la prensa, de manera que 
todos den a cada trabajador la misma canti­
dad de entradas. ¿Cuál es la mayor cantidad 
que podrán dar a cada trabajador y cuántos 
son los trabajadores beneficiados con las en­
tradas?
a) 6 y 44 b) 3 y 41 c) 4 y 51
d) 3 y 52 e) 4 y 53
5. Brenda compra 30 libros de medicina a S/.70 
cada uno, en un descuido le robaron unos 
cuantos, y al vender cada uno de los restan­
tes aumentó tantas veces S/,2,8 como libros 
le hablan robado, resultando que no hubo pér­
dida ni ganancia ¿Cuántos libros le robaron?
a) 2 b) 4 c) 3
d) 5 e) 6
6 . Con las bolitas que tengo puedo formar dos 
cuadrados compactos exactamente, tal que 
los lados de los cuadrados se diferencian en 6 
bolitas. Pero si formamos un triángulo equilá­
tero también compacto colocando en su lado 
una cantidad de bolitas igual a la suma de las 
bolitas que se colocaron en los lados de los 
cuadrados, también alcanzaría exactamente. 
Si formamos un solo cuadrado compacto (el 
más grande) ¿cuántas bolitas sobran?
a) 20 b) 48 c) 41
d) 24 e) 38
7. El día de los enamorados un ratoncito sale de 
su hueco hacia el hueco de su ratoncita dan­
do alegres saltos de 11 cm, al encontrarla con 
otro regresa dando tristes saltos de 7 cm, pero 
habiendo recorrido 1,23 m se detiene a suici­
darse. ¿Cuánto le faltaba recorrer para llegar 
a su hueco?
a) 26 cm b) 30 cm c) 20 cm
d) 32 cm e) 53 cm
8. Al contar x bolitas de colores, algunas blancas 
y otras negras, se encontró que 29 de las pri­
meras 30 eran blancas, de ahí en adelante 7 
de cada 10 contadas eran blancas. Si en total 
4 de cada 5 bolas contadas eran blancas, cal­
cular x.
a) 60 b) 90 c) 70
d) 120 e) 80
9. Con dos números enteros y positivos se hicie­
ron las siguientes operaciones: los sumaron, 
los restaron, el menor del mayor, los multipli­
can y los dividieron, el mayor entre el menor. 
SI la suma de los 4 resultados fue 243, ¿cuál 
es el mayor de dichos números?
a) 20 b) 23 c) 21
d) 24 e) 22
10. En un matrimonio masivo participaron 85 pa­
rejas, de ellos 68 damas no usaron anteojos, y 
hay tantas personas como caballeros que no 
los usan. ¿Cuántas personas usan anteojos?
a) 50 b) 53 c) 51
d) 54 e) 52
11. Se tiene una suma de S sumandos todos ma­
yores que 1. A tres de ellos se les aumenta 25 
unidades a cada uno y se vuelve a sumar, si 
el nuevo resultado es el cuádruple del anterior 
y se sabe que S es mayor que 6, ¿cuál era el 
resultado original?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 50 e) 25
12. Un asta de metal se rompió en cierto punto 
quedando con la parte de arriba doblada a 
manera de gozne y la punta tocando el piso 
en un punto localizado a 20 m de la base. Se 
reparó pero se rompió de nuevo. Esta vez en 
un punto localizado 5 m más abajo que la vez 
anterior y la punta tocando el piso a 30 m de 
la base. ¿Qué longitud tenia el asta?
a) 43 m b) 55 m c) 58 m
d) 50 m e) 62 m
13. Considere los tres menores números natura­
les consecutivos de tres cifras, cuya suma es 
un cuadrado perfecto. Hallar la menor cifra del 
mayor de estos tres números.
a) 1 b) 2 c) 0
d) 4 e) 3
14. Max reparte 26 caramelos entre sus 4 sobri­
nos. Comen cada uno de los 4 varios cara­
melos. Al cabo de una hora comprueba que le 
queda a cada uno el mismo número de cara­
melos. Si el mayor había comido tantos como 
el tercero, el segundo comió la mitad de su
12 | C o le c c ió n El P o s tu la n te
número inicial y el cuarto comió tantos como 
los otros 3 juntos, ¿cuántos caramelos recibió 
el menor de los 3 sobrinos?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 8 e) 15
15. Un comerciante compró cierto número de 
libros por S/.60, se le extraviaron 3 de ellos 
y vende los que le queda en S/.2 más de lo 
que había costado cada uno, ganando en total 
S/.3. ¿Cuántos le costó cada libro?
a) S/.4 b) S/.10 c) S/.6
d) S/.8 e) S/.5
16. Al número xyz se le resta zyx y en el resultado 
se observó que la cifra de las unidades era el 
doble de las cifras de las centenas. SI x + y + 
z es lo máximo posible, calcular xyz.
a) 360 b) 380 c) 460
, d) 405 e) 432
17. En la orilla de un río de 100 m de ancho está 
situada una planta eléctrica y en la otra orilla 
opuesta a 500 m río arriba, se está constru­
yendo una fábrica. Sabiendo que el río es rec­
tilíneo y que el tendido de cables a lo largo de 
la orilla cuesta S/.9 cada metro y que el tendi­
do de cable sobre el agua cuesta S/.15 cada 
metro. ¿Cuál es la longitud del tendido más 
económico posible entre la planta eléctrica y 
la fábrica?
a) 500 m b) 420 m c) 600 m
d) 950 m e) 550 m
18. Luchito gastó $100 en comprar 100 juguetes 
de 3 clases, cada carrito costó $4, cada motito 
$2 y cada pelota un tercio de dólar. Si compró 
al menos uno de cada clase, ¿cuántos objetos 
de cada clase compró Luchito? (El número de 
motltos es un número no primo).
a) 8; 12; 80 b) 15; 7; 78
c) 10; 18; 72 d) 14; 16; 70
e) 5; 29; 66
19. El señor Panchito es un hombre muy caritativo 
y le da limosna a los mendigos de la siguiente 
manera: cuando encuentra a una mujer pobre 
y a un ciego, le da a la mujer el doble de lo 
que le da al ciego. Cuando se encuentra a un
ciego y a un niño, le da al ciego el doble de
lo que le da al niño. Un día encontró a los 3 y 
repartió S/.700 entre ellos. ¿Cuánto le tocó al 
ciego?
a) S/.400 b) S/.300 c) S/.200
d) S/.350 e) S/.500
20. Cuando tú tengas el dinero que él tiene, él
tendrá la mitad del dinero que tú y yo tenemos 
y le será suficiente para comprarse un 
automóvil de $3600 y aún quedarse con $400. 
SI tú tienes la cuarta parte de lo que él tendrá 
en ese entonces, ¿cuánto de dinero tengo?
a) $7000 b) $7500 c) $7600
d) $6000 e) $2500
21. Se desea cambiar un billete de 10 soles en
monedas de 20 céntimos y 50 céntimos. ¿De 
cuántas formas diferentes se puede hacer 
esto, utilizando al menos una moneda de 
cada tipo?
a) 7 b) 9 c) 10
d) 11 e) 8
22. Bruno, Diego y Federico fueron al supermer­
cado. Bruno pagó con S/.50y recibió S/.12 
de vuelto. Diego y Federico pagaron cada 
uno con un billete de S/.100. Bruno y Fede­
rico gastaron entre los dos S/.80. SI el vuelto 
de Diego fue la mitad del vuelto de Federico, 
¿cuánto gastó Diego?
a) S/.40 b) S/.80 c) S/.51
d) S/.86 e) S/.71
23. En un aula de un seminario de Razonamiento 
Matemático hay 86 personas. El profesor ob­
serva que el cuádruple de señoritas, disminui­
do en 15, es mayor que 65 y que el triple de 
estas disminuido en 2 es menor que el doble 
de ellas aumentado en 10. ¿Cuántos varones 
hay en el aula?
a) 65 b) 69 c) 66
d) 67 e) 41
24. Un agricultor tiene cierto número de cabezas 
de ganado, al vender la cuarta parte quedarán 
menos de 118 y si la venta fuera la sexta parte 
quedarían más de 129, ¿cuántas eran las ca­
bezas de ganado que tenía?
a) 155 b) 154 c) 156
d) 150 e) 151
Ra z o n a m ie n t o M a te m á t ic o | 1 3
25. Al repartir caramelos entre un grupo de niños 
se observa que, si se entrega 20 a cada uno 
sobraría 40, pero si se les entrega 25 a cada 
uno solo sobraría 10 caramelos, ¿cuántos ca­
ramelos se van a repartir?
1. d 7. e 13. c 19. c 25. a
2 . d 8. e 14. a 20. a 26. c
3. c 9. e 15. e 21. b 27. d
4. a 10. c 16. d 22. e 28. c
5. d 11. e 17. e 23. a 29. b
6. c 12. d 18. c 24. c 30. da) 160 b) 165 c) 130
d) 125 e) 120
26. Gabito le dice a su tío: De los S/.400 que me 
diste gasté S/.150 más de lo que no gasté. 
¿Cuánto gastó Gabito?
a) S/.295 b) S/.225 c) S/.275
d) S/.250 e) S/.150
27. Rosa y Edith son dos niñas que les gusta co­
leccionar chapas de gaseosas; entre las dos 
tienen 40. Si Rosa le diera a Edith 12 de sus 
chapas entonces Edith tendría ahora el triple 
de lo que a Rosa le queda, ¿cuántas chapas 
tenía Edith al inicio?
a) 22 b) 30 c) 12
d) 18 e) 15
28. Se tienen tres montones de canicas con dife­
rentes números de canicas cada uno; aunque 
la diferencia entre ellos es la misma. Además 
entre los tres se cuentan 60 canicas. Si del 
montón que no es el más grande ni el más 
pequeño se pasan al montón pequeño dos 
canicas entonces este tendría la tercera parte 
de canicas que quedaría en el montón dismi­
nuido, inicialmente, ¿cuánto tenía el montón 
más grande?
a) 29 b) 30 c) 36
d) 35 e) 40
29. Entre dos niños tienen S/.20, si uno tiene el 
triple del otro, ¿cuánto debe dar el que tiene 
más al otro para que este tenga el cuádruple 
de lo que tiene él?
a) S/.13 b) S/.11 c) S/.21
d) S/.10 e) S/.15
30. Joel lanza 3 dados y observa que la suma es 
16, ¿cuánto suman los números que están en 
la parte inferior de cada dado?
a) 4 b) 3 c) 10
d) 5 e) 7
[^EJERCICIOS PROPUESTOS^
1. Si tengo que pagar un recibo de luz de S/.100 
y pago con monedas de S/.5 y S/.7, ¿cuántas 
monedas tengo, si hay más monedas de S/.5 
que de S/.7?
a) 15 b) 18 c) 26
d) 16 e) 20
2. Con 60 monedas en total, unas de 5 soles y 
otras de 2 soles, se quiere pagar una deuda 
de 204 soles. ¿Cuántas monedas de cada 
clase se tienen respectivamente?
a) 28 y 32 b) 30 y 30 c) 44 y 16
d) 40 y 20 e) 32 y 28
3. En una ciudad de 240 personas, a 1/4 de la 
población no le gusta ir al cine ni visitar un 
museo, a 1/8 de la población le gusta ir al cine 
y a los 17/24 les gusta visitar un museo. ¿A 
cuántos les gusta ir solo al cine?
a) 8 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
4. En un colegio, se observa la misma cantidad 
entre niños y niñas. A la salida, vienen a reco­
gerlos sus familiares entre varones y mujeres, 
contándose con los niños 16 personas en to­
tal. Media hora después se duplica el número 
de varones adultos, aumenta en 3 veces más 
el número de mujeres y las niñas se duplican, 
contándose en total a 38 personas. Calcule el 
número máximo de mujeres, entre adultas y 
niñas, que habían.
a) 3 b) 4 c) 8
d) 9 e) 12
5. Si tengo sólidos geométricos entre tetraedros 
regulares y pirámides de base cuadrada, con­
tándose un total de 46 aristas, calcule la me­
nor cantidad de pirámides.
