sistemasSELECTIVIDAD-1516

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I.E.S. “HIPONOVA”, MONTEFRÍO 
 
 
PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. SISTEMAS DE ECUACIONES. 
 
14.01.- Considera el sistema de ecuaciones 








12
22
12
mzyx
zmyx
zymx
 
 a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. 
 b) Si es posible, resuelve el sistema para m = - 2. 
 
14.02.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales 





532
332
zyx
zyx
 
a) Calcula α de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma α x + y − 7z = 1 
el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original. 
b) Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las 
incógnitas sea 4. 
 
14.03.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales: 








12)1(
12)1(
mzyxm
mzymx
zymx
 
 a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. 
b) Resuélvelo para m = 2. Para dicho valor de m calcula, si es posible, una solución 
en la que z = 2. 
 
14.04.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones con incógnitas x, y, z. 











zx
zx
zy )1(
 
a) Discute el sistema según los valores del parámetro λ. 
b) Resuelve el sistema para λ = 1. 
c) Para λ = 0, si es posible, da tres soluciones distintas. 
 
14.05.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones: 








02
02
0
mzyx
zymx
mzyx
 
 a) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución. 
b) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene alguna solución 
distinta a la solución nula. 
c) Resuelve el sistema para m = -2. 
13.01.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones: 








23
2
02
mzymx
mmzyx
zyx
 
a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. 
b) Resuélvelo, si es posible, para m = 2. 
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13.02.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones: 








9363
12
6642
mzyx
mzmy
zyx
 
a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. 
b) Resuélvelo para m = 3. Para dicho valor m, calcula, si es posible, una solución en la 
que y = 0. 
 
13.03.- Considera el siguiente sistema de sistema de ecuaciones lineales: 





332
0
zyx
zyx
 
a) Determina el valor de m para que al añadir la ecuación 
34  zmyx 
se obtenga un sistema con las mismas soluciones. 
b) Calcula la solución del sistema para que la suma de los valores de las incógnitas sea 
igual a 6. 
 
12.01.- Dado el sistema de ecuaciones 








173
12
32
kzyx
kzx
ykx
 
 a) Estudia el sistema para los distintos valores del parámetro k. 
 b) Resuélvelo para k = 1. 
 
12.02.- Considera el sistema de ecuaciones 








12
2
121
kzyx
zykx
zy)k(x
 
 a) Clasifícalo según los distintos valores de k. 
 b) Resuélvelo para k = 2. 
 
12.03.- Considera el sistema de ecuaciones 








21
32
12
kzyx)k(
kzyx
kzkyx
 
 a) Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución. 
 b) ¿Existe algún valor de k para los que el sistema no tiene solución? 
 b) Resuelve el sistema cuando k = 0. 
 
12.04.- Considera el sistema de ecuaciones 











zy)(x
zy
zyx
13
3223
1
 
 a) Resuelve el sistema para  = 1. 
 b) Halla los valores de  para los que el sistema tiene una única solución. 
 c) ¿Existe algún valor de  para el que el sistema admite la solución 






2
1
0
2
1
? 
 
12.05.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas: 
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







1
2
22
yx
kkyx
ykx
 
 a) Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k. 
b) Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles es 
indeterminado. 
c) Halla las soluciones en cada caso. 
 
12.06.- Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas 








0
2
zyx
zy
yx



 
 a) Clasifícalo según los distintos valores del parámetro . 
 b) Resuélvelo para  = 0 y  = -1. 
 
12.07.- Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una 
calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la 
calculadora y el estuche juntos. 
a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? 
Razona las respuestas. 
b) Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50 %, un 20 % y 
un 25 % de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 
euros. Calcula el precio de cada artículo. 
 
12.08.- Considera el sistema de ecuaciones 








kzy
kyx
kzyx
2
12
1
 
 a) Resuélvelo para k = 1. 
 b) Resuélvelo para k = -1. 
 
11.01.- Dadas las matrices 












3012
112
011
tt
ttA y 











z
y
x
X 
 a) Calcula el rango de A según los diferentes valores de t. 
 b) Razona para qué valores de t el sistema homogéneo A X = 0 tiene más de una 
solución. 
11.02.- Considera el sistema de ecuaciones 








3333
2
4422
zyx
azx
zyx
 
 a) Discútelo según los valores del parámetro a. 
 b) Resuélvelo cuando sea posible. 
11.03.- Dado el sistema de ecuaciones lineales 








1
2
1
zyx
zyx
zyx



 
 a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro . 
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 b) Resuelve el sistema para  = 0. 
10.01.- Sea el siguiente sistema de ecuaciones: 











zyx
2zyx2
2zyx
. 
 a) Discútelo según los valores de λ. ¿Tiene siempre solución? 
 b) Resuelve el sistema para λ = -1. 
 
10.02.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones: 








mzmyx
1zyx
1zyx)2m(
 
 a) Discútelo según los valores de m. 
 b) Resuélvelo para el caso m = 1. 
 
10.03.- Considera el sistema 





4zy3x2
5zy2x3
. 
 a) Calcula razonadamente un valor de λ para que el sistema resultante al añadirle la 
ecuación 9zyx   sea compatible indeterminado. 
 b) ¿Existe algún valor de λ para el cual el sistema resultante no tiene solución? 
 
10.04.- a) Discute, según los valores del parámetro λ, el siguiente sistema de ecuaciones: 











6z2y3x
4z)2(y2x
zyx
 
 b) Resuelve el sistema anterior para λ = 0. 
 
10.05.- Obtén un vector no nulo v = ( a, b, c), de manera que las matrices siguientes tengan, 
simultáneamente, rango 2: 











c11
b01
a11
A 











c13
b10
a02
A . 
 
10.06.- Considera el sistema de ecuaciones 








2z6yx2
2z4yx2
0z6y2x



. 
 a) Discútelo según los valores del parámetro λ. 
 b) Resuélvelo para λ = 2. 
 
 
09.01.- Considera las matrices 














221
212
122
A y 











z
y
x
X . 
 a) Calcula, si existe, A-1. 
 b) Resuelve el sistema A X = 3 X e interpreta geométricamente el conjunto de sus 
soluciones. 
 
09.02.- Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos, A, B y C. 
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 Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 €. 
 Pista 2: Si compramos n unidades de A, n+3 de B y tres de C gastamos 390 €. 
a) ¿Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles?b) Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, 
calcula el precio de cada producto. 
 
09.03.- a) Discute según los valores del parámetro λ el siguiente sistema: 








1z3yx
zx
0yx3


 
b) Resuélvelo para λ = 0. 
 
09.04.- Una empresa envasadora ha comprado un total de 1500 cajas de pescado en tres 
mercados diferentes, a un precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamente. El coste 
total de la operación ha sido de 40500 euros. Calcula cuánto ha pagado la empresa en 
cada mercado, sabiendo que en el primero de ellos se ha comprado el 30 % de las cajas. 
 
09.05.- Dado el sistema de ecuaciones lineales 








4zyx
5zy3x
4zyx


 
a) Discútelo según los valores del parámetro λ. 
b) Resuélvelo para el caso λ = 1. 
 
09.06.- a) Resuelve el sistema de ecuaciones 








2z5y2x
0z2yx
2zx
 
 b) Calcula λ sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del 
apartado a). 








3zy2x
1z3yx
1zyx

 
09.07.- Sea el sistema de ecuaciones 








mzymx
1zmyx
1myx
 
a) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible. 
b) Resuelve el sistema en el caso m = -1. 
 
08.01.- Dado el sistema de ecuaciones lineales 








1zy5x
0zyx2
0zyx



. 
a) Clasifícalo según los valores del parámetro λ. 
b) Resuélvelo par λ = -1. 
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08.02.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones: 








1zyax
azayx2
1azyx
. 
a) Discútelo según los valores del parámetro a. 
b) Resuélvelo para el caso a = 2. 
 
08.03.- Sabemos que el sistema de ecuaciones 





2zy2x
1z3yx2
 tiene las mismas 
soluciones que el que resulta al añadirle la ecuación ax + y + 7z = 7. 
a) Determina el valor de a. 
b) Calcula la solución del sistema inicial de dos ecuaciones, de manera que la suma de 
los valores de las incógnitas sea igual a la unidad. 
08.04.- Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes 
con un importe de 3000 euros. 
 a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50? 
b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 
50, calcula cuántos billetes hay de cada tipo. 
 