1 4 | C olec ció n El Po s tu la n te
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Si dos números suman 32 y uno es múltiplo 
de 3 y otro de 7. Halle el mayor de ellos.
a) 12 b) 14 c) 18
d) 20 e) 21
7. En una reunión, hay 8 mujeres sentadas y 
tantas parejas bailando como varones senta­
dos. Luego se observa que todas las mujeres 
bailan y 8 varones no lo hacen. ¿Cuántas per­
sonas hay en la fiesta?
a) 36 b) 40 c) .46
d) 54 e) 56
8. Para tener 20 soles me falta tanto como la 
mitad de lo que me falta para tener 28 soles. 
¿Cuánto tengo?
a) S/.20 b) S/.12 c) S/.8
d) S/.16 e) S/.18
9. Sobre un estante se puede colocar 15 libros 
de Álgebra y 3 libros de Geometría o 9 libros 
de Geometría y 5 libros de Álgebra. ¿Cuántos 
libros solo de Álgebra entran en el estante?
a) 12 b) 15 c) 20
d) 18 e) 16
10. Pedro y Juan al llevar 7 y 5 panes, 
respectivamente, se encuentran con Carlos 
y comparten con él los 12 panes en partes 
iguales. SI Carlos pagó S/.12 por su parte, 
¿cómo deben repartirse el dinero Pedro y 
Juan?
a) SI. 2 y S/.10 b )S /.7yS /.5
c) S/.9 y SI.3 d) S/.8 y S/.4
e) S/.7,5 y S/,4,5
11. Tres cestos contienen 575 manzanas. El 
primer cesto tiene 10 manzanas más que el 
segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas 
manzanas hay en el segundo cesto?
a) 190 b) 188 c) 176
d) 197 e) 181
12. Con 38 monedas de plata de 1 y de 5 pese­
tas, colocadas en contacto, unas a continua­
ción de otras, se ha formado la longitud de un 
metro. Calcular el número de monedas que
han entrado de cada clase, sabiendo que los 
diámetros de dichas monedas son de 23 y 
37 mm.
a) 13 y 25 b) 19 y 19 c) 9 y 29
d) 15 y 23 e) 10 y 28
13. Un padre de familia compró por Navidad una 
botella de champagne y un panetón; costando 
éste S/.6 más que la botella; el año siguien­
te compró otra botella de champagne y otro 
panetón resultando este S/.2 más caro que el 
del año pasado, y la botella resultó S/.2 más 
barata que la del año pasado; entonces ahora 
resultó que el precio del panetón era el doble 
que el de la botella de champagne. ¿Cuánto 
costó el segundo panetón?
a) S/.20 b) S/.12 c) S/.18
d) S/.10 e) S/.15
14. Un chofer de combl iba a cobrar S/.2,50 para 
llevar a un grupo de personas; pero le propo­
nen llevar a dos personas más y por ello co­
bra S/.2 a cada uno. El chofer sacó la cuenta 
y observó que ganaría S/.1 más por lo que 
realizó el traslado. ¿Cuántos pasajeros llevó 
en total?
a) 12 b) 10 c) 11
d) 6 e) 8
15. Un comerciante que llevaba naranjas para 
vender en el mercado, razonaba de la si­
guiente manera: “SI vendo cada naranja a x 
soles, me faltarían R soles para comprar una 
bicicleta. En cambio si vendo cada naranja a 
y soles, compro la bicicleta y me sobrarían 
S soles. ¿Cuántas naranjas llevaba el comer­
ciante?
a) R + 1 b) (y — x)/(R + s)
c) (R + S)/(y - x) d) x + y
e ) y - x
16. En una reunión el número de hombres es al 
número de damas como 4 es a 5. Si se reti­
ran 8 parejas de esposos, la nueva relación 
es de 2 a 3. Si se sabe que solo asistieron 
2/3 de los Invitados, ¿cuántos Invitados no 
asistieron?
a) 18 b) 22 c) 24
d) 25 e) 23
Ra z o n a m ie n t o M a te m á t ic o | 1 5
17. En un salón de la academia el día de hoy fal­
taron 5 alumnos por problemas de salud. SI 
los asistentes se sientan 4 alumnos en cada 
carpeta, faltarían 3 alumnos para que todas 
las carpetas estén llenas. Pero si se sientan 3 
alumnos por carpeta se quedarían 9 alumnos 
de pie. Halla el número total de alumnos del 
salón.
a) 60 b) 50 c) 45
d) 40 e) 55
18. Con 3 cuadernos se obtiene un libro, con 3 
libros una enciclopedia. ¿Cuántas enciclope­
dias se obtendrá con 225 cuadernos?
a) 2 b) 23 c) 25
d) 27 e) 31
19. El exceso de un número sobre 20 es igual 
al doble del exceso del mismo número sobre 
70. Halla el número disminuido en su cuarta 
parte.
a) 120 b) 80 c) 90
d) 110 e) 98
20. El cuadrado de la suma de dos números con­
secutivos es 81. Halla la diferencia del triple 
del mayor y el doble del menor.
a) 9 b) 8 c) 7
d) 12 fe) 10
21. La empleada de ta fonoteca no ha parado de 
trabajar en toda la semana. El lunes recibió 
varios discos y marcó algunos de ellos.El 
martes recibió tantos discos nuevos como no 
había marcado el lunes y marcó 12. El miérco­
les recibió 14 más que el lunes y marcó doble 
número que el lunes. El jueves recibió el do­
ble número de los discos que había marcado 
el miércoles y marcó 10. El viernes recibió 4 
discos y marcó 14 menos de los que había 
recibido el miércoles. El sábado marcó los 20 
discos que le quedaban. ¿Sabrías decir cuán­
tos discos recibió el lunes?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
22. Tres hombres Luis, Miguel y Antonio, van a la 
feria con sus hijas, que se llaman Amalia, Lui­
sa y Margarita. Cada una de estas personas 
compran un determinado número de objetos, 
pagando por cada uno un cierto número de 
euros igual al número de objetos que com­
pran. Antonio compra 23 objetos más que 
Margarita y Miguel 11 más que Luisa. Cada 
padre gasta 63 euros más que su hija.
¿Cuál es la hija de Antonio?
a) Margarita b) Amalia c) Luisa 
d) Faltan datos e )N .A .
23-, Un agricultor desea dividir un terreno de forma 
rectangular en pequeñas parcelas cuadradas, 
para ello debe colocar cierto número de es­
tacas en hileras igualmente espaciados tanto 
a lo largo como a lo ancho y el número de 
ellas deben estar en relación de 3 a 2. Hace 
un primer intento y le faltan 174 estacas, se 
decide entonces colocar 3 menos en el largo y 
2 menos en el ancho con lo cual le sobran 96 
estacas. Calcular el número de estacas dispo­
nibles.
a) 3120 b) 3200 c) 3000
d) 2844 e) 2780
24. Con todos los alumnos de un aula se formó un 
cuadrado compacto con n alumnos por lado. 
Pero si quisieran formar dos triángulos equi­
láteros compactos iguales con n alumnos por 
lado, harían falta 9 alumnos. ¿Cuántos alum­
nos hay en el salón?
a) 64 b) 81 c) 100
d) 121 e) 144
25. En un lejano planeta de otra galaxia hay dos 
formas de vida mutuamente hostiles: Los 
Septicapltas, que tienen 7 cabezas y dos pa­
tas, y los Pentápodos que tienen 2 cabezas 
y 5 patas. Un día, un número par de Septi- 
capitas se encuentran con un número par de 
Pentápodos y se organiza un gran tumulto; un 
observador contó 210, entre cabezas y patas. 
¿Cuántos ejemplares de cada clase Intervi­
nieron en la pelea?
a) 14 y 12 b) 12 y 16 c) 10y20 
d) 14 y 16 e) 12 y 20
26. Iván cobra en un banco un cheque por S/.2700 
y le pide al cajero que le entregue cierta can­
tidad de billetes de S/.10, 20 veces esa can­
tidad en billetes de S/.20 y el resto en billetes
1 6 | C ole c c ió n El Po s tu la n te
de S/.50. ¿Cuántos billetes en total le entrega 
al cajero?
a) 105 b) 108 c) 111
d) 115 e) 118
27. Les preguntan por sus edades a una madre,
su hijo e hija responde:
- Madre: Nuestras tres edades suman 100 
años.
- Hijo: Cuando yo tenía la edad que tiene mi 
hermana nuestras tres edades sumaban 
70 años.
- Hija: Cuando yo tenga los años que mamá 
tenía, cuando mi hermano tenía los años 
que dijo, nuestras tres edades sumarán 
160 años.
- Mamá: SI yo tuviera los años que tenía, 
tengo y tendré, tendría 160 años.
¿Qué edad tiene la hija?
a) 18 b) 20 c) 22
d) 24 e) 25
28. Los señores Pérez tienen cinco niños de los 
más activos:
- El lunes van al cine cuatro de ellos cuyas 
edades suman 38 años.
- El martes van a patinar cuatro cuyas eda­
des suman 35 años.
- El miércoles van al parque de atracciones 
cuatro, sumando sus edades 36 años.
- El jueves salen cuatro a la piscina, sus 
edades suman 36.
- El viernes van cuatro a un concierto, sus 
edades suman 38.
- El sábado se van al fútbol cuatro y esta 
vez, sus edades suman 39.
Sabemos que ningún chico sale en seis ocasio­
nes. ¿Sabrías calcular la edad de cada uno? 
Dar como respuesta la suma de cifras de to­
das las edades.
a) 15 b) 16 c) 18
d) 19 e) 14
29. Matías y Fernando pasaron la noche en los 
refugios A y B, respectivamente. A la mañana 
siguiente, Matías camina hacia B y Fernando 
hacia A; los dos van a velocidad constante, y 
los dos recorren el mismo sendero que pasa 
por un bosque. Matías salió de A a las 8:00 h 
y llegó a B a las 11:00 h; Fernando salió de B 
a ias 8:30 h y llegó a A a las 11:00 h. Los dos 
entraron en el bosque a la misma hora (cada 
uno siguiendo su dirección) y uno de ellos sa­
lió del bosque 3 minutos antes que el otro. ¿A 
qué hora salió Matías del bosque?
a) 7:48 h b) 9:48 h c) 8:48 h
d) 8:30 h e) 9:30 h
30. Una tortuga camina 60 metros por hora y 
una lagartija lo hace a 240 metros por hora. 
Ambas parten con la misma dirección desde 
el vértice A de una pista rectangular de 120 
metros de largo y 60 metros de ancho, como 
lo indica la figura. La lagartija tiene por cos­
tumbre avanzar dos lados consecutivos de la 
. pista, retroceder uno, volver a avanzar dos, 
volver a retroceder uno y así sucesivamente. 
¿Después de cuánto tiempo la tortuga y la 
lagartija se encuentran por primera vez?
a) 75 min
b) 1,h 15 min A
c) 1 h 20 min
d) 1 h
e) 1 h 25 min
tn
y
1. b 7. e 13. a 19. c 25.
N
a
2. a 8. b 14. e 20. c 26. e
> 3. b 9. c 15. c 21. c 27. b
<j 4. d 10. c 16. a 22. b 28. d
ü 5. b 11. a 17. b 23. c 29. b
6. c 12. c 18. c 24. b 30. c y
EDADES
ELEMENTOS EN LOS PROBLEMAS DE EDADES
Para resolver los ejercicios de esta parte se requie­
re tener en cuenta los elementos que intervienen 
en los mismos.
Edad: es un intervalo de tiempo, el cual pue­
de variar de acuerdo a la condiciones, sexo, 
condiciones de vida, clima, temperatura. Por 
ejemplo se dice que las mujeres en promedio 
viven seis años más que los hombres, la gen­
te que fuma vive en promedio 10 años menos 
que los que viven una vida normal, la gente en 
oriente vive más años que los de occidente, 
etc.
Sujetos: son las personas (o seres vivos) que 
tienen un tiempo de vida (edad) y con ellos 
trabajaremos en los problemas.
Tiempos: aquí tomaremos la acepción como 
un momento determinado en la vida de un su­
jeto. Por ejemplo: hace ocho años, dentro de 
4 años.
Los problemas sobre edades se clasifican de 
diversas formas, veamos:
Cuando interviene la edad de un solo sujeto
Hace 5 años dentro de 8 años
Pasado Presente Futuro
Ejemplos:
1. Tony tenía hace 5 años, 12 años de edad. 
¿Qué edad tendrá dentro de 13 años?
Resolución:
Hacemos un esquema:
5 13
Nota que las líneas punteadas señalan el re­
sultado de sumas 5 + 13 lo cual da 18. Luego 
sumando 12 con 18 obtenemos 30 que es la 
edad que Tony tendrá dentro de 13 años.
2 . Dentro de 25 años Anita tendrá el triple de la 
edad que tenía hace 5 años. ¿Qué edad ten­
drá dentro de 10 años?
Resolución:
'(30)'
Luego: x + 30 = 3x => x = 5
Cuando intervienen las edades de dos o más 
sujetos. En este caso suele emplearse una tabla 
de doble entrada para distribuir mejor los datos y 
obtener la información necesaria que nos permita 
resolver el problema. A continuación se presenta 
un cuadro con algunos datos; vamos a llenar dicho 
cuadro y obtendremos de él algunas observacio­
nes importantes:
Ejemplo:
10 15
Pasado Presente Futuro
Lily 7 17 32
Ana 21 31 46
Katy 3 13 28
25
Observaciones:
“El tiempo transcurre por igual para todos los 
sujetos”.
Así podemos notar en el esquema:
Si para Lily transcurre 25 años, entonces para 
Ana también transcurren 25 años.
Lily Ana
32 - 7 = 4 6 -2 1 = 25
“La diferencia de edades se mantiene cons­
tante a través del tiempo".
Del esquema comparemos las edades de Ana 
y Katy.
1 8 | C o lec ció n El Po stu lan te
En el pasado En el presente En el futuro
21 - 3 = 18 31 - 13 = 18 46 - 2 8 = 18
La diferencia de edades en todos los tiempos 
es 18.
“La suma en aspa de valores ubicados simé­
tricamente en la tabla son iguales’’. 
Analicemos la suma en aspa de las edades de 
Lily y Katy en el pasado y en el futuro.
7 + 28 = 32 + 3 = 35
Ejemplos:
1. Dentro de 6 años tu edad será a mi edad 
como 11 es a 7 y hace 7 años esa relación era 
de 5 a 2. ¿Cuántos años tengo?
Resolución:
Considerando la relación en el pasado (5k, 
2k), se construye el cuadro obteniéndose lo 
siguiente:
Hace 7 años Dentro de 6 años
Pasado Presente Futuro
Yo 5k 5k + 7 5k + 13
Tú 2k 2k + 7 2k + 13
Como en el pasadonuestra relación con res­
pecto a nuestras edades era de 5 a 2 coloca­
mos 5k y 2k. Luego en el presente se tendrá 
5k + 7; 2k + 7 y en el futuro 5k + 13; 2k + 13. 
Además en el futuro la relación de nuestras 
edades es de 11 a 7 y por ello planteamos:
5k + 13 = U = 35k + 91 = 22k + 143 
2k + 13 7
13k = 52 =* k = 4
Preguntan cuántos años tengo:
5k + 7 = 5(4) + 7 = 27 años
2. Katy tiene 30 años, su edad es el quíntuple de 
la edad que tenía Anlta; cuando Katy tenía la 
tercera parte de la edad actual de Bety. Hallar 
la edad actual de Bety.
Resolución:
En el enunciado hay dos tiempos: pasado (te­
nia) y presente (actual). Como en el pasado 
no se conoce la edad, se coloca una va­
riable: x
Pasado Presente
Katty X 30
Bety 6 3x
La suma en aspa debe darnos valores iguales: 
30 + 6 = x + 3x ^ x = 9
Nos piden la edad actual de Bety:
3x = 3(9) = 27 años
Cuando Intervienen el año de nacimiento y la 
edad de la persona. En esta parte mostramos el 
listado realizado hasta 10 de enero del 2004
Nombre Año de Nac. Edad Resultado
Lolo 1977 + 26 2003
Luis 1980 + 23 2003
Timoteo 1982 + 21 2003
Katy 1988 + 16 2004
Se sabe que Katy cumple años el 5 del mes de 
enero por ello al sumarle con su año de nacimiento 
da como resultado 2004 (año actual), en cambio 
Luis cumple años en octubre, Lolo en julio y Timo­
teo en julio por ello para ellos al sumar sus años 
de nacimiento con sus edades da como resultado 
2003 (un año menos que el actual).
Ejemplo:
En el mes de octubre del año 1933 se le pidió a 
12 alumnos que sumen los años que tenían a los 
años en los cuales nacieron luego que sumen to­
dos los resultados obteniéndose al final 23 911. 
¿Cuántos alumnos todavía no cumplían años en 
ese momento?
Resolución:
Podemos suponer que todos los alumnos ya cum­
plieron años en lo que va del año entonces a cada 
alumno el resultado que obtendría sería 1993 y al 
sumar todos estos resultados se obtendría:
1.° 2.° 3.° 4.° ... 12.°
1993 1993 1993 1993 1993
Resultado total 12(1993) = 23 916 
SI todos hubieran cumplido ya años se obtendría 
23 916, pero según el dato se obtuvo 23 911, ve­
mos que faltan 5 años; es porque aún 5 personas 
todavía no han cumplido años en lo que va del año.
Ra z o n a m ie n t o M a te m á t ic o | 1 9
EJERCICIOS RESUELTOS
La edad de Katy es los 3/2 de la edad de Luis. 
Si Katy hubiera nacido 10 años antes y Luis 5 
años después, entonces la razón de ambas 
edades sería 16/5 de la razón que habría si 
Katy hubiera nacido 5 años después y Luis 10 
años antes. Hallar la diferencia de edades.
Resolución:
Edad de Katy: K; edad de Luis: L
3, K L [ K = 3x— L => — = — => i
2 3 2 ] L = 2x
K
Según enunciado:
3x + 10 16í 3x - 5
2x - 5 5 (, 2x + 10
x = 10
Piden la diferencia de edades:
3x - 2x => x = 10
Tú tienes la mitad menos 5 años de la edad 
que yo tendré cuando tú tengas lo que yo te­
nía cuando tú tenías la cuarta parte de la edad 
que yo tuviese, si tendría 10 años más de los 
que yo tendré; pero si yo tuviese 10 años más 
de los que tendré y tú los que te he dicho que 
tienes, entonces entre ambos tendríamos 110 
años. ¿Qué edad tengo? ¡
Resolución:
Tenía
Tienes
Tengo
Tienes
Tendré
Tengas
Tuviese, 
10 años más
Yo y z 2x 2x + 10
Tú 2x + 10 
4
x - 5 y
Según enunciado:
2x + 10 + x - 5 = 110 = *x : 35
2x + 10Suma en aspa: y + y = — ^— + 2x
Como x = 35 => y = 45
Suma en aspa: z + y = x - 5 + 2x
Reemplazando: z = 55
3. En 1918, la edad de un padre era 9 veces la 
edad de su hijo; en 1923, la edad del padre 
fue el quíntuplo de la de su hijo. ¿Cuál fue la 
edad del padre en 1940?
Resolución:
+5 +17
1918 1923 1940
Padre 9x 9x + 5 9x + 22
Hijo X x + 5
Según enunciado: 9x + 5 = 5(x + 5)
9x + 5 = 5x + 25 => x = 5
Piden la edad del padre en 1940:
=> 9x + 22 = 9(5) + 22 = 67
4. Salvador tiene 30 años, su edad es el triple de 
la edad que tenía Pítágoras, cuando Salvador 
tenía la cuarta parte de la edad que tiene Pitá- 
goras. Hallar la edad actual de Pitágoras.
Resolución:
Pasado Presente
Salvador x/4 30
Pitágoras 10 X
Se cumple: + x = 10 + 30
~ = 40 => x = 32 años 
4
[ " e j e r c ic io s p r o p u e s t o s " !
1. Consuelo en el mes de diciembre resta los 
años que tenía de los meses que había vivido 
y obtuvo 283. Si es mayor que Vianca en 5 
meses, ¿en qué mes nació Vianca?
a) Diciembre b) Noviembre
c) Setiembre d) Octubre
e) Agosto
2. Cuando yo tenga el doble de la edad que 
tenía cuando tu tenías la cuarta parte de la 
edad que tendrás, nuestras edades sumarán 
40 años. ¿Qué edad tengo si nuestras edades 
al sumarse resultan un cuadrado perfecto, y 
además tu edad es un número entero?
a) 20 años b) 22 años c) 18 años
d) 24 años e) 25 años
2 0 | C o lec ció n El Po s tu la n te
4.
7.
Mario tiene 40 años; su edad es el doble de 
la edad que tenía Juan, cuando Mario tenía la 
tercera parte de la edad que tiene Juan. ¿Qué 
edad tiene Juan?
a) 30 años 
d) 45 años
b) 25 años 
e) 55 años
c) 40 años
Hace 5 años la edad de un hijo se diferen­
ciaba en el doble de su edad con la edad de 
su padre, y se diferenciaba en la mitad de su 
edad con la de su hermano menor. Si dentro 
de 7 años el menor tendrá la edad que tiene 
su hermano mayor, calcular la edad que tuvo 
el padre cuando nació su primer hijo.
a) 21 años 
d) 25 años
b) 28 años 
e) 30 años
c) 32 años
En el mes de mayo, un estudiante sumó a los 
años que tiene todos los meses que ha vivi­
do, obteniendo como resultado 232. ¿En qué 
mes nació?
a) Abril 
d) Julio
b) Mayo 
e) Marzo
c) Junio
Hace 12 años las edades de dos hermanos 
estaban en relación de 4 a 5; actualmen­
te sus edades suman 59 años. ¿Dentro de 
cuántos años sus edades estarán en relación 
de 8 a 7?
a) 6 
d) 9
b) 7 
e) 10
c) 8
Al ser preguntado Salvador por su edad, con­
testó de la siguiente manera: “SI al año en el 
que cumplí 15 años le suman el año en el que 
cumplí los 20, y si a este resultado le restan 
ustedes la suma del año en que nací con el 
año actual, obtendrán 7”. ¿Qué edad tiene 
Salvador?
a) 30 años 
d) 32 años
b) 26 años 
e) 24 años
c) 28 años
Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú 
tenías lo que yo tengo, yo lo que Carlos tiene 
y él la tercera parte de lo que tú tendrás, cuan­
do entre los tres tengamos 300 años y yo ten­
ga lo que tú tienes y Carlos lo que yo tengo. Si 
yo tuviese lo que tengo, tenía y tendré, tendría 
240 años, ¿cuántos años tengo ahora?