08.05.- Considera la matriz 











2
22
mmm
mmm
111
A . 
a) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3. 
b) Estudia si el sistema 






















1
1
1
z
y
x
A tiene solución para cada uno de los valores de 
m obtenidos en el apartado anterior. 
 
08.06.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones 








1kkzy)1k(x
0zyk
1yx
. 
a) Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible. 
b) Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga z = 2. 
 
08.07.- Halla los valores del parámetro m que hacen compatible el sistema de ecuaciones: 








2
mzy3x
mzyx2
2z2y2x
. 
 
08.08.- a) Determina razonadamente los valores del parámetro m para los que el siguiente 
sistema de ecuaciones tiene más de una solución: 








zmz4y2x
ymzy2x
xmzyx2
 
b) Resuelve el sistema anterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1. 
 
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07.01.- Considera el sistema de ecuaciones 








2azyx
1zayx
4zyax
. 
a) Resuélvelo para el valor de a que lo haga compatible indeterminado. 
b) Resuelve el sistema que se obtiene para a = -2. 
 
07.02.- Considera el sistema de ecuaciones 








1zyx
2zyx2
0zyx

 . 
a) Determina el valor de λ para que el sistema sea compatible. 
b) Resuelve el sistema para λ = 1. 
 
07.03.- Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a. 








z2z)a2(y2x
yz2y)1a(
0zyx
 
 
07.04.- Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales 








0yx)1(
0zyx
2z)1(yx


 tiene más 
de una solución. 
a) Calcula, en dicho caso, el valor de la constante λ. 
b) Halla todas las soluciones del sistema. 
 
07.05.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para los valores de m que lo hacen 
compatible: 








1ymxm
myxm
mymx
. 
07.06.- Considera el sistema de ecuaciones 








0ym2x
1zym
1zmyx
. 
a) Clasifica el sistema según los valores de m. 
b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. 
 
06.01.- Considera el sistema de ecuaciones lineales 








2
zyx
zyx
1zyx



 
a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. 
 b) Resuélvelo para λ = 2. 
06.02.- Considera el sistema de ecuaciones lineales 








2zyx
4zyx
1zyx



 
a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. 
 b) Resuelve el sistema para λ = 2. 
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06.03.- Considera el sistema de ecuaciones lineales 








10zyx
8zyx
2zyx

 
a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. 
 b) Resuelve el sistema para λ = 2. 
 
06.04.- Considera el sistema de ecuaciones lineales 








2yx2
1zyx3
4zyx

 
a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. 
 b) Resuelve el sistema para λ = 1. 
 
05.01.- Considera el sistema de ecuaciones 








5z)2(y2x
7zy3x
2zyx

 . 
 a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. 
 b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. 
 
05.02.- Considera el sistema de ecuaciones 








mzmy
0z2mx
5zy3x
. 
a) Determina los valores de m para los que es sistema tiene una única solución. 
Calcula dicha solución para m = 1. 
b) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. 
Calcula dichas soluciones. 
c) ¿Hay algún valor de m para los que el sistema no tiene solución? 
 
05.03.- Considera el sistema de ecuaciones 








4z)1b(yx
2zy)1b(x
2zyx)1b(
 
 a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro b. 
 b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. 
 
05.04.- Considera el sistema de ecuaciones 








0zy3x2
myz)4m(yx
0zy2x5
. 
 a) Determina los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única 
solución. 
 b) Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una solución en que z = 19. 
 
05.05.- Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta 
parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que 
tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros. 
 
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05.06.- Considera el sistema de ecuaciones 








mzymx
2mzyx
0zmyx
. 
 a) ¿Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones? 
 b) ¿Para qué valores de m el sistema admite solución en la que x = 1? 
 
05.07.- En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una 
sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 
monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 gramos. El peso de un objeto 
deformado e irreconocible es de 18 gramos. Determina si dicho objeto es una sortija, una 
moneda o un pendiente sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo. 
04.01.-Se sabe que el sistema de ecuaciones 











zy
1zx
1yx
 tiene una única solución. 
 a) Prueba que a ≠ 0. 
 b) Halla la solución del sistema. 
04.02.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones 








4zbyax
1z2yx
1zy3x
 tiene al 
menos dos soluciones distintas. 
04.03.- Considera el sistema de ecuaciones 











2yx
1z)1(yx
yx
. 
 a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ. 
 b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. 
 
04.04.- Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El 
mencionado tendero observa que si vende a 1€ las botellas del tipo A, a 3 € las del tipo B y a 
4 € las de tipo C, entonces obtiene un total de 20 €. Pero si vende a 1€ las botellas del tipo A, 
a 3 € las del tipo B y a 6 € las de tipo C, entonces obtiene un total de 25 €. 
 a) Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el número de botellas de cada tipo. 
 b) Resuelve dicho sistema. 
 c) ¿Puede determinarse el número de botellas de cada tipo de que dispone el tendero? 
 (Ten en cuenta que el número de botellas tiene que ser entero y positivo) 
 
04.05.- Considera el sistema de ecuaciones 








0zmx2
mymx
2zy2xm
. 
 a) Determina los valores de m para los que x = 0, y = 1, z = 0 es solución del sistema. 
 b) Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible. 
 c) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. 
 
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04.06.- Considera el sistema de ecuaciones 








0z12y12x)2a(
0z2y13x2
0zy3x
. Determina el valor de 
a para que tenga soluciones distintas de la solución trivial y resuélvelo para dicho valor de 
a. 
 
04.07.- Considera el sistema de ecuaciones 





1m2ymx
1yxm
. 
 a) Clasifica el sistema según los valores de m. 
 b) Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que x = 3. 
 
1.- Considera el sistema de ecuaciones 








bza3y2x
32zy4x
15z2y3x
 
a) Determina a y b sabiendo que el sistema tiene infinitas soluciones. 
b) Resuelve el sistema resultante. 
2.- Clasifica el sistema según los valores del parámetro  








2
λzλ)(1yx
λzλ)y(1x
1zyλ)x(1
 
3.- Considera el sistema de ecuaciones 








1zx
1z2y2x
4zy22x
-
-
--
 . Se pide: 
a) ¿Existe una solución del mismo en la que y = 0 ? 
b) Resuelve el sistema homogéneo asociado al sistema dado. 
c) Haz una interpretación geométrica tanto del sistema dado como de sus soluciones. 
 
4.- Del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 





0cy'bxa'
01ybax
 se sabe que x=1, 
y=2 es una solución, y que x=7, y=3 es otra solución. ¿Qué puede afirmarse respecto a las 
soluciones del sistema? ¿Cuántas tiene? ¿Cuáles son? 
 
5.- Considera el sistema 





3z24y-3x
1zyx
 . 
a) Añade una ecuación lineal al sistema anterior de modo que el sistema resultante sea 
incompatible. 
b) Si añadimos al sistema dado la ecuación mx + y – z = -1 determina para qué valores 
del parámetro m el sistema es compatible indeterminado y resuélvelo. 
 
6.- Una tienda vende una clase de calcetines a 1200 ptas. el par. Al llegar las rebajas, durante el 
primer mes realiza un 30% de descuento sobre el precio inicial y en el segundo mes un 40 % 
también sobre el precio inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares de calcetines por 
597.600 ptas. y que ha vendido en las rebajas la mitad de dicho total, ¿a cuántos pares de 
calcetines se les ha aplicado el descuento del 40 %? 
 
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7.- Determina según los valores del parámetro  cuándo tiene solución el sistema y resuélvelo 
cuando sea compatible indeterminado: 
 








2
2
2
2zyx
z)1(y)1(x
zyx



 
 
8.- Por la abertura A del mecanismo de tubos de la figura se 
introducen 50 bolas que se deslizan hasta salir por B. Sabemos 
que por el tubo w han pasado 10 bolas. 
a) Justifica si es posible hallar el número de bolas que pasan 
exactamente por cada uno de los tubos X, Y y Z. 
b) Supongamos que podemos controlar el número de bolas 
que pasan por Y. Escribe las expresiones que determinan el 
número de bolas que pasan por los tubos X y Z en función 
de los que pasan por Y. 
c) Se sabe un dato nuevo: por Y circulan 3 veces más bolas que por Z, ¿cuántas circulan 
por X, Y y Z? 
 