9.
12 .
a) 80 
d) 85
b) 75 
e) 65
c) 70
Se sabe que si una pareja de esposos, donde 
el marido es mayor, tuviese un hijo ahora; al 
cabo de cierto tiempo la suma de las edades 
de los 3 sería 66 años y que el triple de di­
cho tiempo es justamente la diferencia de las 
edades de los esposos. Hallar la suma de las 
cifras de la edad del esposo.
a) 8 
d) 10
b) 4 
e) 5
c) 6
10. Mi tatarabuelo nació en el siglo XIX; tenía X 
años en el año X2 y 126 años después del año 
en el que nació, tenía yo tantos años como 
expresa las dos últimas cifras del año de mi 
nacimiento. Al poner en conocimiento de mi 
profesor esta coincidencia, él dijo que con su 
edad ocurría lo mismo, ¿qué edad tenía mi 
profesor cuando yo nací?
a) 46 años 
d) 36 años
b) 86 años 
e) 50 años
c) 56 años
11. Nancy y Samlr se casaron cuando tenían 18 
años, y luego de un año nació Naty. 'Si cuando 
Naty se casó, su edad era igual a la cuarta 
parte de la suma de las edades de sus pa­
dres, ¿a qué edad se casó Naty?
a) 19 años 
d) 17 años
b) 18 años 
e) 23 años
c) 21 años
Antonio le dice a Jorge: “Dentro de 4 años mi 
edad será 2 veces más que tu edad”. Jorge 
responde: “Hace 6 años tu edad era 7 veces 
la que yo tenía”. ¿En qué año la edad de uno 
de ellos fue el cuádruple del otro? Año actual: 
2001 .
a) 2000 
d) 1996
b) 1999 
e) 1992
c) 1998
13. SI una persona nació en 19ba y en 19ab cum­
ple (a + b) años, ¿en qué año cumplió 2(ab) 
años?
a) 1985 
d) 1972
b) 1984 
e ) 1970
c) 1980
14. Pepe cuenta que cuando cumplió años en 
1994, descubrió que su edad era igual a la
Ra z o n a m ie n t o M a te m á tic o | 2 1
suma delas cifras del año de su nacimiento. 
¿Cuántos años tenía en 1979?
a) 12 b) 13 c) 14
d) 10 e) 11
15. Lina le dice a Katy: “Yo tengo 9 veces la edad 
que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú 
tienes. Cuando tengas la edad que tengo, la 
suma de nuestras edades será de 44 años”. 
¿Cuál es la diferencia entre las edades de es­
tas dos mujeres?
a) 2 b) 10 c) 4
d) 8 e) 6
16. Cuando a Mary se le pregunta por la edad de 
su perrito, ella responde: “Hace dos años tenía 
la cuarta parte de la edad que tendrá dentro 
de 22 años”. ¿Dentro de cuántos años tendrá 
el doble de ¡a edad que tenía hace 5 años?
a) 0 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
17. En junio de 1992, tres amigos Carlos, Raúl y 
Mario suman sus edades a los años de su na­
cimiento, obteniendo como respuesta 5974. 
Si Carlos nació en mayo y Raúl en octubre, 
¿en qué mes nació Mario?
a) Abril b) Mayo c) Julio
d) Marzo e) Enero
18. En un aula de 40 alumnos, el tutor suma to­
das las edades con los años de nacimiento de 
cada uno y obtiene 79 670. SI dicha suma se 
realiza en 1992, ¿cuántos ya habían cumplido 
años ese año?
a) 10 b) 20 c) 30
d) 35 e) 25
19. Cuando yo tuve la tercera parte de la edad 
que tú tienes, tú tuviste la mitad de tu edad 
actual. En cambio, cuando yo tenía la mitad 
de la edad que tengo, la suma de nuestras 
edades era 48 años. ¿Cuál es la edad que 
tengo?
a) 40 años b) 42 años c) 44 años
d) 46 años e) 48 años
20. Dentro de 4 años tu edad será a la mía como 
3 es a 4, pero hace 14 años eran como 3 es a
7. ¿Qué edad tengo?
a) 28 años b) 26 años c ) 29 años
d) 30 años e) 32 años
21. Lucas tiene 28 años, su edad es el doble de 
la que tenía Pedro, cuando Lucas tenía la 
edad que tiene Pedro. ¿Cuál es la edad de 
Pedro?
a) 20 años b ) 18 años c) 22 años
d) 23 años e) 21 años
22. La suma de las edades de un padre y sus 
dos hijos es 75 años. Hallar la edad del pa­
dre sabiendo que hace 5 años su edad era 
el triple de la suma de las edades de sus 
hijos.
a) 54 años b) 55 años c) 45 años
d) 50 años e) 60 años
1. c 6. c 11. a 16. a 21. e
2. b 7. c 12. a 17. c 22. d
3. d 8. a 13. a 18. c
4. b 9. c 14. d 19. a
5. c 10. e 15. d 20. a
MÓVILES
A I e = vt I v = ? t = S.T A .. V
EJERCICIOS RESUELTOS
Un móvil recorrió 200 km con rapidez constan­
te. Si hubiera viajado con una rapidez mayor 
en 2 km/h hubiera empleado 5 h menos. ¿En 
qué tiempo recorrerá 240 km?
Resolución:
200
200 km
v supuesto V + 2 tSUpUe5í0 ■ 200 v +2
Sabemos, por dato, que el tiempo en el caso 
supuesto es menor que el tiempo en el caso 
real, en 5 h; por lo tanto, la diferencia de tiem­
pos sería de 5 h. Es decir:
200
v
200
(v + 2)
= 5 l km/h
Un alumno desea calcular la distancia entre 
su casa y cierta tienda, observa que caminan­
do a razón de 6 m/s tarda 4 segundos más 
que si lo hace a razón 8 m/s. ¿Cuál es la dis­
tancia mencionada?
Resolución:
Como la distancia es constante, entonces la 
rapidez y el tiempo son inversos: '
Í l = !
t2 3
Graficando:
- = l < > 7v2 8 4
t, = 4k; t2 = 3k
v2 = 6 m/s
Casa 
y, = 8 m /s ^ ^ _ _
t, = 4k
t, = 3k
Tienda
Sabemos que la diferencia de tiempos es 4 s: 
ti — t2 = 4 => 4k - 3k = k = 4
Luego: t, = 16 s
=»d = (6)(16) .-. d = 96m
3. La rapidez de A, B y C es de 8; 10 y 6 m/s, 
respectivamente. Participan en una carrera, 
donde B les da una ventaja de 40 y 24 metros 
a C y A, respectivamente. Si la carrera fue ga­
nada por B cuando A le llevaba una ventaja de 
14 m a C, ¿en cuánto aventajó B a A en dicho 
momento?
Resolución:
Vamos a recurrir a un gráfico para observar 
las condiciones iniciales y finales de la carre­
ra, además de las distancias recorridas por 
cada uno.
Sea t el tiempo transcurrido: (el tiempo es e! 
mismo para los tres móviles).
J )
' 24 m ' 16 m ' ' 14 m ' x '
Del gráfico:
8t = 16 + 6t + 14 => t = 15 
10t = 24 + 8t + x => 2t = 24 + x
2(15) — 24 + x =* x = 6
cVLata/:.................................... ,
i Tiempo de encuentro
e
4. Lolo recorre 23 km en 7 horas; los 8 prime­
ros con una velocidad superior en 1 km a la
tF = - e
V ! + V 2
e
y, - v2
Ra z o n a m ie n t o M a te m á t ic o | 2 3
velocidad del resto del recorrido. Calcular 
la velocidad con que recorrió el primer tra­
yecto.
Resolución:
Se tiene que:
Se sabe que: t = e/v
Como emplea 7 horas en realizar todo el reco­
rrido, se tiene:
- + - I t L = 7 v = 4 km/h 
v v - 1
ti t2
5. Si un recipiente que tiene ab litros de agua, 
se llena a caudal constante, al cabo de 30 
minutos se obtiene ba litros y cumplidos los 
primeros 60 minutos se tiene aOb litros. Hallar 
el caudal en litros por hora.
Resolución:
En la primera media hora llenó: ba - ab litros. 
En la segunda media hora llenó: aOb - ba 
litros y como el caudal es constante: 
ba - ab = aOb - ba
Descomponiendo polinómicamente y efec­
tuando:
b = 6a =* a = 1 y b = 6 
. => En media hora llenó: 61 - 16 = 45 litros 
En una hora llenará: 90 litros.
6. Un avión provisto de un radio de 60 km de 
alcance parte del Callao al encuentro de un 
vapor cuya velocidad es la quinta parte de la 
suya (avión). Cuando sus mensajes alcanzan 
al vapor responde este que llegará al Callao 
dentro de 15 horas. El avión regresa inmedia­
tamente y puede anunciar la noticia al Callao 
por medio de su radio cinco horas después de 
su partida del Callao. Determinar la velocidad 
del avión.
Resolución:
5v
Callao h' * 2
m : . - — —
A B___________C P
60 km x 60 km
Considerando las 3 horas del vapor y según 
gráfico, su espacio recorrido será:
15v = 60 + x + 60
=> x = 15v - 120 ...(1)
Considerando las 5 horas del avión y según 
gráfico, su espacio recorrido será:
5(5v) = 60 + x + x ...(2)
Reemplazando (1) en (2):
25v = 60 + 2(15v - 120) => v = 36 km/h
Piden la velocidad del avión:
5v =5(36) = 180 km/h
7. Un viajero sale de A y viaja 40 km hacia el 
norte y llega al punto B. Se dirige hacia el este 
recorriendo 40 km hacia el punto C. De ahí 
sigue 30 km al este llegando al punto D, luego 
se dirige en trayectoria recta hacia el punto E 
que está a 40 km al sur de C, luego vuelve al 
punto A. Averiguar cuál fue el recorrido total 
del viajero.
Resolución:
DE = 50 km; AE = 40 km 
e: recorrido total 
e =AB + BC + CD + DE + EA 
e = 40 + 40 + 30 + 50 + 40 
e = 200 km
2 4 | C o lec c ió n E l Po s tu la n te
[ " e j e r c ic io s p r o p u e s t o s " !
1. El ruido emitido por el avión en A es escucha­
do por un observador en C. Cuando el avión 
se encuentra en B, hallar la rapidez del avión.
a) 100 m/s
b) 115 m/s
c) 119 m/s 1 ,
d) 120 m/s
e) 125 m/s | | c
2. Un hombre parado sobre una escalera mecáni­
ca en funcionamiento sube en 60 s; pero si cami­
nara sobre la escalera en movimiento emplearía 
20 s. ¿En cuánto tiempo, el hombre bajaría ca­
minando sobre la escalera en funcionamiento?
a) 55 s b) 58 s c) 60 s
d) 62 s e) 64 s
3. En una pista circular de 3000 m dos velocistas 
parten juntos en sentido contrario y se cruzan 
al cabo de 20 min. Después de 5 min, llega 
el más veloz al punto de partida. ¿Cuál es la 
velocidad del otro?
a) 20 m/min b) 25 m/min c) 30 m/min
d) 35 m/min e) 40 m/min
4. Una madre y su hija trabajan juntas en la mis­
ma oficina. De su casa a la oficina, la hija em­
plea 30 minutos y la madre, 40 minutos. ¿En 
cuánto tiempo alcanzará la hija a su mamá, si 
esta sale 8 minutos antes?
a) 24 min b) 28 min c) 20 min
d) 18 min e) 22 min
5. Un tren tarda 60 s en cruzar un túnel de 120 m 
de longitud, y en pasar delante de un observa­
dor emplea 20 s. ¿Cuál es la longitud del tren?
a) 55 m b) 58 m c) 60 m
d) 65 m e) 70 m
6. Un tren cuya longitud es de 120 m demora 
60 s en cruzar un túnel. Hallar la longitud del 
túnel, si la rapidez del tren es 36 km/h.
a) 480 m b) 360 m c) 420 m
d) 460 m e) 380 m
7. Dos móviles parten al mismo tiempo desde los 
puntos A y B como se muestra en la figura.
¿En qué tiempo ocurre el encuentro y en qué 
lado respecto al punto N, que es un punto me­
dio entre A y B?
vA = 30 m/s Vg = 50 m/s
A B
n
i----------------400 m----------------- 1
a) 5 s a la derecha de N, a 50 m
b) 7 sa la izquierda de N, a 60 m
c) 10 s a la derecha de N, a 10 m
d) 5 s a la izquierda de N, a 50 m
e) 7 s a la izquierda de N, a 60 m
8. Un microbús recorre en una hora toda la ave­
nida Venezuela, mientras que; otro microbús 
lo hace en 35 minutos si el microbús más len­
to parte 15 minutos antes, hallar el tiempo en 
que el otro lo alcanzará.
a) 21 min b) 20 min c) 22 min
d) 18 min e) 19 min
9. Recorrí 2000 km con rapidez constante. Si 
hubiera viajado con una rapidez mayor en 
2 km/h hubiera empleado 5 horas menos. ¿En 
qué tiempo recorreré 240 km?
a) 20 h b) 30 h c) 32 h
d) 34 h e) 36 h
10. Un alumno de la academia viajando en ómni­
bus a razón de 40 km/h generalmente llega a 
tiempo; sin embargo, el día que le tocó Razo­
namiento llegó con un retraso de 10 minutos, 
debido a que el ómnibus solo pudo desarro­
llar 30 km/h por razones de tránsito. ¿A qué 
distancia de la academia toma el ómnibus el 
estudiante?
a) 10 km b)15km c) 18 km
d) 20 km e) 30 km
11. Un asaltante después de robar un banco huye 
con el botín en un auto a una velocidad de 
80 km/h. Un policía empieza a perseguirlo 
después de 15 minutos. ¿A qué velocidad via­
jó el policía si capturó al asaltante después de 
50 minutos de persecución?
a) 104 km/h b) 78 km/h c) 105 km/h
d) 110 km/h e) 90 km/h
Ra z o n a m ie n t o M a te m á t ic o | 2 5
12. El barco explorador recibió la orden de hacer 
el reconocimiento en dirección que llevaba 
la escuadra; tres horas después la nave de­
bía incorporarse a la escuadra. ¿Al cabo de 
cuánto tiempo, a partir del momento en que se 
distancia de la escuadra, debe iniciar el barco 
explorador el regreso, si su velocidad es de 
60 km/h y de la escuadra 40 km/h?
a) 3 h b) 0,5 h c) 1 h
d) 2,5 h e) 2 h
13. Una persona sale de su casa y llega a su tra­
bajo en 30 minutos a una velocidad constante. 
Un día que salió normalmente de su casa, en 
mitad de su trayecto se detiene por un inter­
valo de tiempo de 20 minutos, luego renueva 
su movimiento duplicando su velocidad hasta 
llegar a su centro de trabajo. ¿Cuánto tiempo 
retrasado llega a su trabajo?
a ) 1 2 min b ) 1 0 min c) 11 min
d) 12,5 min e) 11,5 min
14. Pepe y Miriam separados por una distancia de 
2400 m, parten al mismo tiempo al encuen­
tro uno del otro. Justamente con Pepe parte 
Fido, perro fiel a ambos. Fldo al encontrarse 
con Miriam regresa nuevamente hacia Pepe 
y así sucesivamente de Pepe a Miriam y de 
Miriam a Pepe hata que ellos se encuentan. 
Se desea saber el espacio total recorrido por 
el perro, si se sabe que lp velocidad de Pepe 
es de 373 m/h, de Fido 393 m/h y de Miriam 
227 m/h.
a) 1572 m b) 1472m c)1752rri
d) 1275 m e) 1742 m
15. Si la circunferencia de cada uno de los rodi­
llos de la figura mostrada es de un decímetro, 
¿cuánto habrá avanzado la losa cuando los 
rodillos dan una vuelta?
y~Losa
T ü ' t ü K f
a ) 1 0 cm b)13cm c) 20 cm
d)14cm e)18cm
16. En una fábrica se toca la sirena con 2 minu­
tos de anticipación alertando a sus obreros; si 
uno de ellos al escuchar la sirena Instantánea­
mente parte en su automóvil con una rapidez 
constante de 20 m/s hacia la fábrica, llegando 
un minuto atrasado, ¿a qué distancia de la fá­
brica se hallaba el obrero?
a) 3,4 km b) 2,8 km c) 3,6 km 
d) 3,2 km e) 3,8 km
17. Dos autos van uno al encuentro del otro, par­
tiendo simultáneamente. Uno parte del punto 
A y el otro de! B, siendo sus velocidades cons­
tantes de 10 m/s y 20 m/s, respectivamente. 
Si la distancia entre A y B es de 100 m, hallar 
el tiempo que transcurre, hasta que la distancia 
que le falta al primer auto para alcanzar el pun­
to B sea el triple de la distancia que le falta al 
segundo para alcanzar el punto A.
a ) 1 0 s b )5 s c )4 s
d) 8 s e) 7 s
18. Una escalera mecánica tiene una longitud de 
5 metros. Cuando está detenida, una persona 
sube empleando 10 segundos. Se pide cal­
cular la velocidad de la escalera cuando está 
funcionando, si en este estado la persona de­
mora solo 4 segundos en subir.
a) 0,75 m/s b) 0,80 m/s c) 0,60 m/s
d) 0,85 m/s e) 0,90 m/s
19. Dos jinetes corren en un hipódromo de 90 m 
de circunferencia y en el mismo sentido. El pri­
mero que tiene 20 m de adelanto corre a 5 m/s, 
y el segundo, a 3 m/s; calcular la suma de las 
distancias recorridas hasta su encuentro.
a) 80 m b)160m c) 200 m
d) 240 m e) 280 m
20. Un automóvil debe hacer un cierto recorrido 
en 4 h, una hora después de iniciado el reco­
rrido aumenta su rapidez en 16 km/h, lo que 
le permite llegar antes. ¿Cuál fue la distancia 
recorrida?
a) 125 km b) 120 km c) 128 km
d) 130 km e) 138 km
1. c 5. c 9. b 13. d 17. c
2. c 6. a 10. d 14. a 18. a
3. c 7. b 11. a 15. c 19. e
4. a 8. a 12. d 16. a 20. c
OPERADORES MATEMÁTICOS
OPERACION MATEMATICA
Es un procedimiento que transforma una o más 
cantidades en otra llamada resultado, bajo reglas 
y/o condiciones convenidas.
Operador matemático 
a 9 b = 2a - b 
Operación Regla o 
definición
Operador matemático. Son símbolos que por sí 
mismos no tienen significación. Toda operación 
matemática tiene un símbolo que la representa. 
Operadores: {*, #, 0, A, f ( ), a, %..... }
Ejemplos:
1. Si: / x \ = x2 - 3x + 1, calcular: k k 
Resolución:
/ k = ( -3 )2 - 3 (-3 ) +1 = 9 + 9 + 1 = 1 9 
Se define: a 0 b = a2 + 2b + 1; calcular: 4 0 5.
Resolución:
4 0 5 = 4 2 + 2 x 5 + 1
I 1
a b
- 27
Se define: a3 a b = 5a + 3b; calcular: 8 a 10. 
Resolución:
Dando forma de, la operación:
23 a 10 = 5 x 2 + 3 x 1 0 = 40
l
4. SI: = 3x - 1, hallar n en:
(2n + 3 ) + (2n~^2) = 46
Resolución:
Por regla: CZ5 = 3x - 1
I J
x 3; -1 
En la condición:
[3(2n + 3) - 1] + [3(3n - 2) - 1] = 46 
6n + 9 - 1 + 9n - 6 - 1 '= 46 
15n + 1 = 46 .-. n = 3
Dada: / x + = 4x + 6, hallar n en:
/ x - ^ k = / í - n \ + / £ \
Resolución:
Por regla: / x + 1 \ = 4x + 6 
x 4; + 2 
En la condición:
4(p - 6) + 2 = [4(1 - n) + 2] + [4(2) + 2] 
4n - 2 4 + 2 = 4 - 4n + 2 + 10 
8n = 38 =» n = 19/4
6. Se define en Z+: [x] = x3(x - 1)
hallar n en: n
20
18
Resolución:
n
20
- 18
n
20
- 18
■ 23(2 - 1)
Comparando: — - 1 8 = 2
20
= 20 => n = 400
EJERCICIOS RESUELTOS
Se define:
J(a~b)( -b _a); si a < b
alb = (a a)(-b ); si a > b
halle: M = (5t2) - (r 2[21
Resolución:
Esta definición es condicionada, es decir:
I. Si a < b II. Si a > b
^ lb = (a~b)(-b~a) a lb = (a‘ a)(-b^b)
- 2 < 2 2 > - 2
^2l_2_ = (—2 2X—22); 2 ^ 2 =(2"2X -(-2r<-2))
1-2L2 = -4 = 1 :21-2 = - x - 4 = -1 4
Ra z o n a m ie n t o M a te m á t ic o | 2 7
Nos piden:
M = (20 2 .) - (—2l_2_) = -1 - 1 = -2 
M = -2
2. Si: l ÍH ; calcule: Q = 1 ^ 2 
3 3
Resolución:
Sea: P = -^ = m = 4p
Ahora, en la regla de definición:
4p - 4n * p - n
— ------- => p * n = ------
4pn pn
Regla de definición
p n
II
r non -----1
Trabajamos con esta regla ya que solo hemos 
acomodado los términos. En lo que nos piden, 
primero hallamos lo que está entre paréntesis:
1
1 * 1 = 1 
3 3
Ahora: Q = (-■)
_ 1
3
2
9
1*2 
3 3
_ 3 X 6 
2 5
6 _ 27
5 =
18 
10
Q = — =» Q = - 
18 2
Si se sabe que: 2 4 *1 5 = 3 
49 * 26 = 24 
18 *23 = 2 
a5 1 3 0 = 8
calcule: P = -^1—= ; si: a A b 
ba * aa
1 x 5 = 3
2 x 6 = 24 
2 x 3 = 2
3 x b = 8
Resolución:
2 4 * 1 5 = 2 x 4 
49 * 26 = 4 x 9 
18 *23 = 1 x 8 
a5 * 3b = a x 5 
5a - 3b = 8 
1 t
4 4 (No cumple, pues debe ocurrir: a A b)
7 9 (Sí cumple)
=> a = 7 A b = 9
Luego: P = ^ = 99*79
ba * aa 97 * 77 
9 x 9 - 
9 X 7 - 7 x 7 14
p _ 9 x 9 - 7 x 9 _ 18 p _ 9
Si: (x) = x(x + 1) A |® | = 56 
calcular: m
Resolución:
Dado la forma necesaria al 56: 
® = x(x + 1)
M = 7(7 + 1)
f x ] = 7 => resultado constante
Luego: m
5. En el conjunto 1N se define: x2 - 2 = x2 - 1
Resolver: ..