9.- Una persona trata de adivinar, mediante ciertas pistas, el coste de tres productos A, B y C 
que un amigo suyo ha comprado: 
 Pista 1: Si compro una unidad de A, dos de B y una de C me gasto 900 euros. 
 Pista 2: Si compro m unidades de A, m+3 unidades de B y 3 de C me gasto 2950 euros. 
a) ¿Hay algún valor de m para el que estas dos pistas no son compatibles? 
b) Si en la pista 2 se toma m=4 ¿es posible saber el coste de cada uno de los productos? 
c) Pista 3: El amigo le dice finalmente que el producto C vale 5 veces lo que vale el 
producto A y que en la pista 2 se tiene m=4. ¿Cuánto valen A, B y C? 
 
10.- Considera el sistema 








mzm3yx
-24zy2x
13z2yx
2
5 
a) Discute el sistema según los valores del parámetro m. 
b) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado. 
c) Razona para qué valores de m tiene inversa la matriz de los coeficientes del sistema. 
 
11.- En un supermercado se ofrecen dos lotes formados por distintas cantidades de los mismos 
productos. El primer lote está compuesto por una botella de cerveza, tres bolsas de 
cacahuetes y siete vasos y su precio es de 565 céntimos. El segundo lote está compuesto por 
una botella de cerveza, cuatro bolsas de cacahuetes y diez vasos y su precio es de 740 
céntimos. 
 Con estos datos ¿podrías averiguar cuánto vale un lote formado por una botella de cerveza, 
una bolsa de cacahuetes y un vaso? Razona la respuesta. 
 
12.- Sea el sistema de ecuaciones 








mzmm)y(1x
0y
1yx
1
zm . 
a) Estudia su comportamiento según los valores del parámetro m. 
b) Resuélvelo para m=2. 
 
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13.- Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro b y resuélvelo cuando sea 
compatible indeterminado. 








b3
bb
2
zybx
-3zyx-
zyx
 
 
14.- Mezclando tres productos, digamos X, Y y Z, debemos obtener 10 Kg. de pienso que 
contenga 19 unidades de hidratos de carbono y 12 unidades de grasa. Sabiendo que cada 
kilo del producto X tiene una unidad de hidratos de carbono y dos unidades de grasa, cada 
kilo del producto Y contiene dos unidades de hidratos de carbono y una unidad de grasa, y 
cada kilo del producto Z contiene cuatro unidades de hidratos de carbono y nada de grasa 
¿Cuántos kilos de cada producto debemos poner? 
 
15.- Del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 





0'cy'bxa'
0cybax
 se sabe que x=1, 
y=2 es una solución, que x=2, y=1 es otra solución y que x=3, y=3 es una tercera 
solución. Determina todas las soluciones del sistema. 
 
16.- Dos marcas de detergente, Blancol y Límpex, se disputan el mercado de una cierta región. 
A comienzos de año ambas lanzan sendas campañas de publicidad con objeto de captar 
clientes. A lo largo de la campaña, Blancol logra atraer al 20% de los clientes que Límpex 
tenía a principios de año. A su vez, Límpex consigue captar al 30% de los que tenía Blancol. 
Si al final de la campaña Límpex tiene el 55% del mercado, ¿qué porcentaje tenía al 
principio? 
 
17.- En cierta cafetería los ocupantes de una mesa abonaron 355 céntimos por 2 cafés, 1 tostada y 
2 refrescos, mientras que los de otra mesa pagaron 655 céntimos por 4 cafés,3 tostadas y 3 
refrescos. 
a) ¿Cuánto pagarán los de una tercera mesa por 2 cafés y 3 tostadas? 
b) Con los datos que se dan, ¿puedes calcular cuánto vale un café?. Justifica la respuesta. 
 
18.- Dado el sistema 































2
a
a
1
z
y
x
a11
1a1
11a
 determina para qué valores de a es compatible y 
resuélvelo para a=2. 
 