Resolución:
De
25 operadores 
: x2 - 1i => l~a~| = a + 1
+ 1
Ahora:
1 operador =>l 1 l = H 2]
2 operadores=
3 operadores =
0 - 2 = l
0 - 2 + 4 | 5 + 4 |=[9l = l
Para 25 operadores será: 
í 2] = | 625. [ = 625 + 1 = 626
6 . Si se cumple: -/a * b2 = 2(-/b * a2 ■ ab,
calcular: *V3 *6 
1 *2
Resolución:
Haciendo:b = /y =» Ib = 4Vy
Reemplazando en la regla dada: 
x * y = 2 ('Vy * x4) - x2/y 
=> w * x4 = 2 {4I 7 * v ) - 4/ y 2
•(i)
2 8 | C o le c c ió n El Po s tu la n te
Aly * x4 = 2(x * y) - Jy x2 
(II) en (I):
(x * y) = 2(2(x * y) - Vy x2) - x2^y 
(x * y) = 4(x * y) - 2 ¡y x2 - x2 /y 
=> x * y = x2 /y
4V3*6 4/3 2-/6
...(II)
Luego: ■ = •13x13 = 3
1 *2 !2V2
[ " e j e r c i c i o s p r o p u e s to s ' l 
Se define en IN: [17] = 1 + 2 + 3 + . . . + n
Si: : 231, hallar: x
a) 1
d) 7
b) 3 
e) 9
c) 5
2. Se define en IR: x O y = 
calcular: 2001 O 2002
(yO x f
a) 1
d) 4
b) 2001 
e) 2002
c) 504
3. Se define en IR: Ja * b2 = 2(-/b * a2) - a b
Calcular: 3 * 4
a) 4 
d) 48
b) 9 
e) 36
c) 18
4. Se define en el conjunto 2Z. nx □ n:x+1 _ v n
calcular: 8 □ 16
a) 3 
d) 18
b) 6 
e) 27
c) 9
5. Se define en TL.
= la + b + E ly f i 1 = a2
hallar el valor de:
a) 1
d) 25
b) 8 
e) 30
c) 5
6 . Se define en IR: 
mAn = m (nAm)2; (mAn) ¿ 0 
hallar: 27 A 1
a) 1/2 
d) 1/3
b) 1/4 
e) 1/6
c) 1/9
7. Si: a # b = 2a - b, calcular: E = (4 # 3 ) # (2#1)
1#(2#8)
a) 2 b) 3 c)5
d) 7/6 e) 9
8. Si: 2ab * 3ba = -Ia2 + b2, calcular: 128 * 243
c)7a) 5 
d) 4
9. Si se sabe que:
calcule: N =
a) 7/9 
d) 1/3
b) 25 
e) 3
24* 15 = 13 
49 * 26 = 48 
18 *23 = 14 
a 5 *3 b = 18
bb*ab
b i * ü
b) 1/5 
e) 9/4
c) 1/8
10. Si: | x | = 4x - 3; y (x) = 8x + 9 
calcular: (fxn
a) 8x - 3 
d) 4x + 5
b) 8x + 3 
e) x + 1
c) 4x - 5
11. Si: P (x + 1) = x2 + 3x + 2, calcular y, además: 
P(P(y)) = 42
a) 2 
d) 1
b) 3 
e) 5
c) 4
12. Si: x * y = x - xy - 1 
calcular: A = 8 *(8 *(8 *(8 *...)))
a) 1 b) 2 c) 7
d) 8 e) 10
13. Sabiendo que: aAb = a2+ 2a, además: 
(mDn) = (mAn) + 1; calcular: 7D(5D(403))
a) 70 
d) 8
b) 64 
e) 10
c) 7
Ra z o n a m ie n t o M a te m á t ic o | 2 9
14. Si: x - 1 = x + 1
calcular: ... x + 5 ...
100 operadores
a) x + 200 
c) x + 205 
e) x + 210
b) x - 200 
d) x - 207
15. Si: (a) = a(a + 1), además:((x + 2JJ = 156, 
calcular:
c) 10a) 12 b) 11
d) 9 e) 12
16. Si: f~x~1 = (x - 2)x + 1
calcular: A =
a) 1
d) -3
( ( m
b) 3 
e) 5
Q IL
c) -1
17. SI: <x - £> = x + 6 , además: = x + 8,
; 23. Se cumple que: | x ] = | x - 1 + x - 2
calcular: ( C I O ) además: | 1 | == 3 | 0 |= 5
a) 10 b) 12 c) 16
d) 20 e) 9 Calcule n en: -----1 + n = 3
18. Si: a) -1 b) 1 c) 3
a * b = I a%b l: m%n = m * - -■; [Y ] = y2 - 1
calcular: E = 4 * 2
a) 3 
d) 63
b) 8 
e) 64
c) 9
19. Si: [~IT*in = 2a + b; / x \ = 2x
calcular x en: / 3 \ * 5 = x * / 2 \
a) 4 
d) 8
b) 6 
e) 7
c) 5
20. Si: Va * b2 = 2(Vb * a2) - ab , calcular: 4V3 * 2 
Ve
a) 2 
d) 1
b) 3 
e) 1,5
c) 4
21. SI: a * b = a + ^ - ,si: a > b
a - b
a * b = , si: a < b
a + b
además: m * n = 4/7 A n * m = 5/3 
calcular: m/n
c) 12/35a) 47/23 
d) 35/12
b) 23/47 
e) 321/451
22. Si: P(x) = x2(x - 9) + 27 (x - 1)
calcule:
a) P(0) 
d) P(4)
[...[[[p(27)r(26)]3p<25)]-l
b) P(1) 
e) P(27)
|3p(25)] f 7P(1)
c) P(3)
d) 5 e) 2
tí) 1. b 6 . d 11. a 16. a 21. b
LJ 2 . d 7. d 12. c 17. b 22. d
>
< 3. c 8. a 13. b 18. d 23. c
J
ü
4. c
5. d
9. d 
10. a
14. c
15. a
19. b
20. d y
RELOJES
ADELANTOS Y ATRASOS
Situaciones donde se encuentran relojes malogra­
dos, debemos considerar:
+ Atraso 
total
— Adelanto 
total
- Atraso + Adelanto 
total total
Hora real = Hora adelantada - adelanto
Hora real = Hora atrasada + atraso
< 
x <
Hora
atrasada
Hora
real
Atraso
total
Hora _ Hora 
adelantada real
Adelanto
total
RELACION DEL RECORRIDO DEL HORARIO Y 
MINUTERO
Punto de partida Recorrido
c Y lo tw :-
Partíendo las agujas de las 12:00 a las 12:30, 
el horario ha recorrido, 15°, mientras que el 
minutero 180°, es decir, el minutero avanzó:
180
15
En general:
12 veces lo que avanzó el horario.
m = 12H
Donde: m: recorrido del minutero 
H: recorrido del horario
Observación:
1 .
1 división horaria O 30°
1 división de minuto 0 6°
El reloj tiene 12(5) = 60 divisiones que equi­
valen para el rtiinutero 60 minutos o 360° 
(1 vuelta)
60 div. < > 6 0 min < > 360°
1 div. = 1 min = 6° (para el minutero)
Veamos cuantos grados sexagesimales reco­
rren las agujas cuando transcurre un tiempo 
determinado en minutos (a partir de las 4 en 
punto):
Tiempo que 
transcurre 
(en minutos)
Angulo que 
recorre el 
minutero
Ángulo que 
recorre el 
horario
60’ 360° 30°
30' -> 180° —> 15°
20' 120° -> 10°
10' —> 60° —> 5°
8’ 48° —> 4°
3’ . -> 18° —> 3
2
1' - 6° —>
1
2
m’ —» m DIV ^ D IV
12
ANGULO QUE FORMAN EL MINUTERO Y EL HORARIO
1.° caso: cuando el minutero adelanta al horario:
m antes que H
0 = 11 m - 30H 2
Ra z o n a m ie n t o M a te m á t ic o ¡ 3 1
Por ejemplo, si la hora es 3:35: H = 3 y m = 35 
« 0 = ^ (35) - 30(3) = 102,5°
2.° caso: cuando el horario adelanta al minutero:
H antes que m 
0 — 30H — 2
Por ejemplo, si la hora es 4:10: H = 4 y m = 10 
=» 0 =30(4) - ^ (10) = 65°
EJERCICIOS RESUELTOS
1. ¿Qué hora es si hace 4 horas faltaba, para 
acabar el día, el triple del tiempo que faltará 
para acabar el día, pero dentro de 4 horas?
Resolución:
Hora exacta |
Hace 4 h Dentro de 4 h x h
r ^ T . f a l t a >
Oh V ^ 24 h
i ^ — |
(3x)h ' i
1 día < > 24 horas
Del gráfico: 4 + 4 + x = 3x =» x = 4 
Hora exacta: 24 - (4 + x) = 16
i8~"
Son las 16 h o 4 p. m.
2. Ya pasaron las 3:00 p. m., pero todavía no 
son las 4:00 p. m. de esta tarde. Si hubieran 
pasado 25 minutos más, faltaría, para las 
5:00 p. m., los mismos minutos que pasaron 
desde las 3:00 p. m. Hasta hace 15 minutos; 
¿qué hora es?
Resolución:
Se deduce que el intervalo de tiempo en el 
cual trabajaremos es de 3:00 a 5:00 p. m.
Luego:
| Hora exacta |
a Hace 15' Dentro de 25’ a
T. transcurrido*- sL-" T. falta
Oh 24 h
\___________________________ /
2 h < > 120°
Entonces: a + 15 + 25 + a = 120 =» a = 40 
Hora exacta: 3 p. rr>- + (a + 15)’ =>3 p. m. + 55’ 
La hora exacta es: 3:55 p. m.
3. Faltan para las 8:00 a. m., la mitad de los mi­
nutos que pasaron desde las 6:00 a. m. de 
esta mañana, hasta la hora actual. ¿Qué hora 
indica el reloj?
Resolución:
Distribuyendo convenientemente los tiempos 
según los datos, tenemos:
| Hora exacta |
2(40)’ 40’
. *^ítranscurridcr''' ^ ffa ita N
6:00 8:00
\______________________________ /
2 h < > 120’ < > 3(40 )
Hora exacta: 6 h + 80 min = 7 h 20 min 
Son las 7:20 a. m.
4. Un reloj tiene 3 minutos de retraso y sigue re­
trasándose a razón de 3 segundos por minu­
to. ¿Cuántos minutos deben transcurrir para 
tener una hora de retraso?
Resolución:
Para retrasarse 1 hora, falta retrasarse:
1 h - 3 min = 57 min
En 1 min — retraso— 3 s
x ----------------► 57 min = 57 x 60 s
= 5 7 x 6 0 x 1 min = 1UQ 
3
5. Hallar el ángulo formado por las agujas de un 
reloj en cada caso:
• 4:12 • 10:44
3 2 | C o lec ció n El Po s tu la n te
Resolución:
Se puede deducir que en ambas horas el mi­
nutero aún no pasa al horario.