 
19.- En cada uno de los siguientes casos pon un ejemplo de un sistema de tres ecuaciones con 
dos incógnitas e indica su significado geométrico: 
a) El rango de la matriz de los coeficientes es 2 y el de la matriz ampliada es 3. 
b) El rango de la matriz de los coeficientes es 2 y el de la matriz ampliada es 2. 
c) El rango de la matriz de los coeficientes es 1 y el de la matriz ampliada es 2. 
d) El rango de la matriz de los coeficientes es 1 y el de la matriz ampliada es 1. 
 
 
20.- Un grupo de 20 personas se reúne para ir de excursión. El número total de hombres y 
mujeres es igual al triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, 
su número igualaría al de hombres. ¿Cuántas mujeres, hombres y niños hay? 
 
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21.- Escribe, cuando sea posible, sistemas de ecuaciones que respondan a las características 
siguientes: 
a) Un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas que tenga infinitas soluciones. 
b) Un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que sea compatible indeterminado. 
c) Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que no tenga solución. 
d) Un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas que tenga solución única. 
Razona, en cada caso, tu respuesta. 
 
22.- Una fábrica de electrodomésticos tiene una producción semanal fija de 42 unidades. La 
fábrica abastece a tres establecimientos – digamos A, B y C – que demandan toda su 
producción. En una determinada semana el establecimiento A solicitó tantas unidades 
como B y C juntos y, por otro lado, B solicitó un 20% más que la suma de la mitad de lo que 
pidió A más la tercera parte de lo que pidió C. ¿Cuántas unidades solicitó cada 
establecimiento dicha semana? 
23.- Del sistema de ecuaciones 





0yaxa
0yaxa
2221
1211
 se conocen todas sus soluciones, que son 
x=, y=2 con  variando en los números reales. También se sabe que 


















2
1
1
2
aa
aa
2221
1211
 
 Resolver el sistema 





2yaxa
1yaxa
2221
1211
 
24.- Sea A la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones 








2
a22
zayaxa
1zayxa
1zayaxa
333231
2321
131211
 . 
 Resuelve el sistema sabiendo que A-1 = 









 
100
321
101
. 
25.- Considera el sistema de ecuaciones lineales 

































5
3
2
z
y
x
k21
13k
111
 
a) Para qué valores de k no tiene inversa la matriz de los coeficientes? 
b) Discute el sistema según los valores de k. 
26.- Considera A = 












2a1a
2a0
321
 , B= 










1
0
1
 y X=










z
y
x
 
 a) Determina el rango de A en función del parámetro a. 
 b) Discute en función de a el sistema, dado en forma matricial, AX = B. 
 c) Resuelve AX = B en los casos en que sea compatible indeterminado. 
27.- Considera el sistema 








mzmyx
zmy-x
1z-ymx
4 
 a) Discútelo según los valores de m. 
 b) ¿Cuál es, según los valores de m, la posición relativa de los planos cuyas ecuaciones 
respectivas son las tres que forman el sistema?. 
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28.- a) Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro m 








13
mm
0m
zyx
zx
y2x
 
 b) Resuelve el sistema anterior para m = 6. 
 
 
29.- Considera el sistema de ecuaciones 








1
2
3



z7-y-3x
-1zx-
2yx
 
 a) Halla todos los valores del parámetro  para los que el sistema correspondiente tiene 
infinitas soluciones. 
 b) Resuelve el sistema para los valores de  obtenidos en el apartado anterior. 
 c) Discute el sistema para los restantes valores de . 
 
30.- Considera las matrices 
A =












m14
3m0
101
, B=











3
1
1
 y C= 










z
y
x
 
 a) ¿Para qué valores de m existe la matriz A-1?. 
 b) Siendo m=2, calcula A-1 y resuelve el sistema A·X=B. 
 c) Resuelve el sistema A·X=B para m=1. 
 
 
31.- Considera el sistema de ecuaciones 








3
1
z-y2x
1zy
1)z-(yx 
 
a) Halla todos los posibles valores del parámetro  para los que el sistema correspondiente 
tiene al menos dos soluciones distintas. 
b) Resuelve el sistema para los valores de  obtenidos en el apartado anterior. 
c) Discute el sistema para los restantes valores de . 
 