• 4:12
0 = 30(4) - 11(12) = 54 .-.0 = 54°
• 10:44
0 = 3 0 (1 0 )- 11(44) = 58 .• .0 = 5 8 °
6. Hallar el ángulo formado por las agujas de un 
reloj en los siguiente casos:
• 4:40 • 2:26
Resolución:
Se puede deducir que en ambas horas el mi­
nutero ya pasó al horario.
• 4:40
0 = 11(40) - 30(4) = 100 0 = 100°
• 2:26
6 = y (26) - 30(2) = 83 . '.0 = 8 3 °
7. Entre las 5:00 y 6:00, ¿a qué hora por primera 
vez se forma un ángulo de 40°?
Resolución:
La primera vez ocurrirá cuando el horario esté 
delante del minutero y la segunda vez a la In­
versa, luego aplicaremos:
0 = 30H - l m 
2
40 = 30 (5 )-l l m => m=20
La hora será: 5:20.
8. Tres relojes A, B y C se sincronizaron simul­
táneamente al mediodía. Si el reloj de A se 
atrasa 5 minutos por hora, el de B se adelante 
5 minutos y el de C señala la hora correcta, 
¿dentro de cuánto tiempo los minuteros de los 
3 relojes equidistarán entre sí?
Resolución:
Sea x la cantidad de horas necesarias para 
que se cumpla la siguiente situación:
En cada hora el minutero B adelante 5 min al 
minutero C o 30°, luego:
Tiempo Ángulo
1 h ------------ ►30° (1)120°
=> X = = 4 hx — — * 120° 30
9. Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora y al 
cabo de 6 horas, luego de sincronizarlo con la 
hora correcta, marca las 8:17. ¿Cuál será la 
hora correcta?
Resolución:
En 1 hora se atrasa ( 3 m¡nutos
En 6 horas -Sejatrasará ( x
x = -!0 = 18 m¡n (atraso total)
=» Hora correcta = 8:17 + 18 = 8:35
[^E JE R C IC IO S PROPUESTOS |
2. Un boxeador da 7 golpes en 5 segundos. 
¿Cuánto tiempo demorará en dar 49 golpes?
a) 35 s b) 1 min 20 s c) 25 s
d) 40 s e) 60 s
3. A las 7:15 p. m. un alumno de la academia le
dice a su compañera cuando la suma de cifras 
de las horas transcurridas sea igual ai doble
¿Qué hora indican las agujas del reloj?, si: 
3a - 0 = 40°
a) 10:17/9
b) 10:97/8
c) 10:73/11
d) 10:80/11
e) 10:110/9
Ra z o n a m ie n t o M a te m á t ic o | 3 3
de las horas que quedan por transcurrir, será 
la hora de salida. ¿A qué hora terminan las 
clases en la academia?
a) 10 p. m. 
c) 9:20 p. m. 
e) 8:30 p. m.
b) 8 p. m. 
d) 10:40 p. m.
4. En un día:
I. Cuántas veces se superponen el horario y 
minutero.
II. Cuántas veces se encuentran formando 180°
III. Cuántas veces aparecen las agujas for­
mando 90°.
a) 23; 23; 45 
c) 22, 23; 43 
e) 23; 23; 48
b) 22; 22; 44 
d) 21; 21; 44
5. Se tienen dos relojes sincronizados a las 12 
del medio día (hora exacta). Si el primero se 
adelanta 2’ cada hora y el segundo se atrasa 
3’ cada hora, responder:
I. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán nue­
vamente la hora correcta los 2 relojes si­
multáneamente?
II. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán la 
misma hora?
a) 3 días; 6 días 
c) 7 días; 3 días 
e) 9 días; 3 días
b) 2 días; 9 días 
d) 5 días; 6 días
6 . Un alumno le dice a su amiga: cuando la 
suma de las cifras de las horas transcurridas 
sea Igual a las horas por transcurrir, te espero 
donde ya tú sabes. ¿A qué hora es la cita?
a) 12 a. m. b )10p . m. c) 7 a. m.
d) 9 p. m. e) 11 p. m.
7. El campanario de un reloj indica las horas con 
igual número de campanadas, para indicar las 
h horas tarda 4 s. ¿Cuánto tiempo (en horas) 
habrá transcurrido desde el Instante en el que 
se empleó n s para Indicar la hora hasta el ins­
tante que empleó 2n s para indicar la hora?
a)
d)
n(h - 1)
4(n - 1)
4n
h -1
n (h - 1) 
4h
c)
2n(h - 1)
11 .
13.
Arturo al observar un campanario nota que da 
5 campanadas en 10 segundos. ¿Qué tiempo 
demorará en dar 25 campanadas?
a) 50 s 
d) 52 s
b) 62 s 
e) 65 s
c) 60 s
Un campanario tarda n2x s en tocar tantas 
campanadas como n veces el tiempo que de­
mora entre campanada y campanada, hallar 
el tiempo en función a n que demora entre 
campanada y campanada si es igual a x.
n(n + 2) 
b) — s c) n s
d)
■Í4r? + 1
2n e)
n - 1 
n2 + 1 .
10. Un anciano al caminar por la calle se da cuen­
ta que da 5 golpes con su bastón en 8 segun­
dos. ¿En cuántos segundos dará 10 golpes?
a) 16 
d) 24
b) 18 
e) 12
c) 20
Al preguntarle la hora a un profesor de Razo­
namiento Matemático de la academia respon­
dió: “El duplo de las horas que han transcu­
rrido es igual al cuádruplo de las que quedan 
por transcurrir”. ¿Qué hora es?
a) 4 p. m. 
d) 11 a. m.
b) 8 a. m. 
e) 6 p. m.
c) 3 p. m.
12. ¿Qué hora es?, si a = (
c) 10:39^
d) 10:38-) e) 10:39
11
El reloj de Katy empieza a atrasarse sin que él 
se dé cuenta, si después de un determinado 
tiempo a José se le pregunta la hora y respon-
32 | C o lec c ió n El P ostu la nte
Resolución:
Se puede deducir que en ambas horas el mi­
nutero aún no pasa al horario.
• 4:12
0 = 3 0 ( 4 ) - ^ ( 1 2 ) = 54 .-.0 = 54°
• 10:44
9 = 30(10) — -y (44) = 58 .-.0 =58°
6. Hallar el ángulo formado por las agujas de un 
reloj en los siguiente casos:
• 4:40 • 2:26
Resolución:
Se puede deducir que en ambas horas el mi­
nutero ya pasó al horario.
• 4:40
0 = y ( 4 O ) - 30(4) = 100 ■••9 = 100°
• 2:26
0 = y (26) - 30(2) = 83 0 = 83°
7. Entre las 5:00 y 6:00, ¿a qué hora por primera 
vez se forma un ángulo de 40o?
Resolución:
La primera vez ocurrirá cuando el horario esté 
delante del minutero y la segunda vez a la in­
versa, luego aplicaremos:
9 = 30H - , ^ m 
2
40 = 30(5) - y m => m = 20
.-. La hora será: 5:20.
8. Tres relojes A, B y C se sincronizaron simul­
táneamente al mediodía. Si el reloj de A se 
atrasa 5 minutos por hora, el de B se adelante 
5 minutos y el de C señala la hora correcta, 
¿dentro de cuánto tiempo los minuteros de los 
3 relojes equidistarán entre si?
Resolución:
Sea x la cantidad de horas necesarias para 
que se cumpla la siguiente situación:
En cada hora el minutero B adelante 5 min al 
minutero C o 30°, luego:
Tiempo Ángulo
1h ------------ -- 30- 11)12°: _ 4 h
x ------------ ► 120° 30
9. Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora y al 
cabo de 6 horas, luego de sincronizarlo con la 
hora correcta, marca las 8:17. ¿Cuál será la 
hora correcta?
Resolución:
En 1 hora — . atrasa „ 3 minutos 
En 6 horas se atrasara ( x
x = --x 3 — — = 18 min (atraso total)
=> Hora correcta = 8:17 -t- 18 = 8:35
[ " e j e r c ic io s p r o p u e s t o s ” l
2. Un boxeador da 7 golpes en 5 segundos. 
¿Cuánto tiempo demorará en dar 49 golpes?
a) 35 s b) 1 min 20 s c) 25 s
d) 40 s e) 60 s
3. A las 7:15 p. m. un alumno de la academia le 
dice a su compañera cuando la suma de cifras 
de las horas transcurridas sea igual ai doble
¿Qué hora indican las agujas del reloj?, si:
3a - 0 = 40°
a) 10:17/9
b) 10:97/8
c) 10:73/11
d) 10:80/11
e) 10:110/9
Ra z o n a m ie n t o M a te m á t ic o | 3 3
de las horas que quedan por transcurrir, será 
la hora de salida. ¿A qué hora terminan las 
clases en la academia?
a) 10 p. m. 
c) 9:20 p. m. 
e) 8:30 p. m.
b) 8 p. m. 
d) 10:40 p. m.
En un día:
I. Cuántas veces se superponen el horario y 
minutero.
II. Cuántas veces se encuentran formando 180°
III. Cuántas veces aparecen las agujas for­
mando 90°.
a) 23; 23; 45 
c) 22, 23; 43 
e) 23; 23; 48
b) 22; 22; 44 
d) 21; 21; 44
5. Se tienen dos relojes sincronizados a las 12 
del medio día (hora exacta). Si el primero se 
adelanta 2’ cada hora y el segundo se atrasa 
3’ cada hora, responder:
I. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán nue­
vamente la hora correcta los 2 relojes si­
multáneamente?
II. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán la 
misma hora?
a) 3 días; 6 días 
c) 7 días; 3 días 
e) 9 días; 3 días
b) 2 días; 9 días 
d) 5 días; 6 días
6 . Un alumno le dice a su amiga: cuando la 
suma de las cifras de las horas transcurridas 
sea igual a las horas por transcurrir, te espero 
donde ya tú sabes. ¿A qué hora es la cita?
a) 12 a. m. b )10p . m. c) 7 a. m.
d) 9 p. m. e) 11 p. m.
7. El campanario de un reloj Indica las horas con 
igual número de campanadas, para indicar las 
h horas tarda 4 s. ¿Cuánto tiempo (en horas) 
habrá transcurrido desde el Instante en el que 
se empleó n s para Indicar la hora hasta el ins­
tante que empleó 2n s para indicar la hora?
a)
d)
n(h - 1)
4 ( n - 1)
4n 
h -1
n ( h - 1)
4h
c)
2n(h - 1)
13.
Arturo al observar un campanario nota que da 
5 campanadas en 10 segundos. ¿Qué tiempo 
demorará en dar 25 campanadas?
a) 50 s 
d) 52 s
b) 62 s 
e) 65 s
c) 60 s
Un campanario tarda n x s en tocar tantas 
campanadas como n veces el tiempo que de­
mora entre campanada y campanada, hallar 
el tiempo en función a n que demora entre 
campanada y campanada si es igual a x.
b)
n(n + 2) 
n - 1
c) n s
d)
■¡4r?+ 1
2n e)
10. Un anciano al caminar por la calle se da cuen­
ta que da 5 golpes con su bastón en 8 segun­
dos. ¿En cuántos segundos dará 10 golpes?
a) 16 
d) 24
b) 18 
e) 12
c) 20
11 . Al preguntarle la hora a un profesor de Razo­
namiento Matemático de la academia respon­
dió: “El duplo de las horas que han transcu­
rrido es igual al cuádruplo de las que quedan 
por transcurrir". ¿Qué hora es?
a) 4 p. m. b) 8 a. m. c) 3 p. m.
d) 11 a. m. e) 6 p. m.
12. ¿Qué hora es?, si a = 6
c) 10:39y
d) 10:38-) e) 10:39
11
El reloj de Katy empieza a atrasarse sin que él 
se dé cuenta, si después de un determinado 
tiempo a José se le pregunta la hora y respon-
34 | C o lec c ió n E l P o s tu la n te
14.
15.
16.
18.
de acertadamente. ¿Cuánto tiempo se atrasó 
el reloj hasta ese momento, si este es el me­
nor posible?
a) 24 h 
d) 360 min
b) 12 h 
e) 180 min
c) 36 h
Un reloj marca las 3:x; x está entre las 8 y las 
9, pasado cierto tiempo el horario y el minute­
ro se permutan. ¿Qué hora era inicialmente?
a) 3 :4 2 ^ b )3 :4 2 ^
d) 3:41 ^2 e) 3:41í ¡
c) 3:42
11
Un reloj indica las horas tocando tantas cam­
panadas como hora indica y además toca 2 
campanadas en las medias horas. ¿Cuántas 
campanadas se escucharán en 1 día?
a) 204 
d) 342
b) 202 
e) 324
c) 348
El reloj de Luis empieza a atrasarse a las 
8:00 a. m. Si después de 3 horas cuando el re­
loj marcaba 10:30 de la mañana Luis arregla 
su reloj. ¿Después de cuánto tiempo volverá 
a marcar la hora exacta, si el reloj a partir del 
momento en que lo arreglan empieza a ade­
lantarse 10 minutos por hora?
a) 1 día 
d ) 3 | días
b) 5 días
2
e) 4 — días 
5
c ) 3 días
17. Cada cuánto tiempo las manecillas de un reloj 
(horario y minutero) forman un ángulo de 0°.
a) 1 h 6— min 
11
c )1 h -8 min 
11
e) 1 h min
b) 1 h 5— min 
11
d) 1 h 7 | min
En la tarde melancólica de un día viernes Al- 
fredito proyecta una sombra de -Í3 m, si su 
estatura es igual a 1 m, ¿cuál es el ángulo que 
forman las agujas en ese instante?
a) 70° 
d) 60°
b) 120° 
e) 127°
c) 135°
19. La mitad del tiempo que ha pasado desde las 
9:00 a. m. es una tercera parte del tiempo que 
falta para las 7:00 p. m. ¿Qué hora es?
20 .
2 1 .
22 .
a) 11:00 a. m. 
d) 2:20 p. m.
23.
b) 1:00 p. m. c)4:00p. m.
e) 10:— p. m.
3
Se construye un reloj que tiene el horario más 
grande que el minutero, cuando Timoteo ve la 
hora dice: “Son las 9:29, si el ángulo que forman 
las manecillas es 114°, ¿qué hora es en realidad?
a) 5:47
d) 5:48
b)5 :45y
e) 5:47-.
c |5 :48 l ¡
A qué hora entre las 6 y las 7 el horario ade­
lanta a la marca de las 6 tanto como el minu­
tero adelante a la marca de las 7.
„\c .4 2 1
a ) 6 l F
la c . 420
b) 6- l T
d) 6: 424
13
e) 6:.313
11
Un reloj anuncia las horas con un número de 
campanadas igual a las horas que está Indi­
cando, para anunciar los cuartos de hora da 
una campanada y para anunciar las medias 
horas da 2 campanadas, pero el reloj se ma­
logra a las 11:00 a. m., con lo cual deja de dar 
una campanada en todos los casos. ¿Cuán­
tas campanadas a dado el reloj desde las 10 
horas hasta las 12 horas 15 minutos?
a) 40 
d) 37
b) 41
e) 36
c) 39
Un reloj anuncia las horas con un número de 
campanadas igual a las horas que está marcan­
do, además este mismo reloj da 3 campanadas 
en 8 segundos, entonces, ¿a qué hora exacta­
mente terminará el reloj de anunciar las 21 horas?
a) 21 h 32 s b) 22 h 4 s c) 21 h 28 s
d) 22 h 21 s e) 21 h 10 s
m 1. d 6. d 11. a 16. c 21.
N
b
Ld 2. d 7. a 12. a 17. b 22. e
< 3. a 8. c 13. b 18. b 23. a
J 4. b 9. c 14. d 19. b
ü 5. a 10. b 15. a 20. d y
INDUCCIÓN Y DEDUCCIÓN
INDUCCION
La palabra inducción proviene del latín inductivo 
(¡n: en y ducere: conducir) que es la acción y 
efecto de inducir. Es definido como una manera 
de razonar, en la cual se obtiene de los hechos 
particulares, una conclusión general. Así el razo­
namiento inductivo deductivo desempeña un gran 
papel en la resolución de diversos problemas 
matemáticos aplicándose también en las ciencias 
experimentales. Se puede representar de la si­
guiente forma:
Casos particulares =» Caso general
Ejemplos:
1. Calcular la suma de cifras del resultado en E, 
si se sabe que en la base hay 49 cifras 3.
E = (333...333)2 
Aplicando inducción:
Con 1 cifra: (3)2 = 9
Suma de cifra del resultado 
9(1)
1 cifra
Con 2 cifras: (33)2 = 1089 9(2)
2 cifras
Con 3 cifras: (333)2 = 110 889 9(3)
3 cifras
En el problema:
Con 49 cifras: (333...33)2 = 9( ) = 9(49) = 441
Calcular la suma de cifras del resultado de: 
M = (111...1)2 
9 cifras 
Aplicando inducción:
1 cifra:
2 cifras:
3 cifras:
4 cifras:
(1)2 = 1 
(11)2 = 121 
(111)2 = 12321 
(1111 )2= 1234321 16 = 4 '
Suma de cifras
1 = 12
4 = 22 
9 = 32 
= 42
Entonces si fueran 9 cifras: 
9 cifras: (11 ...11 )2 = 12...21 81
DEDUCCION
La palabra deducir proviene del latín deducere que 
significa sacar consecuencias (conclusiones). La 
deducción es la acción de deducir; también es la 
conclusión que se obtiene en un proceso deducti­
vo. En lo que respecta a nuestro estudio, veremos 
como a partir de casos generales llegamos a es­
tablecer cuestiones particulares para la resolución 
de un problema.
Caso general =» Casos particulares
Ejemplo:
Calcular: bca + cab + abe, s¡: (a + b + c)2 = 324 
Aplicando deducción:
(a + b + c)2 — 324 ■-> a + b 4-c = 18 
Piden: bca + cab + abe =» bca + 
cab 
abe 
1998
Por lo tanto: bca + cab + abe = 1998
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Si: abed =(...4321)4-9999 
hallar: a + b + c + d
Resolución:
Según el primer dato:
abcd = (,..4321) h- 9999
El 9999 pasa al otro miembro multiplicando:
abed x 9999 = 4321
Podemos escribir (10 000 - 1) a cambio de 9999 
Entonces abed x (1000 - 1) = ... 4321
abcdOOOO - abed = ...4321 
Es lo mismo que: _______
abcdOOOO- 
abed
7..4 3 2 1
de donde: d = 9 ;b = 7 ;c = 6;a = 5 
a + b + c + d = 29
3 6 | C olec ció n El Po s tu la n te
2. Calcular la suma de cifras de P:
P = 7444...44- .88038
1000 cifras 500 cifras
Resolución:
Tomando casos simples pero con la mis­
ma estructura del problema planteado, pero 
teniendo en cuenta que el número de cifras 
cuatro es el doble del número de cifras ocho.
Entonces:
. V44 - 8 = 6
1 cifra
. 74444 - 88 = 66
X 3~
2 cifras
. 7444444 - 888 = 666
H Z T
3 cifras
En el problema:
7444...444 - 88...88 = 666...66 => su™ade
I l l I i I Clfras
1000 cifras 500 cifras 500 cifras 6(500) = 3000 
l____________I
3. Hallar el valor de: x = 797 x 98 x 99 x 100 + 1 
Resolución:
Aplicando el método inductivo en el proble­
ma:
• 7 1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 5 => 5 = 1 x 4 + 1
• 7 2 x 3 x 4 + 5 + 1 =11 11 = 2 x 5 + 1
• 7 3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 19 =» 19 = 3 x 6 + 1
Aplicando al problema:
7 9 7 x 9 8 x 9 9 x 1 0 0 + 1 = x
= 97 x 100 + 1 .-. x = 9701
4. Hallar la suma de todos los elementos de la 
siguiente matriz:
1 2 3 4 ... 9 10
2 3 4 5 10 11
3 4 5 6 .. 11 12
4 5 6 7 12 13
9 10 11 12 .. 17 18
10 11 12 13 .. 18 19
Resolución:
Sumar los 100 elementos que conforman la 
matriz va a ser demasiado operativo, aplican­
do inducción tendremos:
[ 1 ] => suma = 1 = (1)3
. n.° filas
|1 (D j
12 3 ¡
1 2(3}
2 3 4
3 4 5
1 2
2 3
3 4
10 11
=> suma = 8 = (2)
. n.° filas
suma = 21 = (3)3
■ n.° filas
11
12
19
.-. suma = (10)3 = 1000 
L— n.° filas
.-. suma = 1000
5. Calcular E y dar como respuesta la suma de 
sus cifras. E = (333...333)2 
200 cifras
Resolución:
Por Inducción tendremos:
3^ = 9 =» Scifras = 9 = 9(1)
1 cifra '-------► n.° cifras
(33)2 = 1089 
2 cifras
D cifras = 18 = 9(2)
► n.° cifras
(333) = 110 889 
3 cifras
E = (333...333)2 = 11...110 88...889
S c i f r a s = 27 = 9(3)
L-►n.° cifras
200 cifras 199 cifras 199 cifras
■■■ Scifras = 9(200) = 1800
I ► n.° cifras
6. Hallar la suma de cifras del producto siguien­
te: P = 777...777 x 999...9999
50 cifras 50 cifras
Resolución:
Aplicando inducción:
_7_ x _9_ = 63
1 cifra 1 cifra
Suma de cifras 
9 = 9(1)
Ra z o n a m ie n t o M a te m á t ic o | 3 7
_77_x 99 = 7623 18 = 9(2)
2 cifras 2 cifras
l l l x 999 = 776 223 27 = 9(3)
3 cifras 3 cifras 
Luego:
P = 77...777x999...999 9(50) = 450 
50 cifras 50 cifras
7. ¿Cuántos puntos de contacto hay en la si­
guiente gráfica?
Resolución:
Vamos a proceder a contar aplicando el mé­
todo inductivo, es decir, analizando casos 
simples, cuidando que la formación (distribu­
ción de las esferas) se mantenga uniforme­
mente, así:
n.° de puntos de contacto
[ ” EJERCICIOS PROPUESTOS l
1. Si: (a + b + c)° = 2b6, además: ab2= a0c5 
calcular: abe + bea + cab
a) 1666 ' b) 1776 c) 1206
d )446 e) 1006
2. Halle la siguiente suma: abed + mnpp + xyzw; 
sabiendo que:
bd + np + yw = 160 
ac + mp + xz = 127 
ab + mn + xy