32.-Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores de : 








0
0
0
zyx
zyx
zyx



 
 
33.- Considera el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial 
 










1b1
1b0
b1b
 










z
y
x
 = 












2
0
2
 . 
a) Discute el sistema en función de los valores del parámetro b. 
b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. 
 
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34.- Un mayorista de café dispone de tres tipos base, Moka, Brasil y Colombia, para preparar 
tres tipos de mezcla, A, B y C, que envasa en sacos de 60 Kg. con los siguientes contenidos 
en kilos y precios del kilo en euros: 
 
 Mezcla A Mezcla B Mezcla C 
Moka 15 30 12 
Brasil 30 10 18 
Colombia 15 20 30 
Precio(cada Kg) 4 4’5 4’7 
 
 Suponiendo que el preparado de las mezclas no supone coste alguno, ¿cuál es el precio de 
cada uno de los tipos base de café?. 
 
35.- En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C, se encuentran en 
competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican 
las siguientes relaciones: 
- El precio de la empresa A es 0’6 euros menos que la media de los precios establecidos 
por B y C. 
- El precio dado por B es la media de los precios de A y C. 
- El precio de la empresa C es igual a 2 euros mas 2/5 del precio dado por A mas 1/3 del 
precio dado por B. 
 
 
 
 
36.- Sean : 
A =












3a12
231
11a
, B =













0a0
211
101a
, b=












3
5
1
, c= 










0
5
2
 y X= 










z
y
x
. 
Determina a, si es posible, para que los sistemas de ecuaciones ( dados en forma matricial )
 AX = b, BX = c tengan infinitas soluciones ( cada uno de ellos ). 
 
37.- Sabiendo que la matriz A verifica la relación 












11
23
10
01
2A , resuelve el 
sistema 











4
1
y
x
A . 
 
38.- De la matriz A dada por









 

83
532
121
A se sabe que no tiene inversa. 
(a) ¿Cuánto vale ? Justifica la respuesta 
(b) Resuelve el sistema 






























 

1
2
3
z
y
x
83
532
121
A

. 
¿Existe alguna solución de dicho sistema con y = -1? 
 
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39.- Considera las matrices A = 












110
201
221
 y X = 










z
y
x
 . 
¿Existe algún valor de  para el cual el sistema A X =  X tiene solución distinta de la 
trivial? Si la respuesta es afirmativa, indica el valor de  y resuelve el sistema; si es 
negativa, di por qué. 
 
40.- Resuelve el sistema de ecuaciones, dado enforma matricial, AX = - AX + B siendo 
A=











413
111
201
, B = 










1
4
1
 y X = 










z
y
x
. 
 
41.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones 








55
mzmx2
33
zmy3x
y
zyx
. 
a) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga una y 
sólo una solución. 
b) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga al 
menos dos soluciones. 
c) Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema no tenga 
solución. 
 
42.- Considera A=













223
m12
11m
, X = 










z
y
x
 y C = 










1
1
2
. 
a) ¿Para qué valores de m tiene inversa la matriz A?. 
b) Resuelve, para m=2, el sistema de ecuaciones AX=C. 
 
43.- .- Considera el sistema de ecuaciones 








4
2mzx
1m
zmyx
y
zyx
. 
a) Clasifícalo según los valores del parámetro m. 
b) Resuélvelo cuando sea compatible indeterminado. 
 
44.- Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C. Los precios de entrada a estas 
salas son de 3, 4 y 5 €, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue 
de 720 € y el número total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A 
hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obtenido una 
recaudación de 20 € más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada una de las 
salas. 
 
45.- Determina razonadamente los valores de m para los que el sistema de ecuaciones 








mz42
myz2x
mx
zyx
y
zy2x
 tiene más de una solución. 
Departamento de Matemáticas Página 17 
I.E.S. “HIPONOVA”, MONTEFRÍO 
 
46.- Considera el sistema de ecuaciones : 








1
z25z4mx
my22m
z-10y-6x
y
z-yx
. 
a) Discute las soluciones del sistema según los valores de m. 
b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado.